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2º de bachillerato tema 1 ejercicio 1 apartado b - Contenido educativo

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Subido el 12 de febrero de 2021 por Jose S.

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Bien, vamos a hacer el ejercicio 1, apartado de, del tema 1 de segundo de bachillerato de ciencias sociales. Un sistema de ecuaciones. Vamos a aplicar el método general. Por lo general sabéis que la segunda ecuación, por ejemplo, o la tercera, ¿veis? Sería bueno ponerla en el primera ecuación, como primera ecuación. 00:00:00
Pero aquí no lo han querido hacer, no es necesario. Lo vamos a hacer tal y como está hecho aquí, ¿de acuerdo? Pero insisto que si hay alguna... vamos a hacerlo así sin moverlo porque imaginaos que os encontráis un sistema que no tiene incógnita x con un 1, si no entendéis, pues convendría aprender a hacerlo, ¿de acuerdo? 00:00:25
Bien, entonces, lo pasamos a su forma matricial, tal y como estáis viendo, ¿no? Es decir, la matriz de coeficientes. Bien, fijaos, decía que este sistema de ecuaciones, en primer lugar, lo pasamos a su forma matricial. 00:00:46
Esta sería su matriz de coeficientes 00:01:04
¿De acuerdo? 00:01:08
Bien, fijaos 00:01:10
El 2, menos 1, 1, 3 00:01:11
Son los coeficientes que acompañan a las incógnitas 00:01:13
Y el término independiente de la primera ecuación 00:01:17
¿Se entiende, no? 00:01:21
Una vez que ya tengo la expresión matricial 00:01:26
¿Qué se hace? 00:01:29
Pues aplicando el método de Gauss 00:01:32
el principio este de que puedo sustituir una ecuación, o vamos a decir en este caso una fila, por una combinación lineal de ella con el resto, 00:01:35
obtendríamos un sistema equivalente. ¿Sí o no? ¿Me seguís? Bien, pues aplicando este principio, el ejercicio va a consistir en hacer ceros aquí y aquí en primer lugar. 00:01:46
Y después aquí en segundo 00:01:57
¿Se entiende la idea? 00:02:01
Bien 00:02:04
¿Cómo hacer cero aquí? 00:02:04
Ah, bueno, por cierto 00:02:11
Aquí se han cambiado la segunda ecuación por la primera 00:02:12
¿Lo veis? 00:02:15
Lo han hecho ya con la matriz 00:02:17
¿De acuerdo? 00:02:18
Pero vamos, lo que está haciendo es sustituir 00:02:20
La segunda ecuación por la primera 00:02:24
Permutar esas ecuaciones, ¿vale? Bien, ya teniendo aquí el 1, pues va a resultar más sencilla las operaciones. 00:02:27
Bueno, en este primer... Es interesante que os acostumbréis a hacer lo que aquí se está haciendo, que es, en cada transformación de matriz que hago, describir en qué consiste dicha transformación. 00:02:35
¿Se ve o no? Basándonos en las propiedades. Aquellas de qué transformaciones hacen dan como consecuencia sistema equivalente. ¿Entendéis o no? 00:02:51
¿Recordáis el punto de la teoría? En fin, hagamos un repaso de la teoría. ¿Qué transformaciones de sistemas de ecuaciones me derivan en sistemas de ecuaciones equivalentes, o sea, con las mismas soluciones? 00:03:05
Pues mirar rápidamente 00:03:27
Bueno, recordemos 00:03:29
Sistema equivalente que tiene las mismas soluciones 00:03:30
Intercambiar entre sí dos ecuaciones 00:03:33
Esto es lo que hemos hecho 00:03:36
En el ejercicio, ¿sí o no? 00:03:37
Segunda, multiplicar ambos miembros 00:03:39
En fin, la más importante es esta última 00:03:41
Que dice, ¿no? 00:03:43
Sustituir una ecuación 00:03:45
Por el resultado de sumarle una combinación lineal 00:03:46
De las demás 00:03:49
¿Se entiende o no? 00:03:50
O añadir, esta la tercera 00:03:55
Dice, añadir o suprimir 00:03:56
una ecuación, bueno esta sería otra 00:03:58
