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Tema 4.- Números Racionales 1ª Sesión 18-11-2025 - Contenido educativo

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Subido el 19 de noviembre de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas del día 18 de noviembre. 00:00:00
Hoy empezamos tema nuevo, números racionales. 00:00:06
La semana pasada terminábamos las operaciones con números decimales 00:00:10
y hoy lo que vamos a ver es que un número racional es aquel que se pueda escribir en forma de fracción. 00:00:14
Y lo que vamos a ver en este tema es que si en lugar de hacer las operaciones 00:00:22
con números decimales. Estos números decimales los transformamos en una fracción, las operaciones 00:00:28
son más cómodas de hacer, más sencillas y sobre todo no cometemos errores porque no 00:00:36
hay aproximaciones de esos decimales, no hay cosas raras, siempre vamos a trabajar con 00:00:43
números exactos. Las reglas para operar con estos números racionales las vamos a aprender 00:00:48
a lo largo del tema. Aprenderemos cómo se suman, restan, multiplican, dividen y se hacen 00:00:55
potencias de fracciones. Incluso cómo se hacen raíces, aunque luego no nos aparezcan 00:01:01
mucho en las operaciones. Y también cómo se hacen potencias, donde veremos que todas 00:01:06
las propiedades que aprendimos en los números enteros aquí vuelven a ser válidas. Todas 00:01:13
van a ser iguales, nada más que aplicados a las operaciones 00:01:20
con fracciones. Por último, como siempre, 00:01:23
cuando tengamos controladas las operaciones, 00:01:27
pasaremos a aplicarlo a problemas. Y en los problemas, como siempre, 00:01:31
lo que primará será la organización de los datos. 00:01:36
Si yo me organizo bien los datos, me queda muy claro 00:01:40
qué tengo y qué me piden, pues las operaciones 00:01:44
serán muy sencillitas. Si no organizo bien los datos y me lío con las preguntas, pues 00:01:48
puede salir cualquier cosa. Bueno, dicho esto, un poco a modo de introducción, pues vamos 00:01:54
a ver qué son estos números racionales y cómo se operan con ellos. Entonces, como 00:02:01
decía, vamos a llamar número racional a todo aquel que se pueda escribir en forma 00:02:07
de fracción. Una fracción es una razón, es una relación entre dos números. Estos 00:02:13
dos números serán los que representen el total y la parte que quiero coger de ese total, 00:02:20
que lo veremos ahora en la definición de fracción. ¿Quiénes van a componer este conjunto 00:02:29
de los números racionales? Pues los números enteros, los números decimales exactos, que 00:02:33
Somos los que tienen un número finito de decimales y los números decimales periódicos, 00:02:40
que son aquellos que tienen infinitos decimales, pero en algún momento esos decimales se repiten. 00:02:45
Entonces, también vamos a ser capaces de encontrar una fracción que les represente. 00:02:52
Luego, nuestro conjunto, que ahora se representa con una letra Q, van a ser esos números enteros que conocíamos, 00:02:59
que a su vez incluyen a los números naturales, los números decimales exactos 00:03:06
da igual que sean positivos o negativos, los periódicos puros y los periódicos mistos 00:03:12
la diferencia entre estos y estos es que aquí el gorrito, ese arquito que hay encima del 3 00:03:19
que vamos a ver un poquito más adelante que lo que me indica es que el 3 se está arrepintiendo infinitamente 00:03:27
ese gorrito llega hasta la coma. Mientras que aquí el gorrito 00:03:33
solo está encima del 8 y entre la coma y el 8 00:03:37
hay dos cifras decimales que no se van a repetir. Aquí lo que se está 00:03:42
repitiendo es el 8 muchas veces. Pues veremos que 00:03:46
la forma de tratarlos a unos y a otros va a ser distinta. 00:03:49
Bueno, los que se nos quedarán fuera 00:03:54
de estos números racionales son aquellos números decimales 00:03:57
que van a tener infinitas cifras decimales y estas cifras no se van a repetir. 00:04:01
Y a eso le llamaremos números irracionales, porque no se van a poder poner en forma de razón, 00:04:09
no se van a poder poner en forma de fracción. 00:04:16
Bueno, pues vamos a ver lo primero, ¿qué es esa fracción que estamos hablando tanto? 00:04:19
Pues una fracción es la expresión de este tipo. 00:04:25
un número entero dividido entre otro número entero 00:04:27
donde este número entero del divisor, esta B, no puede ser un cero 00:04:31
porque no sabemos dividir entre cero 00:04:36
a la parte de arriba le llamo numerador y a la de abajo le llamo denominador 00:04:38
¿qué representan cada uno? 00:04:44
pues el denominador representa las partes que tiene un todo 00:04:47
ejemplo, una pizza que la he dividido en cinco trozos 00:04:53
pues el denominador sería cinco, mientras que el numerador 00:04:58
representa cuántas partes de ese todo voy a coger 00:05:02
pues por ejemplo, si me como tres trozos 00:05:06
de esos cinco que tenía la pizza, pues el numerador lo pondría en tres 00:05:10
con lo cual estaría diciendo que me estoy comiendo tres de cinco 00:05:13
que tenía en total, o sea, me estoy comiendo tres quintas partes 00:05:18
de la pisa. ¿Qué representa esta fracción? 00:05:21
