Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Distancia de un punto a un plano - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 2 de abril de 2025 por Francisco J. M.

6 visualizaciones

Cómo se obtiene la fórmula para calcular la distancia de un punto a un plano

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Hola chicas, hola chicos, vamos a ver una de las formas que hay de calcular la distancia de un punto a un plano. 00:00:00
Bueno, entonces partimos de un plano del cual suponemos que tenemos la ecuación general, que está escrito ahí todo en verde, 00:00:07
el plano es ecuación general, tenemos un punto del cual conocemos sus coordenadas x0 y z0, que está dibujado en azul, 00:00:12
y lo que queremos calcular es la distancia del punto al plano, que sería la longitud del segmento marrón que he dibujado ahí. 00:00:20
Bueno, entonces, mirad, para hacer esto vamos a proceder de la siguiente manera. 00:00:27
Vamos a coger otro punto del plano, ¿vale? 00:00:30
Otro punto del plano que vamos a llamar Q, por ejemplo, que tiene coordenadas x1, y1, z1. 00:00:33
¿Vale? ¿Cómo encuentro ese punto del plano? 00:00:40
Lo voy a poner bien, Q, pues a partir de la ecuación puedo dar, por ejemplo, valores a dos de las variables, 00:00:43
los que yo quiera, y despejar la otra. 00:00:49
Y así encuentro cualquier punto del plano. 00:00:51
Y con ese punto vamos a formar este rectángulo. 00:00:53
Voy a unir estos dos puntos, lo voy a hacer mejor con línea discontinua, voy a unir estos dos puntos, ¿vale? Voy a coger el vector normal del plano, ¿vale? El vector normal que tiene coordenadas ABC, ¿vale? Los tres coeficientes y en esa dirección voy a dibujar la recta y luego voy a dibujar la paralela a la de abajo, ¿vale? Y ahí tendrá un rectangulito. 00:00:56
fijaros, los dos lados del rectángulo son iguales 00:01:20
con lo cual lo que yo voy a hacer es calcular esta otra distancia de aquí 00:01:24
la longitud de ese otro lado 00:01:28
y para eso voy a coger también el vector QP 00:01:30
el vector que une los dos puntos, el punto del plano que yo he elegido 00:01:35
y el punto del que quiero calcular la distancia 00:01:39
fijaros, las coordenadas del vector QP serán las de P menos las de Q 00:01:42
x sub cero menos x sub uno 00:01:49
y sub cero menos y sub uno 00:01:51
z sub cero menos z sub uno 00:01:53
de acuerdo, bueno 00:01:55
y ahora para hallar este lado del rectángulo 00:01:57
voy a aprovechar que aquí tengo un triángulo 00:01:59
rectángulo, si aquí tengo 00:02:01
un ángulo alfa 00:02:03
vale, fijaros, lo que vamos a hacer es 00:02:04
realmente es proyectar el vector 00:02:07
qp en la dirección de n 00:02:09
pero si, por si no os acordáis como se hace eso 00:02:11
lo voy a hacer desde el principio, vale 00:02:13
entonces, si me fijo en este triángulo 00:02:15
rectángulo puedo aplicar la definición de las razones trigonométricas y ahí tendría que el 00:02:17
coseno de ese ángulo alfa que es dibujado es el cateto contiguo fijaros que el cateto contiguo 00:02:22
es este lado del rectángulo que es igual que ese que es la distancia que quiero calcular sería la 00:02:28
distancia del punto al plano partido por la hipotenusa y la hipotenusa de este rectángulo 00:02:33
es esa de ahí, es el módulo del vector QP, ¿vale? De ahí puedo sacar que la distancia del punto al plano, si despejo, es el módulo del vector QP por el coseno del ángulo que forman. 00:02:39
Y vamos a aparcar aquí este resultado que lo vamos a tratar un poquito más, lo vamos a utilizar un poquito más tarde. 00:02:56
vale, fijaros, ahora vamos a hacer el producto escalar del vector n 00:03:02
el vector normal del plano, este que tenemos aquí, por el vector qp 00:03:07
vale, si yo aplico la definición del producto escalar 00:03:11
esto sería módulo de n por módulo del vector qp 00:03:15
por el coseno del ángulo que forma 00:03:20
vale, pero si os fijáis, voy a cambiar de color 00:03:23
si os fijáis, esto de aquí es lo mismo que tengo aquí 00:03:25
es decir, es la distancia del punto P al plano pi 00:03:29
por lo cual cambiando de color otra vez 00:03:34
me queda que el producto escalar de n por QP es igual al módulo de n 00:03:36
por la distancia de P a pi 00:03:44
y aquí tenemos que hacer una precisión 00:03:47
fijaros, yo aquí como siempre he dibujado todos los vectores en el orden que me conviene 00:03:51
Pero, por ejemplo, cuando cojo el vector normal no sé si he cogido ese o he cogido este otro que está en la otra dirección y entonces el ángulo en cuestión ya no sería ese alfa sino sería este otro que son suplementarios, ¿vale? 00:03:57