si yo a un sistema le añado 00:04:01
una ecuación nueva 00:04:02
que es combinación lineal de las que tengo 00:04:05
o tengo un sistema equivalente 00:04:07
lo único que con una ecuación más 00:04:09
¿sí o no? 00:04:10
entendemos todos que al hacer Gauss 00:04:12
esa ecuación que he añadido tendría que desaparecer 00:04:14
¿sí o no? ¿entendéis o no? 00:04:17
bien, porque estamos dando 00:04:19
aportando 00:04:20
digamos, ecuaciones redundantes 00:04:22
¿está claro o no? 00:04:25
¿la idea? 00:04:27
Bien, pues basándonos en esto, pues bien, aplicando esas transformaciones, 00:04:28
eso es en lo que se basa el método de Gauss, para hacer ceros debajo de la escalera. 00:04:39
¿De acuerdo? Bien, entonces, en esta lo que decía es que conviene describir en cada transformación 00:04:48
Transformación, lo que hemos hecho. ¿Se entiende? En esta transformación, por ejemplo, ¿qué hemos hecho? Pues cambiar la primera por la segunda. Aquí está descrito. ¿Se comprende? Mirad aquí. ¿Veis? Aquí hemos cambiado la primera ecuación por la segunda. 00:04:58
Hemos permutado la primera y la segunda. Bien, ¿en qué va a consistir ahora el siguiente paso? Pues hacer un cero aquí. ¿Sí o no? Para hacer un cero aquí, ¿qué? Habrá que sustituir la segunda ecuación por una combinación lineal, basándonos en la propiedad que hemos visto anteriormente. ¿Sí o no? 00:05:16
Entonces, ¿qué combinación lineal hay que aplicar para hacer un cero aquí? 00:05:40
Esto es, la técnica es la misma que en el método de reducción que usabais con dos ecuaciones y dos incógnitas. 00:05:46
Sería multiplicar por dos la primera ecuación, o mejor dicho, por menos dos, para que quede aquí un menos dos. 00:05:53
Que sumado a este dos se hace cero. ¿Se entiende o no? 00:06:02
Bien, por eso, esto viene descrito en el siguiente movimiento. 00:06:06
Primero, segunda ecuación menos dos por primera. ¿Se entiende? A mí me gusta ponerlo de otra manera. Yo prefiero, en lugar de describirlo así, prefiero poner así, mirad. Segunda más menos dos por primera. ¿Por qué? Porque prefiero sumarlo, suele haber menos errores. 00:06:10
Multiplicas por menos 2 y luego sumas 00:06:35
La gente, os soléis equivocar si restáis filas 00:06:38
Cuando hay un signo menos detrás, no sé qué, os liáis 00:06:42
Entonces, para seguir una pauta, para evitar esos errores 00:06:45
Yo sugiero que lo hagáis de esta manera 00:06:48
Poniendo siempre un más 00:06:52
Y si hubiera que restar, multiplicas por signo negativo 00:06:53
Como aquí 00:06:56
¿Se entiende, no? 00:06:57
Bien, entonces, te coges aquí y dices 00:06:59
Bueno, pues, multiplicas 00:07:02
La primera ecuación por menos 2 00:07:03
O sea 00:07:08
Primera ecuación por menos 2 00:07:10
Y la segunda 00:07:14
La dejas tal cual 00:07:20
Y sumas 00:07:22
Y te va a quedar 00:07:23
0, 5, 3, 5 00:07:25
¿Necesitáis que lo haga? 00:07:32
¿Necesitáis que lo haga? 00:07:35
Venga, vamos a hacerlo 00:07:37
Segunda 00:07:38
Ahora, nuevamente, una pauta para no equivocaros. Como tienes que hacer la operación segunda más menos 2 por primera, en primer lugar vamos a poner aquí menos 2 por primera fila. 00:07:40
La primera fila es 1, 2, menos 1, 4. Pues la multiplico por menos 2. ¿De acuerdo? ¿Qué sería? Menos 2 por 1, menos 2. Menos 2 por 2, menos 4. Perdón, lo voy a hacer aquí, voy a hacerme hueco. 00:07:56
¿Vale? Si multiplico la primera fila por menos 2, me queda menos 2, menos 4, más 2 y menos 8 00:08:19
¿De acuerdo? Luego ponemos la segunda fila debajo, porque hay que sumarlas 00:08:28
Yo sugiero que se haga de esta manera ordenada, para no equivocarse 00:08:32
