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Interludio matemático - Integral de -1/r^2 - Contenido educativo - Contenido educativo

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Subido el 25 de octubre de 2020 por Sergio M.

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En este vídeo vamos a obtener un resultado que nos va a ser de gran utilidad 00:00:00
cuando queramos saber la expresión matemática de la energía potencial 00:00:04
gravitatoria de una masa puntual en cualquier punto a una distancia r 00:00:09
minúscula. Vamos con ello. Fijaos, nosotros lo que queremos es esto, la integral de 00:00:14
la función menos 1 entre r al cuadrado diferencial de r. Y tú podrás decir, ya 00:00:21
pero es que yo todavía no sé integrar. Te voy a contar una cosita. Si tú tienes una función f de x, puedes hacer una cosa con ella que es derivarla, 00:00:29
es decir, ir hacia la f' de x, que no es más que derivar f respecto de x. Si ahora coges esta función f' y decides integrarla, 00:00:39
¿sabes dónde vas a ir? 00:00:56
Vas a volver a la función f de x. 00:00:58
De modo que, aunque no sepas integrar una función, 00:01:01
si tú sabes una cuya derivada sea justamente esa, 00:01:06
ya tienes la integral. 00:01:10
Así que vamos a buscar qué función tiene como derivada 00:01:11
este menos 1 entre r al cuadrado. 00:01:15
Veamos. 00:01:19
Esto tiene pinta de función polinómica. 00:01:21
Y vosotros recordáis que estas derivadas para las funciones polinómicas de la forma x a la n tienen la siguiente pinta, si tú coges y lo derivas respecto de x vas a obtener el exponente multiplicando a la x a la n menos 1. 00:01:22
por tanto si comparamos bueno pues cambiando la x por una r y viendo aquí cuál es la n que 00:01:41
tendríamos nosotros fijaos en que lo que queremos es algo de la pinta menos 1 por 1 entre r al 00:01:47
cuadrado claro eso se puede escribir como menos 1 por r a la menos 2 y si nos ponemos exquisitos 00:01:56
fijaos en que esto es menos 1 por r a la menos 1 menos 1. 00:02:06
Entonces diréis, ah, pues esto tiene pinta de algo que estoy viendo ahora, 00:02:12
porque fijaos en que la derivada que tiene la forma n a la x, x a la n menos 1, 00:02:17
donde esto sería nuestra n y por tanto esto sería nuestra n y esto sería el menos 1, 00:02:23
donde esto jugaría el papel de la x, puede hacerme identificar cuál es la función de la que yo justamente vengo. 00:02:30
La función de la que yo justamente vengo es la función 1 entre r. 00:02:38
Fijaos, si yo derivo 1 entre r respecto de r, que sería lo mismo que derivar r a la menos 1 respecto de r, 00:02:44
Tengo menos 1 por r a la menos 1 menos 1 es decir menos 1 entre r al cuadrado acabo de obtener la función que tiene como derivada lo que yo estoy integrando y viceversa lo que yo estoy integrando va a tener como primitiva esta función 1 entre r. 00:03:00
Es decir, que volviendo aquí tenemos que la integral de menos 1 entre r al cuadrado es 1 entre r y ahora viene una cosa crucial y es que cuando integráis aquí aparece una constante. 00:03:25
¿Por qué? Porque, fijaos, si yo derivo esto, acabo de ver que obtengo justamente lo que estoy integrando. 00:03:43
Pero si yo derivo todo esto, fijaos, por un lado con esto obtengo lo de aquí, pero ¿cuál es la derivada de una constante? 00:03:54
La derivada de una constante, la derivada de algo que no cambia es 0. Es decir, que la derivada de todo esto en realidad también es esta función de aquí. 00:04:05
Por tanto, cuando yo integro no puedo saber si la función es simplemente 1 entre r o 1 entre r más una constante. 00:04:17
y esta constante es una constante que hay que fijar con las condiciones del problema 00:04:26
y es una constante que va a determinar, por ejemplo, 00:04:31
dónde está el cero de energía potencial, por qué es negativa, etc. 00:04:35
Quedaos con el resultado que nos interesa, 00:04:42
que es que la integral de menos 1 entre r al cuadrado diferencial de r 00:04:45
es 1 entre r más una constante. 00:04:48
Hasta la siguiente. 00:04:52
Idioma/s:
es
Autor/es:
Sergio Montero Modino
Subido por:
Sergio M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
30
Fecha:
25 de octubre de 2020 - 17:43
Visibilidad:
Público
Duración:
04′ 55″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
19.57 MBytes

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