Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.
PR4. 6. La normal como aproximación de la binomial - Contenido educativo
Ajuste de pantallaEl ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
00:00:17
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleadoras continuas y a la distribución normal.
00:00:21
En la videoclase de hoy estudiaremos el uso de la distribución normal como aproximación
00:00:27
de la binomial. En esta videoclase vamos a estudiar cómo utilizar la distribución normal
00:00:36
como aproximación de la distribución binomial.
00:00:50
Si comparáis la forma de la gráfica de la función de probabilidad de una distribución binomial
00:00:54
y de la función de densidad de probabilidad de una distribución normal,
00:01:00
habréis podido ver que la forma es bastante similar, una campana muy similar de forma.
00:01:04
No es idénticamente a la misma, pero es muy, muy, muy similar.
00:01:09
La diferencia fundamental entre ambas es que, por supuesto,
00:01:12
la función de densidad de una distribución normal es una función continua
00:01:15
como corresponde a una variable aleatoria continua,
00:01:19
mientras que la función de probabilidad de una distribución binomial
00:01:21
es una función discontinua, es una función discreta
00:01:24
como corresponde a una variable aleatoria discreta.
00:01:30
Pues bien, hay un teorema que nos va a permitir utilizar la distribución normal
00:01:33
como aproximación de la binomial.
00:01:37
Se trata del teorema de De Moivre-Laplace
00:01:38
y en el caso en el que n, el número de repeticiones en la distribución binomial,
00:01:41
tienda a infinito, fijaos que vamos a acabar haciendo uso de una de las leyes
00:01:47
de los grandes números, podemos utilizar una distribución
00:01:51
normal como aproximación de la binomial. Y la idea es
00:01:55
esta. Si nosotros necesitáramos
00:01:59
utilizar o describir una variable aleatoria binomial
00:02:02
con n repeticiones y p probabilidad de éxito y n
00:02:06
toma un valor muy grande, en el límite del infinito,
00:02:11
podemos utilizar en el lugar de esta x una variable y que va a ser normal con media n por p y con
00:02:14
desviación típica raíz cuadrada de n por p por 1 menos p. Fijaos que lo que tenemos aquí es una
00:02:28
distribución normal con media la media de la distribución binomial y con desviación típica
00:02:35
la desviación típica de la distribución binomial. Podemos dar un paso más y, puesto que nosotros no
00:02:41
vamos a utilizar en general distribuciones normales cualesquiera sino la distribución
00:02:49
normal estándar, podemos estandarizar esta variable. Y lo que vamos a hacer es utilizar en su lugar
00:02:53
una variable aleatoria x que va a ser normal estándar y que vamos a construir restándole a
00:03:00
está ahí su media y dividiendo entre su desviación típica. En última instancia lo que vamos a hacer
00:03:06
es considerar no esta y sino esta z que se va a calcular restándole a x su media n por p y
00:03:12
dividiendo entre su desviación típica, red cuadrada de n por p por 1 menos p. Esta variable z así
00:03:20
construida va a seguir una distribución normal estándar con media 0 y desviación típica 1.
00:03:26
Cabe preguntarse qué quiere decir eso de n tendiendo infinito, puesto que evidentemente n tendiendo infinito no lo vamos a poder conseguir.
00:03:33
Recuerdo que en su momento, hablando de la ley de los grandes números, dije que deberíamos llamarle en realidad ley de los enormemente grandes números,
00:03:43
puesto que en realidad, siendo estrictos, eso de que las probabilidades convergen cuando n tende infinito se observa con repeticiones,
00:03:50
con un número de repeticiones enormemente grande, mucho más grande del que uno podría esperar.
00:03:57
Bueno, pues efectos prácticos y como podéis ver aquí, vamos a empezar a utilizar esta aproximación considerándola suficientemente adecuada, no estrictamente precisa, pero suficientemente adecuada, para valores de n que sean mayores que 10.
00:04:01
Y evidentemente, cuanto mayor sea n, mayor que 10, mejor será.
00:04:16
Necesitamos que las probabilidades de éxito y de fracaso sean suficientemente próximas a 0,5,
00:04:21
puesto que la distribución binomial no lo es, salvo que la probabilidad de éxito sea idénticamente igual a 0,5.
00:04:26
Será suficientemente simétrica cuando la probabilidad lo sea, pero suficientemente próxima a 0,5, quiero decir.
00:04:32
Esto ocurrirá cuando consideremos que n por p sea mayor que 5 y n por 1 menos p también sea mayor que 5.
00:04:39
Dependiendo de qué literatura consultéis o a quién preguntéis, os podéis encontrar con criterios ligeramente distintos.
00:04:48
Estos son los más habituales y los que nosotros en bachillerato utilizaremos.