Pues la puedo pensar como una división 00:05:28
y entonces si yo hago la división de la fracción me da un número decimal 00:05:31
que justo es al que representa 00:05:35
la fracción, del cual sería su fracción generatriz o 00:05:40
la que hemos dicho, si lo pienso como parte 00:05:43
de una unidad, cuando digo ese un medio, lo que estoy diciendo es 00:05:47
que me estoy comiendo la mitad de una pizza, porque la pizza la dividí en dos trozos y 00:05:51
solo estoy cogiendo uno. O aquí, que me estoy comiendo 5 tercios, 5 terceras partes, pues 00:05:59
¿qué me está diciendo esto? Que yo tengo dos pizzas divididas en tres trocitos cada 00:06:06
una y me estoy comiendo la primera entera más dos trozos de la segunda, porque me estoy 00:06:11
comiendo 5 tercios, ¿vale? 5 trozos de tamaño 1 tercio. Eso es las dos formas de interpretar 00:06:17
una fracción, como cociente o división o como partes de la unidad. Cuando estemos trabajando 00:06:26
haciendo operaciones, nosotros vamos a pensar siempre en estas partes de la unidad para 00:06:35
operar con las fracciones y huir de los decimales, porque estábamos diciendo antes que ahora 00:06:40
no quiero tener decimales porque los decimales me inducen a terminar 00:06:45
cometiendo errores porque no los controlo enteros y tengo que hacer aproximaciones 00:06:49
o porque aún controlándolos, las operaciones que 00:06:54
vimos el otro día en el tema anterior con decimales pues hay 00:06:57
veces que se vuelven un poco farragosas, mientras que con fracciones veréis 00:07:01
que es todo más mecánico. Bueno, 00:07:05
vamos a ver cómo consigo 00:07:10
encontrar esa fracción que representa a esos números decimales que no quiero tenerlos 00:07:13
para trabajar y a esa representación se le llama fracción generatriz. Es decir, la fracción 00:07:19
generatriz es aquella que tiene el mismo valor que el número decimal al que representa. 00:07:25
O sea que si yo hiciese la división que representa la fracción generatriz me daría como resultado 00:07:32
el número decimal al que estaba representando. 00:07:39
Como hemos dicho antes, nos podemos encontrar 00:07:43
con tres tipos de números decimales distintos. 00:07:46
Pues vamos a ver cómo se calcularía la fracción generatriz 00:07:51
de cada uno de estos tres tipos de número decimal. 00:07:56
El primero que me puedo encontrar es el número decimal exacto. 00:07:59
Exacto. Y un número decimal exacto es aquel que tiene un número finito de decimales, o sea, que se acaban en algún momento. 00:08:04
Tengo aquí el 0,75, el 1,8, el 7,123 y ya se acaba ahí el número. No hay más cifras que las que estoy viendo. 00:08:14
¿Cómo transformo estos decimales en una fracción? 00:08:24
por lo que voy a hacer es que en el numerador de la fracción siempre pondré 00:08:29
el número entero decimal que tenía quitando la coma 00:08:33
aquí teníamos 0.75, pues pongo el 75 00:08:37
porque el 0 a la izquierda no tiene valor, aquí tenía un 1.8 00:08:41
pongo un 18, aquí tengo un 7.123, pongo 7.123 00:08:45
o sea que numerador 00:08:51
número entero sin la coma, ¿qué pongo en el denominador? 00:08:53
pues en el denominador como para mover esa coma 00:08:58
lo que estaba haciendo es multiplicar por dieces 00:09:01
si multiplico por un 10 la coma se viene detrás del 7 00:09:05
si multiplico por dos dieces la coma se vendría detrás del 75 00:09:08
que es lo que yo he hecho en realidad 00:09:12
pues tantos dieces como haya utilizado para mover la coma 00:09:13
multiplicando los tengo que utilizar dividiendo 00:09:19
o sea que como utilice dos dieces y después de hacer 100 00:09:22
divido entre 100 00:09:26
Para hacerlo esto más mecánico, lo que digo es que en el denominador voy a poner un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tuviese el número. 00:09:28
Como aquí tenía dos cifras decimales, pues es un 1 con dos ceros. 00:09:39
Como aquí tengo una cifra decimal, es un 1 con un 0. 00:09:43
Como aquí tengo tres cifras decimales, es un 1 con tres ceros. 00:09:46
Esa sería la regla para transformarlo en fracción. 00:09:50
Veremos que esta todavía no sería la fracción generatriz, porque si podemos simplificar esta fracción, que más adelante veremos qué es eso de simplificar y cómo se hace, tengo la obligación de hacerlo. 00:09:55
Pero ya he encontrado el truco en el que he conseguido pasar de ese decimal a una proporción entre dos números, que es a lo que hemos llamado fracción. 00:10:08
bueno, eso cuando los decimales son exactos 00:10:18
o sea, tienen un número finito de decimales 00:10:25
lo cual quiere decir que se acaban en algún momento 00:10:27
¿qué ocurre si estoy en un número decimal que es periódico? 00:10:30
pues dijimos que el número decimal periódico tiene infinitas cifras decimales 00:10:35
o sea que no se va a acabar nunca 00:10:41
como es este 0,75 00:10:45
este 0,75 en realidad es este número 00:10:51
es un 0,75 00:10:56
y eso continúa infinitamente 00:11:03
yo al ver que se están repitiendo todos esos 75 00:11:08
digo, hombre, pues una forma de representarlo 00:11:12
y que no me haga escribir cien mil veces ese mismo número 00:11:14
es poner un gorrito encima de las cifras que se repiten. 00:11:19
