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Soluciones a la hoja de sistemas 2º ESO. Ejercicio 3

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Subido el 16 de abril de 2020 por David M.

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En este tercer ejercicio tenemos que resolver una serie de sistemas siempre aplicando el método de reducción. 00:00:01
Empezamos por el apartado A. 00:00:07
Lo primero que tenemos que mirar son los coeficientes que tengo en cada una de las dos variables, 00:00:08
tanto en la X como en la Y, para ver cuál es más fácil de reducir. 00:00:13
Para la X tengo un 5 y un 3, el mínimo como múltiplo sería 15. 00:00:17
Y para la Y, por contra, tengo menos 2 y más 1. 00:00:22
mucho más sencillo si reduzco la y 00:00:25
dado que basta con multiplicar la segunda ecuación por 2 00:00:27
entonces tendríamos menos 2y en la primera más 2y en la segunda 00:00:32
recordad, siempre tenemos que conseguir que una de las variables tenga 00:00:36
el mismo coeficiente con signos distintos 00:00:40
entonces multiplicamos la segunda ecuación por 2 00:00:43
la primera la dejamos como está 00:00:48
5x menos 2 igual a 3 00:00:50
Aquí 3x por 2 es 6x más 2y igual a menos 2 y ahora sumamos. 00:00:52
Al sumar las y se nos reduce, me quedan menos 2y más 2y es 0. 00:00:58
Sumo las x, 5x más 6x es 11x y 3 menos 2 es 1. 00:01:03
11x igual a 1. Esta ecuación se resuelve automáticamente y obtenemos que x es 1 onceavo. 00:01:08
Con este valor lo que podemos hacer ahora es sustituir en cualquiera de las ecuaciones. 00:01:15
Entonces, por ejemplo, vamos a sustituir en la segunda ecuación, dado que de aquí es más fácil despejar la y. 00:01:20
Entonces, 3 por x, 3 por 1 onceavo más y, igual a menos 1. 00:01:27
Multiplico 3 por 1 onceavo, obtengo 3 onceavos más y igual a menos 1. 00:01:32
Y ahora este 3 onceavos que está sumando lo vamos a pasar restando. 00:01:36
Y la y es menos 1 menos 3 onceavos, denominador común 11. 00:01:40
11 por menos 1, menos 11, menos 11, menos 3, menos 14 onceavos 00:01:44
completo mi solución, la solución de nuevo es única, sistema compatible determinado 00:01:51
y x es igual a 1 onceavo e y es igual a menos 14 onceavos 00:01:56
vamos con el segundo sistema 00:02:01
en el segundo sistema de nuevo observamos los coeficientes y observamos que 4x es el doble de menos 2 00:02:05
además cambiado de signo 00:02:12
Entonces, basta para reducir las x con multiplicar la primera ecuación por 2 y la segunda la vamos a dejar como está. 00:02:13
Entonces, menos 2x por 2 menos 4x más 3y por 2 más 6y igual a 4 por 2, 8. 00:02:21
La segunda ecuación la dejo como está y sumo. 00:02:28
Al sumar las x se me van y tengo 6y más y, 7y igual a 8 más 5, 13. 00:02:32
Despejo y y tengo que son 13 séptimos. 00:02:38
Y ahora, lo que podemos hacer es, de nuevo, sustituir la y en cualquiera de estas ecuaciones, pero, como hemos obtenido una fracción un poco fea, lo que vamos a ver es que también podemos hacer de nuevo reducción. 00:02:41
Vamos a utilizar lo que se llama el método de la doble reducción. 00:02:56
Es decir, como lo primero que habíamos hecho era reducir las x para obtener las y, ahora vamos a reducir las y. 00:02:59
Me fijo de nuevo en las dos ecuaciones originales. 00:03:05
Me fijo en los coeficientes de las y, tengo más 3y más y 00:03:09
Basta con multiplicar la segunda ecuación por 3, ya tendría aquí también 3y 00:03:13
Y a una de las dos, dado que tienen el mismo signo, le vamos a cambiar el signo 00:03:18
Entonces, la primera la voy a dejar como está, y la segunda la vamos a multiplicar por menos 3 00:03:23
La primera se queda, menos 2x más 3 igual a 4 00:03:29
Y la segunda, 4x por menos 3 menos 12x más y por menos 3 menos 3y igual a menos 15. 00:03:32
Sumamos, las y se reducen y tengo menos 12x menos 12x menos 14x igual a menos 11. 00:03:41
