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Global de Análisis Modelo B - Ejercicio 3 - Contenido educativo
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Global de Análisis Modelo B - Ejercicio 3
Bueno, vamos con el tercer ejercicio de este examen de análisis. En esta ocasión es un ejercicio sobre el teorema del rol. Mirad, nos están hablando de una función de la que desconocemos tres parámetros, una función que definida trozos, en un trozo es una parábola y en otro trozo es una recta.
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Esto sería una recta y esto una parábola, pero desconocemos A, B y C. Y el dato que nos dan es que se verifica el teorema de error en este intervalo. Pues hay que calcular A, B y C.
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Fundamental, claro, conocerse las hipótesis del teorema de error. El teorema de error se utiliza para funciones que tienen que ser continua en un intervalo cerrado.
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continuo en un intervalo cerrado, tiene que ser derivable en el abierto y tiene que verificar que el valor de la función en los extremos coincide.
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Sabéis que en esta situación lo que implica el teorema de Rolle es que existe al menos una raíz de la derivada. ¿Dónde? No en cualquier sitio, sino en el abierto, en el intervalo abierto.
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Dentro, en el interior, va a haber un máximo o un mínimo de esta función, a no ser que sea una función constante, en cuyo caso serían todos los puntos máximos y mínimos.
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Pero estos son parábolas y rectas, así que no va a ser el caso.
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Entonces, lo que tenemos que ver es que sea continua en primer lugar.
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Como es una función, vamos a, si nos fijamos, estas son tres condiciones, cada una de las condiciones nos va a dar una ecuación.
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Y como tenemos tres incógnitas, pues un sistema de ecuaciones, así lo vamos a hacer.
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Entonces vamos a ir poniendo condición número 1 y la vamos traduciendo. Condición número 2 y condición número 3. Muy en orden, por favor, siempre.
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Entonces, el hecho de que sea continua, como f es una función definida por un trozo de parábola, vamos a ponerlo de trozo entre comillas porque no es muy preciso,
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Y un trozo de recta, pues el único sitio donde puede ser discontinua es en el punto de corte y el punto de corte es el 3. Así que solo hay que mirar, solo hay que estudiar la continuidad en x igual a 3.
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En el resto de sitios va a ser continua. ¿Y para qué? ¿Qué tenemos que ver para la continuación en x igual a 3? Pues que el límite por la izquierda sea igual al límite por la derecha.
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y evidentemente coincida con el valor de la función en el punto, que en este caso vale como el límite por la izquierda.
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Bueno, pues entonces vamos a calcular estos dos límites, y ¿cómo calculamos estos dos límites?
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Pues sustituyendo, sustituimos por 3, menos 3 cuadrado más 3a, es decir, este límite de la izquierda valdría menos 9 más 3a,
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y eso tiene que ser igual al límite por la derecha, que es 3b más c, sustituyendo en la función de la derecha, 3b más c.
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Bueno, pues aquí tengo yo mi primera ecuación, ecuación número 1. Vamos con la 2. La 2 me pide la derivabilidad y tenemos que ver que la función es derivable
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justo en el 3, porque en el resto de puntos va a ser derivable lo mismo. Vamos a poner lo mismo que antes, idem, solo hace falta estudiar la derivabilidad en el 3.
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Pues vamos con ello, la función f' va a ser, pues como es una parábola, pues derivamos la parábola, menos 2x más a será la derivada de la parábola, pues menos 2x más a, si pues la x está, podemos poner abierto más bien los dos, ¿verdad?
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si la x pertenece al menos 1, 3 abierto. Y ahora derivamos la recta. La recta será de 3 a 5, bx más c. La derivada de bx más c será b.
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b si la x pertenece al intervalo 3,5. Y ahora queremos que sea derivable la función, es decir, que el límite cuando la x tiende a 3 por la izquierda de la función derivada
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tiene que ser el mismo que el límite cuando x tiende a 3 por la derecha. ¿Por qué? Porque si la función es continua, si la derivada es continua,
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entonces f es derivable. Por eso nos basta con que la función derivada sea continua. Y en realidad, en rigor, habría que ver la definición de derivada
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en el punto que es igual a 3, pero bueno, basta con hacerlo así. Entonces, en este caso, estudiaremos que sustituyendo en el 3, tendremos menos 6 más a,
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y sustituyendo en el 3 por abajo, pues tenemos que, pues b, nada más. Con lo cual, ya tenemos la segunda ecuación, la ecuación 2.
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Y ahora nos falta la tercera. La tercera necesitamos sustituir el valor de la función en el menos 1 y el valor de la función en el 5 e igualarlos, porque f de menos 1, lo vemos aquí, tiene que ser igual a f de 5.
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f de menos 1 es menos 1 menos a, cuidadito con la cuenta, sería menos menos 1 al cuadrado más a por menos 1, es decir, menos 1 menos 1 menos a
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y eso tiene que ser igual al valor de la función en el 5, el valor de la función en el 5 tiene que ser 5b más c
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Bien, y nada, pues ahora lo que hacemos es escribir la ecuación que nos queda, que es 5b más c más a igual a menos 1, lo podemos poner así.
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Ya tengo la ecuación número 3.
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Pues nada, vamos a juntar estas tres ecuaciones y resolver el sistema.
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No nos ha quedado un sistema muy apañado, pero hay que resolverlo.
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Venga, vamos con ella. Entonces copio y pego las tres ecuaciones para no equivocarme al pasar de lado. Esta es una y ahí tenemos las otras dos que se ven bien, que sería, esta la vamos a despejar para escribir todo bien antes, es decir, y así las ponemos todas juntitas, bien puestas.
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3a menos 3b menos c igual a 9, la de la izquierda, la de arriba, la segunda sería a menos b igual a 6 y la tercera a más 5b más c igual a menos 1.
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Lo suyo es intentar aplicar reducción de alguna forma para simplificar esto y bueno pues eso lo podemos hacer por ejemplo si sumamos la primera con la tercera se nos va la c y así pues habremos eliminado una de las tres incógnitas y resolvemos las otras dos.
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Sumando 4a más 2b igual a 8, ¿verdad? Es decir, 2a más b igual a 4. Bueno, pues ya tengo esta ecuación junto con esta, ya casi casi casi casi lo tenemos.
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Entonces sería juntando, pues A es igual a B más 6, podemos despejar y sustituimos en la segunda ecuación. Aquí A vale B más 6 y hemos quedado.
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Bueno, pues si a vale b más 6, entonces la ecuación tercera nos queda así, con lo cual 3b más 12 es igual a 4 y eso quiere decir que la b valdría 4 menos 12 menos 8, menos 8 tercios nos ha quedado.
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¿Cuánto va a valer la A? La despejamos de aquí, entonces avanzamos un poquito.
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La A será igual a menos 8 tercios más 6, es decir, 6 por 3, 18, menos 8, 10 tercios.
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Este sería el valor de la A y el valor de la C lo podemos sacar de alguna de estas, por ejemplo, de esta de aquí.
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C sería igual a menos 1 menos A menos 5B, es decir, menos 1 menos 10 tercios menos 5 por menos 8, pues más 40 tercios. 40 tercios menos 10 tercios son 30 tercios, que son 10 menos 1, 9.
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Y ya tendríamos los valores de la A, de la B y la C que nos pedían. Esto es todo. Nada, vamos con el siguiente ejercicio en un momentito. Hasta ahora.
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- Autor/es:
- Manuel Domínguez
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
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- Fecha:
- 19 de enero de 2021 - 0:07
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Duración:
- 10′ 52″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 46.81 MBytes
