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Tema 1.- Números Naturales 2ª Sesión 07-10-2025 - Contenido educativo

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Subido el 8 de octubre de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas del día 7 de octubre. 00:00:00
Estuvimos viendo en nuestra última sesión cómo se hacían las raíces y potencias de números naturales 00:00:06
y también cómo se factorizaban esos números naturales, cómo se descomponía un número compuesto en un producto de potencia de números propios. 00:00:14
Bueno, pues hoy lo que vamos a ver es el orden en que se hacen las operaciones cuando me aparecen varias operaciones combinadas, cuando se mezclan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, raíces, cuando hay un poco de todo, cómo me tengo que organizar para que los resultados de los cálculos sean correctos. 00:00:24
Y no me puedo organizar de cualquier manera, no da igual en qué orden haga yo las cuentas, me va en un orden preestablecido, que es el que vamos a decir a continuación, y es a lo que se llama jerarquía de las operaciones. 00:00:46
Bueno, pues en esta jerarquía el orden es el siguiente 00:01:00
Lo doy en estos cuatro pasos 00:01:05
Lo primero, tengo que realizar las operaciones que estén dentro de paréntesis o corchetes 00:01:06
Porque es la forma que tenemos para cambiar el orden de las cosas 00:01:12
Es una forma de remarcar algo que consideramos más importante que lo demás 00:01:17
Entonces cuando vea paréntesis o corchetes 00:01:22
Esas son las primeras operaciones a por las que me tengo que ir 00:01:25
Lo demás no toco nada 00:01:28
después de haber hecho las cuentas que estén dentro de paréntesis y corchetes 00:01:30
me tengo que ir a por las potencias y las raíces 00:01:35
como las potencias en una agrupación de multiplicaciones 00:01:40
pues es una operación más fuerte que la multiplicación que va a venir ahora después 00:01:43
y como la raíz dijimos que era la operación contraria a la potencia 00:01:48
pues tiene también su misma categoría y su misma importancia 00:01:52
En tercer nivel tenemos las multiplicaciones y divisiones, que si diese la casualidad de que hay varias en mi cadena de operaciones, la forma de hacerlas es siempre de izquierda a derecha, que es como leemos. 00:01:57
Entonces, tengo que ir haciendo esa multiplicación o división que esté más a la izquierda, la primera, y luego ya las demás. 00:02:12
Y las operaciones que menos importancia tienen son las sumas y restas. 00:02:20
Y otra vez la misma. Si tengo varias, pues las voy haciendo de izquierda a derecha o lo que dijimos el otro día, que cuando ya solo me quedan sumas y restas, lo más cómodo, más rápido y con lo que menos me equivoco es agrupando las sumas por un lado, las restas por otro y luego ya restar los resultados finales. 00:02:23
Bueno, pues lo vemos aquí en este ejemplo y nos hacemos otro entre todos. 00:02:44
Me dice que tengo 15 menos 32 dividido entre 4 al cuadrado, más raíz cuadrada de 25 y por último multiplicado por 2. 00:02:51
Aquí no hay ningún paréntesis, entonces el primer paso me el salto. 00:03:01
Iría al segundo paso y en el segundo paso me dice que haga las multiplicaciones, perdón, las potencias y las raíces. 00:03:05
Entonces, el 15 y el 32 se quedan como estaban, pero el 4 al cuadrado tengo que calcularlo. 4 al cuadrado era multiplicar 4 por 4. El exponente me decía el número de veces que tenía que multiplicar la base por sí misma. 00:03:12
Entonces, me dice que multiplique dos veces el 4, pues 4 por 4 me daría 16. 00:03:29
Sigo más adelante y me encuentro con una raíz. 00:03:36
La raíz dijimos que era buscar el número que multiplicado por sí mismo tantas veces como me dice el índice, 00:03:40
que en este caso cuando no me pone nada el índice es 2, me diese como resultado 25. 00:03:48
Bueno, pues ¿qué número multiplicado por sí mismo dos veces me da 25? 00:03:54
Pues el 5. Entonces, ya hemos hecho la potencia y hemos hecho la raíz. Y lo que me quedan es una resta, una división, una suma y una multiplicación. 00:03:58
¿A por qué tengo que ir primero? Pues hemos dicho que primero las multiplicaciones y las divisiones. Y que si hay varias, las tengo que hacer de izquierda a derecha. 00:04:10
Bueno, pues de izquierda a derecha lo que primero me encuentro es esta división y después ya la multiplicación. 00:04:20
Pues lo primero que voy a hacer es esta división. 00:04:25
El 15 se queda como está. 00:04:29
Y ahora digo, menos 32 dividido entre 16 sería 32 entre 16, 2. 00:04:31
Que se va a quedar restando, que es lo que estaba haciendo esta división. 00:04:39
y después tengo un 5 por 2 que va a estar sumando 00:04:44
5 por 2, 10 00:04:49
o sea que hemos hecho primero la división 00:04:51
que estaba más a la izquierda 00:04:53
y después la multiplicación 00:04:55
el resultado que me queda ya son sumas y restas 00:04:57
pues lo que digo es 00:05:00
puedo agrupar por un lado los positivos 00:05:01
y por otro lado el negativo 00:05:06
o voy haciendo de izquierda a derecha 00:05:07
como hemos dicho antes también 00:05:09
bueno, pues haciendo de izquierda a derecha 00:05:10
Tengo 15 menos 2, 13. Y el 10 se queda como está. Y con mi última operación, hacer esa suma que me ha quedado, que es 13 más 10, 23. 00:05:12
Vamos al segundo ejemplo. Y en el segundo ejemplo tengo una multiplicación, un paréntesis con una raíz y una resta, una suma, una multiplicación y una potencia. 00:05:25
¿A por qué tengo que ir primero? 00:05:36
Pues tengo que irme primero a por el paréntesis 00:05:39
Porque decíamos que era el que tenía más importancia de todo 00:05:41
Dentro de ese paréntesis hay dos operaciones 00:05:45
Una raíz y una resta 00:05:49
¿Cuál es la más importante? 00:05:51
La raíz 00:05:53
Entonces, el 2 le dejo como está 00:05:54
Y dentro del paréntesis lo primero que calculo es la raíz cuadrada de 9 00:05:57
¿Qué número multiplicado por sí mismo me da 9? 00:06:02
Pues el 3 00:06:06
Como no he terminado de hacer todas las operaciones del paréntesis 00:06:07
Porque me quedaría hacer esa resta 00:06:11
Sigo dejando el paréntesis 00:06:13
Y lo demás lo escribo como estaba 00:06:15
Porque estoy centrado ahora en quitarme los paréntesis 00:06:18
Luego el 3, la multiplicación y el 2 al cuadrado se quedan como estaban 00:06:21
¿Qué es lo que hago en esta segunda vuelta de operaciones? 00:06:26
Pues terminar de hacer el paréntesis, que es lo que tiene más importancia 00:06:30
Pues digo, el 2 se queda como está 00:06:33
Y ahora 3 menos 1, 2. Pues pongo ese 2 multiplicando y lo que quedaba detrás se queda como está, el 3 y el 2 al cuadrado. 00:06:35
Cuando estoy en esta parte ya tengo una multiplicación, una suma, otra multiplicación y una potencia. 00:06:47
¿Qué tengo que hacer primero? Pues lo primero que tengo que hacer es las potencias. 00:06:55
Pues todo lo demás lo dejo como estaba, el 2 por 2 se queda como estaba, el más 3 se queda como estaba 00:06:59
y lo único que hago es calcular cuánto vale 2 al cuadrado, y 2 al cuadrado era multiplicar 2 por 2, que me da 4. 00:07:05
Ahora tengo una multiplicación, una suma y otra multiplicación, que aquí no ha salido el puntito, pero está. 00:07:14
¿Qué tengo que hacer primero? Pues las multiplicaciones antes que la suma. 00:07:21
Como hay dos multiplicaciones, pues lo que hago es hacerlas de izquierda a derecha según las voy leyendo. 00:07:26
Entonces, la primera, 2 por 2, que me da ese 4, más el resultado de 3 por 4, que me da 12. 00:07:33
Y ahora que ya solo me queda la suma, pues la realizo y digo 4 más 12, 16. 00:07:41
Ya habríamos terminado todas las operaciones. 00:07:49
Vamos a probar otro. 00:07:52
Me dicen que calcule 2 menos 3 más 4 por 2 menos 3 al cuadrado y más lo que me salga de hacer este paréntesis. 00:07:54
3 más 5 menos 2 todo al cuadrado. 00:08:15
Bueno, pues digo, tengo una resta, una suma, una multiplicación, una resta, una potencia, una suma, un paréntesis con una potencia 00:08:23
¿Qué tengo que hacer primero? Pues lo primero que tengo que hacer es el paréntesis 00:08:37
Hasta que no sepa el resultado de ese paréntesis no puedo hacer la potencia 00:08:42
Y si no puedo hacer la potencia no puedo hacer esta suma 00:08:46
Entonces necesito saber los valores de este resultado para poder seguir haciendo operaciones. 00:08:49
Entonces digo, el 2, el menos 3, el más 4, el 2 multiplicando, el 3 al cuadrado, todo se queda como está, pendiente de saber cuánto sale de resultado en este paréntesis. 00:08:55
En este paréntesis tengo una suma y una resta. 00:09:12
Hago de izquierda a derecha y tengo 3 más 5, 8, y el 2 después. 00:09:15
Como no he terminado de hacer el paréntesis, vuelvo otra vez a fijarme solamente en él. 00:09:21
Todo lo demás se queda como está. 00:09:27
Digo, 8 menos 2 es 6. 00:09:30
Y al resultado del paréntesis dijimos que había que hacerle la potencia esa del cuadrado. Voy a la siguiente vuelta. ¿Con qué me tengo que centrar ahora? Pues en las potencias. Hasta que no sepa las potencias no puedo hacer ninguna otra operación. 00:09:36
Voy a hacer esas potencias. El 2 se queda como está. El 3 también. El 4 por 2 también. Y ahora digo menos 3 al cuadrado, ¿cuánto es? Pues es 3 por 3, 9. Y más 6 al cuadrado, ¿cuánto es? 6 por 6, 36. 00:09:52
Ahora tengo ya sumas, restas y multiplicaciones 00:10:11
¿Qué tengo que hacer primero? 00:10:16
Pues la multiplicación, que es la más importante de las tres 00:10:18
Pues el 2 se queda como está, el 3 como está 00:10:22
Y hago esa multiplicación, que me va a dar 4 por 2, 8 00:10:26
El menos 9 se queda como está y el 36 se queda como está 00:10:30
Lo que os decía antes, que en lugar de ir haciendo ahora de una en una 00:10:35
cuando tengo muchas sumas y restas encadenadas, puedo hacer un truco que me ayuda a hacer las cuentas más rápido. 00:10:40
Y es el siguiente. Es tomar por un lado todos los números positivos y sumarlos. 00:10:49
Es como si estuviese haciendo las cuentas de mi casa. Estoy sumando todos los ingresos. 00:11:01
Y digo, bueno, pues tengo, he ingresado dos euros, más ocho otro día, diez, más treinta y seis, pues en total tengo cuarenta y seis euros. Voy a quitar ahora lo que me he gastado y lo que me he gastado es lo que está restando, el menos tres y el menos nueve. 00:11:05
Pues voy a restar que me he gastado 3 y 9, 12 euros en total. ¿Cuánto dinero me queda después de todo esto? Pues digo 46 menos 12 euros que me he gastado, pues 34 euros. 00:11:24
Pues 34 es el resultado de esta operación combinada en la que empezamos haciendo primero paréntesis, después potencias, después multiplicaciones y lo último sumas y restas. 00:11:41
Nada más que ahora esas sumas y restas las hemos hecho con este truco de juntar por un lado lo que está sumando y por otro lado lo que está restando. 00:11:56
O sea, juntar por un lado lo que son ingresos, cuando veamos números enteros, diremos que estos valores positivos es como si fuesen ingresos y los valores negativos como si fuesen gastos. 00:12:05
Pues junto los ingresos por un lado, lo gasto por otro y solo me queda hacer una resta final y no tengo que escribir 200.000 veces los números. ¿De acuerdo? Bueno, pues hemos visto estas operaciones combinadas. 00:12:18
otra operación muy importante 00:12:32
que vamos a tener que utilizar muchísimo 00:12:36
es el cálculo del mínimo común múltiplo 00:12:40
y el máximo común divisor de dos o más números 00:12:44
vamos a verlos aquí, ahora en números naturales 00:12:47
se hará igual para números enteros 00:12:50
y lo vamos a utilizar luego en problemas 00:12:52
y cuando lleguemos al tema de números racionales 00:12:55
para poder sumar y restar fracciones 00:12:59
necesitamos una herramienta que vimos el otro día 00:13:01
que era la factorización de un número compuesto en factores primos 00:13:05
bueno, pues os cuento qué es cada cosa y vemos ejemplos 00:13:10
que es la forma de entender esto mejor 00:13:14
me dicen que el mínimo común múltiplo de dos o más números 00:13:16
sería coger el menor de los múltiplos que tengan en común 00:13:20
esto en el cole nos lo enseñaban, digamos, por el camino más fácil 00:13:25
pero más largo, es decir, si yo quiero hacer el mínimo común múltiplo 00:13:31
del 4 y del 6, me hago la tabla del 4 00:13:35
4 por 1, 4, 4 por 2, 8, 4 por 3, 12 00:13:39
4 por 4, 16, por 5, 20, por 6, 24 00:13:43
y así hasta que yo quiera, hago lo mismo 00:13:47
con la tabla del 6, 6 por 1, 6, 6 por 2, 12, 6 por 3, 18 00:13:51
6 por 4, 24, hasta que yo quiera, y ahora digo 00:13:55
¿cuál es el primero que se ha repetido en los dos sitios? 00:13:59
pues el primero que se ha repetido es el 12 00:14:03
luego ya se repite el 24, el 36 00:14:05
pues entonces con la definición de mínimo común múltiplo 00:14:07
diré que el menor de los múltiplos que tienen en común 00:14:12
el 4 y el 6 00:14:16
que los que tienen en común son el 12, 24, 36, etc 00:14:18
el menor es el 12 00:14:22
pues el mínimo común múltiplo de 4 y de 6 es ese 12 00:14:24
claro, esto así con números pequeños es muy fácil 00:14:29
puedo escribir las tablas fácilmente 00:14:33
pero imaginaos que en vez de decirme el mínimo como múltiplo de 4 y 6 00:14:35
me dicen que haga el mínimo como múltiplo de 120 y 240 00:14:40
pues ya las tablas de esos números son más difíciles 00:14:44
o si me dicen que haga el mínimo como múltiplo de 1036 y 12432 00:14:47
eso ya sería una locura 00:14:53
hacerme las tablas de multiplicar de esos números 00:14:55
y hasta conseguir el que se repita 00:14:57
me puedo tirar tres días haciendo cuentas 00:15:01
pues vamos a utilizar la herramienta que dijimos antes 00:15:04
de la factorización de los números 00:15:09
entonces la forma de calcular el mínimo como múltiplo va a ser la siguiente 00:15:10
primero, factorizamos los números 00:15:15
y cuando tenga las factorizaciones de los dos números 00:15:19
lo que hago es quedarme con los que estén repetidos 00:15:22
y con los que no estén repetidos, con los exponentes mayores. 00:15:26
Os voy a hacer las cuentas como las hicimos nosotros de este mismo ejemplo 00:15:31
el otro día para que lo veáis mejor. 00:15:34
Quiero hacer el mínimo común múltiplo, hemos dicho, de 40 y 60. 00:15:37
Mínimo común múltiplo de 40 y 60, que se escribe así la abreviatura, 00:15:45
que son los que me dice aquí en el ejemplo 00:15:52
pero vamos a ver de dónde han salido estas fuentes 00:15:55
pues lo que hacíamos primero 00:15:56
es factorizar los números 00:16:00
40 y 60 00:16:03
y esto era hacerlo de la rayita 00:16:15
era buscar los divisores primos de esos dos números 00:16:17
y acordaos que para esto 00:16:21
era muy útil 00:16:24
sabernos los criterios de divisibilidad 00:16:26
para no probar con números que no me valgan como divisores. 00:16:28
Bueno, pues según los criterios de divisibilidad, 00:16:35
como el 40 acaba en 0, va a poderse dividir entre 2. 00:16:39
Si divido 40 entre 2, me daba 20. 00:16:44
¿Puedo seguir dividiendo entre 2 al 20? 00:16:50
Pues sí, porque termina en 0. 00:16:53
Cuando divida entre 2, me va a dar 10. 00:16:55
¿Puedo seguir dividiendo entre 2? Sí, porque termina en 0. Divido entre 2 y me da 5. El 5 sabíamos que es un número primo, entonces solo lo voy a poder dividir entre 5 y acabamos la división. 00:16:58
Y ahora lo que hacíamos era decir, voy a escribir ese cuadrenta como un producto de estos factores que me han salido. Digo, el 2 me ha salido 3 veces, pues lo pongo como una potencia, 2 elevado a 3. ¿Por qué otro factor me salió? El 5. 00:17:11
Y si queréis, aunque no va a hacer nada, podríamos poner siempre de último este 1 que me quedó final de la última operación, de la última división. 00:17:30
Hacemos lo mismo para el 60. 00:17:39
Como acaba en 0, puedo dividir entre 2. 00:17:41
Resultado de la división, 30. 00:17:45
Vuelvo a dividir entre 2 porque acaba en 0. 00:17:47
Resultado de la división, 15. 00:17:49
El 15 ya no le puedo dividir entre 2 porque es un número impar. 00:17:54
buscamos el siguiente número primo que era el 3 00:17:58
y digo, ¿puedo dividir 15 entre 3? 00:18:01
pues sí, porque está en la tabla del 3, el 15 00:18:04
o, si nos acordábamos del criterio, nos decía que si sumábamos la cifra 00:18:06
5 más 1 00:18:11
me tenía que dar un múltiplo de 3, que en este caso sí 00:18:13
porque 5 más 1 es 6, entonces puedo dividir entre 3 00:18:16
15 entre 3 me va a dar 5 00:18:19
y el 5, como ya sabemos que es un número primo 00:18:22
solo le puedo dividir entre el mismo y me da 1 00:18:24
Entonces, la factorización del 60 es 2 elevado a 2, porque el 2 me salió dos veces, por 3 y por 5. 00:18:27
Ya he hecho las dos factorizaciones. 00:18:40
¿Qué voy a hacer ahora? 00:18:44
Pues el segundo paso hemos dicho que era que nos quedamos los factores repetidos, que los llama también factores comunes, repetidos y no repetidos con los exponentes más grandes. 00:18:45
Entonces, si nos fijamos aquí en las factorizaciones de los dos números, ¿quiénes son los que se están repitiendo? Pues se están repitiendo el 2, que está en los dos sitios, y el 5, que está en los dos sitios. 00:19:16
Y luego no se repite el 3, ¿vale? Entonces, los negros no repetidos, los rojos repetidos. 00:19:43
Entonces, hemos dicho que de los repetidos me tengo que quedar el que tenga el exponente más grande. 00:20:06
Entonces, entre este 2 al cubo y ese 2 al cuadrado, el de exponente más grande es el 2 al cubo. 00:20:12
Del 5, que está repetido también en los dos lados, como los dos tienen el mismo exponente, 00:20:24
pues me quedo con el 5 tal cual está. 00:20:28
Y ahora, no repetido, es el 3, que solo está en la factorización del 60. 00:20:30
Pues me quedo también con el 3. 00:20:38
Bueno, pues resultado final. Mi mínimo común múltiplo de 40 y 60 es multiplicar estos factores. Los vamos a poner en orden para que se vean mejor. 2 al cubo por 3 y por 5. Repetidos y no repetidos con los exponentes más grandes. 00:20:40
¿qué números me sale si hago esa multiplicación? 00:21:03
pues al igual que antes en las operaciones combinadas 00:21:06
lo primero que tengo que hacer es la potencia 00:21:08
ver cuánto vale 2 al cubo 00:21:11
y 2 al cubo va a valer 8 00:21:13
y luego multiplicar por 3 y por 5 00:21:15
y bueno, pues 00:21:20
aquí las multiplicaciones 00:21:22
cuando las hago de cabeza 00:21:25
como tienen la propiedad conmutativa 00:21:26
las puedo hacer en el orden que a mí me interese 00:21:29
Y aquí mejor que hacer 8 por 3, 24, y luego por 5, es más fácil decir 8 por 5, 40, y 40 por 3, 120. 00:21:31
Bueno, pues en el orden que queráis, con tal de que hagáis bien el resultado. 00:21:41
Pues 120 sería el primer número que es múltiplo común del 40 y del 60. 00:21:46
Si hiciésemos las tablas de multiplicar de 40 y de 60, el 120 me sale de cuando hago 40 por 3 y el 120 me sale también de cuando hago 60 por 2. 00:21:54
No hay ningún número que esté en las tablas de 40 y 60 más pequeño que el 120 que se repitan ambos. 00:22:06
Pues esta es la idea del mínimo común múltiplo. 00:22:15
factorizar los números que me den 00:22:18
y luego quedarme con los factores que estén repetidos 00:22:21
y con los que no, con los exponentes más grandes 00:22:24
¿vale? 00:22:28
vamos a aprovechar estas factorizaciones 00:22:31
para ver otro concepto que es el de máximo común divisor 00:22:33
que la idea es un poco la misma 00:22:37
en el máximo común divisor de dos números 00:22:40
lo que yo quiero encontrar es 00:22:43
el mayor de los números 00:22:45
que divida a los dos a la vez 00:22:48
¿vale? 00:22:50
la forma de hacerlo, pues en el ejemplo 00:22:52
de antes 00:22:54
mirando las tablas 00:22:55
¿quiénes son los divisores del 12? 00:22:57
al 12 le puedo ir entre 2 00:23:00
entre 1, perdón, entre 2 00:23:01
entre 3, entre 4, entre 6, entre 12 00:23:04
acordaos que eso lo hacíamos también con las factorizaciones 00:23:06
encontramos todos los factores 00:23:08
primos y luego 00:23:11
hacíamos las combinaciones de ellos 00:23:12
y nos salían todos los números divisores del número que estábamos buscando. 00:23:14
Igual para el 28. 00:23:18
Pero fijaos, esto ya es más complicado todavía que lo del mínimo común múltiplo. 00:23:20
Las tablas las hacíamos muy bien, las tablas de multiplicar, 00:23:25
pero las tablas de divisores son más difíciles de hacer. 00:23:28
Pues vamos a volver a utilizar el truco del mínimo común múltiplo, 00:23:32
que es que factorizo los números 00:23:37
y después lo que voy a hacer es quedarme solo con los factores que se repitan. 00:23:39
Los no repetidos no los quiero. 00:23:46
Y de entre esos que se repitan, voy a quedarme con el que tenga el exponente más pequeño. 00:23:48
Entonces, si nos vamos a calcular ese máximo común divisor de 40 y 60, 00:23:54
ahora lo que quiero es solo fijarme en los repetidos. 00:24:08
