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AN5. 3.3. Propiedades de la integral definida - Contenido educativo

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Subido el 10 de diciembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AN5 dedicada a las integrales. En la videoclase de hoy estudiaremos las propiedades 00:00:22
de la integral definida. En esta videoclase vamos a estudiar las propiedades de la integral 00:00:34
definida. Como podemos ver, en primer lugar son propiedades de la integral definida las 00:00:51
de la integral indefinida. Os recuerdo que se refería a la linealidad de la integral, 00:00:56
esto es, la integral de la suma o resta de dos funciones es igual a la suma o resta de 00:01:02
las integrales de ambas funciones por separado. La integral del producto de un número real 00:01:07
por una función es igual al producto de dicho número real por la integral de la función. 00:01:11
Bien, pues además de esas propiedades de la integral indefinida, tenemos propiedades 00:01:16
que son específicas de la integral definida y que hacen referencia al problema del área, 00:01:20
la forma en la cual está definida como esas sumas de las áreas de los rectángulos 00:01:25
con base en la partición del intervalo en el cual estamos calculando la integral definida 00:01:30
y como alturas los valores de la función. 00:01:35
En primer lugar, vemos que la integral entre a y a, la misma abscisa de una función cualquiera, es igual a cero. 00:01:38
Y esto tiene sentido, puesto que estaríamos calculando el área subtendida por un único punto. 00:01:46
Por ejemplo, la amplitud del intervalo es idénticamente nula y el área que tendríamos es idénticamente cero. 00:01:52
Así pues, si el extremo inicial y final del intervalo de integración es el mismo, la integral es nula. 00:01:58
Si dentro del intervalo de integración la función es no negativa, esto es mayor o igual que cero, 00:02:05
en ese caso la integral, tal y como estará definida, es también no negativa. 00:02:13
Mientras que si las imágenes o la función es no positiva, en ese caso la integral también será no positiva. 00:02:18
Tened en cuenta que tal y como estamos definiendo la integral, las alturas de los rectángulos que comentaba en la videoclase anterior eran iguales a los valores de la función. 00:02:27
Si la función toma valores no negativos, estaremos multiplicando la longitud de las bases de los rectángulos, que equivalen a la amplitud de los intervalos dentro de la partición, por unas alturas que son números no negativos, de tal forma que estaremos obteniendo la suma de números no negativos. 00:02:36
Mientras que en el caso en el que la función pudiera tomar valores negativos, en ese caso estaríamos multiplicando por unos valores que son negativos y por eso, en ese caso, estaríamos obteniendo valores no positivos para el valor de la integral. 00:02:55
Cuando estemos calculando áreas en sentido estricto, tendríamos que tener mucho cuidado con esto. 00:03:10
Tal y como estamos definiendo las áreas, estamos multiplicando las longitudes de los intervalos de la base, que son positivas, por el valor de la función. 00:03:16
Si la función es no negativa, el valor de la función coincide con la longitud de la altura, 00:03:25
mientras que en el caso en el que la función pudiera tomar valores negativos, insisto, en ese caso estaremos multiplicando por un número negativo 00:03:31
Y el área que estaríamos calculando no sería un área en sentido estricto, puesto que estaríamos obteniendo un número negativo. 00:03:39
Hablaremos de esto un poco más adelante cuando resolvamos alguno de los ejemplos. 00:03:46
Otra propiedad también de la integral indefinida es que si el intervalo de integración, que en este caso supongamos que fuera de a a c, 00:03:51
se dividirá en 2 con un número intermedio, que en este caso vamos a pensar que es b, 00:03:58
En ese caso, la integral de A a C se podría escribir como la suma de la integral de A a B más la integral que va de B a C. 00:04:02
Así pues, podríamos dividir una integral definida como la suma de dos o varias, o más de dos, integrales definidas, 00:04:10
siempre y cuando dividiéramos de manera oportuna el intervalo de integración. 00:04:19
Si intercambiamos el orden en el cual tenemos los extremos del intervalo de integración, 00:04:24
Vamos a pensar siempre que a es menor que b. 00:04:30
Bueno, si intercambiamos a por b, en ese caso lo que hacemos es cambiar el signo de la integral. 00:04:34
Así pues, la integral de 1 a 2, por ejemplo, de una cierta función, 00:04:39
tiene signo cambiado a lo que sería la integral de 2 a 1 de dicha función. 00:04:43
Si recorremos el intervalo en sentido contrario, en ese caso tenemos que cambiar el signo de la integral. 00:04:47
Por último, un último resultado interesante es el teorema que es el valor medio del cálculo integral. 00:04:53
Si tenemos f, una función real de variable real continua en el intervalo de integración a b, 00:04:59
en ese caso existe un punto contenido dentro del intervalo, 00:05:05
de tal manera que la integral se puede calcular como el producto d, 00:05:09
como base la amplitud del intervalo de integración y como altura el valor de la función en ese punto. 00:05:13
Existe un valor intermedio, tal que el área del rectángulo correspondiente 00:05:19
equivale al área que estaríamos intentando determinar. 00:05:23
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:05:26
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:05:35
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:05:40
Un saludo y hasta pronto. 00:05:45
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
9
Fecha:
10 de diciembre de 2024 - 12:12
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
06′ 13″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
14.26 MBytes

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