Y con esto obtengo el valor de x menos entre menos más y obtengo 11 catorceavos. 00:03:48
Aquí teníamos guardado el valor de la y, completamos la solución y tenemos de nuevo sistema compatible determinado. 00:03:53
¿Vale? Solución única, x igual a 11 catorceavos y igual a trece séptimos 00:04:01
Por supuesto, como dije antes, se podría haber sustituido este valor trece séptimos 00:04:06
En cualquiera de estas ecuaciones para calcular el valor de x 00:04:11
Vamos con el tercer ejercicio 00:04:14
Nos fijamos en los coeficientes, aquí tengo un 1, aquí tengo un 3 00:04:17
Esta ecuación la podemos reducir a x y multiplicamos esta de arriba por menos 3 00:04:22
Entonces multiplicamos la primera ecuación por menos 3, la segunda la dejamos igual y así vamos a poder reducir las x. 00:04:28
Problema, que al intentar reducir las x, observamos que también se reducen las y. 00:04:35
Pero no así el número. 00:04:41
Al multiplicar todo esto por menos 3, este número es menos 15 y este como se queda igual es 8. 00:04:43
Y entonces aquí lo que vamos a obtener es una igualdad falsa. 00:04:49
Porque tenemos a la izquierda de igual nada, es decir, 0 igual a menos 7. Eso es mentira. 00:04:54
Entonces este sistema es un sistema sin solución. Es un sistema incompatible. 00:05:01
Si representásemos las rectas asociadas a cada una de estas dos ecuaciones, serían dos rectas paralelas. 00:05:06
Vamos con el cuarto sistema. 00:05:15
Aquí de nuevo nos fijamos en los coeficientes. Aquí tengo 6, 9. Aquí tengo 2 y 3. 00:05:18
ninguno es el doble del otro, el triple, vamos a buscar el mínimo común múltiplo 00:05:24
vamos por ejemplo a reducir las x, de 6 y 9 el mínimo común múltiplo va a ser 18 00:05:28
18 es el valor más pequeño que el múltiplo de 6 y múltiplo de 9 a la vez 00:05:33
si acaso no lo veis, siempre podemos buscar uno por el otro 00:05:38
vamos a trabajar con números más grandes de lo necesario, pero tampoco demasiado grave 00:05:42
es decir, podríamos multiplicar esta por 9 y esta por 6 y ya tendríamos un 54 00:05:46
Y luego a una de las dos le cambiaremos el signo. 00:05:51
Pero siempre que lo veamos vamos a trabajar con los números más pequeños posibles. 00:05:53
Entonces vamos a buscar un 18. 00:05:58
6 por 3, 18. 9 por 2, 18. 00:06:01
Y como estos dos signos son iguales, a uno de estos dos, a lo que más os guste, le vamos a cambiar el signo. 00:06:04
Por ejemplo, al de arriba. 00:06:09
Multiplico la primera ecuación completa por menos 3. 00:06:11
Y obtengo menos 18x menos 6y igual a menos por menos más 12. 00:06:14
Y la segunda ecuación la multiplico por 2. 18x más 6y igual a menos 12. Y claro, al sumar para intentar reducir las x, vemos que se nos va absolutamente todo, dado que lo que hemos obtenido aquí es lo de arriba cambiado de signo. 00:06:20
Entonces obtenemos una identidad. 0 igual a 0. Eso siempre es verdad. ¿Qué está ocurriendo? Que este sistema tiene infinitas soluciones. La segunda ecuación no es independiente de la primera, sino que la hemos obtenido multiplicando por un número. 00:06:36
Lo que pasa es claro, en este caso es un número racional, serían tres medios. 00:06:55
6 por 1,5, 6 por tres medios da 9. 00:07:01
2 por 1,5 da 3. 00:07:05
Y menos 4 por 1,5 da menos 6. 00:07:08
Entonces la segunda ecuación se puede obtener multiplicando la primera por un número que no sea cero. 00:07:11
Entonces el sistema es compatible e indeterminado y en realidad las dos ecuaciones son la misma recta. 00:07:17
Tenemos la recta 6X más 2Y igual a menos 4 00:07:23
O la otra que obviamente es la misma 00:07:27
Vamos con el apartado E 00:07:28
Aquí lo que nos encontramos es que tenemos denominadores en alguna de las ecuaciones 00:07:32
Entonces el primer paso es eliminar esos denominadores 00:07:39
Nos fijamos en la primera ecuación 00:07:42
Como denominadores tenemos un 2 y un 3 00:07:44
