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Producto vectorial 1: definición y cálculo
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Se define el producto vectorial y se explica cómo calcularlo usando un determinante 3x3. Por último se ofrece un ejemplo
El producto vectorial de vectores en R3 resuelve un problema muy habitual, encontrar un vector
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perpendicular a otros dos. Esto es, dados dos vectores u y v del espacio, tenemos que
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buscar un vector w que sea perpendicular a la vez a u y a v. Esto puede resultar útil,
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por ejemplo, cuando queremos calcular el vector normal, es decir, el perpendicular al plano
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que contienen a u y a v, por ejemplo. Si consideramos las coordenadas del vector u y del vector v,
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el problema reside en encontrar el vector w, x y z, tal que u es perpendicular con w,
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es decir, u por w es igual a cero, y también es perpendicular con v, es decir, v por w
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es igual a cero. Escribiendo estas dos ecuaciones en coordenadas obtenemos un sistema de dos
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ecuaciones con tres incógnitas y una manera de resolver este sistema es aplicar reducción
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eliminando la z. Para ello multiplicamos por menos c2 la primera ecuación, por c1 la segunda y
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sumamos. Habremos obtenido así una ecuación en x e y que puede escribirse de la forma p por x más
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q por y igual a cero, siendo p y q esos números que tenéis ahí en pantalla. Este sistema es
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compatible indeterminado y una solución puede ser x igual a menos q y igual a p. Es decir, x e y
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tomarían los valores que aparecen en pantalla y podemos hacer algo parecido para calcular el
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valor de z correspondiente. Tendremos así la solución del vector w con esas fórmulas de x,
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y y z. Pero claro, no son fórmulas fáciles, son horribles. Para simplificar esta notación podemos
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utilizar determinantes 2x2 para la x, la y y la z, pero se puede mejorar de verdad la
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notación si introducimos los vectores i, j, k, es decir, la base canónica del espacio
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1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1. Con esta notación, el vector w se puede calcular desarrollando
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por la primera fila un determinante 3x3. Lo que hacemos es en la primera fila colocar
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los vectores i, j, k, en la segunda el vector u y en la tercera el vector v, sus coordenadas,
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claro. Esta es la forma óptima de calcular el producto vectorial u por v como un determinante
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3 por 3. Veamos un ejemplo. Bueno, en este ejercicio nos piden calcular el producto vectorial
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de dos vectores que están escritos en forma o en función de i, j, k, que son los vectores
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de la base canónica 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1. Para calcularlo lo podemos hacer usando
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esta misma notación, que sería de la siguiente forma, u por v igual, lo que hay que hacer es escribir i, j, k en la primera fila del determinante, después, primer vector, 2, 3, 4, ese es el vector u,
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Segundo vector, 5, 6, 7. 5, 6, 7. Y desarrollar este determinante. ¿Cómo? Pues lo vamos a desarrollar, calcular, desarrollando por los términos de la primera fila.
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Es decir, esto valdrá 3, 4, 6, 7, el determinante multiplicado por i. Ahora va con signo menos porque es el elemento 2, 1, así que es impar, con lo que aquí hay un signo menos.
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Tenemos 2, 5, 4, 7 multiplicado por j, lo que hemos hecho es 2, 5, 4, 7, quitar esta fila y después, esta columna quiero decir, y después quitar esta y tendríamos 2, 5, 3, 6 multiplicado por k.
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Hacemos esa cuenta, 3 por 7 es 21, 6 por 4 es 24, 21 menos 24 por i, 14 menos 20 por j, 12 menos 15 por k, menos 3, menos 5 con menos, más 5, cuidado con los dobles signos, menos 3.
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Es decir, este es el vector, menos 3, 5, menos 3. Y este será el producto vectorial de los dos vectores. Fácil, ¿verdad?
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podríamos haberlo calculado de otra forma multiplicando y aplicando las propiedades del producto vectorial
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y quitar paréntesis aquí, pero para eso tenemos que saber cuánto vale i por i, i por j, i por k
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esto lo podréis ver en otro vídeo, así que creo que es más sencillo de momento usar esta otra forma
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un saludo, hasta luego, espero que os haya gustado, nos vemos en siguientes vídeos
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Autor/es:
- Manuel Domínguez
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 365
- Fecha:
- 13 de noviembre de 2018 - 22:42
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Descripción ampliada:
- Se puede ver otra forma de calcular el producto vectorial mediante el siguiente enlace:
https://www.youtube.com/watch?v=BGREgYbp7nI&t=0s&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=41 - Duración:
- 05′ 07″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 53.28 MBytes
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