Saltar navegación

8ª Quincena (2ª parte) bis - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 1 de febrero de 2024 por Francisco J. M.

12 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

la calidad de las grabaciones, si las habéis experimentado. Y bueno, antes de continuar con 00:00:00
la grabación, pues lo que sí quiero decir antes, por protección de datos, si hay alguien que tiene 00:00:08
algo que alegar, yo en cualquier momento detengo la grabación, no la subo y punto. Es posible que 00:00:14
la de hoy, si tenéis interés, no escribís, pero si ya he subido la del otro día, pues ya sabéis 00:00:21
que son clásicas y repetidas. Bueno, pues vamos al lío, que hoy tenemos bastante. He intentado 00:00:25
simplificar lo máximo posible, ya que en esta evaluación tenéis por una parte la probabilidad 00:00:35
de más o menos, si son cinco ejercicios, pues más o menos, esperad dos, como cuatro puntos, 00:00:42
y seis puntos de la parte de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones. Más 00:00:49
o menos en esa proporción. Bueno, hoy vamos a ver cosas. Algunas son más útiles, más al grano, 00:00:55
de cara al examen, y otras, pues las doy de cara a entender algunos conceptos que van a 00:01:01
aparecer o que ya han aparecido. Bueno, el método de la matriz inversa no es muy útil, como pone 00:01:08
aquí, pero sirve para ecuación, para repasar ecuaciones matriciales. El método, bueno, 00:01:15
se me había olvidado. El último día vimos lo que es un sistema de ecuación. Cuando es lineal, 00:01:22
vimos el método de Gauss, y a partir del método de Gauss vimos cómo discutir, cómo saber si es 00:01:27
compatible o incompatible, en caso de ser compatible si es determinado o indeterminado, 00:01:34
y luego el método de Gauss directamente nos vale para resolver. Entonces, hay otros métodos de 00:01:40
resolución. Si vosotros conocéis igualación, sustitución, se puede hacer su adaptación a 00:01:48
sistemas más grandes. Pero, en caso de que no haya parámetros, que es lo que nos van a aparecer 00:01:53
hoy, yo os diría que todo lo que tengáis que resolver o condiscutir sistemas de ecuaciones 00:02:00
siempre uséis el método de Gauss. No todos los profesores están de acuerdo conmigo, pero para mí 00:02:05
es eso. Cualquier sistema de los que haya aparecido hasta ahora…, porque es algo 00:02:12
totalmente mecánico. Ahora, ¿otros métodos de resolver sistemas de ecuaciones lineales? Ya os 00:02:16
digo, no son los mejores, pero nos sirven para repasar determinadas cosas. Y, bueno, 00:02:23
si a lo mejor alguien quiere programar algo con matrices, por ejemplo, en programación se puede. 00:02:30
Bueno, el método de la matriz inversa se puede utilizar cuando la matriz de coeficientes es 00:02:36
cuadrada y su determinante es distinto. Vamos a ver este pequeño ejemplo rápidamente, 00:02:49
así también repasamos la matriz inversa, aunque sea 2x2, pero el parámetro va aquí. No está mal, 00:03:02
¿no? En este tipo de ejercicios, el otro día ya os dije que un sistema de ecuaciones se puede 00:03:13
plantear como una ecuación matricial en la que la matriz de coeficientes, esta aquí, 00:03:21
se lo aplico a la matriz columna que forman las incógnitas y esto se lo igualo a la columna de 00:03:29
términos independientes. Esto lo vimos el otro día, que si igualamos términos a término, 3x más 00:03:40
y es igual a 2, que es la primera ecuación, y 1x menos y es igual a 0, que es la segunda ecuación. 00:03:46
Entonces, esta matriz de coeficientes la llamo A, y si calculo su determinante, 00:03:54
el determinante de A vale menos 3 menos 1, que es igual a menos 4. 00:03:59
Entonces, el determinante de esta matriz es distinto de 0, entonces existe inversa. Esa 00:04:10
matriz tiene inversa. Y entonces, acordaos, que si yo tengo esta ecuación 00:04:20
matricial, que para despejar X, Y, la matriz A no se puede pasar dividiendo porque las 00:04:29
matrices no se dividen. Pero dijimos que en vez de pasarla dividiendo, la pasábamos a la inversa, 00:04:39
y si está por la izquierda, pues a la inversa también la podemos dividir. De modo que tenemos 00:04:45
que calcular la matriz inversa de A. Y aquí os recuerdo que para hacer la matriz inversa sería 00:04:51