¿Vale? 00:11:24
Y querría decir lo mismo. 00:11:25
El gorrito quiere decir que hay infinitos setenta y cinco unos detrás de otros. 00:11:27
A esta parte que se está repitiendo se le llama periodo. 00:11:33
Y a la parte delante de la coma que no se repite se le llama parte entera. 00:11:39
Bueno, pues visto esos nombres vamos a ver cómo construyo mi fracción generativa. 00:11:50
Pues lo que hago es lo que me están diciendo aquí en este enunciado. 00:11:57
es que en el numerador pongo el número entero sin la coma 00:12:07
el número entero sin la coma sería ese 75 00:12:12
le resto la parte que no se repite 00:12:15
en este caso la parte entera, el resto cero 00:12:22
y ahora lo que voy a hacer es dividir 00:12:26
en vez de por un 1 con 0 como hacíamos en los números decimales exactos 00:12:28
aquí lo que voy a hacer es dividir por tantos 9 00:12:33
como cifras tuviese el periodo, como cifras 00:12:36
hubiese debajo de el gorrito este que poníamos, como hay una 00:12:40
y dos cifras, pues divido entre dos nueves 00:12:44
luego la fracción generativa que me queda después de hacer esa cuenta 00:12:48
es 75 partido de 99 00:12:52
que veremos más adelante, que la voy a poder simplificar 00:12:55
si yo cojo ahora este 1,8 00:12:59
que por tener gorrito sería lo mismo que decir 00:13:04
1,88888 00:13:08
así hasta el infinito. Yo lo he simplificado 00:13:12
diciendo que como el 8 se está repitiendo todo el rato, pues le pongo 00:13:16
un gorrito encima y ya sé que ese es mi periodo. 00:13:20
Pues vuelvo a mirar la regla de antes. Número entero 00:13:24
sin la coma. 18 menos 00:13:28
la parte entera, que es la que no se repite, el 1 00:13:32
que estaba delante de la coma, y dividido por tantos nueves 00:13:36
como cifras hay debajo del gorrito, como cifras tiene el periodo 00:13:40
como solo hay un 8, pues solo un 9 00:13:44
hago la cuenta y resulta que me queda como fracción 00:13:48
17 novenos, pues esa es la fracción que es equivalente 00:13:52
a mi 1,8 periódico puro 00:13:56
si cogéis en la calculadora y ponéis ese 17 entre 9 00:13:59
os va a salir este 1,8888 00:14:03
si pongo en la calculadora el 75 entre 99 00:14:05
me va a salir 0,75,75,75 00:14:08
lo podéis comprobar 00:14:11
en este último, pues la misma historia 00:14:13
ese número correspondería al 71,23 00:14:16
23, 23, 23 00:14:22
punto suspensivo porque eso continuaría hasta el infinito 00:14:25
pues mismo rollo 00:14:29
número entero sin la coma 00:14:31
7123 00:14:33
menos la parte entera 00:14:36
de la que estaba delante de la coma 00:14:38
lo que no se repetía 00:14:39
pues 71 00:14:40
y dividido por tantos nueves 00:14:42
como cifras había debajo del gorrito 00:14:44
como hay dos cifras, pues dos nueves 00:14:46
hago la cuenta y me queda 00:14:48
7052 partido 99 00:14:50
como mi fracción generatriz 00:14:53
que luego veremos si se puede 00:14:55
o no se puede simplificar 00:14:57
ya teníamos, tenemos estos números 00:14:58
que hemos llamado periódicos puros, vamos a ver que pasa 00:15:03
con esos periódicos mistos 00:15:07
¿vale? y periódico misto es cuando tengo 00:15:10
una parte que se repite dentro de los decimales 00:15:15
y otra que no se repite, por ejemplo 00:15:19
tengo aquí este 0.75 00:15:22
que en realidad sería lo siguiente, ese 0,75 lo que me está diciendo es que se repite solo el 5 infinitas veces, pues sería este número, 5 hasta que me canse, pero el 7 no, el 7 no se está repitiendo, solo se está repitiendo el 5, entonces el 7 lo dejo como está. 00:15:25
Bueno, pues vamos a ver que esto tiene los siguientes nombres 00:15:53
A la parte que se repite, que está debajo del gorrito 00:16:01
Toda esta parte, igual que antes, se le llama periodo 00:16:06
¿Vale? 00:16:13
Al número que está entre la coma y ese periodo se le llama anteperiodo 00:16:15
y a lo que hay delante de la coma como antes 00:16:22
parte entera 00:16:31
igual que antes 00:16:33
¿cómo se va a formar la fracción generatriz? 00:16:37
pues con la siguiente regla 00:16:41
digo, pongo el número entero sin la coma 00:16:42
en este caso el 75 00:16:45
y le resto la parte entera y el anteperiodo 00:16:47
o sea que la parte entera y el anteperiodo es 00:16:52
el 0 con el 7 00:16:54
0, 7 que es lo mismo que 7 00:16:56
O sea que lo que estoy haciendo aquí en realidad es restar todo lo que no se repite. El 0 y el 7. O sea, tengo que restar las cifras que me salen hasta llegar al gorrito. Bueno, pues 75 menos 7. 00:16:58
Y ahora el denominador cambia respecto a lo que decíamos antes en los periódicos puros. 00:17:15
Ahora tengo que poner, igual que antes, tantos nueves como cifras tenga el periodo, aquí debajo del gorrito había solo una cifra, pues pongo solo un 9, pero lo voy a poner seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. 00:17:21
como aquí entre la coma y el gorrito solo hay una cifra 00:17:37
el anterior de soledad es 7, pues solo pongo un 0 00:17:41
hago mis cuentas y resulta que la fracción 00:17:45
que equivale a este 0,75 periódico mixto es 00:17:48
68 partido de 90 00:17:52
yo siempre digo aquí una tontería, pero que luego os ayuda a recordar 00:17:55
estos tipos de números, digo 00:18:00
