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Suma de términos de una sucesión - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2024 por Carolina H.

24 visualizaciones

Suma de términos de una progresión aritmética
Suma de términos de una progresión geométrica

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Vale, una vez que nosotros conocemos los términos o los elementos que están en una progresión, 00:00:00
yo puedo, si quiero, sumar una cantidad de ellos, 00:00:08
tanto si se trata de una progresión aritmética como si se trata de una progresión genética. 00:00:13
Entonces, os voy a contar una historia para introducirlo un poquito y que veáis cómo se dice. 00:00:17
Cuentan que Gauss, yo no sé si le conocéis, a Gauss le llamaban el príncipe de las matemáticas, 00:00:24
Gauss hizo muchas aportaciones en un montón de áreas. 00:00:30
En estadística, por ejemplo, se conoce la campana de Gauss. 00:00:37
Tenemos en matemáticas, en álgebra, un sistema que es el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones. 00:00:40
Entonces, cuentan que cuando tenía 10 años iba al cole y la clase se estaba portando mal 00:00:47
y el profesor, pues para castigarles y que le dejaran un rato tranquilo, 00:00:54
castigó a todos los chavales de la clase a sumar todos los números del 1 al 100. 00:01:00
O sea, sumar el 1, más el 2, más el 3, más el 4 y así tenerlos un rato entretenidos. 00:01:06
Su sorpresa fue que a los 5 minutos, menos de 5 minutos, Gauss levantó la mano y dijo que ya los había sumado. 00:01:12
Claro, el profesor dijo que ni de coña y él enseñó que sí. 00:01:19
Entonces, la cuestión es cómo los sumó. 00:01:23
Entonces, ¿qué es lo que hizo Gauss? 00:01:27
Gauss hizo esto. 00:01:29
Mira, ¿yo qué tengo que sumar? 00:01:30
El 1, más el 2, más el 3, más el 4, más el 98, más el 99, más el 100. 00:01:32
¿Cómo están estos elementos? 00:01:48
En una progresión. 00:01:54
¿En una progresión de qué tipo? 00:01:55
De 10 en 10. 00:01:56
¿No? 00:01:57
No. 00:01:58
¿En números naturales? 00:01:59
¿Ya? 00:02:00
¿Pero qué? 00:02:01
¿Es una progresión de qué tipo? 00:02:02
Aritmética. 00:02:03
¿Por qué es aritmética? 00:02:04
Porque está sumando. 00:02:05
¿Cuánto sumo de 1 a otro? 00:02:06
1 a 1. 00:02:07
1 a 1. 00:02:08
Luego es una progresión aritmética. 00:02:09
Él estaba sumando los términos en una progresión aritmética. 00:02:10
Y en el lugar de empezar, ¿nosotros todos cómo habríamos empezado a sumar? 00:02:13
1 más 2. 00:02:17
Y lo que me dé el 2 más 3, menudo 2 tonos para que llegue al 100. 00:02:18
Sobre todo porque no había calculadoras. 00:02:22
Claro, ahora lo haremos con la calculadora. 00:02:24
Podemos tardar 15 minutos, pero tenemos una calculadora. 00:02:27
Ellos lo hacían sin calculadora. 00:02:29
¿Cómo lo pudo hacer? 00:02:31
Él no empezó a sumar, evidentemente. 00:02:33
Él se dio cuenta y miró. 00:02:36
Y dijo, anda, mira. 00:02:39
Los números forman parejas. 00:02:41
¿Qué pasa si yo sumo el primero y el último? 00:02:44
10 a 1. 00:02:47
¿Qué pasa si yo sumo el 2 y el penúltimo? 00:02:49
6 a 1. 00:02:54
¿Y si sumo el tercero y el antepenúltimo? 00:02:56
6 a 1. 00:02:58
Entonces él dijo, bueno, pues igual que yo tengo esta sucesión, voy a ponerla abajo al revés. 00:03:00
Y ahora lo que voy a hacer es todas las sumas. 00:03:24
Porque yo me he dado cuenta que esto suma 101 más 101 más 101 más 101 más 101 más 101 más 101. 00:03:29
Así que yo quiero esta que es mi suma. 00:03:50
¿No? 00:03:54
Sí. 00:03:56
Y le estoy sumando otra vez mi suma. 00:03:57
Así que esto de aquí es, ¿cuántas veces mi suma? 00:04:00
No. 00:04:07
Si sumo una veces la suma y otra vez la suma, ¿cuántas veces tengo la suma? 00:04:08
Dos. 00:04:12
Dos. 00:04:13
Lo que estoy haciendo aquí es dos veces mi suma. 00:04:14
Es el doble de mi suma. 00:04:17
¿Eso lo vemos? 00:04:20
Vale, es 101 más 101 más 101. 00:04:23
¿Cómo expreso una suma en la que sumo todo el rato lo mismo? 00:04:25
Muy bien. 00:04:31
¿Cuántas veces estoy sumando 101? 00:04:32
100. 00:04:35
100. 00:04:36
Así que dos veces mi suma es igual a 101 por 100. 00:04:37
¿Lo veis? 00:04:47
Vale. 00:04:50
Dos veces mi suma es... 00:04:51
Pero yo no quiero dos veces mi suma. 00:04:57
¿Cuánto las quiero? 00:05:00
Pero ¿cómo la voy a querer 100 veces, Aarón? 00:05:02
¿Qué pone ahí? 00:05:05
Yo la quiero una. 00:05:07
Entonces, mi suma, ¿quién será? 00:05:08
¿Dividido para 100? 00:05:11
¿Dividido? 00:05:13
¿No? 00:05:15
¿Entre qué? 00:05:17
Yo le dijo a su profe que 1 más 2 más 3 más 4 más 5 más 6 más 7 más 8. 00:05:23
Así hasta el 10 suma 5500. 00:05:28
¿Vale? 00:05:34
Entonces, vamos a ver qué es lo que ha hecho. 00:05:35
Él quería la suma de los 100 primeros términos. 00:05:37
Yo quiero sumar 100. 00:05:45
Podría haber sumado 27. 00:05:46
Luego ahora lo vamos a hacer con 27. 00:05:47
Pero yo quiero la suma de los 100 primeros términos. 00:05:48
Entonces, ¿qué es lo que ha hecho? 00:05:51
¿Cómo llamábamos al primer término? 00:05:54
A1, muy bien, a sub 1, voy Diego. 00:06:00
Y le ha sumado el último, que es a sub 100. 00:06:03
Y esa suma la ha multiplicado por 100, que es el número de términos. 00:06:08
Y luego la ha dividido entre 2, porque la suma me daba el doble. 00:06:17
Ni me digo. 00:06:28
Ah, sí, perdón. Gracias. 00:06:31
Gracias. 00:06:35
¿Vale? 00:06:38
¿Ha quedado claro? 00:06:42
Y a él se le ocurrió hacerlo así, en lugar de estar sumando 1 más 2 más 3 más 4 más 5 más 6. 00:06:43
Que es muchísimo más inteligente. 00:06:51
Y claro que tardas menos. 00:06:53
¿Vale? 00:06:55
Entonces, hay muchas formas. 00:06:55
Si yo pienso, es verdad que Gauss tenía muchísimo manejo de los números. 00:06:57
Le gustaban mucho las progresiones. 00:07:01
Y le gustaban muchísimo las sucesiones. 00:07:03
Entonces, el manejo de los números es lo que distingue. 00:07:05
El manejo matemático de otro. 00:07:08
El cómo se familiariza con ellos. 00:07:09
¿Vale? 00:07:11
Entonces, él encontró una manera porque se dio cuenta de que si yo sumaba las parejas de los números, 00:07:12
siempre me daba igual. 00:07:19
¿Pasará con cualquier otro tipo de sucesión aritmética? 00:07:21
Sí. 00:07:24
¿Sí? ¿Lo comprobamos? 00:07:24
Venga. 00:07:26
Sí. 00:07:29
Vamos a ver. 00:07:31
Dadme ahora otra sucesión aritmética. 00:07:32
Venga, distinta. 00:07:35
El 1 es 27. 00:07:36
Del 1 al 25, sumando de cuánto en cuánto. 00:07:38
De 1 en 1. 00:07:41
De 1 en 1, vale. 00:07:41
Venga, de 2 en 2. 00:07:43
De 2 en 2, vale. 00:07:44
Entonces, ¿qué tendrías? 00:07:45
De 1 en 24. 00:07:46
1, 2, 3. 00:07:54
Más. 00:07:55
Más 2. 00:07:56
No, si vas de 2 en 2. 00:07:58
Ok, más 2. 00:07:59
Si vas de 2 en 3. 00:08:01
Más 3. 00:08:02
Vale. 00:08:02
Más 5. 00:08:05
Más 5. 00:08:06
Más 7. 00:08:08
Más 9. 00:08:10
Más 11. 00:08:14
Más 13. 00:08:16
Más 15. 00:08:17
Y así. 00:08:18
¿Hasta dónde quieres llegar? 00:08:23
Hasta 25. 00:08:24
Vale. 00:08:30
1 más 3 más 5 más 7 más 9 más 11 más 13 más 15 más 17 más 21 más 23 más 25. 00:08:33
¿Estoy haciendo la suma de los números? 00:08:38
Impales. 00:08:40
Impales. 00:08:40
Vale. 00:08:41
Pues esa es mi suma, la que me interesa. 00:08:42
Ya. 00:08:50
¿Cuántos términos estoy sumando? 00:08:51
25. 00:08:53
¿Sí? 00:08:54
Cuenta. 00:08:55
Ah, no, no, 95. 00:08:56
¿La 4? 00:08:59
No. 00:09:00
¿No? 00:09:00
12. 00:09:05
12. 00:09:05
Estoy sumando 12 términos, ¿lo veis? 00:09:08
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 00:09:13
Claro 00:09:16
¿Cómo lo sé? 00:09:17
A 25 le quito 1, que son 24 00:09:18
Y como he contado 2 en 2, le pido dentro de 2 00:09:20
¿Vale? 00:09:22
12 términos 00:09:25
Y ahora el que puso 00:09:26
Los mismos términos, ¿cómo los puso él? 00:09:28
Al contrario 00:09:34
Al revés 00:09:35
Entonces, vuelve a poner la misma suma 00:09:36
Pero ahora la pone al revés 00:09:40
Así que, ¿qué pongo aquí? 00:09:43
25 más 23 00:09:44
Más 21 00:09:46
Más 17 00:09:48
Más 19, más 17 00:09:49
Más 15, más 13 00:09:51
Más 11 00:09:54
Más 9 00:09:56
Más 7, más 00:09:58
¿Dónde he medido? 00:10:00
Más 5 00:10:04
Más 7 00:10:05
Más 5, más 3, más 1 00:10:06
No, pero que en algún... 00:10:08
Ay, que falta el 19 00:10:14
Así que son 13 términos 00:10:16
Claro 00:10:21
Son el último más el primero entre 2 00:10:23
Entonces será más 5, más 3 y más 1 00:10:36
Vale, vamos a sumar 00:10:48
¿Qué da aquí? 00:10:50
A la izquierda tendrá dos veces mi suma 00:10:54
Y aquí tendré 26 00:10:57
¿Y aquí? 00:11:05
¿Y aquí? 00:11:05
¿Y aquí? 00:11:06
¿Podéis parar, por favor, Arón? 00:11:14
Entonces, dos veces mi suma 00:11:19
¿A quién va a ser igual? 00:11:21
¿Cuántas veces? 00:11:28
13, que son las que he sumado 00:11:30
Luego, dos veces mi suma 00:11:32
Dividido por 2 00:11:34
Es igual a 00:11:36
26 por 13 00:11:38
¿Vais a necesitar las calculadoras para que uséis sesiones? 00:11:40
338 00:11:48
Sí, la vas a necesitar, Willy 00:11:48
Y la suma, ¿cuánto va a ser entonces? 00:11:49
338 00:11:57
Entre 2 00:11:58
169 00:11:59
Vale 00:12:02
Vale 00:12:04
Vamos a comprobarlo 00:12:05
Vamos a comprobarlo 00:12:06
1 más 3 00:12:07
4 más 5 00:12:09
9 y 7 00:12:11
16 y 9 00:12:13
25 más 11 00:12:16
36 más 13 00:12:19
49 más 15 00:12:22
64 más 16 00:12:24
81 más 19 00:12:38
100 00:12:39
100 00:12:40
100 00:12:41
Así que 100 más 21 00:12:42
121 00:12:43
121 00:12:44
121 más 23 00:12:45
121 00:12:46
121 más 23 00:12:47
144 00:12:48
144 00:12:49
144 00:12:50
144 más 25 00:12:51
169 00:12:52
169 00:12:53
169 00:12:54
169 00:12:55
169 00:12:56
169 00:12:57
169 00:12:58
169 00:12:59
¿Mola? 00:13:00
A mí me encanta 00:13:02
No lo borré 00:13:04
No lo borré 00:13:05
Pero esto sí, ¿no? 00:13:06
Eso sí, eso sí 00:13:07
Vale 00:13:08
Si hacéis esto así 00:13:09
Ya tenéis en el ejercicio el 5 00:13:12
Me lo podéis hacer con todas las sumas y puestas, puntos suspensivos 00:13:14
Y desarrollarlo 00:13:18
Y ya está 00:13:19
Vale 00:13:20
¿Vale? 00:13:21
¿Cómo lo hacemos si somos un poquito más inteligentes y utilizamos la generalización? 00:13:22
¿Vale? 00:13:28
Con la generalización yo tengo que darme cuenta de lo que estoy haciendo 00:13:29
¿Cuál es mi suma de los trece términos? 00:13:33
Estoy sumando el primer término 00:13:37
A sub 1 00:13:40
A sub 1 00:13:41
Más el término número 00:13:42
Trece 00:13:43
Trece 00:13:44
Que sería 00:13:45
Eso es para lo que necesitas saber progresiones aritméticas 00:13:46
Porque te van a dar una diferencia y un término 00:13:50
Y tienes que calcular el que te interese 00:13:52
Y eso es lo que hemos visto en la clase de los días anteriores 00:13:54
Entonces miraros los vídeos 00:13:57
¿Vale? 00:13:59
Es que yo no puedo integrar el aula virtual 00:14:00
Pues primero si te los mandas 00:14:02
Te los mando 00:14:04
O se los pides a un compañero 00:14:05
O sea que te los mande 00:14:06
Si están ahí 00:14:07
¿Vale? 00:14:08
Hay un enlace de la mediateca 00:14:09
Y a la mediateca podéis entrar todos 00:14:10
Entonces sumas el primer término más el último término de la serie que quieres sumar 00:14:12
¿Vale? 00:14:18
Y eso ¿Qué haces con ello? 00:14:19
Lo multiplicas por el número de términos que quieres sumar 00:14:21
Que en este caso es 00:14:25
Trece 00:14:26
Trece 00:14:27
¿Vale? 00:14:28
Y lo divides entre 00:14:30
Dos 00:14:31
¿Lo vemos? 00:14:33
Siempre es mi primer término más el término último de la suma 00:14:34
Eso lo multiplico por el número de términos y lo divido entre dos 00:14:38
¿Vale? 00:14:41
Entonces ¿Cuánto me da en este caso? 00:14:42
A sub uno 00:14:45
Uno 00:14:47
Más a sub trece 00:14:48
Veinticinco 00:14:50
Lo multiplico por trece 00:14:52
Y lo divido entre dos 00:14:54
¿Qué me queda? 00:14:55
Ciento sesenta y nueve 00:14:56
¿Vale? 00:14:58
¿Vale? 00:14:59
Veinticinco sesenta y nueve 00:15:00
Y no tengo que hacer todo esto 00:15:01
¿Lo hemos entendido? 00:15:06
¿Seguro? 00:15:08
¿Más o menos lo has entendido? 00:15:09
¿Sí? 00:15:10
¿Ya se ve? 00:15:11
¿Qué pasa? 00:15:19
¿De acuerdo? 00:15:20
Me parece muy difícil el tema anterior 00:15:21
Las sucesiones no son complicadas, entender la sucesión 00:15:26
Lo que es complicado es escribir la generalización y escribir el álgebra 00:15:28
Que eso es lo que os cuesta 00:15:31
Escribir los símbolos de la sucesión 00:15:33
Porque no has visto las dos clases anteriores 00:15:35
Claro, entonces lo que es difícil no es seguir una sucesión 00:15:40
Javi, si yo te digo a ti que voy de dos en dos y que empiezo desde el ocho 00:15:44
Que cuál es el término del lugar siete 00:15:48
Tú empiezas a sumar y me sabes cuál es el término 00:15:50
Luego, no es difícil el hacer la sucesión 00:15:53
¿Qué es lo difícil? 00:15:56
Utilizar la simbología 00:15:57
Los símbolos con los que generalizo el tema de sucesiones 00:16:00
Eso es lo que es complicado 00:16:04
Eso es lo que os cuesta trabajo 00:16:06
Y eso es lo que hemos estado trabajando en las dos clases anteriores 00:16:07
De una forma muy intuitiva y muy suave 00:16:10
¿Vale? 00:16:13
Entonces, claro, os faltan dos clases 00:16:14
¿De acuerdo? 00:16:16
Entonces, ¿esto lo hemos entendido? 00:16:17
¿Cómo se pueden sumar las progresiones aritméticas? 00:16:19
Entonces, voy a generalizar lo que estamos haciendo 00:16:22
¿Vale? 00:16:25
¿Cómo generalizaría? 00:16:26
Yo te diría 00:16:28
La suma de los n términos de una sucesión aritmética sería 00:16:29
El primer término, ¿quién es? 00:16:37
a sub 1 00:16:39
