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Estudio del rango de una matriz en función de un parámetro - Contenido educativo

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Subido el 13 de octubre de 2025 por Roberto A.

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Bueno, tras haber detectado errores en este ejercicio, voy a hacer un vídeo explicando qué es lo que hay que hacer para poder estudiar según los valores de M el rango de la matriz. 00:00:01
Esta matriz, lo primero que tenemos que fijar en su dimensión, una matriz 3x4, por lo tanto tiene 3 filas, 4 columnas, y eso implica que el rango máximo va a ser 3. 00:00:13
Os recuerdo que en una matriz rectangular el rango máximo va a estar definido por el número menor entre las filas y las columnas. 00:00:23
En este caso, como tenemos tres filas y cuatro columnas, pues el rango máximo va a ser 3. 00:00:32
Vamos a estudiar ahora si el rango, por lo tanto, puede ser 0, 1 o 2. 00:00:37
Vemos que no es una matriz nula, por lo tanto, no va a ser rango 0. 00:00:42
Y para ello, ¿cómo se demuestra? Pues nosotros cogemos cualquier elemento que no sea 0. Por ejemplo, yo me he ido al elemento a 1, 1, pero nos podríamos haber ido al elemento 3, 1 o al elemento 3, 3, donde vemos que si yo cojo el elemento a 1, 1, que es el 1, yo hago su determinante, me da también 1 y es distinto de 0. 00:00:49
Yo ya puedo decir que no es la matriz nula, por lo tanto, el rango mínimo es 1, es decir, hasta aquí, yo lo único que puedo decir de la matriz A, que su rango puede ser 1, 2 o 3 y descartado el 0, recordemos que la única matriz que tiene rango 0 es aquella que es la matriz nula. 00:01:10
Si ahora nos vamos a cualquier menor de orden 2, yo he cogido la primera columna y la tercera columna y muy importante aquí, es decir, si yo cojo de la primera columna la primera fila y la segunda fila, de esa tercera columna también tengo que coger esa primera fila y esa segunda fila. 00:01:28
Por lo tanto, mi menor es el 1, 2, 1, 3. 00:01:50
Si yo hago el determinante y yo tengo, como es en este caso, que es distinto de 0, vale 1, 00:01:54
yo ya puedo decir que el mínimo rango de mi matriz es 2. 00:02:00
¿Por qué? Porque tengo un menor de orden 2 dentro de la matriz, cuyo determinante es 0. 00:02:03
Y eso implica que el rango ya no es ni 0, como ya sabíamos por no ser la matriz nula, 00:02:09
ni uno, puesto que hay un menor de orden 2 cuyo determinante es distinto de 0. 00:02:15
La única posibilidad del rango es que sea o 2 o 3. 00:02:22
Entonces, aquí lo que tenemos que ver son todas las posibilidades 00:02:27
de cuántos menores de orden 3 podemos formar con una matriz 3x4. 00:02:31
Fijaros que como yo quiero coger menores de orden 3x3, 00:02:38
tengo que coger las tres filas, sí o sí, sin embargo, de las cuatro columnas yo tengo que coger tres. 00:02:43
No sé si recordáis esto, pero esto es combinatoria, es decir, el típico problema que nos dicen 00:02:48
si tenemos cuatro alumnos, ¿cuántos grupos de tres personas podemos hacer? 00:02:54
Pues esto se hace con combinatoria, que es el número combinatorio 4 sobre 3 que se aplica a esta fórmula 00:02:59
y me da que hay cuatro posibilidades. 00:03:04
Esas cuatro posibilidades son formar un menor con las columnas 1, 2 y 3, con las columnas 1, 2 y 4, con las columnas 2, 3 y 4 y con las columnas 1, 3 y 4. 00:03:06
Comencemos el primer caso en el cual cogemos el menor de orden 3 formado por la primera, segunda y tercera columna que es esta matriz de aquí. 00:03:17
Si yo hallo el determinante, aquí es muy importante porque lo que voy a intentar, en vez de aplicar la regla de Sarru, voy a intentar hacer una matriz triangular. 00:03:24
al triangular esta matriz 00:03:33
voy a hacer ceros en la primera columna 00:03:37
por lo tanto como referencia a la primera fila 00:03:39
y aquí sí que es súper importante 00:03:42
como yo voy a hacer un cero aquí 00:03:44
pues puedo hacerlo de dos formas 00:03:49
