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2º de bachillerato tema 1 ejercicio 1 apartado b - Contenido educativo
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Bien, vamos a hacer el ejercicio 1, apartado de, del tema 1 de segundo de bachillerato de ciencias sociales. Un sistema de ecuaciones. Vamos a aplicar el método general. Por lo general sabéis que la segunda ecuación, por ejemplo, o la tercera, ¿veis? Sería bueno ponerla en el primera ecuación, como primera ecuación.
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Pero aquí no lo han querido hacer, no es necesario. Lo vamos a hacer tal y como está hecho aquí, ¿de acuerdo? Pero insisto que si hay alguna... vamos a hacerlo así sin moverlo porque imaginaos que os encontráis un sistema que no tiene incógnita x con un 1, si no entendéis, pues convendría aprender a hacerlo, ¿de acuerdo?
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Bien, entonces, lo pasamos a su forma matricial, tal y como estáis viendo, ¿no? Es decir, la matriz de coeficientes. Bien, fijaos, decía que este sistema de ecuaciones, en primer lugar, lo pasamos a su forma matricial.
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Esta sería su matriz de coeficientes
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¿De acuerdo?
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Bien, fijaos
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El 2, menos 1, 1, 3
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Son los coeficientes que acompañan a las incógnitas
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Y el término independiente de la primera ecuación
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¿Se entiende, no?
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Una vez que ya tengo la expresión matricial
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¿Qué se hace?
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Pues aplicando el método de Gauss
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el principio este de que puedo sustituir una ecuación, o vamos a decir en este caso una fila, por una combinación lineal de ella con el resto,
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obtendríamos un sistema equivalente. ¿Sí o no? ¿Me seguís? Bien, pues aplicando este principio, el ejercicio va a consistir en hacer ceros aquí y aquí en primer lugar.
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Y después aquí en segundo
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¿Se entiende la idea?
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Bien
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¿Cómo hacer cero aquí?
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Ah, bueno, por cierto
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Aquí se han cambiado la segunda ecuación por la primera
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¿Lo veis?
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Lo han hecho ya con la matriz
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¿De acuerdo?
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Pero vamos, lo que está haciendo es sustituir
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La segunda ecuación por la primera
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Permutar esas ecuaciones, ¿vale? Bien, ya teniendo aquí el 1, pues va a resultar más sencilla las operaciones.
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Bueno, en este primer... Es interesante que os acostumbréis a hacer lo que aquí se está haciendo, que es, en cada transformación de matriz que hago, describir en qué consiste dicha transformación.
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¿Se ve o no? Basándonos en las propiedades. Aquellas de qué transformaciones hacen dan como consecuencia sistema equivalente. ¿Entendéis o no?
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¿Recordáis el punto de la teoría? En fin, hagamos un repaso de la teoría. ¿Qué transformaciones de sistemas de ecuaciones me derivan en sistemas de ecuaciones equivalentes, o sea, con las mismas soluciones?
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Pues mirar rápidamente
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Bueno, recordemos
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Sistema equivalente que tiene las mismas soluciones
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Intercambiar entre sí dos ecuaciones
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Esto es lo que hemos hecho
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En el ejercicio, ¿sí o no?
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Segunda, multiplicar ambos miembros
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En fin, la más importante es esta última
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Que dice, ¿no?
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Sustituir una ecuación
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Por el resultado de sumarle una combinación lineal
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De las demás
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¿Se entiende o no?
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O añadir, esta la tercera
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Dice, añadir o suprimir
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una ecuación, bueno esta sería otra
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si yo a un sistema le añado
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una ecuación nueva
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que es combinación lineal de las que tengo
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o tengo un sistema equivalente
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lo único que con una ecuación más
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¿sí o no?
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entendemos todos que al hacer Gauss
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esa ecuación que he añadido tendría que desaparecer
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¿sí o no? ¿entendéis o no?
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bien, porque estamos dando
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aportando
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digamos, ecuaciones redundantes
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¿está claro o no?
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¿la idea?
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Bien, pues basándonos en esto, pues bien, aplicando esas transformaciones,
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eso es en lo que se basa el método de Gauss, para hacer ceros debajo de la escalera.
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¿De acuerdo? Bien, entonces, en esta lo que decía es que conviene describir en cada transformación
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Transformación, lo que hemos hecho. ¿Se entiende? En esta transformación, por ejemplo, ¿qué hemos hecho? Pues cambiar la primera por la segunda. Aquí está descrito. ¿Se comprende? Mirad aquí. ¿Veis? Aquí hemos cambiado la primera ecuación por la segunda.
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Hemos permutado la primera y la segunda. Bien, ¿en qué va a consistir ahora el siguiente paso? Pues hacer un cero aquí. ¿Sí o no? Para hacer un cero aquí, ¿qué? Habrá que sustituir la segunda ecuación por una combinación lineal, basándonos en la propiedad que hemos visto anteriormente. ¿Sí o no?