¿Con quién lo tengo que sumar? ¿Con qué término? 00:16:42
Con el último término 00:16:44
a sub n 00:16:45
¿Lo tengo que multiplicar por cuántos términos? 00:16:48
Por a sub n 00:16:51
Por n, que es el número de términos que tengo 00:16:52
Y lo tengo que dividir entre 2 00:16:55
Esa es la fórmula para sumar de manera intuitiva 00:16:58
Los términos de una progresión aritmética 00:17:04
Eso es una serie 00:17:07
¿Vale? 00:17:09
Se llama serie a la suma de los términos de una sucesión 00:17:10
Una sucesión va separada con comas 00:17:15
Yo tengo el 1, el 3, el 5, el 7 00:17:17
Son elementos que van en sucesión 00:17:19
Elementos sucesivos 00:17:22
Pues llamamos serie a la suma de un trozo de esos elementos 00:17:24
¿Vale? 00:17:29
Para los que vayáis a ir un poquito más adelante 00:17:33
Os voy a adelantar cómo se suele decir la notación 00:17:36
¿Vale? 00:17:39
Sería que s sub n 00:17:41
Sería a sub 1 más a sub 2 más a sub 3 00:17:44
¿Hasta dónde? 00:17:49
Hasta n 00:17:51
Hasta n, ¿verdad? 00:17:52
Eso sería s sub n 00:17:53
¿Vale? 00:17:55
Entonces, para no tener que escribir todo eso 00:17:56
¿Cómo lo escribimos en matemáticas? 00:17:59
Pues decimos que la s sub n 00:18:01
La suma es el símbolo de sumatorio 00:18:04
Que es una e con picos 00:18:08
Yo digo que voy a sumar todos los elementos a 00:18:11
Y le tengo que poner un subíndice 00:18:17
Porque esto va a ser un bucle 00:18:19
Todos los elementos a 00:18:21
Que tienen aquí un numerito 00:18:22
Desde que ese numerito i vale 1 00:18:25
Hasta que ese numerito i vale n 00:18:30
Entonces, esto no os lo tenéis que aprender 00:18:35
Sólo es para que empecéis a familiarizaros 00:18:38
Con este tipo de simbología 00:18:40
Cuando yo leo y veo un símbolo como este 00:18:42
Me está diciendo que la suma es 00:18:45
La suma de todos los elementos a 00:18:49
Desde que el subíndice de aquí vale 1 00:18:51
Hasta que vale n 00:18:54
Entonces, yo como empiezo a desarrollar 00:18:55
¿Vale? 00:18:57
Sería a 00:18:58
El primer elemento subíndice 00:18:59
El 1 00:19:01
Y como es un sumatorio 00:19:03
Más 00:19:05
El segundo elemento 00:19:07
Porque es desde que i vale 1 00:19:09
Hasta que vale n 00:19:11
Así que ahora i vale 00:19:12
Si antes valía 1 00:19:14
Ahora vale 2 00:19:15
Más 00:19:19
Y el siguiente elemento 00:19:20
Y el siguiente elemento 00:19:24
Así 00:19:27
Hasta que a valga n 00:19:28
Cuando uno, un matemático ve esto 00:19:32
Lo desarrolla como esto 00:19:36
¿De acuerdo? 00:19:40
Es sólo una forma de expresar 00:19:42
Una suma sucesiva 00:19:45
Una serie 00:19:47
De manera pequeñita 00:19:49
¿Vale? 00:19:51
Porque hay muchas series 00:19:52
Y además tiene mucha aplicación 00:19:54
Porque 00:19:56
Un polinomio, por ejemplo 00:19:58
Se puede expresar como una suma 00:19:59
Ya lo veremos 00:20:01
¿Vale? 00:20:02
Entonces se puede expresar un polinomio entero 00:20:03
Como un término muy pequeñito 00:20:04
Así solo 00:20:06
Sin tenerlo que escribir entero 00:20:07
¿De acuerdo? 00:20:09
Solamente es para escribir menos 00:20:10
Escribir así, condensado 00:20:11
¿De acuerdo? 00:20:13
Esperamos 00:20:14
Que esto no hace falta que lo sepáis 00:20:15
Sólo es 00:20:16
A título informativo 00:20:17
¿De acuerdo? 00:20:18
A mí lo que me interesa 00:20:19
Es que sepáis que la suma 00:20:20
Esto 00:20:21
La suma de los n términos 00:20:22
Es una serie finita 00:20:24
¿Vale? 00:20:26
¿De qué? 00:20:27
Desde que la i vale 1 00:20:28
Hasta que el subíndice vale n 00:20:29
De a sub 1 00:20:31
Más a sub 2 00:20:32
Más a sub 3 00:20:33
Más a sub 4 00:20:34
¿Y cómo lo hago? 00:20:35
Pues cojo el primero 00:20:36
Le sumo el último 00:20:37
Lo multiplico por el número de términos 00:20:38
Y lo divido entre 2 00:20:40
¿Ha quedado claro? 00:20:41
¿Para todos? 00:20:42
¿Sí? 00:20:43
Sí 00:20:44
Vale 00:20:45
¿Y qué pasa con las sucesiones geométricas? 00:20:46
Había que multiplicar 00:20:47
Entonces yo tenía por ejemplo 00:20:48
Más 00:20:50
Voy a multiplicar por 2 00:20:51
Va a ser que la razón sea 00:20:52
Por 2 00:20:53
Entonces si la razón es por 2 00:20:54
Por 2 00:20:57
Muy bien 00:20:59
Muy bien 00:21:01
Por 2 00:21:03
O sea 00:21:06
Por 2 00:21:08
Muy bien 00:21:11
Por 2 00:21:13
O sea 00:21:16
Más 00:21:26
Más 00:21:28
Bueno voy a hacerlo de forma finita 00:21:29
¿Vale? 00:21:30
Para que lo veáis todo 00:21:31
Luego vamos a generalizar 00:21:32
Más 32 00:21:33
Más 64 00:21:34
¿Vale? 00:21:35
Vamos a hacer hasta ahí 00:21:36