Solo quiero repetidos, que repetidos eran el 2 al cubo, perdón, los 2 y los 5, que eran los que estaban en los dos sitios. 00:24:12
Pero ahora quiero los exponentes más pequeños. 00:24:22
Entonces, ahora en lugar de cogerme, en vez de coger este 2 al cubo, voy a querer coger el 2 al cuadrado. 00:24:26
el 5 como tenía el exponente igual en los dos sitios 00:24:37
da igual que me quede, pero los dos es no, ahora quiero los más pequeños 00:24:42
con lo cual ese máximo 00:24:47
como un divisor va a ser quedarme con el 2 00:24:51
al cuadrado y multiplicarle por el 5 00:24:55
hemos dicho que ahora quiero solo repetidos 00:24:58
con los exponentes más pequeños 00:25:03
si hago esa cuenta, tengo 4 por 5 00:25:15
20, pues el 20 es el número que buscábamos 00:25:24
es el número que divide al 40 y al 60 a la vez 00:25:29
más grande, cualquier otro número más grande de 20 00:25:33
ya no va a dividir alguno de los dos 00:25:36
y si es más pequeño que 20, ya no es el divisor mayor 00:25:39
El 20 divide al 40 porque podemos escribir 40 como 20 por 2 00:25:43
Y divide al 60 porque puedo escribir el 60 como 20 por 3 00:25:49
Acordaos de cuando hacíamos la definición de divisor 00:25:54
¿Hay más divisores del 40 y 60 que sean comunes? 00:25:57
Pues sí, el 10, el 2, el 5, ¿vale? 00:26:01
Pero son más pequeños que el 20 00:26:05
Y yo quiero el más grande 00:26:07
¿Hay divisores más grandes que el 20 que dividan el 40 y el 60 a la vez? 00:26:08
Pues no, ya no hay ninguno. Este es el mayor que me puedo encontrar. 00:26:12
Luego, con la herramienta de la factorización, he conseguido resolver dos problemas distintos, 00:26:17
que es el del mínimo común múltiplo y el del máximo común divisor. 00:26:25
Por eso os decía el otro día que era tan importante ser capaces de descomponer un número en sus factores primos. 00:26:29
Por eso era tan importante controlar los criterios de divisibilidad. 00:26:37
porque me van a dejar hacer las cuentas más deprisa. 00:26:42
Si las tengo que hacer por el camino largo, ir controlando todos los múltiplos o todos los divisores, 00:26:47
me puedo tirar tres días si los números son grandes. 00:26:52
Si utilizo esta herramienta, este truco, por así decirlo, pues voy a tardar muchísimo menos 00:26:55
y voy a poder ir haciendo las cuentas de cabeza siempre. 00:27:01
bueno, pues visto esta aplicación 00:27:04
al máximo con un divisor y mínimo con un múltiplo 00:27:09
lo que nos quedaría a ver en este tema es 00:27:12
cómo empleamos esto en problemas 00:27:16
todo lo que hemos aprendido, cómo lo puedo utilizar en problemas 00:27:20
pues os voy a dar unos pasos para que 00:27:23
ataquéis siempre así a los problemas y les pegáis un poco el miedo 00:27:27
sé que les tenéis, porque los problemas en lo que es operaciones suelen ser muchísimo 00:27:31
más fáciles que cuando me dan las operaciones escritas para que yo las calcule. Lo que no 00:27:37
nos gustan los problemas es que hay veces que no entendemos el enunciado y es lo que 00:27:43
nos hace luego llevar a equivocarnos en las cuentas, porque escribimos las cuentas que 00:27:49
no son. Pues vamos a ver cómo organizarnos las cosas para que eso no nos ocurra. Bueno, 00:27:53
Pues siempre que tengamos un problema, voy a seguir estos pasos. Lo primero, anotarme los datos del problema y anotarme qué me está preguntando para saber de qué va la historia. Después, pensar qué operaciones son las que implica que tengo que realizar. 00:28:02
Cuando ya me haya planteado esas operaciones, las resuelvo y escribo la solución, pero fijaos que pongo aquí con una frase, escribo la solución diciendo qué significa esa solución, que le dé un contenido en el iniciado del problema, no poner ahí un 3 y no sé si el 3 es número de hijos que tengo, si es kilos de carne que me he comido, sin saber qué es. 00:28:24
porque quiero que hagáis siempre luego este último paso 00:28:53
que es comprobar que esa solución 00:28:57
cuadra con los datos del problema 00:28:59
y con lo que el problema me podía 00:29:03
ver que esa solución tiene sentido 00:29:05
que si me ha salido algo que no tiene ningún sentido 00:29:08
no lo dejéis, miréis a ver dónde os habéis equivocado 00:29:11
con qué parte del planteamiento del problema 00:29:15
habéis metido la pata, imaginaos 00:29:18
Me están hablando de un problema que habla de edades de padres y hijos. Y hago las cuentas y me sale que el hijo es más viejo que el padre. Pues hombre, eso por lógica es imposible. Entonces, en algún lado, o he copiado algún dato mal, o he hecho alguna cuenta mal, o he planteado mal las cuentas que quería hacer, porque no tiene sentido el resultado. 00:29:20
Pues este cuarto paso, que os gusta muy poco hacerlo porque lo consideráis una pérdida de tiempo, pues es el que me hace que esté seguro de que el resultado está bien o darme cuenta de que el resultado no tiene ni pie en mi cabeza. 00:29:39
Vamos a verlo en algún ejemplo. Luego hacemos alguno más de los ejercicios que os propuse. 00:29:53
Entonces, me dice que Marta compra tres entradas para un concierto y las paga con un billete de 50 euros y con otro de 20. Cada entrada cuesta 18 euros. ¿Cuánto dinero le van a devolver? 00:29:58
Bueno, pues primer paso. Vamos a coger los datos importantes del problema. ¿Cuáles son? Pues que ha comprado tres entradas, que el dinero que tiene para pagar es 50 más 20, 70 euros y que el precio de la entrada es 18. 00:30:15
Y acordaos que dijimos que apuntábamos también qué es lo que me estaban preguntando para tener muy claro qué es lo que quiero. Pues lo que me preguntan es qué dinero me van a devolver. Esto lo sabemos hacer todos porque lo hemos hecho cien mil veces en nuestras vidas. Lo que nos cuesta luego es escribirlo. 00:30:32
Bueno, teniendo ya los datos claros, digo, voy a ver cómo planteo lo que yo haría para resolver este problema. Bueno, pues el dinero que me van a devolver, ¿de dónde va a salir? Pues del dinero con el que yo he pagado menos el coste de las entradas. 00:30:51
O sea, el dinero que yo pago, esos 70 euros, le resto lo que me han costado las entradas, pues tengo la vuelta que me tienen que dar, o sea, de lógica pura, pues escribo esa cuenta, los 70 menos 3 entradas por 18 euros cada una, o sea, escribo las operaciones en forma combinada utilizando literalmente los datos que me han dado y resuelvo. 00:31:11
Bueno, el 70 se queda como está porque hay que hacer la multiplicación antes que la resta. O sea, que el 70 no le toco. No resto nada hasta que no sepa cuánto me han costado las tres entradas juntas. ¿De dónde me sale ese coste? De multiplicar 3 por 18, que me da 54. 00:31:37
Bueno, pues si al 70 queda el dinero que yo tenía, el resto del 54 queda el coste de las entradas, me queda un 16. ¿Qué significa ese 16? No le dejo así sin más, sino que digo, 16 es el dinero que le devuelven, como pone aquí, le van a devolver 16 euros. 00:31:53
Y ahora hago la comprobación. ¿Cómo hago la comprobación? Si yo a lo que me valen las entradas, ese 3 por 18, le sumase el dinero que me han devuelto, ¿cuánto dinero tendría que tener? Pues 3 por 18 me da 54, el coste de las entradas, más los 16 euros que me han dado de vuelta, ¿qué me sale? Los 70 euros con los que yo pagué. 00:32:14
¿Cuadra todo? Sí. ¿Es una solución razonable? Sí. Pues entonces el ejercicio está bien hecho y ya me voy contento a mi casa del examen. 00:32:41
Si veo que por lo que sea no cuadra, llego aquí al final y no me sale 70, pues mal rollo. En algún sitio o he puesto algún dato mal o he hecho alguna operación mal, pues lo doy un repaso antes de dejar el ejercicio. 00:32:53
muchas veces es mejor 00:33:08
volver a hacer de cero el problema 00:33:11
que mirar las cuentas que tenemos hechas 00:33:14
¿por qué digo esto? 00:33:16
porque cuanto más tonto sea el fallo 00:33:18
más difícil es de encontrar 00:33:21
a mí me pasa muchas veces 00:33:22
que estoy corrigiendo vuestros exámenes 00:33:24
y digo, madre mía, pero si esto 00:33:27
va más o menos haciéndolo bien 00:33:29
y luego le sale aquí una cosa 00:33:30
que no tiene ni pies ni cabeza 00:33:32
y me cuesta un montón encontrar 00:33:33
qué habéis hecho mal 00:33:35
Porque no entra en mi cabeza a lo mejor que os hayáis confundido en una resta. Yo estoy pensando que os estáis confundiendo a lo mejor en una multiplicación, en planteamiento y tal, pero que os habéis confundido en esta resta final o que os habéis confundido en esta suma, pues en principio mi cabeza no lo contempla. Pues igual os pasa a vosotros. 00:33:37
Es más, cuando es uno mismo el que ha hecho las cosas, pues como que tiene menos perspectiva para ver lo que ha hecho mal. 00:33:57
Por eso os digo que si dais un repasito a lo que tenéis escrito y no encontráis el fallo, 00:34:07
es mejor que lo volváis a escribir de cero, pasito a pasito y volváis a hacer el problema entero. 00:34:14
Que a la larga perdéis menos tiempo, aunque os parezca que no. 00:34:18
Porque cuando me quedo dando vueltas y vueltas y vueltas sobre la misma historia, 00:34:22
Ahora, aparte de que no avanzo, me empiezo a poner nervioso y ya termino porque no veo ni el enunciado del ejército. 00:34:27
Ya al final no sé ni contar con los dedos, ¿vale? Entonces, mejor rehacerlo. 00:34:35
Vamos a ver otro problema para ver que todo sigue en la misma lógica. 00:34:42
Enunciado más enrevesado, menos enrevesado, pero si yo soy capaz de separar las cosas, de separar esa palga del grano, 00:34:47
pues no voy a tener ningún problema 00:34:53
si me dejo liar por los enunciados 00:34:55
pues claro, caigo en la trampa 00:34:57
que pretenden ponerme algunas veces 00:34:58
bueno, una campana toca cada 30 minutos 00:35:01
y otra cada 45 00:35:05
si empiezan a tocar a las 12 de la mañana 00:35:07
¿a qué hora volverán a hacerlo? 00:35:10
pues fijaos, esto es una aplicación 00:35:12
de ese mínimo común divisor 00:35:14
digo, ese mínimo común múltiplo 00:35:17
y ese máximo común divisor 00:35:19
donde les voy a decir un truco 00:35:20
para diferenciar cada tipo de problema 00:35:22
y lo vamos a ver ahora aquí en los ejemplos que os he puesto 00:35:26
si el problema, que lo vamos a anotar aquí 00:35:29
vamos a decir 00:35:33
aplicaciones 00:35:36
del mínimo común múltiplo 00:35:39
y máximo común divisor a problemas 00:35:52
pues quiero que os quedéis bien con esta idea 00:35:55