Y en la segunda tenemos un 3 y un 2 00:07:47
Han coincidido que son iguales 00:07:49
Conclusión, podemos eliminar los denominadores en ambas ecuaciones si multiplicamos cada ecuación por 6. 00:07:51
Si por ejemplo esto hubiese sido un 3 y un 5, pues aquí pondríamos por 15. 00:07:58
No tienen siempre por qué ser el mismo número. 00:08:01
De hecho lo habitual es que sean distintos. 00:08:04
Entonces multiplicamos la primera ecuación por 6. 00:08:06
Y hacemos 6 dividido entre 2 a 3. 00:08:09
3 por 7, 21x. 00:08:13
6 dividido entre 3 a 2. 00:08:15
2 por menos 2y, menos 4y. 00:08:17
4i, y como aquí no hay denominador, pues 6 por 1, 6. Vamos con la segunda. 6 entre 3, a 2. 2 por 4x, 8x. 6 por 2i, más 12i. Igual a 1 medio por 6, 3. 00:08:19
Y claro, ahora nuestro problema, que teníamos que resolver este sistema con fracciones, se simplifica porque tenemos que resolver este otro sistema equivalente. 00:08:36
Entonces vamos a empezar con este sistema 00:08:45
Lo primero que hacemos es reducir una de las variables 00:08:48
Me fijo, 12i, 4i, esta es más sencilla 00:08:52
12 es el triple de 4 y además los signos están cambiados 00:08:56
Entonces si multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda la dejamos igual 00:09:01
Las i se nos van a reducir dado que vamos a tener menos 12i más 12i 00:09:05
Sumamos 63x más 8x, 71x, igual a 18 más 3, 21. 00:09:11
Y obtenemos el valor de x. x es igual a 21 setenta y un agos. 00:09:18
¿Cómo podríamos obtener ahora el valor de y? 00:09:22
Podríamos sustituir este valor de x en cualquiera de estas dos ecuaciones. 00:09:25
Pero de nuevo, como es un valor feo, vamos a trabajar otra vez la reducción. 00:09:29
Vamos a hacer la doble reducción. 00:09:33
Entonces ahora parto otra vez de mis dos ecuaciones iniciales. 00:09:36
Y lo que vamos a hacer es reducir el valor de las X. 00:09:39
21 y 8 son números primos entre sí. 00:09:42
Entonces el mínimo común múltiplo es intercambiar los coeficientes. 00:09:46
Este 21 que está aquí multiplicando lo ponemos aquí para la segunda ecuación. 00:09:49
Este 8 que está aquí multiplicando lo ponemos arriba. 00:09:54
Y ahora mire los signos. Estos dos signos son iguales. 00:09:57
Yo necesito sumar para reducirlo y que se me vayan. 00:10:00
En conclusión, a uno de estos dos números, al que más nos guste, le cambiamos el signo. 00:10:03
por ejemplo, al de arriba, al 8. Multiplico la primera ecuación por menos 8 y obtengo 00:10:07
21x por menos 8 es menos 168x, menos 8 por menos 4y es más 32y, igual a 6 por menos 00:10:13
8 es menos 48. Segunda ecuación completa por 21, 8x por 21 es 168x, ya tengo lo que 00:10:22
yo buscaba, el mismo coeficiente de x con signos distintos, más 12y por 21 es más 00:10:29
252Y igual a 3 por 21, 63. Sumo, se me reducen las X, 32Y más 252Y, 284Y igual a 63 menos 00:10:35
48, 15. Despejo Y, Y es igual a 15, 284 ovos. No podemos simplificar, vamos a comprobar 00:10:47
si se puede simplificar entre 3, 2 y 8, 10 y 4, 14, no se puede entre 5 tampoco. Y entonces 00:10:55
ya tengo los dos valores para mi solución, repito lo de mi solución 00:11:02
la solución es única, esto no son dos soluciones 00:11:07
es solo una, y entonces el sistema es un sistema compatible 00:11:10
determinado, estas dos rectas se cortarían en este punto 00:11:14
en un punto cuyo valor, cuya coordenada X sería 21,71 00:11:18
y la coordenada Y serían 15,284 00:11:22
Valoración:
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Autor/es:
David Matellano
Subido por:
David M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
14
Fecha:
16 de abril de 2020 - 10:59
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ANGEL CORELLA
Duración:
11′ 29″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1366x768 píxeles
Tamaño:
15.97 MBytes

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