Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Trigonometría: 36.Reducción 2 - Contenido educativo

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 7 de noviembre de 2007 por EducaMadrid

811 visualizaciones

- Fórmulas de reducción al primer cuadrante. Ángulos del III cuadrante.

Se recomienda visualización a pantalla completa.

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Continuamos con la reducción de ángulos al primer cuadrante. 00:00:00

En este caso partimos de un ángulo que esté en el tercer cuadrante. 00:00:05

Dibujamos nuestra circunferencia goniométrica de radio 1, ponemos los ángulos en su sitio 00:00:11

y vamos a dibujar un ángulo que esté en el tercer cuadrante. 00:00:17

Este sería el ángulo beta que está en el tercer cuadrante. 00:00:22

Al igual que ocurría con el segundo cuadrante, si nos fijamos bien en este ángulo vamos a ponerlo de una manera especial. 00:00:26

Cualquier ángulo que esté en el tercer cuadrante va a poder ponerse siempre como 00:00:33

aquel ángulo que sobrepasa al ángulo llano en una determinada cantidad. 00:00:39

Según eso entonces tendríamos que este ángulo beta podría ponerse como 00:00:45

180 grados más alfa, donde alfa es esa cantidad en la que sobrepasa el ángulo beta al ángulo llano. 00:00:50

Esto es cuando se trabaja en grados exagesimales y si trabajamos en radianes pues sería pi más alfa. 00:00:57

Ese sería entonces el ángulo alfa que sobrepasa al ángulo llano en el cual beta sobrepasa al ángulo llano. 00:01:05

Y lo llamamos alfa. 00:01:13

Los ángulos que son de este tipo se llaman ángulos que se diferencian en 180 grados o pi radianes. 00:01:16

Vamos a poner un par de ejemplos para entenderlo mejor. 00:01:22

Por ejemplo, si el ángulo beta fuera el ángulo de 210 grados, que sería un ángulo del tercer cuadrante, 00:01:25

¿en cuánto sobrepasaría este ángulo beta al ángulo llano? 00:01:31

Pues tendríamos que hacer simplemente la resta 210 menos 180 y nos daría 30 grados. 00:01:36

Vemos entonces que tendríamos que 210 y 30 grados son dos ángulos de este tipo, 00:01:44

que se diferencian en 180 grados o pi radianes. 00:01:50

Otro ejemplo, por ejemplo, si beta es 240 grados, entonces alfa sería, vamos a pensar un poquito, 00:01:54

pues 240 en cuanto sobrepasa 180 hacemos la resta y nos daría 60 grados como valor de alfa en este caso. 00:02:00

Podemos entonces escribir que el ángulo beta va a ser siempre 180 grados más alfa, 00:02:11

es decir, cualquier ángulo del tercer cuadrante puede ponerse como 180 grados más una determinada cantidad. 00:02:17

A partir de aquí podríamos trazar prolongando la línea correspondiente, 00:02:26

podríamos trazar esa línea que cortaría la circunferencia en ese punto 00:02:31

y tendríamos entonces el ángulo alfa también en el primer cuadrante. 00:02:35

Quedarían entonces dos triángulos, el primero con las razones trigonométricas de beta, 00:02:39

ahí estaría seno de beta y aquí estaría coseno de beta 00:02:45

y por otro lado tendríamos ahí seno de alfa y coseno de alfa 00:02:49

para el ángulo con el que vamos a relacionar el ángulo beta del tercer cuadrante, 00:02:54

vamos a relacionarlo con este ángulo alfa que hemos visto como se halla. 00:02:59

Una vez que tenemos esos dos triángulos nos planteamos que la igualdad de esos dos triángulos, 00:03:05

es decir, esos dos triángulos son iguales porque tienen dos ángulos iguales y un lado igual, 00:03:10

el radio es el mismo y hay dos ángulos iguales que serían 90 grados y alfa, 00:03:15

son por tanto los dos triángulos iguales, es decir, este triángulo y este otro son iguales. 00:03:20