Y el coseno me saldría con signo contrario. 00:04:09
Pero ya sabéis que la distancia no puede ser negativa, ¿vale? 00:04:13
Si aquí el producto escalar me sale negativo, la distancia me saldría negativa y eso no tiene sentido, ¿vale? 00:04:16
Eso sería porque estoy cogiendo el vector que no es. 00:04:22
Y como evitamos eso siempre, pues poniendo aquí el valor absoluto y haciendo que el producto escalar siempre me salga positivo, pues eso que esos dos ángulos tienen el mismo coseno, ¿vale? Y lo que me interesa es el valor absoluto. Si he cogido el ángulo equivocado, pues con el valor absoluto remedio la situación. 00:04:25
vale, entonces teniendo eso en cuenta yo de aquí ya puedo despejar la distancia del punto al plano 00:04:43
y me quedaría que es el módulo de, perdón, el valor absoluto de este producto escalar 00:04:51
partido por el módulo del vector n, vale, y vamos a ver cuánto vale eso 00:04:58
vale, voy a empezar por el numerador, voy a calcular este producto escalar 00:05:03
vale, fijaros que n es el vector normal del plano 00:05:09
que tiene coordenadas abc 00:05:14
y el vector pq 00:05:18
perdón, no sé por qué estoy poniendo pq 00:05:21
lo voy a corregir un momento porque es qp 00:05:24
lo he cambiado de sentido sin querer 00:05:26
vale, los borramos y los volvemos a escribir 00:05:28
es el qp, no el pq 00:05:32
el qp, vale, ahora está bien 00:05:34
Vale, fijaros, el vector QP es ese que tengo ahí, el que he calculado al principio, que sería x0 menos x1, y sub 0 menos y1, z0 menos z1. 00:05:38
Si hago el producto escalar de esto, me queda a por x0 menos x1, más b por y0 menos y1, más c por z0 menos z1. 00:05:50
Que si lo desarrollo me queda esto de aquí, a por x0 menos a por x1 más b por y0 menos b por y1 más c por z0 menos c por z1. 00:06:04
Vale, y mirad, lo voy a escribir, lo voy a agrupar de esta manera, ¿vale? Voy a poner primero todos los términos que tienen las coordenadas del punto P, que serían estos, y luego todos los que tienen las coordenadas del punto Q, que serían estos de ahí, ¿vale? 00:06:25
Y voy a intentar simplificarlo un poco. Fijaros, como el punto Q es un punto del plano, el punto Q tiene que cumplir la ecuación del plano, es decir, va a ocurrir que a por x1 más b por y1 más c por z1 más d me va a dar igual a 0, ¿vale? 00:06:45
Como es un punto del plano, tiene que cumplir su ecuación. Fijaros, si yo aquí despejo la D, me queda menos AX1, perdón, menos BI1, menos CZ1, pasando esto al otro miembro. 00:07:02
Pero fijaros que esto que tenéis aquí es justo esto que tenéis aquí, ¿vale? Entonces, como x1 y1 z1 es un punto del plano, yo puedo sustituir eso por d, con lo cual esto me queda ax0 más bi0 más cz0, este no es un punto, x0 y0 z0 no es un punto del plano, ¿vale? Con lo cual no cumple la ecuación del plano. 00:07:20
Bueno, me queda esto de aquí. Bueno, y entonces sustituyendo en la fórmula que teníamos al principio, sustituyendo todo esto en esta fórmula de aquí, me quedará que la distancia del punto al plano será igual al valor absoluto de a por x sub 0 más b por y sub 0 más c por z sub 0 más d. 00:07:45
Fijaros que esto es lo que sale si las ecuaciones del punto lo sustituís en la ecuación del plano. 00:08:08
Fijaros, como el punto no es del plano, al sustituirlo en la ecuación del plano no va a dar cero, va a dar un número. 00:08:16
De ese número cogéis el valor absoluto. 00:08:21
Y abajo lo tengo que dividir por el módulo del vector n. 00:08:24
El vector n tiene coordenadas abc, los tres coeficientes de las incógnitas de la ecuación del plano. 00:08:29
Esto nos quedaría al cuadrado más b al cuadrado más c al cuadrado su raíz cuadrada. 00:08:36
Y esta es la fórmula que podemos aplicar para escribir la distancia de un punto a un plano. 00:08:44
Un saludo. 00:08:54
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Francisco Javier Majadas García
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
2 de abril de 2025 - 13:15
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN ISIDRO
Duración:
08′ 57″
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1152x720 píxeles
Tamaño:
40.46 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

Comentarios

Para publicar comentarios debes entrar con tu nombre de usuario de EducaMadrid.

Comentarios

Este vídeo todavía no tiene comentarios. Sé el primero en comentar.


EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid