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Dominio, puntos de corte y continuidad de funciones a trozos - Contenido educativo

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Subido el 4 de mayo de 2023 por Roberto A.

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Buenas, este vídeo es para afianzar los conocimientos que ya hemos adquirido en clase de dominio, 00:00:00
punto de corte y continuidad en funciones a trozo. 00:00:06
Tenemos esta función definida a trozo, formada por x cuadrado más 4 partido de x más 2 00:00:10
si x es distinto de menos 2 y 1 si x es igual que menos 2, ¿vale? 00:00:17
Entonces, claro, si nosotros nos fijamos primero en esta parte de aquí para ver el dominio, 00:00:22
vemos que en principio no habría restricción ninguna, porque aquí sería para todos los 00:00:27
x distinto de menos 2 y aquí ya está definido para x igual a 2, con lo cual a priori el 00:00:31
dominio, siguiendo estas indicaciones, sería todo lo real. 00:00:39
Pero, ¿qué ocurre? 00:00:41
Que aquí lo que tenemos nosotros es una función racional, una función racional es una función 00:00:42
de división de polinomios. 00:00:48
Entonces, lo que nosotros no sabemos, al ser una función racional, es tener un denominador 00:00:49
que iguale. 00:00:56
Por lo tanto, nosotros tenemos que igualar ese denominador, que es x más 2, x más 2 00:00:57
y vamos a 0 y vemos que el único valor que le afecta a esta función racional es el x 00:01:01
igual a menos 2. 00:01:09
Pero, ¿qué ocurre? 00:01:10
Que precisamente la función para x igual a menos 2 no está definida en la parte de arriba, 00:01:11
sino que va en el valor, con lo cual el dominio sigue siendo todo lo mismo. 00:01:18
Si aquí, por ejemplo, nosotros hubiéramos tenido un x más 3, es decir, nosotros aquí 00:01:23
en vez de tener un x más 2, nosotros hubiéramos tenido un x más 3, sí que nos hubiera afectado 00:01:28
y todo el dominio sería todo lo real menos el menos 2. 00:01:33
Pero, como aquí justamente el único valor que hace 0 es el menos 2 y el menos 2 no pertenece 00:01:37
a esta función de aquí, sino que está definido aquí abajo con el 1, pues no. 00:01:45
¿De acuerdo? 00:01:50
Por lo cual el dominio es todo lo real. 00:01:51
Con los puntos de corte, los puntos de corte siempre tenemos que hacer lo mismo, ¿no? 00:01:54
En el punto de corte con el eje de las x, todos los puntos que pertenecen al eje de 00:01:58
las x tienen en común que la arriba de la izquierda. 00:02:03
Por lo cual nosotros lo que hacemos es cogermos esta función aquí, x cuadrado más 4x más 00:02:07
4, x más 2 igual a 0 y al igualar a 0 vemos que esto es lo que es, es una identidad notable 00:02:11
si lo hacemos con la fórmula de menos raíz de b al cuadrado menos 4c partido de 2a obtenemos 00:02:19
un único valor, el doble de menos 2 y esto pues es x menos menos 2 al cuadrado, que es 00:02:26
x más 2, que es una igualdad notable, que es el cuadrado del primero más el doble producto 00:02:33
del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. 00:02:38
Por lo tanto, el único valor que hace 0 en esta parte de la función es x igual a 00:02:41
menos 2, pero vemos que no pertenece, no está definido para x igual a menos 2, por lo cual 00:02:48
no hay punto de corte. 00:02:55
Luego la otra parte de la función es un 1 y 1 siempre es distinto de 0, con lo cual 00:02:57
¿qué podemos decir? 00:03:02
Que no existe punto de corte con el eje de x, x, x. 00:03:03
¿Cuál es el corte con el eje y', pues en todos los puntos de y la x va a ser 0, 00:03:07
con lo cual nosotros tenemos que hallar f de 0 y f de 0 ¿dónde está definido?, pues 00:03:14
está definido en la parte de arriba y f de 0 yo sustituyo la x por 0, tengo 0 más f 00:03:18
de 0, 0, f de 0, con lo cual arriba en el numerador tengo un 4 y abajo tengo 0 más 00:03:24
2, 0 más 2 es, con lo cual 4 entre 2 es 2 y el punto de corte, el único punto de 00:03:30
corte que tengo con el eje y es f. 00:03:39
Aquí donde tendríamos que hallar la continuidad, pues si os fijáis la continuidad únicamente 00:03:44
la tenemos que hallar en el punto de distorbio, en el cual nosotros hacemos la definición 00:03:48
de la parte de arriba y la parte de arriba, por lo cual aquí no habría que hacer a priori 00:03:55
distinción entre límites laterales, lo podemos hacer, no hay ningún problema, pero sería 00:04:09
digamos pérdida de tiempo, porque aquí lo que tenemos que ver es que tanto izquierda 00:04:14
como derecha es la misma, como siempre nosotros al hacer el límite en el menos 2 sustituimos, 00:04:19
es lo primero que tenemos que hacer y que vemos que claro es raíz del numerador pero 00:04:26
también es raíz del denominador, por lo tanto me sale 0 partido de 0 que no es otra 00:04:30
cosa que un número. Cuando tenemos en determinación las funciones 00:04:35
racionales, es decir la división de polinomios lo que tenemos que hacer es factorizar ¿no? 00:04:39
y bueno ya hemos visto que el numerador es una igualdad notable, por lo tanto es x al 00:04:45
cuadrado y luego el denominador que es x más 2, con lo cual yo puedo tachar aquí un x 00:04:50
más 2 y mi función sería exactamente igual, gráficamente exactamente igual a la recta 00:04:55
de x más 2, lo único que en el punto menos 2 tendríamos un agujerito, un agujerito que 00:05:02
luego ya sabemos como está definido en el 1 que para x igual a menos 2 pues va al 0. 00:05:09
¿Qué ocurre? Que el límite por la izquierda y por la derecha es exactamente el mismo, 00:05:16
por lo tanto el límite más función cuando x tiende a menos 2 es 0, pero que ocurre que 00:05:20
0 es distinto de 1 y 1 que es el infinito, por lo tanto creo que tenemos una discontinuidad 00:05:27
evitable en el punto x. Si nos vamos a la representación de la gráfica veis que es 00:05:33
exactamente igual que la recta de x menos 2, daros cuenta que el numerador era x más 2 al cuadrado 00:05:40
y el denominador es x menos 2. Cuando pasa esto, fijar al dominio sí que es muy importante decir 00:05:46
que el menos 2, perdón, el menos 2 no pertenecería, pero aquí como está definido a trozos pues vemos 00:05:53
que la representación gráfica es exactamente igual a la recta de x menos 2, pero aquí tenemos 00:06:01
un puntito blanco porque para el menos 2 vale el punto a, es decir, vale el 1, por lo tanto aquí 00:06:07
en el x igual a menos 2 lo que tenemos es una discontinuidad evitable en x igual a menos 2. 00:06:14
No hay más, no hay más que decir. Vemos que continúa en el resto de, nosotros tendríamos 00:06:27
la información en el x igual a menos 2, nuestra función se puede reducir de x cuadrado más 4x más 4 00:06:35
partido de x menos 2, se puede reducir a x más 2 por representación de la misma, aquí sí que 00:06:43
tendríamos un agujerito, de hecho vemos cuando yo pongo, bueno lo he quitado, pero si tú aquí 00:06:47
haces esta función f de x y tú pones f de menos 2, verás que f de menos 2 pues te aparece una 00:06:53
interrogante porque no está, no está definida. Sin embargo luego yo lo he definido con el punto 00:06:59
a menos 2, 1, ¿por qué? Porque decía que nuestra función sería 1 si x es igual, es este punto, 00:07:04
¿de acuerdo? Entonces ahí vemos la discontinuidad. Vámonos a otro ejercicio. En este ejercicio lo 00:07:12
que tenemos nosotros es nuestra f de x también definida a trozos, igual, parte de x igual a menos 00:07:18
2 y parte de x distinto de menos 2, donde nosotros tenemos esta función que también es una función 00:07:23
polinómica, una función polinómica racional, perdón, polinomio y entonces ¿qué ocurre? Que 00:07:29
nosotros a priori con el dominio, si nosotros nos fijamos en esta parte de aquí, pues serían todos 00:07:37
los reales porque está definida toda x que es distinta de menos 2, pero también está definida 00:07:42
para menos 5. ¿Qué ocurre? Aquí la definición de nosotros es una función polinomial, nosotros lo 00:07:49
que tenemos que hacer es ese denominador igual a 0. ¿Qué ocurre? Que tenemos dos valores que 00:07:55
me anulan en el denominador, el x igual a 0, que sí está afectado por el intervalo en el cual está 00:08:01
definido este intervalo, si recordamos es infinito a menos 2 abierto, unión menos 2 a infinito o lo 00:08:07
mismo, es todos los reales menos el punto. ¿Qué ocurre? Que el 0 sí que me afecta, el 0 está en 00:08:16
este intervalo en el cual está definida la función, pero el x menos 2 no me afecta, el x menos 2 vale 00:08:23
menos 1 medio y por lo tanto ¿cuál es el dominio de esta función? Pues serían todos los reales, 00:08:31
pero en el 0 tengo yo una división por 0, por lo tanto el 0 no me afecta. Si yo hallo los puntos 00:08:37
de corte, pues vale, los puntos de corte en el eje de x y x' siempre dan igual a 0, lo que hago es igualar 00:08:45
ambos trozos de la función a 0, vemos que x más 2 partido de x cuadrado más 2x igual a 0, yo al 00:08:50
final esto lo paso multiplicando por 0 y 0, tengo que x más 2 es igual a 0, por lo tanto es x menos 2, 00:08:58
pero ¿qué ocurre? Que de nuevo a nosotros no nos afecta, por lo tanto no tendríamos puntos de corte 00:09:06
en el 0 porque mi función no está definida y nosotros no tenemos definida la función. 00:09:11
Luego ¿qué ocurre? Que si vemos la otra parte de la función, pues un medio siempre es distinto 00:09:22
de 0, por lo tanto podemos concluir que no existe punto de corte con el eje de x. 00:09:29
Respecto al eje y' pues en el eje y' la x siempre es igual a 0, pero ¿qué ocurre? Que el 0 no 00:09:34
pertenece al dominio, lo habíamos visto antes, el 0 está definido en esta parte de arriba al nulo, 00:09:44
por lo tanto no existen puntos de corte tampoco en el eje y'. Vamos a estudiar por tanto ahora 00:09:50
la continuidad y ¿dónde estudiaríamos la continuidad? Pues lo estudiaríamos tanto en el 00:09:58
2 como en el menos 2, que es donde elegimos las funciones a prozo, como en el 0, porque el 0 es 00:10:03
un punto que no pertenece. Si yo hago la discontinuidad en el menos 2, pues veo que 00:10:10
puedo hacer un único límite, es como en el caso primero, yo hago un único límite y para el eje 00:10:17
de x igual a menos 2, izquierda y a derecha, pues veo que la misma función tanto a izquierda como 00:10:23
a derecha es esta, y la de arriba, entonces cuando yo hago el límite me encuentro con una 00:10:27
indeterminación, es 0. ¿Qué hago ahora? Pues siempre que tengo polinomios, pues me queda x más 2, 00:10:33
sin embargo si yo saco factor común x en el denominador que obtengo x, ¿qué puedo hacer? 00:10:42
Pues lo que puedo hacer perfectamente aquí es sin ningún problema, como la x tiende a menos 2, 00:10:49
yo puedo tascar esta y puedo tascar esta, y que me queda 1 partido de 2. Luego veremos 00:10:56
la representación gráfica de esta función y veremos que es exactamente igual que si yo 00:11:01
representara la función f de x igual a 1 partido de 2. Lo único que nosotros tendríamos, 00:11:07
un aguajito, lo que pasa es que hay una asíntota vertical, ya lo veremos, 00:11:15
pero sería la representación exacta, ¿de acuerdo? ¿Qué podemos decir más? Yo hago el límite, ahora 00:11:19
ya en el 1 partido de x, ¿vale? El límite en 1 partido de x, estoy aquí, el límite en 1 partido 00:11:29
de x, cuando x tiende a menos 2, pues es igual a menos 2. ¿Existe el límite de f de x? Pues sí, 00:11:39
queda por la derecha exactamente igual y vale menos 1, que además es igual que menos 1 medio, 00:11:48
