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Problemas geométricos con ecuaciones (3ºESO) - Contenido educativo

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Subido el 9 de julio de 2024 por Jesús Pascual M.

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Problemas geométricos con ecuaciones (3ºESO)

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En este vídeo vamos a explicar cómo se realizan algunos problemas geométricos. 00:00:00
Como en otras ocasiones, primero pondremos dos ejemplos 00:00:06
y después se propondrán unos ejercicios de la hoja para realizar que finalmente se corregirán. 00:00:10
Empecemos con el primer ejemplo. 00:00:20
Un campo de tenis rectangular de 330 metros cuadrados de superficie 00:00:23
Está rodeado por un muro cuya longitud es de 74 metros 00:00:28
Calcula sus dimensiones 00:00:33
Lo primero es interpretar bien el enunciado 00:00:35
Tenemos un campo que es rectangular 00:00:40
Y nos dicen que su superficie es de 330 metros cuadrados 00:00:43
Nos dicen además que está rodeado por un muro de 74 metros 00:00:53
Ese muro lógicamente sería el perímetro 00:00:59
Nos piden sus dimensiones, que son sus lados 00:01:02
De modo que podríamos, por ejemplo, decir que sus lados son 00:01:09
X, Y, X e Y 00:01:14
Y el perímetro que sería X más Y más X más Y 00:01:17
Serían 74 metros 00:01:23
Es decir, 2X más 2Y es 74 00:01:25
Si dividimos todo entre 2 para simplificar 00:01:30
Tendríamos que X más Y es igual a 37 00:01:33
Por lo tanto, Y es igual a 37 menos X 00:01:37
Bueno, pues ya está 00:01:45
Ahora ya podemos sustituir 00:01:50
Y en el área tenemos 00:01:52
Bueno, tenemos que esto es 37 menos X 00:01:53
El segundo dato que tenemos 00:01:58
Porque lo del vermitro ya lo hemos usado para despejar la Y 00:02:00
Son los 330 metros de superficie 00:02:03
¿Y cuál es el área de un rectángulo? 00:02:06
Pues el área es X por Y 00:02:08
Entonces el área que es igual a x por y o lo que es lo mismo es igual a x por 37 menos x y eso son 330 metros. 00:02:10
Bueno, pues ahora es cuestión de resolver esta ecuación. 00:02:25
Tendríamos 37x menos x al cuadrado es igual a 330. 00:02:33
Podemos pasar todo al otro lado. 00:02:41
Y 330, 0 sería igual a 330 menos 37x más x al cuadrado. 00:02:44
Es decir, x al cuadrado menos 37x más 330 igual a 0. 00:02:50
Y ya tenemos una ecuación de segundo grado. 00:02:56
De modo que x será igual a 37 más menos raíz cuadrada de 37 al cuadrado menos 4 por 330, todo ello entre 2. 00:02:59
Esto sería 37 más o menos la raíz cuadrada de 1369 menos 1320 dividido entre 2. 00:03:15
Esto es igual a 37 más o menos la raíz cuadrada de 49 entre 2. 00:03:29
Esto es 37 más o menos 7 entre 2. 00:03:35
Y esto es treinta y siete más siete entre dos, es decir, cuarenta y cuatro entre dos, que es veintidós. 00:03:38
Y también treinta y siete menos siete entre dos, que es treinta entre dos, que es quince. 00:03:47
De modo que hay dos soluciones para la X. 00:03:54
Vamos a ver las dimensiones. 00:03:57
A ver, si x es igual a 22, entonces tenemos que x sería 22 e y sería 37 menos x, que es 37 menos 22, que es 15. 00:03:58
Y si x es igual a 15, entonces tenemos que x es 15 e y es igual a 37 menos x, que es 37 menos 15, que es 22. 00:04:13
En ambos casos las soluciones son 22 y 15, 15 y 22. 00:04:31