Al ser iguales lo único que tenemos que fijarnos es que están en posiciones distintas 00:03:31

pero los lados van a tener la misma longitud, los triángulos miden lo mismo, 00:03:35

cada lado mide igual que el correspondiente del otro triángulo. 00:03:41

A partir de aquí tendríamos entonces que el seno de beta, 00:03:46

que podremos escribir como seno de 180 grados más alfa, 00:03:49

ya que hemos visto que beta y 180 grados más alfa pueden ser expresiones equivalentes, 00:03:53

el seno de ese ángulo, que sería este segmento que tiene esa longitud, 00:03:58

va a ser igual que este de aquí, que es el seno de alfa, 00:04:05

es decir, las longitudes van a ser iguales, 00:04:11

claro, aunque midan lo mismo pero no están en la misma situación, 00:04:14

puesto que el seno de beta está en la parte negativa del eje y es un valor negativo, 00:04:19

recordemos que estamos trabajando con un ángulo del tercer cuadrante, 00:04:24

los ángulos del tercer cuadrante tienen el seno y el coseno negativos, 00:04:27

de manera que aunque en valor absoluto miden igual, 00:04:31

o sea, las longitudes son las mismas, 00:04:34

pero para poder establecer una igualdad yo tengo que cambiar el signo 00:04:36

del seno de alfa para que sea igual que el seno de beta, 00:04:41

de manera que miden lo mismo pero el seno de beta sería el seno de alfa cambiado de signo. 00:04:44

Un razonamiento parecido nos llevaría a que el coseno de beta sería igual a este segmento, 00:04:51

lo que mide este segmento es lo que mide el coseno de beta, 00:04:57

y por otro lado este segmento mide lo mismo, 00:05:00

pero al igual que ocurre con el seno, 00:05:03

el coseno de beta es negativo, puesto que está en la parte negativa del eje de las X, 00:05:05

entonces para poder establecer la igualdad tenemos que cambiar el signo del coseno de alfa, 00:05:12

que de por sí es positivo, para que sea igual que el coseno de beta. 00:05:17

Con respecto a la tangente, vamos a trazar la tangente, 00:05:21

y nos damos cuenta que por la forma en que hemos explicado que se traza la línea trigonométrica tangente, 00:05:29

coincidiría esa línea para los dos ángulos, 00:05:36

tanto para beta como para alfa, 00:05:40

puesto que se trazarían de la misma manera, exactamente de la misma manera, 00:05:42

coinciden por tanto las tangentes, 00:05:46

también podríamos haber razonado eso simplemente teniendo en cuenta 00:05:48

que la tangente es el cociente del seno entre el coseno, 00:05:53

y por tanto la tangente de beta sería dividir menos seno de alfa entre menos coseno de alfa, 00:05:56

y por lo tanto menos entre menos nos daría más, 00:06:03

por lo tanto coincidirían, 00:06:05

de todas maneras hemos visto el dibujo y a partir de ahí podemos darnos cuenta de que coinciden. 00:06:07

Vamos ahora por la secante, 00:06:13

la secante de beta al ser la inversa del coseno, 00:06:15

pues, ¿qué es lo que va a ocurrir? 00:06:19

Que nos va a dar que va a ser menos la secante de alfa, 00:06:22

es decir, puesto que los cosenos son iguales pero cambiando el signo, 00:06:27

pues la secante va a pasarle lo mismo, 00:06:30

a las cosecantes también va a ocurrirles igual, 00:06:32

serán iguales pero hay que cambiar el signo para que coincidan, 00:06:35

por la misma definición de cosecante, 00:06:38

y la cotangente pues va también a coincidir, 00:06:42

puesto que como las tangentes coinciden, 00:06:46

la cotangente que es la inversa de la tangente también va a coincidir, ¿de acuerdo? 00:06:48

Bueno, pues estas serían las fórmulas que nos ayudan a reducir un ángulo del tercer cuadrante, 00:06:52

nos ayudan a reducirlo por comparación con este ángulo alfa 00:06:59

que hemos escogido de la manera que hemos explicado del primer cuadrante. 00:07:03

Valoración:

Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.

Idioma/s:

Materias:

Matemáticas

Niveles educativos:

▼ Mostrar / ocultar niveles

- - - - Primer Curso

Autor/es:

José Antonio Ortega

Subido por:

EducaMadrid

Licencia:

Reconocimiento - No comercial - Compartir igual

Visualizaciones:

811

Fecha:

7 de noviembre de 2007 - 13:14

Visibilidad:

Público

Enlace Relacionado:

José Antonio Ortega

Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.

Duración:

07′ 11″

Relación de aspecto:

4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.

Resolución: