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MD semana 3 Divisibilidad - Contenido educativo

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Subido el 16 de octubre de 2023 por Carolina H.

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Divisibilidad

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Bueno, vamos a hacer un resumen de la clase de divisibilidad, porque no se grabó bien el otro día. 00:00:03
Entonces, vamos a recordar la diferencia entre divisiones y divisibilidad. 00:00:11
7, por ejemplo, siempre se puede dividir entre 2, es 3,5. 00:00:17
Sin embargo, 7 no es divisible entre 2. 00:00:22
Entonces, eso quiere decir que dividir y ser divisible no son lo mismo. 00:00:27
Nosotros hablamos de divisibilidad cuando hablamos de restos nulos, el resto de una división es cero. 00:00:31
Si nosotros escribimos 7 entre 2, vemos que da 3 y queda 1, es decir, el 7, si yo lo agrupo en grupos de tamaño 2, 00:00:42
me salen tres grupos y me quedaría una unidad suelta, ¿veis? En grupos de dos tendría tres grupos y me quedaría un resto de uno. 00:00:56
Esto es lo que en primaria se llamaba dividendo igual a divisor por cociente más resto, la prueba de la división, 00:01:14
que en realidad no es más, que entender que cuando yo tengo 7 unidades y las reparto en grupos de tamaño 2, 00:01:22
y me salen 3 grupos y me queda una, evidentemente 2 grupos por 3 son 6 unidades, 00:01:30
más la de aquí que es una me hace las 7 unidades que tenía inicialmente. 00:01:36
Entonces, ¿por qué es importante que los restos sean nulos? 00:01:40
Porque si nos fijamos aquí y hacemos que el resto sean 0, esto desaparece. 00:01:43
Y yo puedo escribir el dividendo como una división por un cociente 00:01:48
Es decir, estoy escribiendo un número como una multiplicación 00:01:52
Esto es lo que se llama factorizar 00:01:58
Factorizar es escribir un número como una multiplicación 00:02:01
Y tiene un montón de aplicaciones en matemáticas 00:02:08
Entonces vamos a ver distintas factorizaciones, por ejemplo, del número 12 00:02:13
Yo el 12 lo podría escribir como 6 por 2, el 12 lo podría escribir como 4 por 3, el 12 y por 1, por ejemplo, el 12 lo podría escribir como 12 por 1, el 12 lo podría escribir como 2 por 2 por 3, en todos estos casos estoy escribiendo, hay más, habría más, ¿vale? 00:02:18
En todos estos casos, yo estoy escribiendo el 12 como una multiplicación, es decir, estoy escribiendo distintas factorizaciones del 12, pero esta última tiene algo que las demás no tienen, ¿vale? 00:02:39
Y es que está escrita con números primos, porque esto es importante. 00:02:54
Nosotros ahora mismo tenemos varias multiplicaciones cuyo resultado es 12. 00:03:00
esto en matemáticas no nos gusta 00:03:04
no nos gusta porque si yo pregunto a Paula 00:03:06
me va a decir que la factorización del 12 es 6 por 2 00:03:10
y no va a coincidir con la de Miguel que va a ser 4 por 3 00:03:13
pero si nos fijamos y yo descompongo en factores primos 00:03:16
cada uno de los números compuestos vamos a ver que sucede 00:03:20
recordemos que el número primo es el que solo tenía dos factores 00:03:22
se podía escribir solo como una única multiplicación de 2 por 1 00:03:26
o de 3 por 1, siempre por el y el 1, nada más, 00:03:30
y se llaman números compuestos a los que admiten más multiplicaciones, 00:03:35
más factorizaciones, aparte de la que tiene el 1. 00:03:38
Entonces, por ejemplo, el número 6 es compuesto, 00:03:42
porque además de poner la factorización 6 por 1, 00:03:45
también podría poner, por ejemplo, 2 por 3. 00:03:49
Por tanto, el 6 es un número compuesto. 00:03:52
El 2 no, el 2 solamente lo puedo poner como 2 por 1. 00:03:55
Por tanto, el 2 es primo. 00:03:58
El 4 es otro número por compuesto, porque yo puedo poner el 4 como 4 por 1, 00:04:01
pero también lo puedo poner como 2 por 2, luego es un número compuesto. 00:04:05
El 3 no, porque es primo. 00:04:09
El 12 es un número compuesto, que lo puedo poner, por ejemplo, como 4 por 3, 00:04:11
o como 2 por 2 y por 3. 00:04:15
Entonces, vamos a ir descomponiendo estos números compuestos en producto de números primos. 00:04:17
El 6 hemos dicho que es 2 por 3, así que yo puedo poner esto como 2 por 3 y por 2. 00:04:24
Y ya está, porque este es primo, este es primo y este es primo. 00:04:30
Luego ya no podría descomponerlo más. 00:04:33
El 4 yo lo puedo poner como 2 por 2, por tanto, el 12 me quedaría como 2 por 2 y por 3. 00:04:36
Voy a eliminar los unos porque multiplicar por 1 no es nada, es el elemento neutro de la multiplicación, así que no lo voy a poner. 00:04:42
Y el 12 yo lo puedo poner, si lo hago en factores primos, como 2 por 3 y por 2. 00:04:49
Entonces, si nos fijamos, cuando mi factorización, mi descomposición factorial es en factores primos, resulta que sale lo mismo en todas. 00:04:55
Mi descomposición factorial en factores primos es única para cada número y eso sí nos interesa. 00:05:07
Es tan importante este resultado que se llama teorema fundamental de la aritmética. 00:05:16
y nos dice que la descomposición en factores primos, 00:05:26
la descomposición factorial, perdón, como una multiplicación, 00:05:36
la factorización en factores primos de un número natural 00:05:40
siempre es única. 00:05:44
Luego, en realidad, me da igual si yo primero encuentro este 3 00:05:47
y luego este 2 porque voy a encontrar también otro 2. 00:05:50
O si empiezo encontrando este 2 y luego este 2 00:05:53
porque también voy a encontrar el 3 después. 00:05:56
Da igual el orden en el que lo haga porque la conmutativa existe 00:05:57
Y el orden de factores no me va a alterar el resultado que es 12 00:06:01
De hecho, este teorema al revés lo veis inmediatamente 00:06:05
Si tú multiplicas 2 por 2 y por 3, no te puede dar otro resultado que no sea 12 00:06:09
¿Ha quedado claro? 00:06:14
Entonces, ¿por qué es tan importante y por qué se le llamará teorema fundamental de la aritmética? 00:06:16
Pues en principio porque nos sirve para hacer un montón de operaciones 00:06:21
Por ejemplo, sirve para dividir 00:06:24
dividir. Si yo pongo el, voy a poner el número, voy a descomponer el número 30 y lo quiero 00:06:26
dividir entre 15, ¿vale? Evidentemente da 2, ya sé que lo estáis viendo, pero vamos 00:06:45
a verlo, he cogido dos números muy sencillos para verlo de forma fácil con la descomposición 00:06:54
factorial, vamos a descomponer factorialmente el 30, el 30 yo lo podría decir que es 2 00:06:58
por 15, el 15 es un número compuesto así que 2 por 3 y por 5, entonces fíjate, voy 00:07:04
a dejar esto ya, lo voy a juntar, que si yo tengo la descomposición factorial del 15 00:07:19
yo por otro lado sé que el 30 he dicho que siempre va a ser un divisor por un cociente 00:07:27
porque estoy hablando de divisibilidad y el resto es 0 00:07:35
entonces evidentemente estos tres factores tendrán que pertenecer o al divisor o al cociente 00:07:38
es como tener dos cajas 00:07:45
en una caja tengo la caja del divisor y en la otra caja tengo la caja del cociente 00:07:47
Yo he dicho que voy a dividir entre 15, 15 es 3 por 5, entonces lo que yo estoy haciendo es que este 3, si este 3 y este 5 forman parte del divisor, son el divisor, ¿quién me queda para ser el cociente? 00:07:55
El único factor que me queda 00:08:17
Porque la descomposición es única 00:08:19
No me puede quedar otro 00:08:21
Así que es 2 00:08:22
Por tanto, si yo divido 30 entre 15 00:08:23
Me va a dar 2 00:08:28
Que es el número de factores que tengo restante 00:08:30
Vamos a hacer otro, por ejemplo 00:08:33
Yo quiero dividir 60 entre 5 00:08:36
Lo que hago es descomponer 60 00:08:40
60 yo lo puedo poner como 6 por 10 00:08:44
6 es 2 por 3 y el 10 es 2 por 5 00:08:47
Así que 2 por 3 por 2 y por 5 00:08:52
El 60 tiene que ser un divisor por un cociente 00:08:54
¿Qué cifras estoy metiendo en el divisor? 00:09:00
El 5, mi divisor es el 5 00:09:05
Eso significa que esto de aquí es mi divisor 00:09:07
¿Quiénes van a tener que formar parte del cociente? 00:09:12
El 2 por 3 y por 2 00:09:15
Es decir, 2 por 3 es 6, por 2 es 12 00:09:17
Si 60 es 5 por 12, 60 entre 5 tendrá que darme 12 00:09:21
Así que esta es una manera de dividir sin dividir 00:09:28
Simplemente retiro el divisor y veo cuál es el cociente 00:09:32
O retiro los factores del divisor y veo los factores que me quedan en el cociente 00:09:36
Esto lo hacemos muchísimo, por ejemplo, cuando simplificamos fracciones 00:09:41
Yo voy a simplificar 36 entre 30. 00:09:45
Simplificar fracciones es dar una fracción equivalente, es decir, que va a valer exactamente lo mismo, 00:09:48
solo que está escrita con números más pequeños. 00:09:55
Si la escribiéramos con números más grandes, la estaríamos amplificando. 00:09:58
Tanto para amplificar como para simplificar lo que se hace es que se multiplica 00:10:02
tanto el numerador como el denominador, arriba y abajo, por el mismo número y entonces el valor no cambia. 00:10:06
Por tanto, yo voy a descomponer el 36 00:10:12
El 36 es 2 por 18 00:10:17
Y el 30 es 2 por 15 00:10:22
Porque yo sé que todos los números pares se pueden dividir entre 2 00:10:26
De los criterios de divisibilidad 00:10:30
Entonces, en lugar de poner 36 voy a poner 2 por 18 00:10:32
Y en lugar de poner 30 voy a poner 2 por 15 00:10:36
Entonces, si yo divido 36 entre 2, que me queda 18 00:10:38
Y si yo divido 30 entre 2, que me queda 15 00:10:52
Ahora ya no puedo dividir entre 2, ya veo que el 2 no es factor común de ellos 00:10:59
Porque esta es par, pero este no 00:11:05
Así que no puedo tener el factor 2 00:11:07
¿Podría tener otro factor? Bueno, voy a probar con el siguiente, que es el 3 00:11:12
Para saber si un número es divisible entre 3, el criterio me dice que tengo que sumar sus cifras y me tiene que dar un número de 3 00:11:16
Un número múltiplo de 3 00:11:22
8 y 1, 9, 9 es múltiplo de 3, el de arriba sí se puede dividir entre 3 00:11:24
5 y 1, 6, 6 es múltiplo de 3, el de abajo también se puede dividir entre 3 00:11:28
Así que yo podría poner el 18 como 3 por 6, porque es la tabla 00:11:34
Y 15 como 3 por 5, que es su descomposición 00:11:39
Si yo divido 18 entre 3, ¿quién es el resultado? 6. 00:11:42
Si yo divido 15 entre 3, ¿quién es el resultado? 5. 00:11:48
¿Puedo seguir? Esta es una fracción irreducible. 00:11:53
Cuando yo aprendí a hacer fracciones yo siempre tenía la duda, cuando eran números grandes, 00:11:57
de si había o no había terminado de simplificar. 00:12:02
Entonces, en realidad, para que yo pudiera seguir simplificando tengo que encontrar un factor común entre ambos. 00:12:05
Si yo descompongo, yo sé que el 6 es 2 por 3 y que el 5 es 5 00:12:10
Ya veo que no hay ningún factor común 00:12:15
Por lo tanto, no voy a poder descomponer en más esta fracción 00:12:17
Voy a borrar esto 00:12:22
Esta fracción ya es irreducible y además estoy segura 00:12:26
A los números que no tienen un factor en común se les llama números primos entre sí 00:12:33
Ojo porque el 6 no es primo 00:12:43
6 y 5 son números primos entre sí 00:12:47
Porque su único factor en común primo es el 1 00:12:50
Entonces no puedo encontrar ningún factor común entre ellos 00:12:54
Ningún divisor común que divida a los dos que no sea el 1 00:12:59
Que es divisor universal 00:13:02
Es interesante también la descomposición factorial 00:13:03
A la hora de calcular por ejemplo raíces 00:13:08