restando a la fila 1 la fila 2 00:03:51
o restandole a la fila 2 la fila 1 00:03:54
como ya estamos en determinante 00:03:57
no podemos hacer que la fila 2 00:03:58
esté multiplicada por un número negativo 00:04:01
Por lo tanto, la única posibilidad es, para hacer un 0 en el elemento A21, es que restemos la segunda fila a la primera. 00:04:03
Y entonces ya obtenemos esto de aquí. 00:04:10
Igualmente pasa con el F3. 00:04:13
Para hacer un 0 en el elemento A31, nosotros tenemos dos posibilidades. 00:04:15
Dos veces F1 menos F3 o F3 menos 2F1. 00:04:19
Como estamos en determinante, no podemos multiplicar nuestras filas por un número negativo. 00:04:24
Lo suyo es hacer la fila 3 menos dos veces fila 1. 00:04:29
Recordemos que si yo multiplico por un número negativo mi fila, el determinante cambia de signo. 00:04:32
Entonces ya una vez que tengo aquí formados los ceros, puedo observar que tengo dos filas que son exactamente iguales. 00:04:38
Aquí aprovecho para recordaros que hay una propiedad de los determinantes, que cuando una matriz está formada por dos filas o dos columnas iguales, pues el determinante es cero. 00:04:45
y también la propiedad que dice que si una matriz está formada por filas o columnas 00:04:54
que son combinación lineal de otras filas o columnas, el determinante es cero. 00:05:02
Por lo tanto, si yo intento seguir triangulando al hacer cero en el elemento a3,2, 00:05:06
yo lo que tengo que hacer es la fila 3 menos la fila 2, importante. 00:05:13
Como quiero hacer un cero en la segunda columna, cojo como referencia la segunda fila. 00:05:16
puedo hacer aquí dos cosas 00:05:20
f2 menos f3 pero 00:05:23
nosotros elegimos f3 menos f2 00:05:24
porque recordemos que a nuestra 00:05:26
fila que es donde queremos hacer el cero 00:05:29
no podemos multiplicarlo por número negativo 00:05:30
por lo menos, por lo tanto la única opción 00:05:32
es fila 3 menos la fila 2, yo lo hago 00:05:35
y aquí ya se ve claramente 00:05:36
que tengo una fila 00:05:38
de ceros por lo tanto mi determinante 00:05:41
es cero, esta matriz también es 00:05:42
rectangular, perdona es triangular 00:05:44
entonces sería la multiplicación 00:05:46
de los elementos de la diagonal 00:05:49
principal, por lo tanto 00:05:51
1 por m menos 1 por 0 00:05:52
puede ser 0, por lo tanto, en este caso 00:05:54
de este menor de orden 3 formado por la 00:05:57
primera y segunda y tercera columna 00:05:58
independientemente del valor de m 00:06:00
su rango es 2 00:06:02
¿esto qué es lo que quiere decir? ¿que ya tengo que parar? 00:06:04
no, tengo que seguir 00:06:07
con los demás 00:06:08
menores de orden 3 00:06:09
porque puede ocurrir que para 00:06:12
alguno de ellos el rango sea 3 00:06:14
por lo tanto ahora nos vamos 00:06:17
a la posibilidad de coger un menor de orden 3 formado por la primera columna, segunda 00:06:18
columna, cuarta columna. Igual, exactamente igual. Hago un 0 en la primera columna, por 00:06:25
lo tanto, como referencia a la primera fila. No puedo poner en negativo la fila donde yo 00:06:32
quiero hacer el 0. Me queda esto de aquí. Y aquí, al querer hacer un 0 en este elemento 00:06:37
de aquí, como está en la segunda columna, como referencia a la segunda fila, mi tercera fila no 00:06:43
puede estar multiplicada por un número negativo, con lo cual la única posibilidad es que f3 sea 00:06:48
f3 menos f0. Y ahora aquí, si nos fijamos, tenemos una matriz triangular, es decir, una matriz 00:06:54
triangular es aquella que tiene ceros por debajo o por encima de la diagonal principal, y lo bueno 00:07:00
de tener el determinante de una matriz triangular es que el determinante es la multiplicación de 00:07:07
los elementos de la diagonal. Por lo tanto, sería 1 por m menos 1 por m, es decir, m por m menos 1. 00:07:13
Cuando yo tengo dos números multiplicando lo igual a 0, la única posibilidad es que cada uno de los 00:07:19
factores sea 0. Por lo tanto, aquí tengo m menos 1 igual a 0, por lo tanto, m es igual a 1, o m igual a 0, 00:07:25