Con estos trucos te voy a dar, que es el siguiente. Si el problema habla o trata sobre coincidencias, será de mínimo común múltiplo. 00:35:58
Ahora, si el problema habla o trata de repartos, será de máximo común divisor. 00:36:31
Y lo vamos a ver en estos ejemplos que os he puesto. Aquí me está hablando de cuándo volverá a tocar otra vez. Volver a tocar otra vez es volver a coincidir. Luego, como el problema trata de coincidencias, aunque no hable o no diga expresamente la palabra coincidencia, se intuye, por lo que voy a pensar es que va a ser un problema en que voy a tener que utilizar el mínimo común múltiplo. 00:36:56
Vamos a verlo, que por lógica nos va a llevar la cabeza a hacer eso. 00:37:24
Primer paso, decíamos, copiamos los datos importantes. 00:37:28
Pues, datos importantes, cada cuánto toca la campana A es cada 30 minutos y cada cuánto toca la campana B, que es cada 45. 00:37:32
Otro dato importante es la primera vez que coincidieron, que fue a las 12 de la mañana. 00:37:40
Y otro dato importante, lo que me están preguntando, que es, ¿a qué hora van a volver a tocar juntas las dos campanas? 00:37:46
Voy a plantear el problema. Como me he dado cuenta de que este problema trata sobre coincidencias de tiempos, pues al ser coincidencias lo que quiero es calcular el mínimo común múltiplo de esos dos tiempos, de 30 y de 45. 00:37:52
Pues vamos a calcularlos 00:38:09
Factorizamos el 30 00:38:12
Si hacemos lo de la rayita 00:38:15
La factorización del 30 me sale 00:38:17
30 entre 2 a 15 00:38:19
Entre 3 a 5 00:38:21
Y entre 5 a 1 00:38:23
Pues me queda 00:38:25
Perdón, como factores 00:38:26
2 por 3 y por 5 00:38:29
Factorizo el 45 00:38:30
No puedo dividir entre 2 00:38:33
Porque no es un número par 00:38:35
Le dividiría entre 3 00:38:37
45 entre 3 a 15. Ese 15 le podría volver a dividir entre 3, que me daría 5. 00:38:38
Y ese 5 le dividiría algo entre 5. Entonces, ¿qué me han salido? 00:38:45
Dos 3es, 3 al cuadrado, por un 5. 00:38:48
Como en el mínimo común múltiplo tenía que coger los factores repetidos y no repetidos 00:38:53
con los exponentes más grandes, pues digo, repetidos están el 3 y el 5, y no repetidos el 2. 00:38:58
como tengo que coger los exponentes más grandes de los repetidos 00:39:05
pues ¿con quién me voy a quedar de los dos treses? 00:39:08
con el 3 al cuadrado 00:39:10
entonces al final ¿qué me quedo? 00:39:11
pues con el 2 que no estaba repetido 00:39:14
con el 3 al cuadrado de los dos repetidos 00:39:16
el exponente más grande y con el 5 00:39:18
si hago las cuentas tendría 2 por 9, 18 y por 5, 90 00:39:20
o sea que las campanas están coincidiendo cada 90 minutos 00:39:26
luego al cabo de 90 minutos volverán a tocar a la vez 00:39:31
pero a mí no me preguntaban cada cuánto volvían a tocar a la vez 00:39:36
sino a qué hora, bueno pues como 90 minutos es una hora y media 00:39:41
si tocaron juntas a las 12, pues a las 12 le sumo una hora y media 00:39:46
que me da la una y media 00:39:50
12 más una hora y media, una y media 00:39:54
el resultado que vuelven a tocar a la una y media 00:39:57
¿cómo compruebo el resultado aquí? 00:40:02
pues nada, venga, voy a tocar las campanas de los dos campanarios 00:40:05
la primera toca a las doce, a las doce y media 00:40:09
a la una, a la una y media, a las dos, a las dos y media 00:40:12
la segunda toca a las doce, a las doce cuarenta y cinco 00:40:14
y a la una y media, dos y cuarto, pues ya tengo ahí 00:40:17
el resultado que me habían dicho a mí 00:40:21
haciendo el camino largo que era el de hacer un poco 00:40:23
las tablas de multiplicar de ese 30 y ese 45 00:40:27
y sumárselos a las 12. 00:40:30
Proceso más largo. 00:40:32
Mucho más fácil hacer ese mínimo común múltiplo. 00:40:34
Vamos a ver uno de aplicación del máximo común divisor 00:40:38
en el que volveré a utilizar las factorizaciones 00:40:42
y la definición de máximo común divisor 00:40:46
para hacer las cuentas más rápido. 00:40:49
Me dice el enunciado. 00:40:51
Si en un bar se dispone de 200 refrescos 00:40:53
y 84 son de limón y el resto de naranja, 00:40:57
¿cómo podría empaquetarlos en cajas 00:41:02
de tal forma que tengan la misma cantidad de refrescos de cada tipo 00:41:05
y contenga el mayor número de refrescos posible? 00:41:09
Pero que no se junten los de naranja con los de limón. 00:41:13
Datos importantes. 00:41:19
Número de refrescos de limón, 84. 00:41:21
Me interesaría saber cuántos refrescos hay de naranja. 00:41:24
No me los decían, pero me decían que eran los que había hasta llegar a 200. Pues nada, pues 200 menos los que son de limón, pues de naranja hay 116. Ya tengo los datos de cuántos refrescos hay de cada. Me anoto la pregunta y la pregunta era ¿cuál es el número máximo de refrescos? 00:41:27
que hay en cada caja, iguales, o sea, sin que se mezclen las naranjas con los de limón. 00:41:47
Planteamiento. ¿De qué me está hablando este ejercicio? 00:41:56
Me está hablando de repartir esas botellas de refrescos en cajas. 00:42:00
Pues si estoy hablando de repartir, acordaos que dijimos que eso lo asociamos con el máximo común divisor. 00:42:04
Pues yo lo que digo en mi planteamiento es que quiero calcular el mayor de los divisores comunes de 84 y 16, que eran el número de refrescos de limón y el número de refrescos de naranja, que si saco ese número ya sé cuántos refrescos van en cada caja. 00:42:11