Eso significa que voy a hacer la suma 00:21:37
De cuántos términos 00:21:38
De los 7 primeros términos 00:21:40
¿Vale? 00:21:41
De los 7 primeros términos 00:21:42
¿Vale? 00:21:43
De los 7 primeros términos 00:21:44
De los 7 primeros términos 00:21:45
De los 7 primeros términos 00:21:46
De esta progresión geométrica 00:21:47
De los 7 primeros términos 00:21:48
De esta progresión geométrica 00:21:49
¿Lo veis? 00:21:50
¿De acuerdo? 00:21:51
¿De acuerdo? 00:21:52
Entonces 00:21:53
Entonces 00:21:54
Es muy difícil 00:21:55
Porque en una progresión geométrica 00:21:56
Porque en una progresión geométrica 00:21:57
Yo no sé todo lo que calculo 00:21:58
Yo no sé todo lo que calculo 00:21:59
Voy multiplicando 00:22:00
Y suma mucho 00:22:01
Entonces 00:22:02
Yo en realidad 00:22:03
Fíjate 00:22:04
Que lo que te estoy diciendo 00:22:05
Es que tienes que sumar 00:22:06
Es que tienes que sumar 00:22:07
El primer término 00:22:08
El primer término 00:22:09
Por R 00:22:10
Por R 00:22:11
Por R 00:22:12
Por R 00:22:13
Por R 00:22:14
el segundo término es el primero por R y luego por R para el tercer término y luego para el cuarto término es el primero por R, por R y por R, ¿eso lo veis? 00:22:15
No, no es el término anterior al que... 00:22:28
Más uno por dos a la sexta, ¿esto lo veis? 00:22:59
Vale, pues es un poco complicado de sumar porque yo puedo tener muchas y además meto potencias, entonces, ¿qué se les ocurrió? 00:23:06
Decir, mira, voy a hacer una cosa, voy a coger mi serie y la voy a multiplicar por mi razón, que en este caso es, ¿quién es la razón? 00:23:14
Dos. 00:23:22
Entonces, yo esta serie la voy a dejar abajo, perdón. 00:23:24
Y lo que voy a hacer es la misma serie multiplicarla por mi razón, ¿cuánto vale la razón? 00:23:28
¿Cuánto vale la razón? 00:23:57
Dos. 00:23:58
Si la razón fuera tres, multiplicaría por tres. 00:24:00
Si la razón fuera siete, multiplicaría por siete, ¿sí? 00:24:03
Vale, entonces fíjate, aquí en lugar de tener uno, tendré uno por dos. 00:24:07
Aquí en lugar de tener dos, tendré dos al cuadrado. 00:24:17
Una razón más. 00:24:23
Aquí en lugar de tener dos, tendré tres. 00:24:24
Aquí en lugar de tres, tendré cuatro. 00:24:28
Aquí, cinco. 00:24:32
Aquí, seis. 00:24:34
Y aquí, siete. 00:24:36
¿Vale? 00:24:40
Claro, vale, pero yo estoy haciendo dos veces mi sucesión, ¿está bien? 00:24:43
No es la suma que quería, pero tengo el doble de mi suma y es esa. 00:24:49
Y ahora lo que voy a hacer es que a esta le voy a quitar esta. 00:24:54
Entonces, ¿por qué? 00:24:58
Porque tengo un montón de términos en medio que me molestan. 00:25:00
Y si yo a esta le quito esta, esto en lugar de ser más, es menos. 00:25:03
Y verás que con este truco se ventilan un montón de términos por el camino. 00:25:12
Porque mira, ¿qué me queda? 00:25:19
En el lado de la izquierda, dos veces mi suma menos la suma. 00:25:21
Dos veces. 00:25:27
Mi suma menos la suma, ¿sí? 00:25:28
Sí. 00:25:30
Vale. 00:25:31
Y aquí, ¿qué le pasa a este uno por dos con este menos uno por dos? 00:25:32
Dos menos uno, uno. 00:25:37
Ah. 00:25:40
Que se cancela. 00:25:40
Ah. 00:25:41
Si sumo uno por dos al cuadrado, se cancela con el menos uno por dos al cuadrado. 00:25:42
¿Qué le pasa con este uno por dos al cuadrado? 00:25:47
Lo mismo. 00:25:50
Que se cancela con este. 00:25:51
Y este uno por dos al cubo, que se cancela con este. 00:25:52
Y este uno por dos a la cuarta, que se cancela con este. 00:25:55
Y este uno por dos a la quinta, que se cancela con este. 00:25:58
Y este con este. 00:26:01
Y entonces, mi suma entera, ¿qué es lo único que me queda? 00:26:02
Uno por dos a la siete menos uno. 00:26:07
Solo hay que... 00:26:16
Esta vez mi suma es esto. 00:26:17
Entonces, si yo saco factor común de aquí la suma, 00:26:19
¿sí? 00:26:22
Esto lo veis? 00:26:28
Pues ahora, mi suma, será... 00:26:41
Y lo puedo calcular. 00:26:55
¿Cuánto vale uno por dos? 00:26:56
2 a la 7. 2 por 2, 4 por 2, 8 por 2, 16 por 2, 32 por 2, 64 por 2, 128. 128 menos 1 partido por 1. 127. 00:26:58
Vamos a comprobarlo. 1 más 2. 3 más 4. 7 y 8. 15 y 16. 31. 00:27:15
31 y 32. 63 y 63 y 64. 127. 00:27:28
Vamos a ponerlo en general porque esta suma se ve más fácil si en lugar de hacerlo con un valor concreto lo hacemos en general. 00:27:36
¿Vale? ¿De acuerdo? 00:27:50
¿Puedo seguir? ¿Aquí? 00:27:56
¿Habéis seguido hasta aquí? ¿Lo tenéis? 00:27:59
Vale, vamos a hacerlo ahora con letras a ver si lo entiendes más fácil porque esta precisamente con letras, no, esta con letras es más fácil. 00:28:05