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Entonces, ¿qué combinación lineal hay que aplicar para hacer un cero aquí?
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Esto es, la técnica es la misma que en el método de reducción que usabais con dos ecuaciones y dos incógnitas.
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Sería multiplicar por dos la primera ecuación, o mejor dicho, por menos dos, para que quede aquí un menos dos.
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Que sumado a este dos se hace cero. ¿Se entiende o no?
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Bien, por eso, esto viene descrito en el siguiente movimiento.
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Primero, segunda ecuación menos dos por primera. ¿Se entiende? A mí me gusta ponerlo de otra manera. Yo prefiero, en lugar de describirlo así, prefiero poner así, mirad. Segunda más menos dos por primera. ¿Por qué? Porque prefiero sumarlo, suele haber menos errores.
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Multiplicas por menos 2 y luego sumas
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La gente, os soléis equivocar si restáis filas
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Cuando hay un signo menos detrás, no sé qué, os liáis
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Entonces, para seguir una pauta, para evitar esos errores
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Yo sugiero que lo hagáis de esta manera
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Poniendo siempre un más
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Y si hubiera que restar, multiplicas por signo negativo
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Como aquí
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¿Se entiende, no?
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Bien, entonces, te coges aquí y dices
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Bueno, pues, multiplicas
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La primera ecuación por menos 2
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O sea
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Primera ecuación por menos 2
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Y la segunda
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La dejas tal cual
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Y sumas
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Y te va a quedar
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0, 5, 3, 5
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¿Necesitáis que lo haga?
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¿Necesitáis que lo haga?
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Venga, vamos a hacerlo
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Segunda
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Ahora, nuevamente, una pauta para no equivocaros. Como tienes que hacer la operación segunda más menos 2 por primera, en primer lugar vamos a poner aquí menos 2 por primera fila.
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La primera fila es 1, 2, menos 1, 4. Pues la multiplico por menos 2. ¿De acuerdo? ¿Qué sería? Menos 2 por 1, menos 2. Menos 2 por 2, menos 4. Perdón, lo voy a hacer aquí, voy a hacerme hueco.
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¿Vale? Si multiplico la primera fila por menos 2, me queda menos 2, menos 4, más 2 y menos 8
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¿De acuerdo? Luego ponemos la segunda fila debajo, porque hay que sumarlas
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Yo sugiero que se haga de esta manera ordenada, para no equivocarse
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¿Vale? La segunda fila que es 2, menos 1, 1 y 3
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2, menos 1, 1 y 3
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Y ahora al sumar vemos que efectivamente se va como era de esperar la X. 0, menos 5, 3 y 5. ¿Se ve? Y por eso aquí ponemos menos 5, perdón.
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Por eso, la fila segunda sustituyo por esta combinación lineal, que es esto, obteniendo una matriz que representa a un sistema equivalente, porque la transformación confiere un sistema equivalente, tal y como hemos dicho.
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Lo mismo haremos para hacer un 0 aquí. En este caso, pues, sustituyo la fila 3 por la tercera fila más menos 1 por la primera. Aquí pone menos, pero yo prefiero poner el menos 1, insisto. ¿Vale? Y os ponéis aquí lo mismo, lo hacéis, bum bum y lo hacéis. Y os va a salir esta fila. ¿Se entiende hasta aquí o no?
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Una vez que ya tengo ceros aquí y aquí, me falta hacer el cero aquí. Cuestión importante. Seguir el orden que estoy planteando. No empecéis haciendo cero aquí, primero aquí, luego aquí y luego aquí. ¿Vale? Esto es importante. ¿De acuerdo? Bien.
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Bien, entonces, aplicando este, vamos a sustituir la tercera fila por una combinación lineal de la segunda y la tercera en este caso, aprovechando que aquí hay ceros, es por ello por lo que hay que seguir ese orden, para primero dejar aquí ceros, ¿de acuerdo?
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Entonces, la fila F3, ¿por quién la sustituyo? Pues por menos 2 F1 más F3, por ejemplo. ¿Sí o no? De esta manera, menos 2 por F1 me va a dar aquí más 10, que más menos 10 es 0 y se va, que es de lo que se trata.
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¿Se ha entendido? No sé si es la que aquí plantean. La tercera, menos 2 por F1. Es lo mismo. ¿De acuerdo? ¿Se ve? Y bien, resulta que al operar esto, vamos a hacerlo despacio.
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Hemos dicho, menos 2 por F2 y luego más F3, ¿de acuerdo? Es 0, más 10, menos 6 y 10.
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10. Y abajo, 0, 10, 6 y menos 10. Esto es un menos, perdón. ¿Vale? Se van, se van y se van. 0, 0, 0, 0.
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Bien, este punto es importante. ¿Qué me está diciendo? Que esta ecuación sobra. ¿Se entiende? Pero no está planteando una incompatibilidad. Esto es importante.
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Si el sistema fuera incompatible, en este punto, ¿qué debería de poner? Aquí un número diferente de cero. ¿Me entendéis o no? Imaginaos que aquí en lugar de cero te hubiera salido un tres.
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Pues entonces tendrías que escribir 0x más 0y más 0z igual a 3
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O sea, 0 igual a 3
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Esto es imposible
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¿Entendéis?
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Entonces, de aquí se desprendería que el sistema es incompatible
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Pero no es el caso
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O sea, ha salido 0, 0 toda la fila
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Y por tanto, aquí lo que pone es 0 igual a 0
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Habría que añadir aquí
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¿Vale?
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Pero esta ecuación, ¿qué le pasa?
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Que no aporta nada
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No incompatibiliza nada. Porque no es imposible. Es que es cierta siempre. Esa ecuación se va a verificar siempre para cualquier valor de X, Y y Z. ¿Se entiende? Por eso en realidad no aporta nada, se quita. Y me queda un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas. ¿Se ha entendido? Ya está escalonado. ¿Qué hacemos ahora? Analizamos.
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En principio, sin aplicar ninguna ecuación, ¿cuántos grados de libertad tendría la solución?
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Pues, esa materna numérica, ¿sí o no? X, Y, Z. ¿Se ve o no? Tiene tres grados de libertad.
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Pero esta primera ecuación la va a reducir a dos. Y esta, a uno.
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Ya digo que, una vez que he hecho Gauss, sí que puedo hacer el análisis de cada ecuación, ciertamente quita un grado de libertad.
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Una vez hecho Gauss.
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Porque una vez que aplicas el método de Gauss, lo que estás haciendo en realidad es eliminar las ecuaciones redundantes, sobrantes.
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¿Se entiende? En matemática se dice linealmente dependientes.
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¿Vale?
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Ecuaciones linealmente dependientes, o sea, que dependen de las anteriores.
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Aquí lo que viene a decir es que estas tres ecuaciones tienen una, al menos, que depende de las otras.
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¿Se comprende?
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Bien, y una vez que ya tenemos este sistema escalonado y decidimos cuántos parámetros necesitamos,
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en este caso un parámetro porque tiene un grado de libertad, diríamos, por ejemplo, que z sea igual a nu.
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Aquí no lo hacen usando parámetro, aquí dicen, sea z el parámetro, punto. ¿Entendéis?
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Entonces despeja todo en función de z, que es un poco como tú indicabas, pero a mí me gusta parametrizar con letras griegas.
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¿se entiende?
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a veces verás escrito
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sea Z igual a Z
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pero
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otra manera de escribir esto
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¿entendéis o no?
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¿se ve?
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pero vamos que
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al final lo parametriza igual pues ya está
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yo lo hago antes
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Z igual a lambda
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¿vale? y entonces ¿qué haces?
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pues aquí introduces lambda
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y esto te permite despejar
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porque z pasa a ser
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ya un parámetro
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ya no es una variable, no es una incógnita
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quiero decir, lo pasas al otro lado
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y despejas y
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y te va a quedar esto
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una vez que tienes que z es lambda
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aquí habría que poner
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1 más 3 quintos lambda
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¿de acuerdo?
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y luego, una vez que tienes
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z e i sustituyes
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en la primera ecuación
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o sea, de aquí sacas
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i y luego sustituyes
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z e i aquí y sacas x
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como siempre
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y te vas a obtener
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esta solución
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me gustaría, esto deberíais de hacerlo vosotros
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es álgebra básica
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¿de acuerdo? sustituyes y despejas
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pero no paséis
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por encima de esto sin hacerlo
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vosotros, ¿vale?
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no lo voy a hacer en el vídeo porque no merece la pena
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llenarlo de
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bien, y ya por último
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una vez que tienes la solución
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parametrizada, pues lo dicho
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¿cómo obtenemos diferentes soluciones?
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pues dando valores a lambda
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que si lambda vale 0, pues donde pone lambda
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pones 0 y ya mira lo que sale aquí
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esto es 0, 0, 0, pues 2, 1, 0
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es una solución, ¿se entiende?
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que si lambda vale 0,2
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también, ¿no?
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lambda es un número real
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sustituyendo obtienes los valores de x
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I y Z
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y luego una interpretación geométrica
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se puede dar
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esto no compite a vuestra especialidad
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pero bueno, fijaros
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la solución se describe mediante un parámetro
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quiere decir que es un grado de libertad
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una dimensión
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¿qué figura geométrica lineal conoces que tenga una dimensión?
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una recta
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la recta es la solución
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Y claro, como cada elemento de estos es un plano, cada ecuación de este tipo es un plano, pues entonces son tres planos que se cortan en una recta. ¿Se entiende? En fin, pues...
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- 12 de febrero de 2021 - 13:04
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- Público
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- IES BARRIO SIMANCAS
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