¿qué es menos 1 medio? El f de menos 2, con lo cual, ¿qué puedo decir? Que f de x es continua, 00:11:54
tiene x igual, aquí me he equivocado, aquí es x igual, ¿entendido? Aquí es x igual a 1, ¿de acuerdo? 00:12:01
Es donde estábamos estudiando. Si ahora nosotros estudiamos la continuidad en cero, 00:12:13
observamos que yo podría optar a no hacer límites laterales, porque tanto izquierda como derecha del 00:12:18
cero es la misma función, yo me doy cuenta que al sustituir tengo una indeterminación del tipo 00:12:26
que ha partido del cero, ¿vale? Entonces, no me queda más remedio, no me queda más remedio que 00:12:32
ahora sí hacer los límites laterales, porque evidentemente en función del signo, este cero 00:12:37
del denominador, pues me saldrá más infinito o más infinito. Si yo me voy aquí a la función y hago 00:12:43
el límite por la izquierda, pues creo que la función ya la he factorizado también, veo que se 00:12:51
me puede ir el x menos 2, yo lo puedo tachar, el x menos 2 aquí, el x menos 2, con lo cual me queda 00:12:58
1 partido de x y como mi función tiende a cero por la izquierda, veo que cero por la izquierda 00:13:04
es siempre un positivo, porque es un positivo y el cero negativo es menos infinito. Si yo, sin embargo, 00:13:11
hago el límite por cero por la derecha, pues igual el límite de mi función x más 2 partido de x más 2, 00:13:18
veo que este x más 2 se puede ir con este, con lo cual me queda únicamente 1 partido de x y los x, 00:13:24
cuando tiende x a cero por la derecha, que son números positivos siempre, ¿verdad? Si tengo 00:13:32
un 1 partido de un cero positivo, esto es menos infinito. Aquí tendríamos un asíntota vertical, 00:13:37
pero bueno, no es de todo este examen. Lo que sí tenemos es una discontinuidad de salto infinito 00:13:45
en el equilibrio. Si vemos aquí la representación gráfica, pues veis que esta representación 00:13:50
gráfica es acá, acá, acá, acá, exactamente igual a 1 partido de x. ¿Qué es lo que tendríamos en el 00:13:56
menos 2? Aquí tendríamos un agujerito, pero como a nosotros precisamente está definida la función 00:14:03
para x igual a menos 2, vale menos un medio, pues ese agujerito blanco que yo tendría aquí, 00:14:10
lo relleno, lo relleno, por lo tanto es continua, continua en x igual a menos 2 y aquí podemos ver 00:14:16
que a la derecha del cero tiende a más infinito y a la izquierda del cero tiende a menos infinito, 00:14:26
por lo tanto hay una discontinuidad de salto infinito. También tendríamos un asíntota vertical. 00:14:34
Y al último ejercicio, y con eso acabo, tenemos una función definida en tres trozos. Tenemos la 00:14:41
función 3x más 1, si x es menor que 0, la función 1, si x está entre 0 y 1 y un medio de x si la 00:14:48
función es mayor. ¿Qué vemos aquí? Pues que si nosotros nos fijamos en esto, pues aquí el dominio 00:14:56
serían todos los reales menos el cero, no nos cuenta que yo ni aquí, ni aquí, es decir, ni aquí, 00:15:03
ni aquí ningún igual, ¿vale? Ni aquí, ni aquí me señala ningún, ningún igual, por lo tanto el 00:15:09
cero no está incluido, no está incluido. Los puntos de corte, pues los puntos de corte como 00:15:19
siempre, x, x', ¿cuánto vale la y en todos los puntos del eje x? Pues lo que hago, 3x más 1, 00:15:24
es igual a 0, por lo tanto x es menos un tercio, en un punto de corte es menos un tercio. Y luego 00:15:34
la segunda parte, 1 es distinto del cero siempre, por lo tanto no va de punto de corte. Y aquí en 00:15:40
un medio de x siempre también es distinto del cero. Esto recordad que es una función exponencial 00:15:45
que como la a está entre 0 y 1, siempre es decreciente y nunca llega a tocar el cero. De 00:15:55
todas formas, si tengo dudas, si yo intento resolver esta ecuación de un medio elevado a x 00:16:02