bueno a lo mejor que queráis un resumen de cada cosa que va saliendo, o sea, que estáis utilizando. 00:05:01
La matriz inversa de una matriz es la adjunta traspuesta a partir de coeficientes determinantes. 00:05:08
La adjunta, la matriz adjunta de A, es, pues acordaos, quito fila, columna, con signo más, 00:05:16
si quito esta fila y esta columna me queda menos. Si quito esta fila y esta columna me queda 1, 00:05:27
pero este como tiene el signo menos adjudicado, esto repasarlo, si no lo acordáis, en una 00:05:35
transición inversa es muy factible que salga. Aquí como este tiene un menos delante, quito la fila y 00:05:41
la columna donde está, me queda 1. Y aquí pongo un más, quito la fila y la columna donde está, 00:05:51
me queda 3. Entonces la matriz inversa traspuesta será, cuidado, que esto a veces se os olvida, 00:05:58
y en este caso, como esta matriz es simétrica, es igual a su traspuesta. La matriz traspuesta de 00:06:07
esta es menos 1 menos 1, como lo que era la primera fila, se convierte en la primera columna. Y la 00:06:13
segunda fila, menos 1, 3, se convierte en la segunda columna. Y ahora el determinante vale menos 4, 00:06:21
que es la razón por la que el determinante tiene que ser cero, porque si no, no podremos dividir entre él. 00:06:28
Entonces, si esto lo efectúo, me queda menos un cuarto entre menos 4, que es un cuarto, 00:06:34
aquí también queda un cuarto, y aquí queda menos 3 cuartos. Esta es la matriz inversa. 00:06:41
Y entonces tengo que calcular a menos 1, que es un cuarto, un cuarto, un cuarto, menos 3 cuartos, 00:06:55
por la matriz 2-0. Bueno, pues esto da 2 por un cuarto, son dos cuartos. Más un cuarto por cero, 00:07:10
pues esto es cero, son dos cuartos. Dos por un cuarto, son dos cuartos. Menos cero, son dos cuartos. 00:07:23
O sea que nos queda la matriz, un medio, un medio, y esto nos da como soluciones, x igual a un medio, y igual a un medio. 00:07:30
Si no os lo creéis, creéis que sí, un medio por tres, tres medios. Más un medio, cuatro medios. Cuatro medios es dos. 00:07:49
Y si a un medio le quito un medio, me sale cero. Bueno, como veis, este sistema, no tenemos que hacer cañonazos, 00:07:56
pero es un ejemplo muy gráfico de cómo se resuelve un sistema matricial con la inversa. 00:08:05
Un sistema 3x3 es un poco más práctico, aunque yo siempre os recomendaría el método de Gauss. 00:08:11
Pero en un sistema 4x4, pues a lo mejor alguien ya se decide hacerlas. 00:08:18
Bueno, entonces esto es un poco para que veáis la aplicación de las matrices, de lo que es la inversa de una matriz, 00:08:25
a resolver una ecuación que nos sirve para repasar una parte importante de las matrices. 00:08:31
La regla de Cramer. La regla de Cramer os la voy a explicar con un ejemplo, porque enunciado está en el libro. 00:08:38
Pero si me pongo técnicamente, creo que lo vais a ver peor que si os lo cuento yo. 00:08:45
Bueno, ¿cuándo se puede utilizar? Pues, de nuevo, cuando la matriz de coeficientes es cuadrada y el determinante es distinto. 00:08:51
Es cuadrada y el determinante es distinto. 00:09:02
Vamos a hacer lo mismo con el sistema anterior. 00:09:07
Esto ya os digo que no miréis la teoría con calma, porque eso es demasiado extenso para ir justificando todo despacio. 00:09:18
Bueno, si yo calculo el determinante de A, ya sé que es igual a menos cuatro, que es distinto. 00:09:31
Esto quiere decir que puedo aplicar la regla de Cramer. 00:09:38
Y ahora, ¿cómo se aplica la regla de Cramer? Atención. 00:09:48
Si quiero sacar la X, bueno, siempre voy a dividir entre el determinante, que es menos cuatro. 00:09:54
Por eso es distinto de cero. Y ahora voy a hacer un determinante. Esto parece mágico. 00:10:04
Porque es que las cuentas salen realmente. 00:10:12
Si yo, en vez de los coeficientes de X, que son 3, 1, pongo los de los términos independientes. 00:10:15
Y la columna de las Y, ¿la dejo como está? Esta es la columna de las Y. 00:10:23
Estos son los términos independientes. 00:10:30
Bueno, pues yo hago estas operaciones, que dan menos dos, menos cero, dividido entre menos cuatro. 00:10:34
Salvo un medio. Y ahora, si quiero calcular la Y, voy a aplicar la regla de Cramer. 00:10:41
