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Recetario: Derivada de la función Logarítmica - Contenido educativo

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Subido el 23 de enero de 2008 por EducaMadrid

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Hallar la derivada de la función logarítmica, sin necesidad de aplicar la definición de la "Función derivada"

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Derivada de la función logarítmica. Yo voy a daros solamente una fórmula. 00:00:00
Hay dos fórmulas para la derivada del logaritmo, pero con esta es válida para todos los logaritmos. 00:00:07
Sea logaritmo decimal, sea logaritmo neperiano o con cualquier base. 00:00:13
Si me da la función y igual logaritmo de u en base a, 00:00:19
la función derivada igual 1 partido de u por el logaritmo neperiano de la base del logaritmo y por la derivada de u. 00:00:24
Vamos con tres ejemplos y aplicamos la fórmula de la función derivada. 00:00:36
Me dan y igual logaritmo de x a la 3. 00:00:41
Hemos de suponer que, como no me indican nada, es un logaritmo decimal. 00:00:45
Derivada de la función logarítmica. 00:00:51
1 partido de u. En este caso, u es x elevado a la 3. 00:00:54
Luego, y prima igual. 00:01:00
Repetimos, 1 partido de u, es decir, 1 partido de x a la 3 00:01:03
por el logaritmo neperiano de la base del logaritmo, que en este caso es 10, 00:01:12
por el neperiano de 10 y por la derivada de u. 00:01:17
En este caso, u derivada de x cubo. 00:01:23
Evidentemente, 3x elevado al cuadrado. 00:01:27
Pasamos a la siguiente función. 00:01:32
Y igual logaritmo neperiano de 2x cuadrado. 00:01:35
Y vamos a recordar que el logaritmo neperiano tiene de base el número e. 00:01:39
Derivada de la función. 00:01:45
Aplicamos la fórmula. 00:01:47
1 partido de u. 00:01:49
En este caso nos quedaría 1 partido de 2x cuadrado multiplicado por el neperiano de la base. 00:01:51
La base del logaritmo en este caso es el número e. 00:02:02
Luego por el neperiano de e y por la derivada de u. 00:02:05
La derivada de esa expresión 4x. 00:02:11
Y un detalle, simplificación muy sencillita, neperiano de e sabemos que vale 1. 00:02:15
Podemos eliminarlo de la expresión. 00:02:22
Pasamos a la siguiente función. 00:02:25
Función derivada quedaría. 00:02:27
Tenemos el logaritmo de x a la 4 en base 3. 00:02:30
Aplicamos la fórmula. 00:02:34
1 partido de u. 00:02:36
En este caso 1 partido de x a la 4. 00:02:38
Por el logaritmo neperiano de la base del logaritmo. 00:02:44
En este caso 3. 00:02:49
Y multiplicado por la derivada de u. 00:02:51
La derivada de esa expresión 4x elevado a la 3. 00:02:55
Y nota importantísima que ya advertimos de la misma forma en las derivadas trigonométricas. 00:03:01
Los matemáticos este tipo de expresiones, si analizamos esta expresión, es una función y se trata de una potencia. 00:03:09
Pero este tipo de expresiones a los matemáticos les gusta expresarlos de esta forma. 00:03:19
Es decir, si me mandan derivar esta función, en el fondo se trata de una potencia. 00:03:25
Entonces pasamos a la siguiente lámina y veamos cómo se deriva esa función. 00:03:32
Antes de empezar a derivar, consejo de la casa, vamos a ver qué tipo de función es. 00:03:39
Y hemos advertido anteriormente que no se trata de una función logarítmica. 00:03:45
Esta función es una potencia. 00:03:52
Equivale al logaritmo. 00:03:55
Se supone que en base 10, porque no expresa en la base, dx elevado a 5 y todo ello elevado al cubo. 00:03:58
Luego repetimos. 00:04:07
Esa expresión matemática equivale a esta que es la que vamos a derivar. 00:04:09
Tratamiento inicial de potencia. 00:04:14
Tenemos la fórmula de la potencia. 00:04:16
3 por la misma expresión elevado a 1 menos. 00:04:18
Derivada de la función. 00:04:22
3 por el logaritmo de x a la 5 en base 10 y todo ello elevado al cuadrado. 00:04:24
Y por la derivada de la base. 00:04:33
Y ahora la base sí es un logaritmo. 00:04:36
Para derivar la base de esa potencia, derivada del logaritmo que tenemos a la vista. 00:04:39
Aplicamos la fórmula y quedaría 1 partido de u. 00:04:45
En este caso de x a la 5. 00:04:51
Por el neperiano de la base. 00:04:55
En este caso la base es 10. 00:04:58
Y por u prima. 00:05:02
La derivada de esa expresión. 00:05:05
5x elevado a la 4. 00:05:08
Resumen al contenido de esta lámina. 00:05:11
Tenemos la fórmula para derivar logaritmos. 00:05:14
Pero atención a este tipo de funciones. 00:05:17
Inicialmente se trata como potencia. 00:05:19
Para verlo con más claridad. 00:05:22
Lo expresamos de esta forma. 00:05:24
Y procedemos a derivar. 00:05:26
Ejercicio resuelto. 00:05:28
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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          • Primer Curso
Autor/es:
Fernando Martín. Profesor: www.cibermatex.com
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
3602
Fecha:
23 de enero de 2008 - 17:04
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
http://www.cibermatex.com
Duración:
05′ 30″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
320x240 píxeles
Tamaño:
16.44 MBytes

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