periódico mixto, pues como los 00:18:04
sándwiches mixtos, los sándwiches mixtos 00:18:06
son aquellos que tienen jamón y queso 00:18:08
pues aquí es como si 00:18:10
el jamón fuese lo que está debajo del gorrito 00:18:12
y el queso lo que hay entre 00:18:14
la coma y el gorrito 00:18:16
y la parte entera como si fuese el pan 00:18:17
cuando estoy en el 00:18:20
periódico puro 00:18:22
un sándwich puro, por así decirlo, es el 00:18:23
sándwich solo de jamón 00:18:26
¿vale? pues no hay queso 00:18:27
entre la coma y el gorrito no hay nada 00:18:30
pensamos ahora lo de los nueves y los ceros 00:18:32
pues digo, muy simple, el jamón más caro que el queso 00:18:36
pues las cifras que hay dentro de la parte 00:18:41
del jamón son nueves, las cifras que corren por dentro del queso 00:18:44
son ceros, o sea, cada loncha de queso vale nueve euros 00:18:48
cada loncha de, perdón, de jamón vale nueve euros, cada loncha de queso 00:18:52
a cero de dos, pues aplicando esta chorrada 00:18:56
como en los periódicos puros solo había jamón, solo había nueves 00:19:01
tanto nueves como lonchas de jamón, ceros ninguno 00:19:05
aquí como tengo las dos cosas, tengo que controlar las dos 00:19:09
entonces si miro este 1,128 00:19:13
donde resulta que solo ese 28 00:19:17
es el que se repite, o sea que en realidad este número sería 00:19:22
1,1 00:19:26
a ver, perdón, este número sería el 1,1282828 puntos suspensivos, pues digo, número entero sin la coma, 1,128, le resto la parte que no se repite, la parte que no se repite es lo que está delante del gorrito, que es estos dos unos, pues le resto 11, ya lo digo. 00:19:28
lonchas de jamón, una y dos, pues uno y dos nueves 00:20:04
lonchas de queso, una sola, pues un solo cero 00:20:09
o sea que tantos nueves como cifras tiene el periodo 00:20:14
tantos ceros como cifra tiene el anteperiodo 00:20:17
esa fracción si se puede simplificar, la simplificaremos 00:20:21
si no, pues la dejamos así, y en el último 00:20:25
pues la misma historia, digo 00:20:28
A ver, tengo que este número en realidad sería 7,1,2,3,3,3,3, así hasta el infinito. 00:20:31
Pues periodo solo el 3, anteperiodo el 12. 00:20:47
O sea, lonchar de jamón, 1, lonchar de queso, 2. 00:20:53
Pues vamos a aplicar la regla. 00:20:58
Número entero sin la coma. 00:21:00
7123 00:21:02
parte que no se repite 00:21:04
el 712 00:21:07
y ahora en el denominador 00:21:08
tantos 9 como cifras tiene el periodo 00:21:10
o sea tantos 9 como lonchas de jamón 00:21:13
solo un 9 00:21:15
tantos ceros como cifras hay en el 00:21:16
anteperiodo, tantos ceros 00:21:19
como lonchas de queso, una y dos 00:21:21
pues uno y dos ceros 00:21:23
hacemos la cuenta y me queda 00:21:24
6411 00:21:27
entre 900 00:21:28
que se quedará así o lo simplificaremos más adelante 00:21:30
si se puede. Bueno, pues este sería el truco para 00:21:35
pasar cada uno de estos números decimales a su fracción 00:21:38
generatriz correspondiente. Tenéis ejercicios pero vamos a 00:21:45
hacer uno más mezclado de todos 00:21:49
estos. Quiero poner la fracción generatriz de 00:21:53
el 25,36 00:21:56
36 puntos suspensivos 00:22:00
la fracción generatriz del 15,24 00:22:04
sin puntos suspensivos 00:22:10
y la fracción generatriz del 2,24 00:22:12
39,39,39 00:22:16
y puntos suspensivos 00:22:20
pues siempre que haya puntos suspensivos 00:22:23
me está indicando que el número sigue 00:22:25
entonces cuando el número sigue hasta el infinito lo que me tengo que fijar es si 00:22:28
hay repeticiones o no, aquí en este caso por ejemplo estoy viendo 00:22:34
que se repite el 36 todo el rato, bueno pues voy a 00:22:38
indicar esa repetición poniendo 00:22:42
un gorrito encima de esas dos cifras que se repiten 00:22:46
aquí no se repite nada entonces se queda como está 00:22:49
y aquí veo que se está repitiendo el 39 todo el rato 00:22:52
Pues pongo 2,24 00:22:58
Ahora el 39 con un borrito 00:23:02
En vez de escribir 40, 39 00:23:05
Bueno, pues ahora estoy viendo que este es un número periódico puro 00:23:07
Este, que no hay apuntos suspensivos ni nada de nada 00:23:14
Es un decimal exacto 00:23:18
Y este, que tiene cifras repetidas y otras no 00:23:22
dentro de su parte decimal pues va a ser un periódico 00:23:29
mixto, periódico 00:23:33
mixto, porque tiene jamón y queso 00:23:35
que decíamos, pues vamos a por sus fracciones 00:23:39
en el periódico puro decíamos 00:23:42
número entero sin la coma 00:23:45
y le tengo que respetar 00:23:48
la parte entera, la parte que no se repetía 00:23:51
que es lo que hay delante de la coma, el 25 00:23:53
Y ahora en el denominador, tantos 9 como cifras hay debajo del gorrito, tantos 9 como cifras tiene el periodo, tantos 9 como lonchas de queso, o digo de jamón, perdón, como vosotros queráis recordarlo, el caso es que os quedéis con la regla un poquito. 00:23:56
Y hago la resta. 6 menos 5, 1. 3 menos 2, 1. 5 y 2. Y partido de 99. Esa sería mi fracción. 00:24:13
Y luego ya os digo que miraremos si se puede simplificar o no. Ahora solo queremos recordar la regla. 00:24:26
Decimal exacto. No hay infinitos cifras decimales. En este caso solo hay 2 y se acaba el número. 00:24:33