Se entiende más fácil. 00:28:13
¿Lo tienes Jenny? ¿Lo tienes Raquel? 00:28:22
Venga, cuando tú me digas. 00:28:26
A ver, tú. 00:28:28
¿Qué casi? 00:28:38
¿Pero cuál otro? 00:28:40
Vale. 00:28:48
Mira. 00:28:50
Yo tengo una serie 00:28:50
¿Vale? Voy a hacer solo 7 términos 00:28:57
Luego lo voy a poner en general 00:29:00
Entonces con 7 términos 00:29:01
Tú tienes aquí 00:29:04
A sub 1 00:29:06
Más 00:29:07
El siguiente sería 00:29:10
A sub 1 por R 00:29:11
Que es A sub 2 00:29:12
Porque es la razón 00:29:14
¿Cómo encuentras A sub 2? 00:29:16
Multiplicando A sub 1 por un número 00:29:18
Que es la razón 00:29:20
Más A sub 1 por R al cuadrado 00:29:21
¿Eso lo ves? 00:29:25
Más 00:29:28
A sub 1 por R al cubo 00:29:29
Más 00:29:32
1, 2, 3, 4 00:29:34
A sub 1 por R a la cuarta 00:29:35
Más A sub 1 por R a la quinta 00:29:38
Más A sub 1 por R a la sexta 00:29:40
¿Hasta aquí sí? 00:29:48
Sí 00:29:49
A ver, en una progresión aritmética 00:29:50
Tú consigues un número 00:29:52
El término siguiente 00:29:53
Multiplicando el anterior 00:29:55
Por un número que llamas razón 00:29:56
Así que 00:29:57
Si yo tengo aquí el A sub 1 00:29:58
A sub 2 00:30:00
A sub 3 00:30:01
A sub 4 00:30:03
Y de aquí a aquí 00:30:04
Paso multiplicando por R 00:30:08
Y de aquí a aquí 00:30:09
Paso multiplicando por R 00:30:10
Y de aquí a aquí 00:30:11
Paso multiplicando por R 00:30:12
Este será A sub 1 por R 00:30:13
Y este será 00:30:16
el anterior, que es a sub 1 por r 00:30:18
por r otra vez 00:30:20
¿por qué? 00:30:21
ah, ok, incrementando la r 00:30:25
claro, voy multiplicando por la r 00:30:27
y como multiplico por lo mismo es una potencia 00:30:30
¿lo has entendido ahora? ¿te acuerdas ya? 00:30:32
vale, entonces, mi suma sería esa 00:30:34
¿lo veis? 00:30:36
a sub 1 por r 00:30:40
el primer elemento por r 00:30:44
claro 00:30:46
claro, este es un 1 00:30:48
eso sobraba 00:30:48
vale 00:31:00
vale, entonces 00:31:02
hemos dicho, ahora 00:31:07
hago lo mismo multiplicada por r 00:31:09
y la pongo arriba porque va a ser más grande 00:31:12
y si yo quiero restar 00:31:14
a lo grande le tengo que restar lo pequeño 00:31:15
¿vale? 00:31:17
entonces, yo cojo 00:31:18
esta serie 00:31:20
la voy a bajar 00:31:21
y voy a coger 00:31:23
la misma serie 00:31:30
arriba, solo que la voy 00:31:30
a multiplicar por r 00:31:34
entonces voy a poner 00:31:35
r veces mi serie 00:31:37
eso significará que el término a sub 1 00:31:39
queda multiplicado 00:31:43
por r 00:31:44
y a sub 1 en lugar de estar elevado a r 00:31:48
estará elevado a r al cuadrado 00:31:52
y el r al cuadrado será un r al cubo 00:31:54
y el r al cubo será un r 00:31:58
a la cuarta 00:32:00
y el r a la cuarta será un r 00:32:02
a la quinta 00:32:04
y el r a la quinta 00:32:06
será un r a la sexta 00:32:08
y el r a la sexta será un r 00:32:09
a la séptima 00:32:11
y esta, en lugar de sumar 00:32:12
la voy a restar 00:32:18
para eliminar en medio 00:32:19
todos estos términos que me molestan 00:32:21
así que esto será un menos 00:32:23
y todos estos signos más 00:32:24
¿en qué se van a convertir? 00:32:29
en menos 00:32:30
porque voy a hacer el opuesto 00:32:31
voy a restarlo 00:32:33
y me quito de en medio 00:32:35
todos los términos que tengo entre medias 00:32:39
entonces, cuando yo hago la suma 00:32:41
aquí me queda 00:32:44
por mi suma 00:32:47
menos mi suma 00:32:48
porque sumo estas dos cosas 00:32:51
entonces tengo r veces mi suma 00:32:53
menos mi suma 00:32:55
¿sí? 00:32:56
y aquí a la derecha, ¿qué me va a pasar? 00:32:57
que este se me va con este 00:32:59
este se va con este 00:33:01
este se va con este 00:33:03
este se va con este 00:33:04
este se va con este 00:33:06
y este se va con este 00:33:08
¿quiénes son los dos únicos que me quedan? 00:33:09
menos a sub 1 00:33:12
no, este es positiva 00:33:14
a sub 1 00:33:15
no, sí, pero había dicho 00:33:17
los dos únicos que me quedan 00:33:17
claro, pero esto es más grande 00:33:17
a sub 1 por r a la 7 00:33:19
menos, tú normalmente 00:33:21
una resta te gusta ponerla así 00:33:23
¿vale? 00:33:25
entonces, casi he terminado 00:33:27
no he terminado porque aquí no tengo mi suma 00:33:28
tengo una operación con mi suma 00:33:31
entonces, ¿cómo puedo despejar mi suma? 00:33:33
saco factor común 00:33:36
la suma que es lo que yo quiero 00:33:37
¿vale? saco factor común la suma 00:33:38
la suma de sub 7 por r 00:33:45
