Ecuaciones y sistemas de ecuaciones | Mediateca de EducaMadrid

Muy buenas. Hoy vamos a montar juntos un kit de herramientas. Pero no uno cualquiera, ¿eh? 00:00:00

Va a ser un kit lleno de, bueno, de llaves maestras para descifrar todo tipo de puzles 00:00:05

matemáticos. Esas cosas que vemos por todas partes, en la ciencia, en la ingeniería, 00:00:10

incluso en el día a día. Sí, hablo de las ecuaciones. 00:00:16

A ver, ¿qué me dicen de esto? Impresiona un poco a primera vista, ¿verdad? Pues que 00:00:19

no nos engañe la apariencia. En el fondo, no son más que acertijos, puzles que están 00:00:23

ahí esperando a que alguien los resuelva. Y eso es justo lo que vamos a hacer. En los próximos 00:00:28

minutos vamos a descubrir juntos las estrategias para abrir estas cerraduras matemáticas, por muy 00:00:33

complejas que parezcan. Vale, pues vamos al lío. Empezamos a desvelar esos secretos. ¿Por dónde? 00:00:38

Pues por lo más fundamental, el verdadero punto de partida de todo esto, el arte de encontrar la 00:00:44

X. Aquí tenemos la base, el cimiento de todo, la ecuación de primer grado. La forma general es esa 00:00:50

que vemos, ax más b igual a cero. ¿Y el objetivo? Pues es súper directo, encontrar ese único valor 00:00:56

de x que hace que la igualdad sea cierta, que la balanza, por así decirlo, esté perfectamente 00:01:02

equilibrada. Y para conseguir ese equilibrio, aquí tenemos un plan de ataque que la verdad es que es 00:01:07

infalible. Son tres pasitos. Primero, si hay denominadores, fuera, hay que despejar el campo 00:01:12

de juego. Segundo, los paréntesis, adiós, simplificamos. Y tercero, que este es el movimiento 00:01:18

clave, agrupamos todo lo que lleva a X a un lado, los números al otro y listo, ya se lo queda despejar 00:01:23

nuestra incógnita. Es un proceso súper metódico que, oye, siempre funciona. Vale, esto está genial 00:01:29

para las ecuaciones de primer grado, pero ¿qué pasa cuando la X está elevada al cuadrado? Ahí ya no 00:01:34

podemos despejarla tan fácilmente. Para eso necesitamos añadir una nueva herramienta a 00:01:40

nuestro kit y es una de las grandes, la llave maestra para las ecuaciones cuadráticas. Y aquí 00:01:44

la tenemos, la famosa fórmula cuadrática. Ojo que esta es una de las herramientas más potentes de 00:01:50

todo nuestro arsenal. Sirve para cualquier ecuación de segundo grado. Piensan en las 00:01:55

cosas que modelan estas ecuaciones, desde la trayectoria de un proyectil hasta los beneficios 00:01:59

de una empresa. Pues bien, esta fórmula nos da la solución, o las soluciones. Es sin duda la 00:02:04

llave universal. Pero ojo, que tengamos una herramienta así de potente no significa que 00:02:08

haya que usarla siempre. A veces no hace falta sacar la artillería pesada. Si a la ecuación 00:02:14

le falta el término b o el c o sea si son incompletas podemos tomar atajos que la b es 00:02:19

cero pues despejamos x al cuadrado directamente que la c es cero sacamos factor común x es como 00:02:24

saber cuándo usar un destornillador de precisión en vez de un taladro percutor eso es pensar con 00:02:29

estrategia de eso van las mates al final y aquí viene un truco que es bueno es una pasada si 00:02:34

imaginan poder saber cuántas soluciones va a tener una ecuación sin tener que resolverla entera pues 00:02:39

se puede. La clave está en el discriminante. Ese pequeño cálculo, b al cuadrado menos 4ac, 00:02:44

es como una bola de cristal para nuestra ecuación. Si sale positivo, pum, dos soluciones reales. Si 00:02:50

sale cero, solo una. Y si sale negativo, pues no hay soluciones en los números reales. Es como 00:02:55

echar un vistazo rápido al futuro. Genial. Bueno, ya controlamos las lineales y las 00:02:59

cuadráticas. Es hora de subir de nivel. Ahora vamos a ver la estrategia maestra, 00:03:04

el truco del almendruco, para enfrentarse a esas ecuaciones que a primera vista parecen 00:03:09

monstruosas. El secreto, transformarlas en algo que ya conocemos. Aquí está la idea clave de esta 00:03:13

parte. No se trata de aprenderse de memoria docenas de métodos nuevos. ¡Qué va! Se trata de dominar 00:03:20

un único concepto, la transformación. La idea es que toda ecuación compleja es en realidad una más 00:03:26

simple que va disfrazada. Y nuestro trabajo como solucionadores de puzles es precisamente quitarle 00:03:33

esa máscara. Miren esto, por ejemplo, una ecuación bicuadrada. Con ese x a la cuarta, la verdad es que 00:03:39

parece un hueso duro de roer. Bueno, pues este es exactamente el tipo de disfraz del que estábamos 00:03:45

hablando. Pero, ¿y si le damos un pequeño giro? Aquí viene el truco que es súper ingenioso. Vamos 00:03:51

a usar un alias. Vamos a decir que una nueva variable, a la que llamaremos z, es igual a x 00:03:57

al cuadrado. Un simple cambio de nombre. ¡Y magia! Con esa sustitución tan tonta, 00:04:04

nuestra ecuación de cuarto grado, que parecía súper intimidante, se transforma en una vieja 00:04:10