Mira, yo voy a calcular la raíz cuadrada de 2.500. 00:13:10
Quiero calcular la raíz cuadrada de 2.500. 00:13:17
Encontrar la raíz cuadrada de 2.500 es encontrar un número que multiplicado por sí mismo me dé lo que tengo aquí, que es 2.500. 00:13:22
Entonces, evidentemente, este va a ser un divisor, este un cociente, 00:13:36
Pero en este caso tengo que poner una condición 00:13:40
Y es que el divisor y el cociente sean iguales 00:13:42
Bueno, no hay problema, lo que yo voy a hacer es descomponer 00:13:45
A mí se me ocurre, por ejemplo, 25 por 100 00:13:48
25 es 5 por 5 00:13:52
Y 100 es 10 por 10 00:13:55
Este es primo, este es primo, pero estos dos no 00:13:59
Así que será 5 por 5 00:14:02
10 es 2 por 5 00:14:05
Y el otro 10, pues otro 2 por otro 5 00:14:07
¿Qué es lo que voy a hacer? Yo tengo que repartir estos factores en este y en este 00:14:10
Pero de manera que lo que haya sea lo mismo en los dos 00:14:16
Entonces, yo voy a poner, si yo cojo y empiezo con el 5, este 5 lo voy a poner aquí 00:14:20
Pero si pongo este, tengo que llevar otro aquí, para que haya lo mismo en los dos lados 00:14:29
Porque para calcular una raíz, la factorización tiene que tener dos factores iguales 00:14:35
Ahora, no voy a calcular la raíz todavía, lo que estoy haciendo es descomponer la factorización, luego voy a calcular la raíz. 00:14:47
Tengo un 2, lo voy a poner de otro color. 00:14:53
Si yo meto un 2 aquí, ¿qué tendré que meter? 00:14:57
El otro 2 lo tendré que meter aquí, con otro color. 00:15:02
Si yo meto un 5 aquí, el otro 5 lo tendré que meter aquí. 00:15:10
Y ya no me quedan más factores, ya los he repartido todos. 00:15:17
Entonces lo que voy a hacer es multiplicar, vamos a ver, 5 por 2 es 10, por 5 es 50. 00:15:20
Si 2.500 es 50 por 50, entonces la raíz de 2.500, que es el número que he multiplicado por sí mismo, da 2.500, es 50. 00:15:27
¿Por qué? Porque si yo hago 50 por 50, que es 50 al cuadrado, me da 2.500. 00:15:42
y también puedo utilizar la descomposición factorial para encontrar raíces cuadradas 00:15:50
de ahí que se llama el teorema fundamental de la aritmética 00:15:56
como interesa descomponer, hay veces que descomponer no es tan sencillo como yo lo estoy haciendo 00:15:58
por ejemplo el 118, pues así en un principio no sé cuánto da 00:16:04
entonces lo que puedo hacer es dividir 00:16:09
para eso se utiliza este tipo de algoritmo en que yo no sé sus factores a priori 00:16:11
y yo lo que voy a ir haciendo es probar los distintos criterios de divisibilidad e ir dividiendo. 00:16:15
Voy a poner aquí en este lado el divisor y aquí el cociente de la división 00:16:21
porque el resto va a ser 0 si estoy hablando de divisibilidad. 00:16:25
Entonces, 118, sé que es par, como es par, el primer factor por el que puedo encontrar que es el más fácil es el 2. 00:16:29
Y voy a dividir, como es una división, 1 no cabe entre 2, tendré que dividir 11. 00:16:36
11 entre 2 a 5 00:16:42
5 por 2, 10 al 11, 1 00:16:45
Ese resto es el que voy a poner aquí 00:16:47
Y voy a dividir 18 entre 2 00:16:49
Que me va a dar 9 00:16:51
Es interesante conocer los números primos 00:16:52
De los 100 primeros números 00:16:56
Que fue la primera actividad que hicimos 00:16:57
En la criba de la tostenes 00:16:59
Porque entonces yo no me vuelvo loca 00:17:00
Buscando divisores del 59 00:17:02
Si yo ya sé que el 59 es primo, hago así 00:17:04
Y yo ya sé que 118 es 2 por 59 00:17:06
y no hay más, otro ejemplo, por ejemplo, si yo quiero 256, que no sé fácilmente sus 00:17:12
factores, bueno, pues empiezo por el 2, entonces el 2 entre 2 a 1 y no me queda nada, el 5 00:17:23
entre 2 a 2 y me queda un 1, y el 16 entre 2 a 8, 128 sigue siendo primo entre 2, 12 00:17:28
entre 2 a 6 y 8 entre 2 a 4, sigue siendo par, el 64 dividido entre 2, 32, sigue siendo 00:17:37
par, dividido entre 2, 16, entre 2, 8, entre 2, 4, entre 2, 2 y entre 2, 1, como ya he 00:17:49
Llegado al 1, yo puedo poner que 256 es igual a 2 elevado a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, elevado a 8. 00:17:58
Es por eso que es útil manejar la descomposición en forma de potencia, porque es muy cómodo para escribir la factorización. 00:18:08
¿Para qué nos sirve? Pues, entre otras cosas, además de operar, también me permite calcular múltiplos y divisores. 00:18:17
Nosotros hablamos de un divisor común cuando es un número que es un factor que divide a varios números, por ejemplo, si yo quiero un divisor común del, voy a poner otros, espera, voy a poner el 36, el 72 y el 12, está mal escrito. 00:18:23
Yo quiero los divisores comunes, es decir, un número que divida al mismo tiempo el 36 al 72 y el 12 00:18:56
El primero que es más pequeño, el 1 00:19:04
El 1 los divide, ¿puedo dividir 36 entre 1 de forma exacta? Sí 00:19:06
¿Puedo dividir 72 entre 1 de forma exacta? Sí 00:19:13
¿Y dividir 12 entre 1 de forma exacta? Sí 00:19:16
Ya hemos dicho al principio que el 1 es divisor universal 00:19:18
Como todos son pares, también podría dividir entre 2 00:19:20
Si yo sumo las cifras, esto me da 9, esto me da 9 y esto me da 3 00:19:23
Todos son de la tabla del 3 00:19:35
Así que también podría dividir entre 3 00:19:37
Es más, también podría dividir entre 6 00:19:40
Porque si divido entre 2 y entre 3 00:19:46
Hemos aprendido que el criterio de divisibilidad de los números compuestos 00:19:48
Es que un número se puede dividir entre un número compuesto 00:19:53
Si es divisible entre sus factores primos 00:19:56
Pues yo podría dividir entre 6 00:19:59
pero es más, el 12 es divisor de 72 y de 36, luego el 12 también podría ser, 00:20:01
pero bueno, si estoy borrando, esta pizarra va un poco mal, 00:20:11
entonces, como tengo varios números, tengo un conjunto de números, conjunto en matemáticas se pone con llaves, 00:20:17
entonces, ¿nos va a interesar calcular el divisor común más pequeño, que es el 1? 00:20:23
No, ya le conozco. El 1 siempre va a ser un divisor común de todos, luego el mínimo común divisor de varios números lo conozco que es el 1. 00:20:28
No hace falta calcularlo. ¿Cuál va a ser interesante calcularlo? El más grande. 00:20:35
El máximo común divisor de varios números, en este caso, sería el máximo común divisor de 36, 72 y de 12, sería 12. 00:20:39
¿Qué es un múltiplo común? Pues es un múltiplo común a varios números a la vez, 00:20:50
Es decir, resultado de multiplicar varios números por otros al mismo tiempo 00:20:54
Entonces, por ejemplo, si yo quiero un múltiplo común 00:20:58
De 4, de 12 y de 8 00:21:02
Vamos a ver 00:21:12
Igual que no podía tener un divisor más grande que 12 00:21:16
Porque ningún número divide a 12 si es más grande que él de forma exacta 00:21:21
Tampoco voy a poder tener un múltiplo más pequeño que 12 en este caso 00:21:26
Porque por lo menos tengo que tener el 12 una vez para ser un múltiplo 00:21:33
Si soy un múltiplo, soy el resultado de multiplicar ese número por otro 00:21:39
Lo más pequeño es 12 por 1 o ese número por 1 00:21:42
4 por 1 es 4, 12 por 1 es 12 y 8 por 1 es 8 00:21:45
Si quiero que sea un múltiplo común, por lo menos tiene que ser 12 00:21:48
Entonces, partiendo del 12, voy a empezar a mirar 00:21:51
Siguiente múltiplo del 12, el 24 00:21:55
¿El 24 es múltiplo de 4? Sí 00:21:58
¿El 24 es múltiplo de 12? Sí, porque es 12 por 2 00:22:01
¿El 24 es múltiplo de 8? Sí, porque es 8 por 3 00:22:05
Así que el primer múltiplo sería 24 00:22:08
¿El 36? No, mira, el 36 no, porque no es múltiplo de 8 00:22:10
8 por 4 es 32, pero no hay ningún número que multiplicado por 8 me dé 36 00:22:17
¿El siguiente sería el 48? Mira, sí, el 48 sí 00:22:21
Y el siguiente sería el 60 00:22:25
¿Cuántos podría encontrar? 00:22:28
En realidad podría encontrar 00:22:30
Un conjunto de infinitos múltiplos 00:22:32
Divisores comunes no 00:22:34
Pero múltiplos comunes puedo encontrar infinitos 00:22:35
Porque puedo seguir hasta donde llegue 00:22:38
Por eso no tiene sentido 00:22:39
Eso es lo que indican estos tres puntos suspensivos 00:22:42
Que llevo al infinito 00:22:44
Por eso no tiene sentido 00:22:44
Calcular el múltiplo común más grande 00:22:46
¿Qué es lo único que tendrá sentido? 00:22:50
Encontrar el mínimo 00:22:52
común múltiplo, es decir, el múltiplo común más pequeño de 4, de 12 y de 8. Por eso 00:22:54
cuando trabajamos en matemáticas sólo se calcula el divisor común más grande, máximo 00:23:07
común divisor de varios números, o el múltiplo común más pequeño, mínimo común múltiplo 00:23:13
de varios números. Vamos a entender el concepto antes de ver el algoritmo para números grandes. 00:23:18
entonces yo por ejemplo el 60 ya hemos dicho antes que era 15 por 4 así que 2 por 2 por 3 y por 5 00:23:24
y ahora voy a poner otro número que sea 2 por 3 y por 7 que es el 42 00:23:33
si yo cojo estos dos números lo que voy a hacer es repartirlos en dos conjuntos 00:23:41
A esto se le llama diagrama de Venn 00:23:50
En esta parte pondré los que son divisores comunes de los dos a la vez 00:23:52
Entonces, aquí voy a poner en este conjunto los factores del 60 00:23:56
Y aquí voy a poner en este conjunto los factores del 42 00:24:01
Para empezar, yo tengo aquí un 2 en común 00:24:05
Así que este 2, ¿dónde lo pondré? 00:24:08
Aquí 00:24:11
Pero también tengo un 3 en común 00:24:11
Así que el 3 irá aquí 00:24:15
Me quedan del 60 este 2 y este 5 00:24:17
Así que los pondré aquí, en el conjunto del 60 00:24:21
Y aquí me queda un 7 00:24:26
Entonces, vamos a ver 00:24:27
Para ser un divisor común, yo tengo que ser divisor de 60 y de 42 a la vez 00:24:30
Es decir, el 2 podría ser un divisor común 00:24:35
Y también podría serlo el 3 00:24:38
Pero hemos dicho que si yo soy divisor 00:24:42
Si el 2 es divisor y el 3 es divisor 00:24:44
Si yo soy divisible entre 2 y entre 3, también voy a ser divisible entre su producto, que es 6. 00:24:46
Por eso, si yo quiero calcular el máximo común divisor, en este caso de 60 y de 42, utilizaré el 2 y lo multiplicaré por 3. 00:24:52
Multiplicaré los factores comunes elevados al menor exponente con el que aparecen, porque aquí aparece el 2 al cuadrado, 00:25:06
Pero aquí solo hay un 2 00:25:13
Y común solo puede haber un 2 00:25:15
No hay más que un 2 en común 00:25:17
Porque el 42 no tiene más que un 2 00:25:18
Como factor 00:25:22
¿Qué me va a pasar si lo que quiero es el mínimo común múltiplo? 00:25:23
De 60 y de 42 00:25:27
Para empezar tendré que coger 00:25:29
Los factores que generan el 60 00:25:32
Porque si yo no tengo dos 2es 00:25:35
Un 5 y un 3 00:25:37
No tengo al menos 60 una vez 00:25:38
Que es el múltiplo más pequeño de 60 00:25:40
Así que tendré que coger el 2 por el 2 por el 5 por el 3 00:25:42
Pero tiene que ser un múltiplo común 00:25:47
Es decir, tiene que ser un número que también sea múltiplo del 42 00:25:49
Para ser múltiplo del 42 yo necesito un 2 y un 3 00:25:56
No hay problema, los tengo aquí 00:25:59
Pero necesito también un 7 que no lo tengo 00:26:01
Así que tengo que multiplicar por el 7 00:26:04
Entonces, si yo multiplico 00:26:06
Lo tengo fácil, porque sé que estos factores generan el 60 00:26:10
Así que 6 por 7, 42, este número es el 420 00:26:16
Va a ser el número más pequeño que es múltiplo de 60 y de 42 a la vez 00:26:20
Y además, puedo ver cuántas veces 00:26:26
Si me acuerdo del truco de antes de dividir 00:26:28
¿Cuántas veces tengo 60 en 420? 00:26:30
7 veces 00:26:33
