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Ecuaciones exponenciales r - Contenido educativo

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Subido el 17 de noviembre de 2024 por Maria Belen P.

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Hola, vamos ahora a explicar las ecuaciones exponenciales. 00:00:00
Ecuaciones exponenciales son aquellas en las cuales la incógnita, la x, aparece en el exponente, pues el tipo a elevado a x. 00:00:05
La base va a ser siempre positiva, a mayor que cero, y la base nunca va a ser uno. 00:00:15
A puede ser pues cualquier número como estamos viendo 00:00:22
en especial merece especial digamos atención el número E 00:00:28
el número E que como sabemos todos es un número irracional 00:00:34
y aproximadamente lo tomamos como E2,72 aproximadamente 00:00:40
y además es la base de los logaritmos neperianos 00:00:46
el logaritmo neperiano de e, sabemos que sería 1, porque e elevado, en este caso, a 1 es e. 00:00:51
¿Qué más hay que recordar? Pues la propiedad fundamental que nos va a servir para calcular o para hallar las ecuaciones exponenciales, 00:01:04
exponenciales para hallar su solución, pues si yo tengo dos bases iguales que están elevadas 00:01:15
a distintos exponentes, como las bases son iguales, el exponente, bueno, esto sería 00:01:20
diferente, x1 es igual a x2, es una de las propiedades que vamos a ver al final para 00:01:25
averiguar la solución. Y también recordamos las propiedades de potencias, a elevado a 00:01:33
0 es 1, a elevado a 1 es a, luego también tenemos las potencias exponente negativo, 00:01:39
que es 1 partido por a elevado a n, cuando tengo igual base, o sea, igual base a elevado 00:01:47
a n por a elevado a m es igual a elevado a n más m, a elevado a n dividido entre a elevado 00:01:53
a m es igual a elevado a m menos m. ¿Qué más conocemos cuando tenemos el mismo exponente? 00:02:03
A elevado a n y b elevado a n, el producto se hace las bases y se eleva al mismo. Igualmente 00:02:11
para dividir a elevado a n dividido b elevado a n, es lo mismo que tener a dividido entre 00:02:19
b, todo ello elevado a n. Y por último, a elevado a m elevado a n es m por n. También 00:02:27
recordamos que un exponente fraccionario tipo, por ejemplo, p partido por q, os pongo este 00:02:38
que es el de siempre, en este caso tenemos raíz a elevado a p de índice q, recordamos 00:02:46
de radicales. Vamos ahora con 00:02:54
un tipo que es el más sencillo que podemos encontrar. Vamos 00:02:58
a buscar, encontrar que las bases sean iguales a elevado 00:03:01
a x sub 1 a elevado a x sub 2, es decir que ambas bases sean iguales 00:03:06
el 4 como lo puedo poner como 2 elevado a 2 00:03:10
ya tengo las bases iguales, de aquí obtengo que los exponentes 00:03:13
han de ser iguales y de aquí despejaríamos el valor 00:03:18
de x, que sería en este caso 3, x igual a 3 medios. En este caso si hacemos la sustitución 00:03:22
aquí no va a haber problemas en las exponenciales generalmente, tendríamos 2 elevado aquí 00:03:32
a 3 medios menos 1 y nos va a quedar 2 elevado a 2, es decir, se verifica. Aquí tenemos 00:03:39
otra que exactamente igual, lo que tenemos que intentar 00:03:46
buscar que las bases sean iguales 00:03:50
como hemos dicho aquí a elevado a 0 es 1 00:03:53
entonces aquí puedo ponerlo como 4 elevado a 0, de manera que 00:03:58
voy a operar aquí 00:04:03
4 elevado, aquí sería a 3 menos 00:04:06
x por 2 menos x y eso tiene que 00:04:10
ser igual a 4 elevado a 0. Las bases son iguales, entonces de aquí sacamos que los exponentes 00:04:14
son iguales. Entonces nos quedaría 3 menos x por 2 menos x igual a 0 y resolveríamos 00:04:20
esta como una ecuación factorizada. De manera que si este producto es 0, pues es que este 00:04:34
es 0, con lo cual x vale 3, la x sub 1 y 2 menos x es igual a 0 y sacaríamos que la 00:04:42
x sub 2 vale 2. En las ecuaciones exponenciales verificaríamos y no hay problema, ambas soluciones 00:04:51
verifican la ecuación. Veamos ahora este tipo de exponenciales que es un poco más 00:05:00
complicado porque aparece en forma de suma y además las bases, o sea, no podemos igualar 00:05:07
como antes, pero si aplicamos las propiedades de las potencias tendríamos 4 elevado a x 00:05:13