¿Vale? La segunda fila que es 2, menos 1, 1 y 3 00:08:39
2, menos 1, 1 y 3 00:08:43
Y ahora al sumar vemos que efectivamente se va como era de esperar la X. 0, menos 5, 3 y 5. ¿Se ve? Y por eso aquí ponemos menos 5, perdón. 00:08:48
Por eso, la fila segunda sustituyo por esta combinación lineal, que es esto, obteniendo una matriz que representa a un sistema equivalente, porque la transformación confiere un sistema equivalente, tal y como hemos dicho. 00:09:03
Lo mismo haremos para hacer un 0 aquí. En este caso, pues, sustituyo la fila 3 por la tercera fila más menos 1 por la primera. Aquí pone menos, pero yo prefiero poner el menos 1, insisto. ¿Vale? Y os ponéis aquí lo mismo, lo hacéis, bum bum y lo hacéis. Y os va a salir esta fila. ¿Se entiende hasta aquí o no? 00:09:21
Una vez que ya tengo ceros aquí y aquí, me falta hacer el cero aquí. Cuestión importante. Seguir el orden que estoy planteando. No empecéis haciendo cero aquí, primero aquí, luego aquí y luego aquí. ¿Vale? Esto es importante. ¿De acuerdo? Bien. 00:09:46
Bien, entonces, aplicando este, vamos a sustituir la tercera fila por una combinación lineal de la segunda y la tercera en este caso, aprovechando que aquí hay ceros, es por ello por lo que hay que seguir ese orden, para primero dejar aquí ceros, ¿de acuerdo? 00:10:15
Entonces, la fila F3, ¿por quién la sustituyo? Pues por menos 2 F1 más F3, por ejemplo. ¿Sí o no? De esta manera, menos 2 por F1 me va a dar aquí más 10, que más menos 10 es 0 y se va, que es de lo que se trata. 00:10:32
¿Se ha entendido? No sé si es la que aquí plantean. La tercera, menos 2 por F1. Es lo mismo. ¿De acuerdo? ¿Se ve? Y bien, resulta que al operar esto, vamos a hacerlo despacio. 00:10:56
Hemos dicho, menos 2 por F2 y luego más F3, ¿de acuerdo? Es 0, más 10, menos 6 y 10. 00:11:12
10. Y abajo, 0, 10, 6 y menos 10. Esto es un menos, perdón. ¿Vale? Se van, se van y se van. 0, 0, 0, 0. 00:11:35
Bien, este punto es importante. ¿Qué me está diciendo? Que esta ecuación sobra. ¿Se entiende? Pero no está planteando una incompatibilidad. Esto es importante. 00:11:54
Si el sistema fuera incompatible, en este punto, ¿qué debería de poner? Aquí un número diferente de cero. ¿Me entendéis o no? Imaginaos que aquí en lugar de cero te hubiera salido un tres. 00:12:11
Pues entonces tendrías que escribir 0x más 0y más 0z igual a 3 00:12:27
O sea, 0 igual a 3 00:12:32
Esto es imposible 00:12:33
¿Entendéis? 00:12:35
Entonces, de aquí se desprendería que el sistema es incompatible 00:12:36
Pero no es el caso 00:12:41
O sea, ha salido 0, 0 toda la fila 00:12:42
Y por tanto, aquí lo que pone es 0 igual a 0 00:12:46
Habría que añadir aquí 00:12:49
¿Vale? 00:12:51
Pero esta ecuación, ¿qué le pasa? 00:12:53
Que no aporta nada 00:12:55
No incompatibiliza nada. Porque no es imposible. Es que es cierta siempre. Esa ecuación se va a verificar siempre para cualquier valor de X, Y y Z. ¿Se entiende? Por eso en realidad no aporta nada, se quita. Y me queda un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas. ¿Se ha entendido? Ya está escalonado. ¿Qué hacemos ahora? Analizamos. 00:12:56
En principio, sin aplicar ninguna ecuación, ¿cuántos grados de libertad tendría la solución? 00:13:26
Pues, esa materna numérica, ¿sí o no? X, Y, Z. ¿Se ve o no? Tiene tres grados de libertad. 00:13:32
Pero esta primera ecuación la va a reducir a dos. Y esta, a uno. 00:13:41
Ya digo que, una vez que he hecho Gauss, sí que puedo hacer el análisis de cada ecuación, ciertamente quita un grado de libertad. 00:13:46
Una vez hecho Gauss. 00:13:55