por lo tanto, m es 0. ¿Por qué lo es igual a 0? Porque yo lo que quiero distinguir es aquellos valores 00:07:33
que me hacen 0, el determinante que son 0 o 1 y por lo tanto el rango de A124 sería 2 00:07:39
y si la M es distinta de 0 y distinta de 1, entonces el rango de esta matriz 124 sería 3. 00:07:47
Si yo terminara aquí, lo único que puedo decir, como en el primer caso independientemente del valor de M 00:07:56
el rango era 2, pues yo aquí diría que si la M es 0 o 1, el rango de A es 2, 00:08:02
pero si la M es distinto de 0 o distinto de 1, pues entonces el rango es 3. 00:08:09
Pero como me quedan todavía los casos 2, 3, 4 y 1, 3, 4, tengo que proseguir. 00:08:13
Voy ahora a la matriz formada por el menor de orden 3 compuesto por la columna 2, 3 y 4. 00:08:18
Igual procedo exactamente igual, este es un caso un poquito más complicado. 00:08:27
lo que voy a hacer es, como tengo la tercera columna, un 0 y un 1 y un m más 1, este elemento a3, 3 lo voy a hacer 0. 00:08:30
¿Para qué? Para poder desarrollar el determinante por la tercera columna. 00:08:39
Entonces, si yo hago este operativo, pues resulta que ya lo que tengo es un 0 en el 3, 3, me queda esto de aquí. 00:08:43
Y recordar, lo que hago es, multiplico por menos 1 elevado a 2 más 3, por el valor del elemento a 2, 3 y por el menor complementario que se llama. 00:08:53
El menor complementario es el determinante que me queda al eliminarme mi fila y mi columna. 00:09:06
Por lo tanto, me queda este determinante, lo opero y resulta que me sale que es m multiplicado a 3 menos 2m. 00:09:12
A mí que es lo que me interesa siempre, igualarlo a 0. Si yo esto lo igualo a 0, tengo dos posibles valores, que m sea 0 o que m sea 3 medios. Por lo tanto, si el valor de m es 0 o el valor de m es 3 medios, el rango del menor de orden 3 formado por la segunda, tercera y cuarta columna, el rango es 2, ¿vale? 00:09:20
Pero si la m es distinto de 0 y m es distinto de 3 medios, el rango es 3, ¿vale? 00:09:41
Por lo tanto, yo ya tengo otro valor que es 3 medios que me haría que el rango fuese 2, ¿vale? 00:09:48
Me voy ya al último caso, que es el 1, 3, 4, que está formado por el menor de orden 3 00:09:57
compuesto por la primera, tercera y cuarta columna. 00:10:03
Pues igualmente, como tengo aquí un 0, un 1 y aquí un m más 1, voy a intentar hacer 0 el m más 1 para poder desarrollar el determinante por la tercera columna. 00:10:06
Desarrollo exactamente igual y obtengo que al final tengo m multiplicado por menos m que es igual a m. 00:10:18
Si yo lo igualo a 0, pues estoy como en el segundo caso, de que m es igual a c, entonces el rango de esta matriz es 2, pero que si m es distinto de 0, el rango de esta matriz formada por el menor de orden 3 compuesto por las columnas 1, 3 y 4 es 3. 00:10:25
Si yo recopilo los cuatro casos, ¿qué es lo que ocurría? Que en el menor 1, 2 y 3 es 0 siempre para cualquier valor de m, por lo tanto el rango es 2. En el menor 1, 2, 4 me pasaba que el rango es 2 si la m es 0 o la m es 1. En el menor 1, 3, 4 el rango es 2 si la m es 0 y en el menor 2, 3, 4 el rango es 2 si m es igual a 0 o m es igual a 3 medios. 00:10:44
Con todos estos cuatro casos, ¿yo qué puedo decir sin error a equivocarme? Que el rango de la matriz es 3 siempre y cuando la m sea distinto de 0, m sea distinto de 1 y m sea distinto de 3 medios. 00:11:12
En cualquier otro caso, aquí esto realmente me faltaría, el rango de A sería 2 si la M, y esto es muy importante, es 0 o, aquí es un O, si la M es igual a 1 o la M es igual a 3. 00:11:28
¿De acuerdo? Aquí es los únicos valores donde el rango es 3. 00:11:51
Espero que os sirva y cualquier duda me preguntáis. 00:11:56
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
8
Fecha:
13 de octubre de 2025 - 19:05
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
12′
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
21.60 MBytes

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