no hay repeticiones ¿vale? y aunque las hubiese 00:24:41
no las considero como tal porque solo considero las repeticiones cuando 00:24:46
el número es periódico, es algo periódico 00:24:49
es algo que se repite cada cierto tiempo, pues entonces como es decimal exacto 00:24:54
decíamos número entero sin la coma 00:24:58
y ahora en el denominador poníamos un 1 seguido de tantos 00:25:02
ceros como cifras decimales, como había dos cifras decimales 00:25:06
pues dos ceros y a continuación veremos si se simplifica 00:25:10
o no, pero la regla ya la tendríamos cubierta 00:25:14
y el último, periódico mixto, pues decíamos 00:25:19
número entero sin la coma 00:25:24
y le tengo que restar toda la parte que no se repite, pero la parte 00:25:27
que no se repite ahora es la parte entera que da el 2 más el 24 00:25:31
del anteperiodo, pues yo resto el 224 entero 00:25:35
En el denominador que pongo, tantos nueves como cifras tenía el periodo, tantos nueves como lonchas de jamón, cifras que hay debajo del gorrito, seguidas de tantos ceros como cifras hay entre la coma y el gorrito, como cifras tiene el anteperiodo, que es la que llamamos lonchas de queso. 00:25:38
hacemos las cuentas también como antes 00:26:00
9 menos 4 es 5, 3 menos 2 es 1 00:26:03
4 menos 2 es 2, 2 y 2 00:26:06
y abajo el 9.900 que queríamos 00:26:09
pues esa sería nuestra fracción 00:26:13
entonces recordad el truco como queráis 00:26:16
con las lonchas de jamón y queso 00:26:21
con lo de periodo y anteperiodo 00:26:23
como mejor os ayude a recordarlo 00:26:26
para poder encontrar estas fracciones generatrices 00:26:28
que nos van a simplificar muchísimo las cuentas luego, más adelante. 00:26:31
Bueno, visto esto, vamos a por algo que hemos estado nombrando todo el rato 00:26:39
y es cómo se simplifica una fracción. 00:26:44
¿Qué es esto de simplificar una fracción? 00:26:48
Bueno, pues simplificar una fracción, como os pongo aquí abajo, 00:26:51
es encontrar una fracción que valga 00:26:56
lo mismo que la anterior pero tenga números más pequeños 00:27:01
¿vale? o sea es reducir los números 00:27:04
que están expresados en esa fracción 00:27:09
¿cómo hago esto? pues digo bueno 00:27:12
una fracción es irreducible cuando 00:27:16
el denominador, la parte de abajo y el numerador 00:27:19
no tienen ningún divisor en común, que es lo que se llama ser primos entre sí. 00:27:24
Pues la forma que tendré yo de encontrar estas fracciones irreducibles 00:27:31
y por tanto simplificar una fracción es ir dividiendo al numerador y al denominador 00:27:36
por esos divisores comunes hasta que ya no pueda más. 00:27:46
Esa sería una forma de verlo. 00:27:51
Tengo ese 120 y eso 36. 00:27:54
¿Hay algún número que divida al 120 y al 36 a la vez? 00:27:57
Hombre, pues si los dos son pares, pues por lo menos lo voy a poder dividir entre 2. 00:28:01
Pues divido entre 2 y me queda 60 y 18. 00:28:05
Pues ese 60 y ese 18, la fracción que representan, que es 60 dieciochoavos, 00:28:09
tiene el mismo valor que este 120 partido de 36, este 120 treinta y seisavos. 00:28:16
¿Vale? Son fracciones que se llaman equivalentes 00:28:22
Tienen el mismo valor 00:28:26
Digo, ese 60 y ese 18 00:28:28
¿Podría simplificarlos algo más? 00:28:32
¿Tienen algún divisor en común? 00:28:36
Pues sí, tienen al 2 00:28:38
Porque los dos son pares 00:28:39
Pues divido entre 2 y me queda 30 novenos 00:28:41
Vuelvo a pensar otra vez 00:28:46
¿Ese 30 y ese 9 tienen algún divisor en común? 00:28:48
Pues el 2 ya no me vale 00:28:52
voy a ver al siguiente número primo 00:28:53
que es el 3, resulta que 00:28:55
los dos se pueden dividir entre 3 00:28:57
porque el 30 y el 9 están en la tabla del 3 00:28:59
pues divido a los dos entre 3 00:29:02
y me queda 10 tercios 00:29:04
pues 00:29:06
el 10 y el 3 ya no tienen 00:29:07
ningún divisor en común 00:29:10
el 3 es un número primo 00:29:12
y resulta que el 10 ya no le puedo dividir 00:29:14
entre 3, pues he terminado 00:29:16
pues esta última fracción 00:29:18
decimos que es 00:29:20
irreducible 00:29:22
La que ya no se puede simplificar más. He terminado. Fracción irreducible. Con este tipo de fracciones son con las que vamos a querer trabajar. Yo no quiero números tan grandes como los que tenía aquí en la fracción original, en 120, 36 agos, porque son más difíciles de manejar. 00:29:23
Cuanto más grandes, peor. Quiero los números lo más pequeñitos posible. Si resulta que 120 treinta y seisavos tiene el mismo valor que diez tercios, pues, ¿a por qué voy? A por lo más manejable de los dos, sin perder valor, ¿vale? 00:29:54
¿Vale? Bueno, pues otra forma de ver estas reducciones de una forma más rápida, o sea, lo que he ido haciendo cuando he ido haciendo esos divisores paso a paso, en realidad es como si hubiese ido dividiendo entre los factores de su máximo común divisor. 00:30:12
si yo calculo el máximo común divisor 00:30:31
de 120 y de 36 00:30:34
me sale que es 12 00:30:37
si os fijáis el 12 es lo mismo que este 2 00:30:39
por 2 es 4 y por 3 es 12 00:30:42
si divido de un tirón 00:30:45
entre ese máximo común divisor 00:30:48
pues de un tirón llego a la fracción irreducible 00:30:50