La razón es que al especificar la X y la Y, pues no se pueden intercambiar la una con la otra. 00:04:36
Porque el perímetro de la suma de las dos es simétrico, y aquí también, es simétrico igual a X por Y que Y por X. 00:04:41
Entonces, había dos soluciones. 00:04:48
¿Cómo nos piden las dimensiones? 00:04:49
¿Qué es un lado y el otro? 00:04:51
Pues la solución sería que las dimensiones son 15 metros y 22 metros. 00:04:52
las dimensiones 00:05:07
y ya habíamos terminado 00:05:08
o si queréis también se puede poner 00:05:14
pues que 00:05:16
el campo 00:05:17
es de 00:05:20
15 metros por 00:05:22
22 metros, es otra forma de decirlo 00:05:24
ejemplo 2 00:05:27
una sala rectangular 00:05:31
tiene una superficie 00:05:34
de 147 metros cuadrados 00:05:35
calcula sus dimensiones 00:05:38
si sabemos 00:05:40
que el largo es tres veces el ancho bien igual que antes empezamos pues entendiendo bien el 00:05:41
enunciado podemos dibujar el campo nos ha dicho que el largo es tres veces el ancho lo podemos 00:05:53
dibujar así y nos dicen pues que es de 147 metros cuadrados es el primer dato el segundo dato es que 00:05:59
el largo es 3 veces el ancho. De modo, por ejemplo, que si el ancho 00:06:12
vamos a llamarle x, el largo sería 3x. 00:06:16
Y con esto ya tendríamos todo. 00:06:21
Porque, ¿qué es lo que nos queda por utilizar? 00:06:24
La superficie. ¿Y cuál es la superficie? Base por altura. 00:06:27
Es decir, esto por esto. Y la ecuación sería 00:06:32
que x por 3x es igual a 00:06:36
147. Bien, pues ya está. Entonces tenemos que 3x cuadrado es igual a 147, de modo que x cuadrado es 147 partido por 3, que es 49, y x sería, bueno, si resolvimos la ecuación, más menos raíz cuadrada de 49, que sería más menos 7, habría dos soluciones, 7 y menos 7. 00:06:40
Bien, 7 es solución. Ahora bien, menos 7 no puede ser solución porque x es una distancia y la distancia no es negativa. 00:07:06
Lo ponemos, una distancia no puede ser negativa. 00:07:30
De hecho, lo normal habría sido que cuando resolviésemos la ecuación solo tomásemos la raíz cuadrada positiva y nos quedáramos desde el principio con 7. 00:07:36
Sabiendo que X es una distancia 00:07:47
Pero bueno, hemos hecho este parón para explicarlo bien 00:07:50
De modo que la solución sería 00:07:54
X igual a 7 00:07:56
Entonces tendríamos que el ancho, que es X, sería 7 00:07:59
Y el largo, que es 3X 00:08:04
3X es igual a 3 por 7, que es 21 00:08:08
Sería 21 metros y metros 00:08:11
Y esta sería la solución. Bien, ahora os propongo realizar los ejercicios 5, 6 y 7 de la hoja 18 e intentar el 8. El 8 es de ampliación. De modo que, pues, realizar estos tres y como ampliación, este. Resolverlos con lo que hemos hecho, parar la grabación y después vamos corrigiendo uno por uno. 00:08:15
Empecemos corrigiendo el ejercicio número 5 00:08:57
Una finca rectangular está rodeada por una valla de 70 metros y su área son 300 metros cuadrados 00:09:02
¿Cuánto miden el largo y el ancho de dicha finca? 00:09:10
Podemos comenzar dibujando la finca, que es un rectángulo, y poniendo los datos 00:09:16
Por ejemplo, los lados, que es lo que nos piden, el largo y el ancho 00:09:24
pues serían X, Y, X e Y 00:09:29
nos dicen que el área son 300 metros cuadrados 00:09:33
y el perímetro son 70 metros 00:09:41
y de modo que tendríamos que 00:09:45
el perímetro que es X más Y más X más Y son 70 00:09:48
luego 2X más 2Y son 70 00:09:54
dividiendo entre 2 00:09:59
x más y son 35 00:10:01
de modo que y es igual a 35 menos x 00:10:04
muy bien, lo ponemos 00:10:08
pues esto es igual a 00:10:12
35 menos x 00:10:15
y el segundo dato es que el área 00:10:18
el área que sabemos que es x por y 00:10:26
sería 00:10:29
x por 35 menos x 00:10:30
el largo por el ancho 00:10:34
y eso nos dicen que son 300 00:10:38
pues nada, ya a resolver 00:10:41
seguimos con la ecuación 00:10:43
35x menos x al cuadrado es igual a 300 00:10:45
podemos pasar todo a la derecha 00:10:49
0 es igual a 300 00:10:50
más x al cuadrado menos 35x 00:10:54
reordenamos 00:10:58
x al cuadrado menos 35x más 300 00:10:59
es igual a 0. Y resolvemos. x sería menos b, 35, más menos raíz cuadrada de b cuadrado, 00:11:03
35 al cuadrado, que es 1225, menos 4 por 300, que es 1200, todo ello entre 2. Sería 35 00:11:14
más menos la raíz cuadrada de 25 entre 2, esto es 35 más menos 5 entre 2, y esto es 00:11:25
igual a 35 más 5 entre 2, 40 entre 2, que es 20. 35 menos 5 entre 2, que serían 30 00:11:36
entre 2, que serían 15. Entonces tendríamos dos soluciones para la x, el 20 y el 15. Para x igual a 20, pues tendríamos que x es 20, lo hemos dicho, 00:11:48
y que es 35 menos 20 sería 15 para x igual a 15 tendríamos que x es 15 y que es 35 menos x 00:12:09
aquí en el opuesto pero bueno sería 35 menos x esto es 35 menos 15 que es 20 y tenemos las 00:12:28
soluciones? Bueno, pues el largo lógicamente sería el más largo de los dos, que es 20, 00:12:40
porque ambas son soluciones, no especificamos si X es el largo o el ancho. Entonces tenemos 00:12:44
la solución, pues el largo serían 20 metros y el ancho serían 15 metros. Y ya hemos terminado. 00:12:49
Corrijamos ahora el problema 6. En una habitación el largo mide 5 metros más que el ancho. 00:13:08
Hemos necesitado 84 metros cuadrados de baldosas para cubrir el suelo 00:13:13
¿Cuánto miden el largo y el ancho de la habitación? 00:13:19
Bueno, ahora hay que interpretar 00:13:25
Tenemos una habitación, rectangular 00:13:27
Podemos decir que el largo, ahora si vamos a poner 00:13:32
Si el largo es 5 metros más que el ancho 00:13:36
Podemos poner directamente que el ancho es X 00:13:39
Y que el largo es X más 5 00:13:42
Ya sale automáticamente 00:13:44
Y lo de las baldosas, pues únicamente nos dice la superficie de la habitación, porque si hemos utilizado 84 metros cuadrados de baldosas, es que las superficies son 84 metros cuadrados. 00:13:47
Entonces, estos serían 84 metros cuadrados. 00:13:59
¿Y cuál sería la locación? Pues hombre, si uno lado es X, el otro es X más 5, y su producto, que es la superficie, es 84, pues está claro. 00:14:04
La cual sería que el área o la superficie que es x por x más 5, esto es igual a 84. 00:14:14
Por lo tanto, x cuadrado más 5x es 84 y x cuadrado más 5x menos 84 es igual a 0. 00:14:25
Y ahora es cuestión de resolverlo. x sería menos 5 más menos raíz cuadrada de b cuadrado, que es 25, menos 4c, menos por menos más, 336 entre 2. 00:14:34
Bien, eso sería menos 5 más menos la raíz cuadrada de 361 entre 2 00:14:55
Y esto es menos 5 más menos esta raíz cuadrada 00:15:03
En la calculadora daría 19 entre 2 00:15:07
De modo que había dos soluciones 00:15:11