más esto, ¿cómo lo podemos separar? Pues como 4 elevado a x por 4 elevado a 2. Esto 00:05:19
es igual a qué? A 272. Si nos damos cuenta, la forma de operar es siempre la misma. Aquí 00:05:25
Aquí sacaríamos factor común 4 elevado a x y nos va a quedar dentro el que 1 más 4 cuadrado, que en este caso sería igual a 272, con lo cual 4 elevado a x va a ser igual a 272 partido 4 cuadrado 16 más 1 que serían 17. 00:05:33
y en este caso al hacer la división estos serían 16 y 16 es igual a 4 cuadrado 00:05:54
de manera que aquí obtenemos que como las bases son iguales, x es igual a 2, los exponentes también son iguales. 00:06:04
A ver, en realidad yo estoy diciendo las bases son iguales, los exponentes son iguales. 00:06:13
Lo que aquí haríamos, porque la potenciación es justo la operación contraria a tomar logaritmos, 00:06:18
yo puedo tomar aquí, tenemos 4 elevado a x igual a 4 al cuadrado, 00:06:26
que tomaría el logaritmo en base 4 de 4 elevado a x, esto es igual al logaritmo en base 4 de 4 al cuadrado. 00:06:34
Aplicando propiedades del logaritmo, la x sale fuera y me queda logaritmo en base 4 de 4. 00:06:43
Y aquí me quedaría 2 logaritmo en base 4 de 4. 00:06:49
Como bien sabemos, esto es 1. 00:06:54
El logaritmo de la base en su propia base es 1. 00:06:57
Aquí es 1, con lo cual me queda que x es igual a 2. 00:07:01
Es lo mismo, solo que aquí digamos que simplificamos bastante. 00:07:05
Vamos ahora a resolver este un poco más complicado 00:07:10
Pero es exactamente igual 00:07:14
Lo que vamos a hacer, si nos damos cuenta 00:07:16
La base es 3 00:07:19
Empezaríamos poniendo 3 elevado a 2x por 3 00:07:21
3 elevado a 1 menos 3 elevado a x por 3 elevado a 2 00:07:26
Y esto es igual a 162 00:07:31
El procedimiento en este caso es siempre el mismo 00:07:34
En este caso si nos damos cuenta 3 elevado a x lo podría elevar al cuadrado para que me quede 3 elevado a 2x y por 3 menos 3 elevado al cuadrado, lo voy a poner al principio, por 3 elevado a x y menos 162 igual a 0. 00:07:38
Vamos a hacer un cambio de variable, al 3 elevado a x le voy a llamar t, de manera que aquí me quedaría t cuadrado por 3, el 3 lo voy a poner aquí delante, menos 9 por 3 elevado a x menos 162 y esto igual a 0. 00:07:55
el 3 elevado a x, perdón que lo he puesto aquí, esto sería t 00:08:14
de modo que esto lo puedo simplificar 00:08:18
un poco dividiendo entre 3 todo, si esto lo divido entre 3 00:08:22
me quedaría t cuadrado menos 9 entre 00:08:26
3, 3, 3t y menos 00:08:30
162 entre 3 que me queda 54 00:08:34
y esto igual a 0 y que me queda una ecuación 00:08:38
de segundo grado. De manera como esto ya lo sabéis resolver, sustituimos y me quedarían 00:08:42
esas dos soluciones, si no me he equivocado. La primera 15 y 3, 18 entre 2 a 9 y 12 entre 00:08:48
2 a menos 6 aquí en este caso. Pues claro, esta sería t sub 1. Pues fijaos, ahora hay 00:08:58
Hay que deshacer el cambio, deshacemos el cambio, el cambio y en este caso, fijaos, tendríamos que 3 elevado a x resulta que es 9. 00:09:06
9, tenemos de nuevo una ecuación exponencial que sería 3 al cuadrado, ya que sacaríamos que la x vale 2. 00:09:19
Y luego esta sería para la primera solución, sería la x sub 1. 00:09:27
Y de la segunda me quedaría que 3 elevado a x de nuevo es igual a menos 6. 00:09:30
Esta no tiene solución porque una base positiva elevado a cualquier exponente no va a quedar en este caso negativo 00:09:37
No nos serviría, con lo cual la única solución posible es esta de aquí 00:09:46
Como indico en las exponenciales es difícil que salvo que tenga un denominador en el que aparezca la x y tenga que comprobar 00:09:50
Aquí 3 elevado me quedaría a 5 menos 3 elevado a 4 y esto me queda 243 menos 81 y esto es 162, correcto. 00:09:59
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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Subido por:
Maria Belen P.
Licencia:
Todos los derechos reservados
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Fecha:
17 de noviembre de 2024 - 2:29
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES PALAS ATENEA
Duración:
10′ 21″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
1440x1080 píxeles
Tamaño:
56.44 MBytes

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