y la última forma de ver 00:30:54
esto mismo que estamos haciendo todo el rato 00:30:57
es decir, factorizo el numerador y el denominador por separado 00:30:59
la factorización del 120 es 2 por 2 por 2 00:31:03
por 3 y por 5, el 36 2 por 2 por 3 00:31:08
y por 3, por lo que digo es, voy a cargarme 00:31:12
los factores que estén repetidos 00:31:15
a ver, en el numerador y el denominador 00:31:19
digo pues, un 2 de arriba 00:31:24
me lo puedo cargar con un 2 de abajo, otro 2 de arriba 00:31:34
con otro 2 de abajo, un 3 de arriba con otro 3 de abajo 00:31:37
y cuando ya no puedo simplificar más, que me queda 00:31:41
el 2 por 5 y el 3, que si los multiplico me quedan el 10 tercios 00:31:44
desde el principio, que queríamos y que vimos en la primera 00:31:49
forma, entonces, como lo queráis ver cada uno 00:31:53
¿vale? hay quien le gusta ir dividiendo 00:31:57
pasito a pasito porque les resulta más fácil 00:32:00
a quien le gusta hacer toda la factorización 00:32:04
y tachar los factores comunes 00:32:07
total, llegamos al mismo sitio 00:32:10
os voy a poner otra forma de escribirlo 00:32:15
que a lo mejor os gusta más y sigo haciendo lo mismo 00:32:19
quiero simplificar, hemos dicho 00:32:22
ese 120 partido de 36 00:32:31
pues en vez de escribir las factorizaciones 00:32:36
en forma de fracción, las ponemos con lo de la rayita 00:32:39
que hacíamos para factorizar, 120 entre 2, 60 00:32:44
entre 2, 30, entre 2 00:32:47
15, entre 3, 5 00:32:51
5 y 1, eso es lo que hacíamos para factorizar 00:32:55
Ahora, un número 36 entre 2, 18 entre 2, 9 entre 3, 3, 3 y 1. 00:32:58
Pues aquí mismo también puedo hacer esas simplificaciones que decíamos. 00:33:11
Un 2 de aquí se va con uno de ahí. 00:33:15
Un 2 de aquí con otro de aquí. 00:33:18
Un 3 de aquí con uno de aquí. 00:33:21
¿Qué es lo que me ha quedado del 120? 00:33:23
Pues me ha quedado el 2 por 5 00:33:24
¿Qué me quedó del 36? 00:33:28
El 3 solo 00:33:31
Pues esos factores son los que dejo en mi fracción 00:33:31
Y estoy sacando el 10 tercios que queríamos 00:33:35
O sea que como queráis, como lo veáis mejor 00:33:39
Como mejor os organicéis 00:33:43
Pero importante que todas las operaciones que hagamos con fracciones 00:33:44
Los resultados finales estén simplificados 00:33:49
es más, si voy simplificando a medida que voy viendo 00:33:53
que se puede hacer, voy a ahorrarme mucho trabajo 00:33:57
y muchas equivocaciones, ya lo iré viendo a medida que vayamos 00:34:00
avanzando en el tema y vayamos viendo las operaciones que podemos hacer 00:34:04
con las fracciones, bueno 00:34:09
hemos aprendido como se simplifican fracciones 00:34:11
vamos a ver como se reducen fracciones a denominador 00:34:16
común, ¿vale? Reducir fracciones al denominador común es encontrar unas fracciones equivalentes 00:34:21
a las originales, pero que tengan todas el denominador igual. Entonces, vamos a ver que 00:34:32
lo hacemos con los siguientes pasos. Ese denominador común que estamos buscando siempre va a ser 00:34:42
el mínimo común múltiplo de los denominadores que tuviesen 00:34:48
todas las fracciones por separado, ¿vale? 00:34:52
Entonces digo, quiero buscar fracciones equivalentes a 3 quintos 00:34:56
4 quinceavos y 2 veinticincoavos 00:35:00
que tengan el mismo denominador. Bueno, pues el primer paso 00:35:03
me dice que calcule el mínimo común múltiplo de esos tres números 00:35:08
de 5, de 15 y de 25. Pues el mínimo 00:35:12
como múltiplo va a ser 75. ¿Por qué? 00:35:16
Pues porque la factorización del 5 es 5, la del 00:35:20
15 es 3 por 5 y la del 25 es 5 00:35:25
al cuadrado. Como para hacer el mínimo como múltiplo nos teníamos 00:35:29
que quedar con los factores comunes y no comunes con el exponente 00:35:32
más grande, pues me quedo con ese 5 00:35:36
al cuadrado y con este 3. 00:35:40
pero 5 al cuadrado por 3 00:35:43
como 5 al cuadrado es 25 00:35:49
si lo multiplico por 3, ¿qué me da? 00:35:51
este 75 que decíamos aquí 00:35:55
bueno, pues ya sé que ese 75 00:35:57
va a ser el denominador de mis nuevas fracciones 00:36:00
¿cómo encuentro el numerador de esas nuevas fracciones? 00:36:05
si modifico a uno, tengo que modificar al otro también 00:36:10
bueno, pues digo 00:36:14
para el numerador de ese 3 quintos 00:36:16
lo que hago es dividir ese 75 entre 5 00:36:21
o sea, divido ese denominador nuevo 00:36:25
entre el que tenía antes 00:36:28
pues 75 entre 5 me da 15 00:36:30
pues ese 15 que me ha salido 00:36:35
se le multiplico al numerador que tenía antes 00:36:37
3 por 15 me da 45 00:36:40
5 por 15 me daba el 75 00:36:45
o sea que lo que he hecho en realidad 00:36:49
es lo siguiente, es decir que si a la fracción 00:36:53
original que era 3 quintos, cojo y multiplico 00:36:57
al numerador y al denominador por un mismo número 00:37:01
el resultado que me sale es una fracción equivalente a la que tenía 00:37:05
o sea, cuando yo multiplico 00:37:11
a los dos términos de la fracción por el mismo número 00:37:13
lo que estoy haciendo es conseguir una fracción 00:37:17
con números más grandes pero con el mismo valor final 00:37:20
o sea, una fracción equivalente que se llama fracción amplificada 00:37:24