Salvo un medio. Y ahora, si quiero calcular la Y, vuelvo a dividir entre el determinante, que es menos cuatro. 00:10:55
Y ahora, atención. La columna de las X, ¿la dejo como está? 00:11:07
Y la que cambio es la columna de la incógnita, que quiero calcular. 00:11:12
Entonces, en vez de poner uno menos uno, pongo dos cero. 00:11:16
Calculo el determinante. Tres por cero, cero. Menos dos. 00:11:20
Entre menos cuatro. Salvo un medio. 00:11:25
Y como veis, nos salen sorprendentemente las mismas soluciones. 00:11:28
Esto con cualquier sistema de Cramer. 00:11:34
Un sistema que tiene tantas ecuaciones como incógnitas. 00:11:37
Y que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. 00:11:41
La justificación. No es necesario que os aprendáis las demostraciones. 00:11:46
Si alguien quiere verlo, creo que es bastante curioso la regla de Cramer. 00:11:52
Una cosa. Yo sigo diciendo que para mí esto es matar moscas a caminar. 00:11:57
Que donde esté el método de Gauss, no hay ninguno más práctico siempre que se pueda utilizar. 00:12:01
¿Cuándo no se puede utilizar? ¿O cuándo es más complicado utilizar el método de Gauss? 00:12:06
Cuando el sistema tiene parámetros. 00:12:12
Que eso es la última parte de la teoría que tenéis. 00:12:15
Y es realmente la parte en la cual se estudia, se engloba toda la teoría que hemos visto en estos tres últimos temas. 00:12:19
Bueno. Este ejercicio. 00:12:28
Decís. Esto no se puede utilizar la regla de Cramer. 00:12:31
Pues atención. Sí se puede usar la regla de Cramer haciéndonos bien. 00:12:36
Vamos a ver. 00:12:42
Si yo cojo este menor. 00:12:44
Uno, uno. Uno, uno. Como tiene dos filos iguales. Y si no lo hago. Uno menos uno. Este determinante es cero. 00:12:53
Este determinante no me vale. 00:13:00
Pero si yo cojo la columna de las X y la columna de las Z. Tengo uno, uno, uno, menos uno. 00:13:04
Esto me queda menos uno, menos uno, que es menos dos. 00:13:17
Este sí vale para aplicar, para utilizar la regla de Cramer. 00:13:21
¿Cómo voy a hacerlo? Pues de la siguiente forma. 00:13:30
Aquí veis que como hay menos incógnitas. 00:13:33
Perdón. Como hay menos ecuaciones que incógnitas. 00:13:37
Si os acordáis del otro día. El sistema no puede ser compatible determinado. Va a depender de un parámetro. 00:13:40
Entonces está ahí que está sumando la paso restable. 00:13:46
Y está ahí que está sumando la paso restable. 00:13:50
Y atención. Ahora sí se puede usar la regla de Cramer. 00:13:53
Ahora puedo decir que X es igual. 00:13:58
Sabéis que tengo que dividir entre el determinante, que es menos dos. 00:14:03
Fijaos que he cogido la parte azul, que es la de la X y la Z. 00:14:07
Y estas van a ser las incógnitas. 00:14:12
Y va a ser la incógnita que puede tomar cualquier lado. 00:14:15
Entonces, como os he dicho. La columna de las X la sustituyo por los términos independientes. 00:14:20
Que en este caso es dos menos I. Y la columna de las Z la dejo con esto. 00:14:28
Esto me queda dos por menos uno menos dos. 00:14:36
Menos uno por menos uno más I. 00:14:39
Y luego I por uno I. 00:14:44
Partido por menos dos. 00:14:54
A ver si esto está bien. 00:15:01
Bueno, entonces esto tendría que salir. 00:15:03
Bueno, vamos a seguir. 00:15:28
Entonces queda aquí menos dos entre menos dos. 00:15:30
La I puede tomar cualquier lado. 00:15:36
Como veis la I no la he podido expresar. 00:15:41
Y la Z tendré que tomar ahora esta columna. 00:15:44
Menos dos. 00:15:53
Y ahora la columna de las X la dejo como está. 00:15:55
Y la columna de las Z la sustituyo por la de las I. 00:16:00
Esto me sale I menos dos más I partido por menos dos. 00:16:10
Esto es dos I menos dos partido por menos dos. 00:16:18
Y esto es menos I más I menos entre menos más dos entre dos. 00:16:28
Estas serían las soluciones de este sistema. 00:16:38
Creo que es mucho más práctico por Gauss. 00:16:44
Si hacéis la comprobación tendréis que ver que esto efectivamente se cumple. 00:16:47
Esperad un momentín. 00:16:56
A ver si esto se cuadra bien. 00:16:58
Es igual a uno. 00:17:01
Aquí hay una cosa que no está bien. 00:17:03
No sé si la habéis visto. 00:17:05
Dos menos I. 00:17:09
Claro. 00:17:13
Es que aquí es menos I. 00:17:15
Llevaba un rato viendo esto. 00:17:18