Vamos a hacer las cuentas 00:42:29
Factorización del 84 00:42:32
Dividiríamos entre 2 y nos da 42 00:42:34
Vuelvo a dividir entre 2, me da 21 00:42:38
Vuelvo a dividir entre 3 porque el 21 ya no es par y me da 7 00:42:41
Divido entre 7 y he terminado 00:42:45
Pues factorización me queda 00:42:48
El 2 que ha salido dos veces, 2 al cuadrado 00:42:50
Por 3 y por 7 00:42:53
Hago la factorización del 116 00:42:55
Como es número par, divido entre 2, que me daría 58 00:42:58
Vuelvo a dividir entre 2, que me da 29 00:43:06
El 29 es un número primo, solo le puedo dividir entre el mismo, se acabó la división 00:43:10
Pues que me han salido 2 doces, 2 al cuadrado, por un 29 00:43:15
Como estoy haciendo el máximo con un divisor, acordaos que ahora solo me podía quedar con los factores repetidos 00:43:20
y aquí el que se repite en los dos sitios es el 2 00:43:28
y de esos repetidos con el que utilice el exponente más pequeño 00:43:31
aquí como los dos tienen exponente 2 00:43:36
pues me da igual coger cualquiera de los dos 00:43:38
el caso es que me quedo con el 2 al cuadrado 00:43:40
que es el factor repetido con el exponente más pequeño 00:43:44
¿cuánto vale 2 al cuadrado? 00:43:47
pues entonces 4 son las cajas que tengo 00:43:50
en las que voy a repartir los refrescos. 00:43:56
¿Cuántos refrescos cabrán en cada caja? 00:44:00
Pues si me voy a los refrescos de limón, como hay 84, 00:44:04
al dividirlo entre 4 me salen 21 refrescos por caja. 00:44:07
Si me voy a los de naranja, 116 refrescos en 4 cajas, 00:44:12
me salen 29 refrescos por caja. 00:44:17
Entonces la resolución que yo quería es que los tengo que envasar en 4 cajas 00:44:20
donde en la de leonón hay 21 refrescos 00:44:25
y en la de naranja hay 29 en cada caja. 00:44:30
Comprobación, pues 21 por 4 más 29 por 4 00:44:35
los 200 refrescos que yo quería. 00:44:39
Aplicación del máximo común divisor a problemas. 00:44:44
Pues ya hemos visto cómo aplicar a problemas 00:44:49
esas operaciones combinadas en el primer ejercicio, 00:44:52
cómo aplicar a problemas, el mínimo común múltiplo 00:44:56
y cómo aplicar a problemas, el máximo común divisor 00:45:01
ya tendríamos este tema visto por completo 00:45:04
¿Alguna duda? 00:45:08
Más o menos se han entendido las cosas, Sandra, María y José 00:45:13
no sé si es que os habéis desconectado 00:45:17
No, está bien. Bien, más o menos entendido 00:45:23
Sí, y ¿cuáles son los ejercicios que vamos a hacer? 00:45:28
Los tenéis puestos en el aula virtual justo debajo de las actividades. Os pone en rojo los ejercicios del tema 1, 4, 5, 11, tal y cual. En rojo justo debajo del fichero de las actividades, del archivo de las actividades, tenéis siempre puestos ejercicios que tienen que hacer los alumnos, en este caso de distancia y de semipresencial. 00:45:33
os pone, pues ahí os tenéis 00:46:01
numerados, no son todos los ejercicios 00:46:04
de la hoja, es una selección 00:46:07
para que tengáis un poco de cada 00:46:08
y podáis 00:46:11
ir practicando 00:46:12
y me preguntéis, ¿qué hacéis más? 00:46:14
pues mejor, esto cuanto más se practique mejor 00:46:16
pero los que me tendríais que enviar 00:46:18
si me quiera acogerse a la 00:46:20
a la evaluación continua 00:46:23
es la selección es la que os pongo 00:46:25
ahí en rojo, ¿vale? en vez de toda la hoja entera 00:46:26
¿de acuerdo Sandra? 00:46:28
Sí, sí, está bien 00:46:30
Lo buscaré 00:46:32
Y si no puedo encontrarlo, lo escribiré 00:46:34
Si no lo encuentras, me lo escribes 00:46:37
Vamos, lo vas a encontrar seguro 00:46:38
Siempre en cada tema ponemos 00:46:40
El primer fichero es la teoría 00:46:42
En este caso, tema 1 00:46:44
Números naturales 00:46:47
Y el segundo fichero que aparece en el aula virtual 00:46:48
Es el de actividades 00:46:50
Pues justo debajo del fichero de actividades 00:46:51
En rojo viene una observación que dice 00:46:54
Los ejercicios a entregar por los alumnos de distancia 00:46:56
son los siguientes, y os pongo los números 00:46:59
de los ejercicios de esa primera 00:47:01
hoja de actividades, ¿vale? 00:47:03
en el tema, con la misma historia 00:47:05
primer archivo siempre el tema 00:47:07
segundo archivo las actividades 00:47:09
y luego ya si os pongo cosas de ampliación 00:47:10
o la profe de 00:47:14
de semipresencial y presencial 00:47:15
que alguna vez pone cosillas también porque 00:47:17
utiliza mi misma 00:47:19
virtual, pues eso ya es extra 00:47:20
vosotros tenéis que fijaros siempre en los dos primeros 00:47:23
archivos que aparezcan, que es 00:47:25
el de teoría y el segundo 00:47:27
el de los ejercicios, siempre 00:47:29
en todos los temas, vale 00:47:31
si no lo encuentras me pones un 00:47:32
correo y te mando un pantallazo 00:47:35
subrayándotelo para que lo veas 00:47:37
mejor, vale 00:47:39
bueno, pues lo dejamos por aquí 00:47:40
el martes que viene más 00:47:43
si tenéis alguna duda, pues eso, me escribís y me contáis 00:47:44
bueno, venga 00:47:47
que tengáis buena tarde 00:47:49
igualmente, hasta luego 00:47:50
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