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Clase 01/03/22 2 - Contenido educativo

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Subido el 6 de marzo de 2022 por Pablo Jesus T.

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En este vídeo vamos a ver las relaciones entre punto y recta. 00:00:00
Lo primero que vamos a calcular es la proyección ortogonal de un punto P 00:00:06
coordenadas x, y, 0, y, 0, z, 0 00:00:11
sobre una recta R en las que conocemos un punto A, x1, y1, z1 00:00:15
y un vector director 1, u2, u3. 00:00:21
entonces lo primero que vamos a hacer es representar en GeoGebra el punto, el vector y el punto P 00:00:26
aquí tenemos la recta definida por A y por U 00:00:39
y tenemos también el punto P 00:00:45
y también he puesto en la vista CAS que la vamos a utilizar siempre como auxiliar 00:00:49
pues las coordenadas de un punto genérico de la recta R 00:00:53
y las ecuaciones de la recta R 00:00:59
¿de acuerdo? 00:01:02
porque esto en la vista CAS después me va a solucionar muchos problemas 00:01:03
tener eso escrito 00:01:07
no he conseguido, igual que con los listeners 00:01:08
si que puedo añadir aquí lo que quiera 00:01:12
no he conseguido añadir directamente en la vista CAS 00:01:14
estas cosas en los listeners 00:01:19
pero bueno, se tarda poco en escribir 00:01:21
lo primero que vamos a hacer es calcular la proyección ortogonal 00:01:25
de P sobre la recta, de acuerdo 00:01:31
entonces, para ello, pues hemos cogido estas coordenadas 00:01:36
en concreto de 00:01:43
un punto 6 menos 1, 6 00:01:48
y una recta dada por 00:01:51
el punto 1, 1, 1 00:01:53
y el vector y el vector 3 menos 1, 1 00:01:55
hemos escrito R 00:01:58
y ahora usando el vector U 00:02:00
vamos a construir el plano 00:02:01
perpendicular a la recta R 00:02:03
que pasa por P 00:02:05
¿de acuerdo? 00:02:07
plano perpendicular a la recta R 00:02:09
que pasa por p y lo vamos a hacer en la forma normal 00:02:12
¿qué quiere decir eso? que vamos a hacer el producto escalar 00:02:16
del vector 3-1,1 por un vector genérico 00:02:20
que obligamos a estar sobre el plano que hemos dicho 00:02:26
yo cojo un punto genérico x,y,z y le resto un vector 6-1,6 00:02:30
que quiero que esté en el plano 00:02:37
pues así obtenemos la ecuación de la recta 00:02:39
y como veis pues nos sale 3x menos y más z menos 25 igual a 0 00:02:44
si vamos al GeoGebra y lo hacemos 00:02:51
por cierto le hemos preguntado mediante el comando de distancia 00:02:58
que distancia está, nos da 3,16 00:03:03
pues lo que os decía 00:03:05
Si hacemos esto del producto escalar, en forma normal del plano, pues nos sale la ecuación que contiene a P y es perpendicular a la recta R. 00:03:06
¿Cuál será la proyección? Pues no es muy complicado ver que la proyección será simplemente el punto de corte del plano y la recta. 00:03:17
Eso lo he hecho aquí, pues simplemente sustituyendo en el plano las ecuaciones de la recta, me queda una ecuación en lambda, sale lambda2 y el punto B que es el 7-1,3. 00:03:31
7 menos 1, 3, sería las coordenadas de la proyección ortogonal. 00:03:46
Por supuesto, si lo hacemos en papel, pues aquí está con todos sus pasos para que los podáis tener, 00:03:52
y ya tenemos la proyección ortogonal, que es 7 menos 1, 3. 00:04:03
¿Vale? Ahora, si lo que nosotros queremos hacer es otro ejercicio, 00:04:08
que sería calcular la simetría axial de P por la recta R 00:04:13
bueno, pues lo que hay que hacer es, primero 00:04:22
lo primero que vamos a hacer es calcular la proyección ortogonal B 00:04:25
eso ya lo hemos hecho en el paso 1 00:04:31
es decir, para hallar la simetría axial 00:04:33
necesitamos obligatoriamente calcular la proyección ortogonal 00:04:35
Y una vez que tenemos la proyección octogonal, ¿qué haremos? Pues resolvemos el problema mediante vectores. 00:04:42