r a la 7 00:33:47
r la suma 00:33:47
y la suma menos 1 menos la suma 00:33:48
¿lo veis? 00:33:51
¿que es lo mismo? 00:33:52
¿vale? 00:33:53
que si yo aplico la distributiva 00:33:54
esto por esto me da esto 00:33:55
y esto por esto me da esto 00:33:57
así que es lo mismo 00:33:59
he sacado factor común 00:34:00
que es aplicar la propiedad distributiva al revés 00:34:03
¿os acordáis ya? 00:34:05
vale 00:34:07
¿y aquí qué tendré? 00:34:07
pues mi primer término 00:34:09
multiplicado por r a la 7 00:34:12
menos mi primer término 00:34:14
que son los términos que quedan 00:34:17
y ahora si yo quiero mi suma 00:34:19
será 00:34:22
mi primer término 00:34:25
multiplicado por r a la 7 00:34:27
menos el primer término 00:34:30
y lo dividiré 00:34:32
¿de quién? 00:34:33
de r menos 1 00:34:36
por eso te he dicho que se ve más fácil con letras 00:34:37
esta se ve más fácil con letras 00:34:41
entonces 00:34:42
si yo quiero generalizar 00:34:43
fíjate 00:34:46
si yo quiero la suma de los 7 primeros términos 00:34:46
mi razón tiene que estar elevada a 7 00:34:51
entonces 00:34:53
¿cuál es la generalización de la suma 00:34:55
de los términos de una serie 00:34:58
basada en una progresión geométrica? 00:35:00
¿habéis copiado ya esto? 00:35:04
¿puedo pasar para hacer la generalización? 00:35:07
si yo quiero sumar 00:35:11
n términos 00:35:13
de una progresión geométrica 00:35:16
lo que hago es que cojo 00:35:18
el primer término 00:35:19
a sub 1 00:35:22
el primer término ¿lo veis? 00:35:23
a sub 1 00:35:26
lo multiplico por la razón elevada 00:35:28
al mismo número de términos que quiero sumar 00:35:31
así que 00:35:35
lo multiplico por la razón elevada a n 00:35:36
le resto el primer término 00:35:40
y lo divido siempre de la razón elevada a n 00:35:44
y lo divido siempre de la razón elevada a n 00:35:45
y lo divido siempre de la razón elevada a n 00:35:45
menos 1 00:35:45
bueno, no hace falta paréntesis 00:35:46
¿vale? 00:35:49
siempre 00:35:51
¿de acuerdo? 00:35:52
siempre 00:35:55
vamos a mirar para atrás 00:35:56
y vemos que en este caso 00:35:57
que era nuestro número 00:35:59
fíjate que yo decía 00:35:59
el primer término 00:36:01
el 1 00:36:03
el primer término 00:36:04
el 1 00:36:09
multiplicado por r 00:36:09
que es el 2 00:36:12
que era mi razón 00:36:13
claro, eso 00:36:14
elevada a 7 00:36:15
porque 7 es el número de términos que quiero sumar 00:36:17
menos el primer término que es el 1 00:36:20
entre la razón que es 2 00:36:23
menos el 1 00:36:25
¿vale? 00:36:26
vamos a aplicarlo con otra 00:36:29
vamos a ver 00:36:30
mis términos ahora son 00:36:35
dadme una progresión geométrica que empiece por 2 00:36:36
2, 4, 6, 8 00:36:39
esos son pares 00:36:43
multiplica por 3 00:36:44
más 6 00:36:47
más 18 00:36:50
más 00:36:52
vale 00:36:58
estoy sumando ¿qué? 00:36:59
¿cuántos términos? 00:37:02
estoy haciendo la suma de los 4 primeros términos 00:37:04
¿quién es mi primer término? 00:37:08
el 2 00:37:11
el 2 00:37:11
¿lo veis? 00:37:13
¿lo veis? 00:37:14
este es a sub 1 00:37:15
¿cuántos términos quiero sumar? 00:37:17
esta es la n 00:37:20
¿y cuál es la razón? 00:37:22
¿por qué? 00:37:29
porque vamos multiplicando por 3 00:37:31
genial 00:37:32
entonces, ¿qué es lo único que yo tengo que hacer ahora? 00:37:33
pues comprobar que la suma de los 4 primeros términos es 00:37:37
mi primer término que es 2 00:37:41
a sub 1 00:37:44
por la razón elevada a 4 00:37:45
menos a sub 1 00:37:48
entre mi razón menos 1 00:37:49
vamos a comprobarlo 00:37:51
ese sub 4 es 00:37:53
¿quién es a sub 1? 00:37:55
2 por ¿quién es mi razón? 00:37:57
3 elevado a 4 00:38:00
que son los términos que quiero sumar 00:38:02
menos el 2 00:38:03
por mi razón ¿quién es? 00:38:05
el 3 00:38:07
3 menos 1 00:38:08
voy a comprobarlo 00:38:09
2 por 3 por 3 es 9 00:38:10
y 9 por 9 es 81 00:38:15
2 por 81 menos 2 00:38:16
entre 2 00:38:19
2 por 81 son 162 00:38:19
menos 2 entre 2 00:38:25
160 entre 2 00:38:27
que son 00:38:29
vamos a ver 00:38:32
2 más 6 00:38:33
2 más 6 00:38:34
8 más 8 00:38:38
perdón 00:38:42
8 más 18 00:38:44
perdón 00:38:44
8 más 18 00:38:44
26 y 26 más 54 00:38:45
¿vale? 00:38:52
¿dónde tienes tu utilidad en la fórmula? 00:38:56
cuando son pocos términos sumo y se acabó 00:38:59
pero imagínate si tienes que sumar 00:39:01
los 20 primeros términos 00:39:03
de una sucesión geométrica 00:39:05
¿lo vas a calcular todos? 00:39:06
solo en calcularlos 00:39:08
vamos a hacer una prueba 00:39:10