Porque una vez que aplicas el método de Gauss, lo que estás haciendo en realidad es eliminar las ecuaciones redundantes, sobrantes. 00:13:56
¿Se entiende? En matemática se dice linealmente dependientes. 00:14:04
¿Vale? 00:14:09
Ecuaciones linealmente dependientes, o sea, que dependen de las anteriores. 00:14:11
Aquí lo que viene a decir es que estas tres ecuaciones tienen una, al menos, que depende de las otras. 00:14:15
¿Se comprende? 00:14:23
Bien, y una vez que ya tenemos este sistema escalonado y decidimos cuántos parámetros necesitamos, 00:14:27
en este caso un parámetro porque tiene un grado de libertad, diríamos, por ejemplo, que z sea igual a nu. 00:14:35
Aquí no lo hacen usando parámetro, aquí dicen, sea z el parámetro, punto. ¿Entendéis? 00:14:44
Entonces despeja todo en función de z, que es un poco como tú indicabas, pero a mí me gusta parametrizar con letras griegas. 00:14:50
¿se entiende? 00:14:58
a veces verás escrito 00:15:00
sea Z igual a Z 00:15:01
pero 00:15:03
otra manera de escribir esto 00:15:04
¿entendéis o no? 00:15:07
¿se ve? 00:15:09
pero vamos que 00:15:12
al final lo parametriza igual pues ya está 00:15:13
yo lo hago antes 00:15:17
Z igual a lambda 00:15:18
¿vale? y entonces ¿qué haces? 00:15:20
pues aquí introduces lambda 00:15:23
y esto te permite despejar 00:15:25
porque z pasa a ser 00:15:29
ya un parámetro 00:15:32
ya no es una variable, no es una incógnita 00:15:33
quiero decir, lo pasas al otro lado 00:15:36
y despejas y 00:15:38
y te va a quedar esto 00:15:39
una vez que tienes que z es lambda 00:15:41
aquí habría que poner 00:15:43
1 más 3 quintos lambda 00:15:45
¿de acuerdo? 00:15:47
y luego, una vez que tienes 00:15:49
z e i sustituyes 00:15:52
en la primera ecuación 00:15:54
o sea, de aquí sacas 00:15:55
i y luego sustituyes 00:15:58
z e i aquí y sacas x 00:16:00
como siempre 00:16:02
y te vas a obtener 00:16:03
esta solución 00:16:06
me gustaría, esto deberíais de hacerlo vosotros 00:16:07
es álgebra básica 00:16:10
¿de acuerdo? sustituyes y despejas 00:16:12
pero no paséis 00:16:14
por encima de esto sin hacerlo 00:16:16
vosotros, ¿vale? 00:16:18
no lo voy a hacer en el vídeo porque no merece la pena 00:16:20
llenarlo de 00:16:22
bien, y ya por último 00:16:23
una vez que tienes la solución 00:16:26
parametrizada, pues lo dicho 00:16:27
¿cómo obtenemos diferentes soluciones? 00:16:30
pues dando valores a lambda 00:16:33
que si lambda vale 0, pues donde pone lambda 00:16:34
pones 0 y ya mira lo que sale aquí 00:16:38
esto es 0, 0, 0, pues 2, 1, 0 00:16:40
es una solución, ¿se entiende? 00:16:45
que si lambda vale 0,2 00:16:47
también, ¿no? 00:16:50
lambda es un número real 00:16:51
sustituyendo obtienes los valores de x 00:16:53
I y Z 00:16:56
y luego una interpretación geométrica 00:16:58
se puede dar 00:17:02
esto no compite a vuestra especialidad 00:17:03
pero bueno, fijaros 00:17:07
la solución se describe mediante un parámetro 00:17:09
quiere decir que es un grado de libertad 00:17:14
una dimensión 00:17:15
¿qué figura geométrica lineal conoces que tenga una dimensión? 00:17:16
una recta 00:17:21
la recta es la solución 00:17:22
Y claro, como cada elemento de estos es un plano, cada ecuación de este tipo es un plano, pues entonces son tres planos que se cortan en una recta. ¿Se entiende? En fin, pues... 00:17:24
Subido por:
Jose S.
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Fecha:
12 de febrero de 2021 - 13:04
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
17′ 39″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
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