no quiero que tengáis aquí más nombrajos en la cabeza 00:37:28
que tiene el mismo valor 00:37:32
que la original, pero cumple la condición 00:37:36
que yo quería que es que tuviese el denominador ese 75 00:37:39
bueno, pues si hago esa misma historia 00:37:43
para hablar de más, digo 00:37:46
si divido ese 75 entre el denominador 00:37:48
de la segunda que era un 15, me sale un 5 00:37:52
pues si a esa fracción original 00:37:55
le multiplico tanto al denominador como al denominador por ese 5 00:37:58
me sale este 20,75 avos 00:38:01
que es una fracción equivalente a 4,15 avos 00:38:05
pero con el denominador como yo quería que era el 75 00:38:09
o sea que la historia es 00:38:13
dividir el denominador nuevo 00:38:15
que era el mínimo común múltiplo 00:38:19
entre el denominador antiguo 00:38:21
y lo que me salga multiplicárselo a los dos factores 00:38:23
en el último caso 75 entre 25 me da 3 00:38:28
pues multiplico a 2 por 3 y me da 6 00:38:32
y a 25 por 3 que me da 75 00:38:35
ya he conseguido 3 fracciones 00:38:37
45 setenta y cinco agos 00:38:40
20 setenta y cinco agos 00:38:43
y 6 setenta y cinco agos 00:38:45
que son equivalentes al 3 quintos 00:38:47
4 quince agos y 2 veinticinco agos respectivamente 00:38:50
y que cumplen la condición que queríamos 00:38:54
que era que todas tuviesen el mismo 00:38:57
denominador. Pues ya hemos reducido 00:39:01
las fracciones originales a otras con denominador 00:39:05
común, que es como se llamaba esta parte. Esto 00:39:09
vamos a tener que hacerlo muchas veces porque esto me va a ayudar a poder comparar 00:39:13
fracciones, me va a ayudar a poder sumar y restar fracciones 00:39:17
y luego esta parte de calcular esas fracciones 00:39:21
equivalentes con el denominador común es muy importante. 00:39:25
Bueno, visto esto, vamos a ver cómo se operaría con fracciones. 00:39:31
Cómo se suman, cómo se restan, cómo se multiplican, cómo se dividen, 00:39:38
cómo se hacen potencias y cómo se hacen raíces con fracciones. 00:39:42
¿vale? sumas y restas 00:39:46
para yo poder sumar o restar 00:39:50
dos fracciones necesito que las dos fracciones 00:39:54
tengan los denominadores iguales 00:39:58
si no, no las puedo sumar y restar, yo necesito poder 00:40:02
para poder juntar los trozos de dos pisas distintas 00:40:05
que los trozos sean del mismo tamaño, porque si no son del mismo tamaño 00:40:10
Cuando lo voy a coger, no será lo mismo que coja un trozo grande que coja un trozo poquillo. 00:40:13
Ahora, si los trozos de las dos pisas tienen el mismo tamaño, daría igual el que coja. 00:40:19
Pues aquí la idea es la misma. 00:40:27
Si las fracciones tienen el mismo denominador, no hay ningún problema. 00:40:29
Las porciones que representa el numerador son igual de grandes, las puedo juntar. 00:40:35
Ahora, si los denominadores son distintos, si las porciones de las pisas tienen distinto tamaño, no podré juntar los numeradores que son esos trocitos que quiero coger, porque son trocitos desiguales. 00:40:40
bueno, entonces, la historia que estábamos diciendo 00:40:56
digo, si tengo fracciones con el mismo denominador 00:41:00
todas, y quiero restarlas o sumarlas 00:41:05
lo único que tengo que hacer es dejar como denominador 00:41:08
ese que tenían en común y sumar o restar los numeradores 00:41:12
tal cual, como todas tenían denominador 5 00:41:17
pues dejo ese 5 y sumo y resto los numeradores 00:41:20
es 3 menos 2 más 4, pues me queda 5 partido de 5, que es 1, 00:41:24
llego aquí, a 5 cuartos le quito 7 cuartos, 00:41:31
pues el denominador que me va a quedar es un 4, 00:41:35
el numerador, 5 menos 7 menos 2. 00:41:36
¿Puedo simplificar esa fracción? 00:41:41
¿Hay algún número que divida al 2 y al 4 a la vez? 00:41:44
Pues sí, puedo dividir entre 2 a los 2, porque los dos son pares, 00:41:47
Pues lo que diría aquí, bueno, pues divido entre 2 y divido entre 2. 00:41:51
2 entre 2 me da 1, 4 entre 2 me da 1 medio, pues la fracción irreducible que representa esa suma es menos 1 medio. 00:41:58
Ahora, ¿qué ocurriría si las fracciones tienen diferente denominador? 00:42:10
Pues lo que ocurre es que no las puedo juntar directamente, pero puedo hacerlo si hago antes un paso previo, que es calcular fracciones con denominador común, o sea, lo que hicimos en el apartado anterior. 00:42:17
yo tengo tres cuartos y menos un dieciochoavo 00:42:33
como tengo de denominador cuatro y denominador dieciocho no las puedo juntar 00:42:37
ahora si encuentras unas fracciones equivalentes que sí que tengan el mínimo denominador 00:42:42
ya sí las podría juntar 00:42:47
¿quién era ese denominador común? 00:42:49
pues acordáis que dijimos que salía de hacer el mínimo común múltiplo 00:42:53
de los denominadores, el mínimo común múltiplo de cuatro y de dieciocho 00:42:57
Como el 4 es 2 al cuadrado y el 18 es 2 por 3 al cuadrado 00:43:01
Los factores que me tengo que coger son el 2 al cuadrado y el 3 al cuadrado 00:43:09
2 al cuadrado por 3 al cuadrado que me va a dar 4 y 9 00:43:16
Y 4 por 9 que me da 36, pues ese es el denominador que yo quiero 00:43:23
ahora, si he cambiado el denominador 00:43:28
también tengo que cambiar el numerador 00:43:33