Y si yo cojo los factores que forman el 42, perdón, que son el 2, el 3 y el 7, ¿cuántas veces tengo el 42 en 420? 10 veces. 00:26:34
Esto es muy operativo para verlo con dos 00:26:55
Creo que se ve muy claro que para poder hacer un divisor común 00:27:06
Tengo que multiplicar los factores comunes 00:27:10
Y sin embargo, para encontrar un múltiplo común 00:27:12
Tengo que multiplicar por todos los factores que aparecen en este conjunto 00:27:16
La unión de este conjunto 00:27:22
Uy, que he borrado, perdón 00:27:25
Pensaba que estaba pintando 00:27:27
No más, porque si yo añado 00:27:29
En realidad este es el mínimo número de factores que necesito 00:27:32
Fíjate, si yo añadiera un 2 porque cogiera 3 2 es 2 3 es un 5 y un 7 00:27:36
Me estaría pasando porque este número ya he visto que es común 00:27:43
Y sin embargo aquí estaría haciendo 6 veces el número anterior 00:27:52
Entonces estaría haciendo un múltiplo común más grande que el que tenía 00:27:57
Por tanto no tiene sentido 00:28:00
Y tampoco puedo hacer un número más pequeño 00:28:03
porque si yo quito alguno de estos factores 00:28:06
ya no soy múltiplo de uno de estos dos 00:28:09
o de este o de este, en este caso 00:28:12
si quito el 2 ya no soy múltiplo de 60 00:28:14
sería múltiplo de 42 porque tengo sus factores 00:28:17
pero no de 60 00:28:20
así que no puedo quitar ninguno 00:28:21
tengo que dejar todos los que tenía 00:28:23
todos los que hay ahí los tengo que coger 00:28:25
esto lo que pasa es que no es operativo 00:28:29
cuando yo tengo números más grandes 00:28:32
Por ejemplo, si yo tengo el 80, el 90 y el 100, vamos a descomponerlos. 00:28:35
El 80, si es 8 por 10, lo puedo poner como 2 por 2 por 2, que es 8, por 2 por 5, que es 10. 00:28:47
El 90, el 90 es 9 por 10, entonces lo puedo poner como 2 por 5, por 3 y por 3. 00:28:57
Y el 100, el 100 es 10 por 10, así que en realidad es 2 por 2 por 5 y por 5. 00:29:06
Aquí ya no es operativo hacerlo de los conjuntos porque tengo muchas complicaciones. 00:29:15
Voy a empezar trabajando con tres números, voy a empezar calculando los divisores comunes. 00:29:21
Si yo quiero calcular el máximo común divisor de 80, de 90 y de 100, 00:29:26
tendré que encontrar los factores 00:29:32
que son comunes al mismo tiempo 00:29:34
a los 3, vamos a ver 00:29:36
este 2 lo tengo aquí y lo tengo aquí 00:29:38
vale, un 2 00:29:40
el 5 lo tengo aquí 00:29:41
lo tengo aquí y lo tengo aquí 00:29:45
vale, por 5, pero fíjate 00:29:46
que aquí ya no hay ningún 3 00:29:48
así que el 3 ya no puede ser factor común 00:29:50
y aquí 00:29:52
ya no hay ninguno más, o sea, ya no puedo 00:29:54
tener más, que sean comunes a los 3 00:29:56
ya no hay más que estos 3, por eso es 10 00:29:58
Si yo quiero el máximo común divisor de 80 y de 90 00:30:00
Es por eso que es importante poner aquí de quién lo estoy calculando 00:30:07
Porque yo puedo calcular ahora ya más con tres números 00:30:11
Puedo calcular muchas combinaciones 00:30:13
Ahora me tengo que fijar solo 00:30:15
Me tengo que fijar solo en estos números de aquí 00:30:17
Entonces voy a ver 00:30:28
¿Qué tengo en común? 00:30:29
Un 2 y un 2 00:30:31
Un 5 y un 5 00:30:32
Y no hay nada más 00:30:34
Pues mira, 2 por 5 que es igual a 10 00:30:34
Vamos a ver ahora el máximo común divisor de 80 y de 100 00:30:37
Bueno, vamos con el de 90 que va a ser más fácil de ver yo creo 00:30:44
Y cuando tengamos un poco más de práctica 00:30:49
Ahora lo que voy a hacer es coger estos dos 00:30:51
Y voy a ver que tienen en común 00:30:58
Pues mira, en común tienen un 2 y un 5 00:31:00
Pues un 2 y un 5 00:31:03
Y si yo ahora hago el máximo como un divisor de 80 y de 100 00:31:05
Vamos a ver 00:31:24
Yo ahora estoy trabajando con este y con este 00:31:27
Tengo un 2, un 2, un 2, un 2, un 5 y un 5 00:31:30