igual a cero, pues yo aquí ¿qué tengo que hacer? Explico el logaritmo en ambos lados, el x, el logaritmo 00:16:07
de una potencia diferente pasa aquí multiplicando, tengo logaritmo de un medio, pero es que aquí 00:16:13
tendría logaritmo neperiano de cero y el logaritmo neperiano de cero es menos infinito, con lo cual 00:16:20
no tendríamos punto de corte en el eje de la x, x' a partir del x igual a 1. Vemos que el único 00:16:24
punto de corte es un tercio cero. Si ahora resolvemos los puntos de corte de las y, es la x igual a cero 00:16:34
y vemos que como cero no pertenece al dominio, el cero no está en el dominio, no existe. F de cero, 00:16:42
por lo tanto, no hay punto de corte. Tenemos que estudiar la continuidad. Tenemos que estudiar 00:16:49
la continuidad en el cero y en el uno. Aparte de que en el cero no pertenece, lo que sí vemos aquí 00:16:55
es que encima se definen los distintos trozos también. Si yo hago el estudio de la continuidad 00:17:01
en x igual a cero, veo que tengo esta función para los valores de cero a la izquierda y esta 00:17:08
función para los valores de cero a la derecha. Ambos son iguales. Si yo sustituyo el límite de 00:17:15
3x no es 1 cuando x tiende a cero por la izquierda es 1 y luego el límite de 1, independientemente 00:17:21
de lo que tienda a x, es 1. Por lo tanto, ¿qué ocurre? El límite de f de x por la izquierda y 00:17:28
por la derecha es igual, por lo tanto, el límite de f de x cuando x tiende a cero es 1, pero lo que 00:17:33
no es igual, porque no está definido, es igual a f de cero. Entonces, ¿qué tendríamos ahí? 00:17:39
Pues una discontinuidad. Y el salto finito no, no está mal. Es una discontinuidad. Es una 00:17:44
discontinuidad evitable. Bueno, esto con orgullo. Discontinuidad evitable en x igual a cero. ¿Por 00:17:52
qué? Porque el límite de f de x cuando x tiende a cero por la izquierda es igual al límite de f de 00:18:06
x cuando x tiende a cero por la derecha, por lo tanto, es igual al límite de f de x cuando x tiende a cero, 00:18:15
pero es diferente a f de cero. En este caso, es que f de cero no existe porque no pertenece. 00:18:22
Entonces, una discontinuidad evitable en x igual a cero. Si representamos la función, 00:18:28
si representamos la función, vemos que en el cero, en el x igual a cero tenemos una discontinuidad 00:18:36
evitable y aquí ya vemos que tenemos una discontinuidad de salto infinito en x igual. 00:18:52
Yo voy a hacer un momento la continuidad. Ahora tengo aquí y para x igual a 1, 00:18:59
si el límite de f de x, límite de f de x cuando x tiende a menos 1 es igual a 1, 00:19:11
1 es 1 y el límite de f de x cuando x tiende a 1 por la derecha, yo tengo que utilizar esta 00:19:20
función de aquí abajo, que es un 1 de x, que es un 1, por lo tanto, 1, 1. El límite de f de x por la izquierda 00:19:29
es distinto del límite de f de x por la derecha, por lo tanto, aquí podemos decir, aquí podemos 00:19:37
decir, esto implica que no existe el límite de f de x cuando x tiende a 1 y, por lo tanto, 00:19:43
estamos en una discontinuidad de salto finito en x igual a 1, que es lo que veíamos aquí. 00:20:04
Tenemos, efectivamente, una discontinuidad de salto finito en x igual a 1. 00:20:11
Espero que os sirva y, si tenéis dudas, por favor, nos vemos. 00:20:18
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Idioma/s:
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Idioma/s subtítulos:
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Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
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57
Fecha:
4 de mayo de 2023 - 16:44
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
20′ 24″
Relación de aspecto:
1.91:1
Resolución:
1024x536 píxeles
Tamaño:
42.30 MBytes

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