y acordaos que lo que decíamos era 00:43:35
para cambiar el numerador de la primera fracción 00:43:37
tenía que ver por quién había multiplicado a ese 4 00:43:40
para llegar a 36 00:43:43
o sea que decíamos 36 dividido entre 4 00:43:44
que me da 9 00:43:50
y ese 9 pues era el que multiplicaba 00:43:51
al 3 y al 4 para llegar a 9 por 3 00:43:55
27 y 9 por 4, 36 00:44:00
pues la misma historia para la siguiente, digo el 36 que tengo 00:44:03
en la segunda fracción, si le divido entre el 18 que tenía 00:44:07
en su fracción original, que me da 00:44:11
2, pues ese 2 es el que tengo que multiplicar por el 1 00:44:14
para que me dé el 2 del 2 treinta y seisavos 00:44:19
cuando ya he hecho esos cambios 00:44:23
y he llegado a ese 27 00:44:25
36 avos 00:44:28
y menos 2 36 avos 00:44:31
de hacer ese denominador común 00:44:33
ya puedo hacer lo que hacía en el paso anterior 00:44:36
dejar como denominador común 00:44:38
ese 36 00:44:40
y restar los numeradores 00:44:41
27 menos 2 00:44:44
pues 25 36 avos 00:44:48
es el resultado de mi resta 00:44:51
no tengo que hacer nada más 00:44:53
porque no puedo simplificar 00:44:55
no hay ningún número que divida el 25 y el 36 a la vez 00:44:56
luego he terminado 00:44:59
¿qué ocurriría si tengo un ejemplo como el siguiente? 00:45:01
y alguna de las fracciones 00:45:06
perdón, alguno de los números no tiene denominador 00:45:07
pues nada, no pasa nada 00:45:10
que cuando no tengo denominador 00:45:12
es lo mismo que tener un 1 00:45:14
porque 2 entre 1 00:45:15
me daría el 2 que yo quería 00:45:18
pues lo que hago primero es 00:45:19
A todos aquellos números que no tengan denominador les pongo un 1 debajo y vuelvo a hacer el mismo proceso de antes, pasar a fracciones que tengan denominador común haciendo el mínimo común múltiplo de los denominadores, en este caso el mínimo común múltiplo de 3, de 1 y de 15 es el 15 y luego corregir sus numeradores haciendo la cuenta que decíamos antes. 00:45:20
denominador nuevo 15 entre el antiguo 3 00:45:45
me da 5, pues ese 5 se le tengo que multiplicar al numerador de arriba 00:45:50
denominador nuevo 15 00:45:54
entre el antiguo que era un 1, 15, por el numerador de arriba 00:45:57
es un 2, 30, denominador nuevo 15 00:46:01
entre el antiguo que también era un 15, 1, multiplicado por el numerador 00:46:05
de arriba, pues 7, una vez que ya tengo 00:46:10
esos denominadores iguales y corregidos los numeradores 00:46:14
pues lo que hago es sumar y restar esos numeradores 00:46:17
y dejar el denominador como estaba, pues el denominador 15 00:46:21
y en el numerador 5 menos 30 más 7 00:46:25
pues me queda menos 18 quinceavos 00:46:29
y digo, ¿este 18 y este 15 tienen algún número que sea 00:46:32
divisor común de los dos? Pues sí, en este caso 00:46:37
tendrían al 3 00:46:41
pues si yo divido entre 3 arriba y abajo 00:46:45
18 entre 3 me da 6, 18 entre 3 me da 5 00:46:50
la fracción irreducible, resultado de toda esta operación 00:46:54
es menos 6 quintos 00:46:58
luego ya habríamos terminado nuestra operación y este es nuestro resultado 00:47:01
bueno, lo dejamos aquí, hoy ha sido un poco 00:47:06
intensa la cosa, entonces si tenéis dudas 00:47:10
por favor escribidme para que el próximo día 00:47:14
lo repase, quería hacer este tema un poquito 00:47:17
más deprisa para luego poder si es posible tener una 00:47:22
última clase antes del examen para poder dar un 00:47:26
repasito a todas vuestras dudas o a esto que es un poco más difícil 00:47:30
pues hacer ejercicios que se puedan quedar grabados 00:47:33
nos queda multiplicación y división de fracciones 00:47:37
que son más fáciles que la suma y la resta 00:47:41
potencias 00:47:43
y raíces que también son más fáciles 00:47:44
y por último, ver cómo se 00:47:46
aplica eso a problemas, eso lo 00:47:48
veremos el próximo día, ¿vale? 00:47:50
en el siguiente 00:47:53
haremos ese repaso general 00:47:54
y al siguiente me parece que ya tenéis el examen 00:47:56
o sea que 00:47:58
irse echando un ojo para si tenéis dudas 00:47:59
me preguntéis antes de que llegue 00:48:02
esa fecha, bueno pues lo dejamos 00:48:05
aquí por hoy, el martes que viene más. 00:48:07
Materias:
Matemáticas
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    • Enseñanza oficial de idiomas (That's English)
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      • Módulo 4
      • Módulo 5
      • Módulo 6
      • Módulo 7
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    • Ciclo formativo grado medio a distancia
      • Primer Curso
      • Segundo Curso
    • Ciclo formativo grado superior a distancia
      • Primer Curso
      • Segundo Curso
    • Aulas Mentor
    • Ciclo formativo de grado básico
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
    • Niveles para la obtención del título de E.S.O.
      • Nivel I
      • Nivel II
Autor/es:
Angel Luis Sanchez Sanchez
Subido por:
Angel Luis S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
19 de noviembre de 2025 - 8:20
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
48′ 11″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
1018.51 MBytes

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