00:04:54
utilizaremos. Insisto, consideraremos que n es suficientemente grande y que la binomial es
00:04:58
suficientemente simétrica como para poder utilizar esta normal estándar en sustitución de la binomial
00:05:03
que sería la correcta cuando el número de repeticiones sea mayor que 10, cuanto mayor mejor,
00:05:12
y cuando n por p sea mayor que 5 y n por 1 menos p también. Algo que debemos tener en cuenta es lo
00:05:17
que se llama la corrección de continuidad, en este caso la corrección de continuidad
00:05:26
de Yates, que consiste en que aunque estemos utilizando una distribución normal no podemos
00:05:30
obviar que en realidad estamos partiendo de una distribución binomial. Y nos encontramos
00:05:37
con el problema de cómo podemos calcular utilizando la distribución normal la probabilidad
00:05:44
de que X binomial tome un valor numérico concreto. En un momento dado nosotros podemos
00:05:50
hacer 10.000 repeticiones de un cierto experimento y nos podemos preguntar por la probabilidad de
00:05:55
que haya exactamente 17 éxitos. Si nosotros queremos utilizar una distribución normal no
00:06:00
podemos calcular directamente esta probabilidad de que la variable z normal estándar que hayamos
00:06:05
construido restándole a x su media y dividiendo entre su desviación típica tome un valor numérico
00:06:11
concreto puesto que en el paso a una distribución continua esa probabilidad para un valor numérico
00:06:16
concreto es 0. Esta discusión la hicimos en el momento en el que hablamos de la función
00:06:23
de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua en la sección 2 de esta
00:06:28
misma unidad. ¿Qué es lo que ocurre? Pues que tenemos que hacer un ajuste para tener
00:06:33
en cuenta esto, que estamos pasando de una variable x que va a tomar valores naturales
00:06:39
0, 1, 2, 3, 4 a una variable y normal o bien z normal estándar que toma valores dentro de toda
00:06:47
la recta real. Y la idea es esta. Cada vez que nos preguntemos por la probabilidad de que una
00:06:55
binomial toma un valor numérico concreto, al hacer la transformación por la normal, lo que vamos a
00:07:00
hacer es a este valor x restarle 0,5 como límite inferior y sumarle 0,5 como límite superior y
00:07:06
transformar esta probabilidad en un punto concreto por la probabilidad en este intervalo, que insisto
00:07:13
construiremos restando y sumando 0,5 a este valor de x. Esto en el caso de y la normal que corresponda
00:07:19
con su media y su desviación típica, el equivalente cuando tengamos la normal estándar. En el caso en
00:07:28
el que se nos pregunte por una probabilidad de una cola a la izquierda x menor o igual que x0,
00:07:34
lo que haremos será también tomar la probabilidad de una cola de la izquierda, pero a la abstisa le sumaremos 0,5.
00:07:41
Cuando la desigualdad sea estricta, le restaremos 0,5.
00:07:49
Cuando se nos pida la probabilidad de una cola de la derecha, x mayor o igual que x0,
00:07:53
cuando la abstisa esté incluida, lo que haremos será poner la probabilidad de que la normal sea mayor o igual que y sub 0,
00:07:59
también va a ser una cola de la derecha, restando 0,5.
00:08:06
Y cuando la desigualdad sea estricta, sin la igualdad, sumaremos 0,5.
00:08:09
Cuando tengamos la probabilidad de un intervalo y los dos extremos estén cerrados, estén incluidos,
00:08:15
en los dos extremos, perdón, en el extremo de la izquierda restaremos 0,5 y en el extremo de la derecha sumaremos 0,5.
00:08:23
Aquí abajo vemos el caso en el que los dos extremos estén abiertos.
00:08:31
En ese caso, en el de la izquierda sumaremos 0,5 y en el de la derecha restaremos 0,5.
00:08:34
Cuando en la probabilidad de ese intervalo el extremo izquierdo está abierto y el derecho cerrado, en ambos casos sumaremos 0,5.
00:08:41
Cuando el extremo de la izquierda esté cerrado y el de la derecha está abierto, en ambos casos restaremos 0,5.
00:08:48
Teniendo esto en mente, teniendo en cuenta la normalización para poder, la estandarización, perdón, para poder consultar la tabla de la distribución normal-estándar, ya podremos resolver estos ejercicios que resolveremos en clase, probablemente resolveremos en alguna videoclase posterior.
00:08:56
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
00:09:15
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
00:09:22
No dudéis en traer vuestras dudas y inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
00:09:27
Un saludo y hasta pronto.
00:09:32
- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Flipped Classroom
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 6
- Fecha:
- 14 de marzo de 2025 - 10:50
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 10′
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 24.13 MBytes