PP' será 2PB, PP' será 2PB, planteamos la ecuación, la resolvemos y nos queda bastante fácil que el punto P' 8 menos 1, 0 es el simétrico de P respecto de R. 00:04:49
Si ahora nos vamos otra vez a GeoGebra a plantearlo, pues simplemente, si hubiéramos hecho la distancia, 00:05:19
por cierto, me estoy comiendo el paso de la distancia siempre, pues el segmento pb es raíz de 10. 00:05:29
Esto saldrá después. 00:05:35
Y aquí tenemos la ecuación, x y z menos p igual a 2 por b menos p, sale la ecuación, resuelta 8 menos 1, 0. 00:05:38
Así que así ya tenemos, pues como decíamos, el punto simétrico P' que está ahí abajo 00:05:48
¿Veis P'? Por supuesto pertenece al plano también, ¿no? 00:05:56
Porque sería la prolongación de esta recta 00:06:02
Entonces P' es 2 por Pb 00:06:05
¿De acuerdo? Seguimos 00:06:09
Ahora lo que vamos a hacer es calcular la distancia entre P y la recta R usando la fórmula 00:06:12
Para eso empezamos por calcular el vector AP 00:06:21
Y ahora cogemos en vez del vector U cualquier punto C que esté sobre la recta 00:06:24
Cualquier vector AC será un vector director de la recta 00:06:34
Cualquiera será un vector director de la recta 00:06:39
al que teníamos antes, que era 3, menos 1, 1, aquí lo tenéis, pero cualquiera es un vector directo. 00:06:42
Si yo construyo un polígono paralelogramo de lados, el vector director y el vector AP, 00:06:48
me doy cuenta que, por un lado, el área de ese paralelogramo es el producto vectorial, lógicamente, de AC por AP. 00:07:02
En mi caso, pues he hecho el vector AP aquí, he hecho el producto vectorial por U y he hecho su módulo. 00:07:18
O sea que este área, en el caso de que lo ponga así, sería raíz de 110, el área de este paralelogramo. 00:07:24
Lógicamente, si muevo C, pues sería cada vez más grande. 00:07:36
Aquí lo tenemos, va saliendo el numerito. 00:07:38
Pero lo que lo vamos a comparar es con que, por otro lado, el área del paralelogramo, lógicamente, es base por altura. 00:07:41
La base es AC y la altura es PB. 00:07:49
De tal manera que ponga C donde lo ponga, el área va a ser siempre AC, el módulo de AC, por la distancia de P a R. 00:07:52
Y eso es lo que va a permitir la fórmula de la distancia de P a R como el módulo del producto vectorial de U por AP partido de U. 00:08:06
Donde U puede ser cualquier vector director de la recta, pero en particular puede ser el que ya teníamos desde el principio. 00:08:14
no hay ningún problema para eso 00:08:21
y así es como calculamos la distancia 00:08:24
que nos vuelve a dar raíz de 10 00:08:30
y nos vuelve a dar toda la distancia 00:08:32
de las tres maneras nos ha dado raíz de 10 00:08:34
si nosotros nos vamos al papel 00:08:38
pues podemos lógicamente calcular aquí la distancia 00:08:41
usando el segmento en el 1 00:08:46
módulo de pb 00:08:49
y aquí lo he hecho calculándolo con la fórmula 00:08:50
lógicamente habría que hacer el vector AP 00:08:54
el módulo del producto vectorial U por AP 00:08:57
y sustituir en la fórmula 00:09:01
por si a alguno le parece diferente 00:09:04
aquí lo que he querido hacer 00:09:08
es de todas las construcciones que hemos hecho 00:09:11
mostraros lo que significa cada paso 00:09:16
metido en un rectángulo azul 00:09:21
tenemos hacerlo calculando la proyección ortogonal 00:09:25
y la longitud del segmento 00:09:31
y en moradito tenemos la fórmula 00:09:35
pues como podéis entender en la mayoría de los casos 00:09:39
es mucho más rápido hacerlo con la fórmula 00:09:43
si la recuerdo, me la sé de memoria 00:09:47
que haciendo geometría y calculando realmente 00:09:50
el plano perpendicular, el punto de corte 00:09:55
y la distancia del segmento 00:10:02
y hasta aquí esto 00:10:04
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
111
Fecha:
6 de marzo de 2022 - 19:04
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
10′ 09″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
193.61 MBytes

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