Aquí tengo más, tengo dos 2es y un 5 00:31:35
Como esto es 10, pues 2 por 10, 20 00:31:38
Vamos a ver, entonces, para buscar los divisores comunes más grandes 00:31:41
Multiplico los factores comunes elevados al menor exponente con el que aparecen en los números de los que los quiero calcular 00:31:49
Vamos a ver ahora los múltiplos 00:31:58
Voy a borrar esto, no, esto no 00:32:02
Voy a borrar esto 00:32:08
Ah, mira, voy a borrar solo esto 00:32:10
Y voy a borrar todo esto 00:32:20
Vale, vamos a empezar 00:32:23
Voy a calcular el mínimo común múltiplo ahora 00:32:38
Es decir, el múltiplo común más pequeño a los números que yo tenga aquí 00:32:42
De 80 y de 90 y de 100 00:32:46
Vamos a ver 00:32:48
Primero necesitaré los 4 doses 00:32:49
Del 80 y un 5 00:32:52
Si ahora me vengo aquí, un 2 lo tengo 00:32:57
Mira, lo tengo aquí 00:33:02
El 5 lo tengo 00:33:06
Mira, lo tengo aquí, pero me faltarían los dos treses, así que los tengo que añadir. 00:33:07
Y si ahora me vengo aquí, los dos doses los tengo y los dos cincos no los tengo, me hace falta un cinco más. 00:33:13
¿Cómo puedo multiplicar de forma fácil? Utilizando el truco de la factorización. 00:33:23
Yo sé que si multiplico dos doses y dos cincos, tengo el número cien. 00:33:29
Así que dos doses y dos cincos son el número cien, multiplico el resto, tres por tres nueve, dos por dos cuatro, nueve por cuatro treinta y seis, treinta y seis, y le añado dos ceros al multiplicar por cien, tres mil seiscientos. 00:33:35
Vamos a ver ahora qué pasa con el ochenta y el noventa. 00:33:50
Es decir, solo voy a mirar los múltiplos comunes aquí. 00:33:55
Para empezar, cuatro doses y un cinco 00:34:00
Y ahora, un dos lo tengo, otro cinco lo tengo 00:34:03
Pero me faltan los dos treses 00:34:15
Así que los tengo que añadir 00:34:18
Entonces, dos por dos, por dos, por dos y por cinco 00:34:20
Que son esto de aquí 00:34:27
Hace ochenta 00:34:29
Y esto de aquí es nueve 00:34:32
Nueve por ocho, setenta y dos 00:34:33
Es el setecientos veinte 00:34:35
Vamos con el 90 y el 100 00:34:36
Ahora quiero el múltiplo común de estos dos números 00:34:44
Pues aquí tengo un 2, un 5, un 3 y un 3 00:34:52
Pues 2 por 5 por 3 y por 3 00:34:55
El 2 le tengo, fenomenal 00:34:58
El 2 no, me falta 00:35:00
El 5 le tengo, el 5 no, me falta 00:35:01
Y ahora, utilizando el truco de la multiplicación 00:35:04
Este 2, este 5, este 2, este 5 hacen 100 00:35:09
Así que 3 por 3, 9, 900 00:35:12
Vamos con el último 00:35:15
De 80 y de 100 00:35:23
Vamos a ver, para el 80 necesito 4 doses y un 5 00:35:33
Ahora, los dos doses del 100 los tengo aquí 00:35:41
El 5 también lo tengo, me hace falta este 5 de aquí 00:35:45
Así que serán, esto es 100 y 2 por 2 es 4, 400 00:35:48
400 es el múltiplo más pequeño entre 80 y 100 00:35:54
Y con esto es con lo que yo puedo ahora realizar los problemas 00:36:01
Una cosa para los problemas, un truco 00:36:09
Si yo lo que tengo es que repartir las cantidades que me dan 00:36:12
De forma que obtengo cantidades más pequeñas 00:36:18
Menores que las del enunciado 00:36:22
Lo que estoy es en realidad dividiendo 00:36:37
Así que tengo que buscar un divisor común 00:36:45
Cuando yo lo que quiero es repetir una cantidad 00:36:48
La que me dé el enunciado 00:36:56
De manera que resultan cantidades mayores que las del enunciado 00:36:58
Estoy multiplicando varias veces los números que me dan 00:37:10
Estoy buscando un múltiplo común 00:37:18
Y con esto espero que os haya servido de repaso de todos los conceptos más importantes del tema de divisibilidad 00:37:21
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Carolina H.
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16 de octubre de 2023 - 20:56
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