Menos 5 más 19 entre 2 00:15:12
Que sería 14 entre 2, que es 7 00:15:17
Y menos 5 menos 19 entre 2 00:15:23
que sería menos 24 entre 2 00:15:26
que es menos 12 00:15:29
el problema es 00:15:31
¿y cómo es posible que salga un resultado negativo? 00:15:32
cuando las distancias son positivas 00:15:37
bueno, pues porque 00:15:39
esta ecuación no es un problema de distancias 00:15:40
es todos los números que cumplan esto 00:15:45
positivos o negativos 00:15:47
pero nosotros solo estamos 00:15:49
considerando los positivos porque hablamos de distancias 00:15:52
De modo que esta solución no se considera 00:15:54
Nos quedamos con esta 00:15:58
No porque las distancias 00:15:59
Esto no se puede escribir en el examen 00:16:01
Se sobreentiende, lo escribimos aquí 00:16:03
Las distancias son positivas 00:16:05
Las distancias 00:16:08
No pueden 00:16:09
Ser negativas 00:16:13
Bueno, por lo tanto 00:16:17
Pues si x es igual a 7 00:16:23
Pues x más 5 00:16:28
Sería 7 más 5 que es 12 00:16:29
De modo pues que el ancho sería 7 y el largo sería 12 00:16:32
Metimos la solución y con esto ya habríamos terminado 00:16:39
Corrijamos ahora el problema número 7 00:16:45
El perímetro de un campo de fútbol son 100 metros y su área son 600 metros cuadrados 00:16:49
¿Cuánto miden el largo y el ancho del campo de fútbol? 00:16:57
Bueno, este es igual que los anteriores 00:17:02
Tenemos un campo de fútbol, son 600 metros de superficie, podemos poner igual que antes x, x, este y, x, y, y tendríamos que x más y más x más y que es el perímetro son 100, 2x más 2y son 100, luego x más y es igual a 50, dividiendo entre 2, de modo que y es igual a 50 menos x. 00:17:05
Así pues tendríamos igual a 50 menos X 00:17:34
Y así tendríamos todos los datos puestos ya en el problema 00:17:40
Ya hemos utilizado que el perímetro del campo son 100 metros 00:17:44
Nos falta utilizar que su área son 600 metros cuadrados 00:17:50
¿Cuál es la área de rectángulo? Base por altura 00:17:54
Sería el área que es X por Y que es X por 50 menos X 00:17:57
Estos son 600 00:18:06
Y esto es lo que hay que calcular 00:18:08
Bueno, esa es la ecuación que hay que resolver 00:18:11
La resolvemos 00:18:14
Tendríamos que 50x menos x al cuadrado son 600 00:18:16
Pasamos todo por ejemplo a la derecha 00:18:22
0 es 600 menos 50x más x al cuadrado 00:18:24
Reordenamos 00:18:31
x cuadrado menos 50x más 600 es 0 00:18:32
luego x es igual a 00:18:36
menos b que es 50 más menos raíz cuadrada de b cuadrado 00:18:38
2500 00:18:42
podemos escribir todo aquí 00:18:43
menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado 00:18:46
menos 4c entre 2a 00:18:49
2500 menos 4 por 600 00:18:51
que son 2400 00:18:56
entre 2 00:18:57
50 más menos la raíz cuadrada de 100 entre 2 00:18:59
50 más menos 10 entre 2 00:19:04
Y hay dos soluciones 00:19:07
50 más 10 entre 2 00:19:09
Que es 60 entre 2, que es 30 00:19:12
50 menos 10 entre 2 00:19:14
Que es 40 entre 2, que es 20 00:19:17
Y estas serían las dos soluciones de la ecuación 00:19:20
Bueno, pues igual que antes 00:19:25
Entonces, para x igual a 30, tendríamos que x es 30, e y que es 50 menos x es 50 menos 30, es 20. 00:19:28
Para x igual a 20, pues x sería 20, e y que es 50 menos x sería 50 menos 20, sería 30. 00:19:43
Y ya tendríamos las dos soluciones, bueno, que son simétricas, 30, 20 o 20, 30. 00:19:55
