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Problemas de probabilidad - Probabilidad total y Bayes 1
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Problema de la serie dedicada al Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes
Bueno, pues vamos con este primer problema de la hoja de problemas de probabilidad total y teorema de Bayes.
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En realidad, en la anterior habíamos visto ya uno que se podía utilizar la probabilidad total y teorema de Bayes
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y lo hicimos sin tener en cuenta estos resultados.
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Tenéis ahí el enunciado.
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Bueno, tenemos una urna con una serie de bolas.
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Tenemos la siguiente disposición.
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Bueno, y ahí con esa distribución de bolas vamos a extraer dos sin reemplazamiento,
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es decir, vamos a hacer dos extracciones, una primera y una segunda,
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y vamos a ver qué ocurre, qué opciones hay.
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Bueno, entonces ahora lo que vamos a hacer es definir los sucesos.
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Como vamos a tener dos extracciones, pues vamos a llamar primera n al suceso,
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pues que la primera bola extraída sea negra y así con todos.
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Bien.
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y entonces tenemos aquí estos cuatro sucesos
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los dos para la roja y los dos para la negra
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entonces, ¿qué puede ocurrir?
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pues vamos a hacer el típico diagrama de árbol
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es muy importante, es muy habitual estos diagramas
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sobre todo cuando hay un experimento
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que es una composición sucesiva de varios
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es decir, que primero hacemos uno, luego hacemos otro
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luego hacemos otro, en ese tipo de situaciones
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conviene ir cada paso que damos
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en un nivel de nuestro diagrama del árbol
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Entonces, en el primer nivel, pues tendríamos la primera extracción, que puede ser o bien roja o bien negra, y para cada uno de esos dos resultados posibles, pues la segunda, que o bien es roja o bien es negra. Fácil.
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bien, y una vez que tenemos esto, ahora lo que tenemos que hacer es
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mirar exactamente qué es lo que nos piden y contar las bolas para ver
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las probabilidades de cada una de estas ramas, decía en el vídeo anterior y ahora lo repito también
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cuidado con estos árboles, o sea, con estas ramas del árbol
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que estas ramas no representan, por ejemplo, esta de aquí no representa
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el suceso primera bola negra y segunda bola negra
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es decir, la intersección sería
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el suceso, o sea, sería primera bola negra
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cuidado con estas ramas de aquí que no representan la intersección
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la intersección es la composición de las dos ramas, sino que cada una de esas ramas
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son sucesos condicionados, en este caso por ejemplo eso sería
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que la segunda bola sea negra sabiendo que estamos aquí
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es decir, en esta situación que la primera fue negra, o sea que estas ramas son condicionadas
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y la composición de las dos ramas es la intersección de los dos sucesos, primera negra
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y segunda negra. Bueno, entonces eso conviene tenerlo en cuenta a la hora de calcular
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probabilidades. Y ahora nada más vamos a ver qué es lo que nos piden. Y en primer lugar
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¿qué nos piden? Que saquemos una bola negra en la segunda extracción si la primera también lo fue.
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¿Qué suceso es este? Pues este es el suceso en el
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primer apartado. Nos piden que la primera bola fue negra.
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¿Qué probabilidad hay de que en la segunda también lo fue?
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Bueno, pues ese suceso es justo, justo, justo este
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de aquí. Entonces lo que tenemos que ver es qué probabilidad hay aquí en esta
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rama. Para ello, pues vamos a ver qué probabilidad hay de que en las primeras
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bolas traigamos una bola negra. Pues hay 6 de 10 por esto, es por la plaza.
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Hay en total 10 bolas y 6 de ellas
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son negras por la regla de la plaza. Todas las bolas se supone que son iguales e igualmente
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probables. Bien, y ahora en la segunda abstracción, como ya solo
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nos quedan 5 bolas negras y solo hay en total 9, pues esto sería
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5 partido por 9 esta probabilidad, que va a ser la probabilidad que nos están
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pidiendo. Ya digo, en esta situación ya hemos gastado una de las bolas
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negras, ya no está. Luego tenemos 9, de las cuales 5 son
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negras, 5 de 9. Ese sería el apartado A. En el apartado B
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es un poquitín más complicado porque nos van a pedir otra cosita, que es
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que la primera bola fuese negra sabiendo que la segunda también la fue.