amiga. Una ecuación cuadrática normal y corriente que ya sabemos resolver de sobra. Le hemos quitado 00:04:14

el disfraz. Y claro, una vez que encontremos el valor de z, solo tenemos que deshacer el cambio 00:04:19

para hallar la x original. Es brillante. Y lo mejor es que esta idea tan brillante no sirve 00:04:24

solo para las bicuadradas. ¡Qué va! También funciona de maravilla para algunas ecuaciones 00:04:31

exponenciales. Ya saben, las que describen cosas como el crecimiento de poblaciones o la 00:04:36

desintegración radiactiva. Hacemos un cambio de variable parecido, como z igual a a elevado a x, 00:04:41

y de repente las convertimos en problemas que ya sabemos cómo atacar. Es una estrategia súper, 00:04:47

súper versátil. Vale, siguiente estrategia en nuestro kit. Esta se centra en la limpieza. Sí, 00:04:52

sí como lo oyan. Se trata de arremangarse y quitar de en medio todo lo que estorba, 00:04:57

fracciones, raíces, para poder llegar al corazón del problema sin obstáculos. 00:05:01

Empezamos por las ecuaciones racionales. Estas son las que tienen la X metida en el denominador. 00:05:06

La clave, como se pueden imaginar, es quitar esos denominadores para que todo sea más sencillo. Pero 00:05:11

mucho cuidado, porque este proceso a veces crea lo que podríamos llamar soluciones fantasma. Soluciones 00:05:16

que parecen correctas en la ecuación simplificada, pero que en la original nos harían dividir por 00:05:22

cero. Y eso en matemáticas está prohibidísimo. Por eso es vital, pero vital, comprobar siempre 00:05:27

el resultado final. Vamos con otro caso. ¿Qué pasa si la X está atrapada, prisionera, dentro 00:05:32

de una raíz cuadrada? Hablamos de las ecuaciones irracionales. Pues la estrategia es parecida. Hay 00:05:37

que liberarla. Primero, dejamos la raíz sola a un lado de la ecuación. Y luego, ¡zas!, el movimiento 00:05:43

clave. Elevamos los dos lados al cuadrado. La raíz se esfuma y nos queda un problema muchísimo más 00:05:49

fácil de manejar. Pero un momento, alto ahí. Al igual que pasaba antes, elevar al cuadrado a veces 00:05:54

también crea soluciones impostoras. Así que la regla de oro, el mandamiento número uno que no 00:06:00

nos podemos saltar jamás en estos casos es comprobar siempre las soluciones en la ecuación 00:06:05

original, la del principio de todo. Y este principio de deshacer o limpiar también se 00:06:10

aplica a las ecuaciones con logaritmos. Aquí el objetivo es usar las propiedades de los logaritmos 00:06:15

para juntar términos, para simplificar, hasta que podamos quitar la palabra logaritmo de la 00:06:20

ecuación y nos quede algo mucho más manejable. ¿Y como ya se estarán imaginando? Pues sí, 00:06:24

es obligatorio comprobar que las soluciones son válidas. Los logaritmos tienen sus propias normas. 00:06:30

Y la más importante es que no existen los logaritmos de números negativos ni de celo. 00:06:35

Así que, una vez más, la comprobación final no es opcional. Es absolutamente crucial para 00:06:39

asegurarnos de que la solución que hemos encontrado tiene sentido de verdad. 00:06:45

Bueno, hasta ahora hemos lidiado con ecuaciones que tenían una sola incógnita. Pero llegamos al último nivel de este recorrido. ¿Qué pasa cuando tenemos varias ecuaciones y varias incógnitas y todas están relacionadas? Pues que entramos en el mundo de los sistemas de ecuaciones. Esto es súper importante en campos como la economía, la logística, las redes de tráfico… ¡Vamos allá! 00:06:48

A la hora de resolver un sistema de ecuaciones lineales nos podemos encontrar con tres finales 00:07:10

posibles. Uno, que haya una única solución. A esto se le llama compatible determinado. Dos, 00:07:15

que haya infinitas soluciones y sería compatible indeterminado. Y tres, que no haya ninguna solución 00:07:21

y entonces es incompatible. Y esto, que puede sonar un poco abstracto, se ve de maravilla con 00:07:26

un simple gráfico. Si pensamos que cada ecuación es una recta, la cosa queda clarísima. Si las 00:07:32

rectas se cortan en un punto, esa es la solución. Si las dos rectas son en realidad la misma, una 00:07:38

encima de la otra, pues claro, tienen infinitos puntos en común. Y si son rectas paralelas que 00:07:44

no se tocan nunca, pues no hay solución. La geometría a veces lo hace todo mucho más fácil 00:07:50

de entender. Y para resolver estos sistemas sin tener que dibujar, tenemos tres métodos principales, 00:07:55

las tres últimas herramientas de nuestro kit. Está el método de reducción, que va de eliminar 00:08:00

una variable sumando o restando las ecuaciones. Luego el de sustitución. Despejamos una incógnita 00:08:05

en una ecuación y la sustituimos en la otra. Y por último, el de igualación, donde despejamos 00:08:10

la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos los resultados. Al final, son tres 00:08:15

caminos distintos que nos llevan al mismo destino. Y ahí está. Un kit herramientas bastante completo, 00:08:20

¿no creen? Un juego de llaves maestras para resolver un montón de ecuaciones. Hemos pasado 00:08:26

del simple despeje a la transformación estratégica y a la resolución de sistemas. Ahora que el kit 00:08:30

está montado y las herramientas están listas, la pregunta que queda en el aire es ¿qué ceradura 00:08:35

matemática se animarán a abrir ahora? 00:08:40

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones - Contenido educativo

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