La razón nuevamente es que en las ecuaciones que hemos puesto, la X y la Y se hubieran podido intercambiar y tendríamos lo mismo. 00:20:03
Entonces las soluciones son, pues que el largo, el más largo de los dos es 30, y el ancho, que es el menos largo de los dos, es 20. 00:20:10
Y ya está. 00:20:24
Resolvamos por último el problema que hemos dicho era de ampliación 00:20:24
Si eso ha salido bien, y si no ha salido, pues no os preocupéis 00:20:31
Calcular la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide un metro 00:20:35
Para ello nos recuerdan el teorema de Pitágoras 00:20:40
Empezamos dibujando un triángulo equilátero 00:20:44
Con todos los lados iguales 00:20:48
Y nos piden calcular la altura 00:20:52
La altura, por simetría, divide a la base en dos partes iguales. De modo que si esto mide 1 y esto mide 1, bueno, esto de aquí obviamente mide 1, esto de aquí mide 1 medio. 00:20:57
La altura que es lo que nos piden sería x y el teorema de Pitágoras nos dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 00:21:16
Es decir que 1 al cuadrado sería x al cuadrado más 1 medio al cuadrado. 00:21:29
Es decir que 1 es igual a x al cuadrado más 1 medio al cuadrado. 00:21:42
Ya sabéis que es 1 al cuadrado entre 2 al cuadrado y esto es 1 cuarto. 00:21:47
Podemos, 1 es igual a x al cuadrado más 1 cuarto 00:21:52
Por lo tanto, puedo pasar todo aquí 00:21:57
x al cuadrado es 1 menos 1 cuarto 00:22:03
O si queréis, x al cuadrado es 1 menos 1 cuarto 00:22:06
Que son 4 cuartos menos 1 cuarto 00:22:10
Es decir, 3 cuartos 00:22:13
Así pues, x sería la raíz cuadrada de 3 cuartos 00:22:15
Raíz cuadrada de 3 entre raíz cuadrada de 4 00:22:20
es la raíz cuadrada de 3 partido por 2 00:22:23
y eso sería pues la solución exacta 00:22:26
si lo calculáramos en la calculadora 00:22:30
tendríamos 1,73 00:22:32
partido por 2 00:22:37
que es 0,866 00:22:39
bueno pues la altura 00:22:42
la solución sería 00:22:45
la altura 00:22:46
es raíz de 3 partido por 2 00:22:49
que sería también 00:22:52
0,866 00:22:57
aproximadamente. Vamos a poner el símbolo de aproximado y ese es el resultado. De hecho, 00:22:58
este triángulo, a ver, la suma de los ángulos de cualquier triángulo siempre suman 180 grados. 00:23:09
De modo que si los tres ángulos son iguales, como es el caso del triángulo equilátero, cada uno de 00:23:19
ellos mide la tercera parte de 180, que es 180 partido por 3, que es 60. De modo que este ángulo 00:23:25
es 60, este ángulo es 60, y el de arriba es 60. Lo que pasa es que el de arriba serían 00:23:35
30 y 30. De modo que, pues lo que tenemos es un ángulo de 90 grados aquí, si cogemos 00:23:44
el triángulo en rojo, otro de 60 aquí y otro de 30 aquí. La altura mide raíz de 3 00:23:58
partido por 2, la base 1 medio y esto mide 1. Bueno, pues esta estructura aparece en 00:24:05
geometría porque nos indica las relaciones que tienen los lados de este 00:24:12
triángulo que es importante 00:24:17
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
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2
Fecha:
9 de julio de 2024 - 17:55
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Duración:
24′ 25″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
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