¿vale? 00:39:12
hay un cuento 00:39:13
¿sabéis el cuento del ajedrez? 00:39:14
yo sé que no 00:39:18
el ajedrez 00:39:19
viene 00:39:20
inicialmente 00:39:21
viene de una palabra 00:39:22
jaque mate 00:39:23
es una palabra 00:39:24
que se utiliza en ajedrez 00:39:25
para cuando 00:39:26
un jugador ha perdido 00:39:27
ya es ganado 00:39:29
para cuando matas al rey 00:39:30
en realidad 00:39:33
la palabra jaque mate 00:39:35
viene de la palabra persa 00:39:36
shah mat 00:39:38
shah 00:39:39
es el shah de Persia 00:39:40
es el emperador 00:39:42
es el rey de Persia 00:39:43
a día de hoy 00:39:44
se sigue llamando 00:39:44
el shah de Persia 00:39:45
y mat es muerto 00:39:46
entonces en realidad 00:39:48
el juego se llamaba 00:39:49
muerte al rey 00:39:50
cuenta la leyenda 00:39:51
que el shah de Persia 00:39:53
estaba muy triste 00:39:54
nada conseguía alegrarlo 00:39:56
porque había perdido a su hijo 00:39:58
y entonces 00:40:00
un obrero artesano 00:40:01
del reino 00:40:03
inventó este juego para él 00:40:04
y se lo presentó 00:40:06
al rey le gustó tanto 00:40:07
¿ya? 00:40:10
al rey le gustó tanto 00:40:12
que se le dio un juego 00:40:14
que le pidió 00:40:14
en compensación 00:40:16
que le pidiera una recompensa 00:40:18
y él dijo 00:40:21
majestad 00:40:23
me conformo 00:40:24
con que 00:40:25
utilizando 00:40:26
los cuadros del tablero 00:40:27
en el primer cuadro 00:40:29
pongáis un grano 00:40:30
en el segundo 00:40:32
pongáis dos 00:40:33
en el tercero 00:40:34
pongáis tres 00:40:35
y así 00:40:36
hasta llegar 00:40:37
las 64 casillas 00:40:38
del tablero 00:40:40
perdón 00:40:42
no tres 00:40:42
el doble 00:40:42
de manera que 00:40:43
en cada casilla 00:40:44
dobles la anterior 00:40:45
eso es una sucesión geométrica 00:40:46
¿verdad? 00:40:48
de razón 00:40:48
dos 00:40:49
¿cuántos términos 00:40:51
tenía que sumar? 00:40:52
porque él quería 00:40:53
vale 00:40:53
vamos a calcularlo 00:40:54
vamos a calcular 00:40:55
el primer término 00:40:58
de la sucesión 00:40:59
vale 00:41:00
uno 00:41:01
que es un grano 00:41:02
la razón vale 00:41:03
dos 00:41:05
y quiero sumar 00:41:06
vale 00:41:09
pues podemos 00:41:10
esperar un minuto 00:41:11
pues según esto 00:41:12
sería 00:41:13
a sub uno 00:41:14
podemos esperar 00:41:16
un minuto 00:41:18
por la razón 00:41:19
elevada a 64 00:41:21
menos a sub uno 00:41:22
entre la razón 00:41:24
menos uno 00:41:25
sería 00:41:26
a sub uno 00:41:27
es uno 00:41:36
por dos 00:41:37
elevado a 64 00:41:39
podéis parar 00:41:40
menos uno 00:41:41
entre dos 00:41:43
menos uno 00:41:45
en realidad es 00:41:45
dos a las 64 00:41:46
menos uno 00:41:49
¿podéis por favor 00:41:50
intentar hacerlo 00:41:51
con la calculadora? 00:41:52
es que sale un montón 00:41:53
porque sale 00:41:54
1.84 00:41:55
es 74 00:41:57
por 10 00:41:58
a la 19 00:42:01
¿qué significa 00:42:02
por 10 00:42:11
a la 19? 00:42:12
que tenía 19 ceros 00:42:13
es decir 00:42:16
si yo corro la coma 00:42:17
tengo que correrla 00:42:18
a 19 lugares 00:42:19
ceros 00:42:33
me gustaría que investigaréis 00:42:34
cuál es la cosecha de 00:42:39
granos 00:42:41
¿cuántos 00:42:42
granos 00:42:43
hay en un kilo 00:42:44
y cuál es la cosecha 00:42:44
de granos mundial? 00:42:45
pero depende 00:42:47
no le pudieron pagar 00:42:47
no había suficientes 00:42:49
granos en el reino 00:42:51
para poderle pagar 00:42:52
¿pero granos 00:42:53
de qué? 00:42:54
de trigo 00:42:54
¿de qué va a ser? 00:42:55
no sé 00:42:56
no, de trigo 00:42:56
imagínate 00:42:58
ponerte a contar 00:42:59
esa burrada de granos 00:43:00
pues se puede estimar 00:43:01
cuántos granos 00:43:03
tienes en un kilo 00:43:03
¿vale? 00:43:04
y entonces estimando 00:43:05
es así como se calculan 00:43:06
las cosechas 00:43:08
totales 00:43:09
entonces estimad 00:43:09
los granos 00:43:10
que hay en un kilo 00:43:11
¿cuántos granos 00:43:12
mirad a ver 00:43:13
cuántos kilos 00:43:14
hay en todos estos granos 00:43:15
y estimad 00:43:17
cuántas toneladas 00:43:18
de grano tenéis 00:43:19
¿vale? 00:43:20
me dejo ahí 00:43:22
gracias 00:43:23
chao 00:43:24
Idioma/s:
es
Autor/es:
Carolina Hassmann
Subido por:
Carolina H.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
24
Fecha:
8 de febrero de 2024 - 12:17
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
43′ 29″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
83.19 MBytes

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