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¿Qué probabilidad sería esa? Nos están pidiendo que la condicionada
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justo al revés. Nos están preguntando por
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lo que pasó antes de un hecho que ya conocemos
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final. Es decir, esto a veces se llama probabilidad a priori
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mientras digo a posteriori. ¿Por qué a posteriori? De que nosotros ya sabemos
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el resultado del experimento, que la segunda bola fue negra. ¿Qué probabilidad hay de que
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antes la primera de las bolas fuese también negra?
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Esto, por contrario, se llama probabilidad a priori
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porque a priori no sabemos qué va a ocurrir y nos están, o sea, a priori sabemos qué es lo que ha ocurrido,
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que la primera bola fue negra y nos están preguntando la probabilidad después de que la segunda también lo sea.
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Bien, pues entonces, en este caso lo que nos piden es, pues la siguiente probabilidad es una condicionada,
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así que no nos queda otra que utilizar la fórmula de la probabilidad condicionada,
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que va a ser la siguiente, la probabilidad de la intersección partido por la probabilidad de que la segunda bola sea negra.
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Y aquí es donde vamos a utilizar primero el teorema de la probabilidad total para el denominador y luego, en realidad, a todo ello se le llama teorema de Bayes.
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El teorema de Bayes, que es una manera de escribir esa fórmula de ahí, de la siguiente forma.
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Nosotros queremos calcular la probabilidad de llegar hasta aquí dentro de dos opciones totales que hay de que la segunda bola sea roja, que son esas dos.
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entonces lo que vamos a hacer es calcular este producto de estas dos ramas
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¿qué producto es? pues es el producto de que la primera sea negra
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multiplicado por el producto de que la segunda también lo sea
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sabiendo que la primera fue negra
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partido por los dos caminos que hay de llegar a estas dos finales rojos
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Es decir, que la primera fuese negra y que la segunda también lo fuese sabiendo que la primera fue negra, esa es una opción.
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Y la otra opción es que la primera fuese roja y que la segunda fuese negra sabiendo que la primera fue roja.
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bien, esas son las dos probabilidades
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los dos caminos totales que nos conducen a un mismo resultado final
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segunda bola roja, y ahora lo que hacemos, perdón, segunda bola negra
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y ahora lo que hacemos es sustituir, el primer camino sería 6 décimos
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por 5 novenos, y los dos
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de abajo serían, pues el primero es el mismo
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y el otro camino, ¿cuál sería?
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Primera bola roja son 4 de 10, 4 décimos, y ahora segunda bola negra son 6 de 9 de las 9 bolas, ahora son 6 las que son negras. Haciendo esta cuenta hemos acabado.
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Muy bien, pues ese sería el resultado final. Después, para concluir el ejercicio, nos piden, nos preguntan si, que comparemos qué pasaría si estas dos extracciones fuesen con reemplazamiento en lugar de sin reemplazamiento.
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Bueno, pues si las extracciones son con reemplazamiento, lo que ocurre es que las dos extracciones son independientes porque al ser independientes la probabilidad de los dos sucesos, pues uno no va a depender del otro y la probabilidad de A condicionada B va a ser igual a la probabilidad de A si estos dos sucesos son independientes.
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Y puesto que al haber reemplazamiento las condiciones iniciales del problema son exactamente las mismas, no van a ser dependientes un suceso de otro, van a ser independientes, con lo cual la probabilidad del suceso primera bola negra condicionado a segunda bola negra sería exactamente igual que el de la primera bola negra.
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Da igual lo que ocurra en la segunda bola. Y lo mismo para el otro, la probabilidad de que la segunda bola negra sea negra condicionada a que la primera también lo fue, es exactamente igual que la probabilidad de que la segunda bola fuese negra.
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Y estas dos probabilidades, como la urna no está cambiando, pues van a ser iguales porque da igual sacar una bola negra en la primera extracción que en la segunda. Da exactamente lo mismo porque la urna no va cambiando.
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es decir, y como en total pues hay 6 de 10, pues todas estas probabilidades serían 6 décimos.
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Muy bien, todas estas probabilidades, ya digo, serían 6 décimos.
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Y con esto termina el problema.
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Espero que os haya gustado, nos vemos en futuros problemas de probabilidad.
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Un saludo, hasta luego.
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- Materias:
- Matemáticas
- Autor/es:
- Manuel Domínguez Romero
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 70
- Fecha:
- 31 de marzo de 2020 - 23:23
- Visibilidad:
- URL
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Duración:
- 09′ 31″
- Relación de aspecto:
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