Estas dos no me cuadran. 00:17:22
Entonces aquí tendría que poner... 00:17:37
Bueno, la I es igual a I. 00:17:42
La I puede tomar cualquier valor. 00:17:45
La X queda dos I partido por menos dos, que es menos I. 00:17:47
Y menos entre menos más uno. 00:17:52
Y la Z queda menos I menos dos más I entre menos dos. 00:17:55
Y queda que la Z vale igual. 00:18:04
Esto ya os digo que es la regla de Cramer. 00:18:09
Lo único que me interesa. 00:18:11
Y si no hay problema, paso a lo siguiente. 00:18:13
Es si sabéis cómo se implica. 00:18:16
Tenéis que buscar un determinante distinto de cero. 00:18:19
Lo que no forme parte de ese determinante. 00:18:22
Lo pasáis al otro lado. 00:18:24
Y para sacar cada una de las incógnitas, dividís por el determinante de ese salido. 00:18:26
Y arriba ponéis en el numerador el mismo determinante. 00:18:31
Cambiando la columna de la incógnita que debéis despejar por la columna de términos independientes. 00:18:37
En principio ya os digo que yo solo lo uso en una cosa que os diré al final de la clase. 00:18:49
La regla de Cramer. 00:19:00
Es práctica, por supuesto. 00:19:02
Depende para mí. 00:19:05
Lo más importante de este tema, y esto es un ejercicio prácticamente, os puedo decir, de cualquier examen mío o de BAO. 00:19:07
Es discutir un sistema que tiene parámetros. 00:19:15
Si un sistema no tiene parámetros, yo siempre os recomendaré que utilicéis el método de BAO. 00:19:21
Pero si los tiene, muy recomendable el programa de Rousset. 00:19:27
Y a mí me gusta tal como lo explico. 00:19:31
Porque hay tutoriales que ya os dije que se ponían a discutir los menores de orden más pequeño. 00:19:34
Yo creo que con eso os podéis hacer un pequeño riesgo. 00:19:44
Entonces, yo siempre os lo voy a dar de la misma forma. 00:19:47
Un sistema con parámetros, por ejemplo, es este. 00:19:52
Una cosa son las incógnitas X, Y y Z. 00:19:55
Y otra cosa son los parámetros. 00:19:59
A es una variable que puede tomar cualquier valor. 00:20:01
Pero imaginaos que X, Y y Z son tres proveedores. 00:20:06
Y A es el precio del aceite de oliva. 00:20:11
Entonces, a mí me gusta saber lo que van a cobrar cada uno de los proveedores. 00:20:15
Pero eso depende del precio del aceite de oliva. 00:20:19
Si yo pongo estas condiciones, dependiendo de lo que valga A, el sistema puede que tenga una solución. 00:20:23
Que muchas veces es lo deseable, por no tener discusiones. 00:20:33
Puede tener infinitas soluciones, que también me interesa saberlo. 00:20:37
Si hay más de una solución, a lo mejor tenemos más flexibilidad. 00:20:41
O si esto no tiene solución. 00:20:44
Entonces, A no es una incógnita. 00:20:47
A es una cosa que va variando, por eso se llama parámetro. 00:20:50
Entonces, ¿qué ocurre? 00:20:54
Que si aquí intentáis hacer el método de Gauss, se puede hacer. 00:20:55
Pero es muy posible que os hagáis un día. 00:21:00
Que os lo hagáis vosotros y que se lo haga cualquiera. 00:21:02
Entonces, para hacer eso, vamos a utilizar una cosa que ya os he justificado en otras clases, que es la siguiente. 00:21:07
Si os acordáis, el otro día cuando nos salía, ya lo veréis cuando veamos los casos particulares. 00:21:16
Que si yo tengo x más y más az igual a 4, x más y más az no puede ser igual. 00:21:23
Eso sería incompatible, porque dos cosas iguales tienen que dar el mismo resultado. 00:21:31
Entonces, lo que dijimos el otro día es que si aquí había alguna dependencia lineal en la matriz A, 00:21:36
en la matriz A, esta estrella también tiene que haberla. 00:21:42
Eso, en términos de rangos, se traduce en que para que un sistema de ecuaciones no sea incompatible, 00:21:48
o sea, para que sea compatible, la matriz pequeña… 00:21:56
¿Puedes encender la luz, por favor? 00:22:02
La matriz pequeña, la de coeficientes, y la matriz ampliada tienen que tener el mismo rango. 00:22:04
Y eso ya veréis que se calcula muy fácil y que se concluye con bastante facilidad. 00:22:11
Esa es la primera parte, la más importante de este problema de Bousset. 00:22:17
Y ahora, una vez sabiendo que es compatible, ya os he dicho antes, hace un momento, 00:22:22
que si tenéis tres incógnitas y solo hay dos ecuaciones, no se puede despejar una de las incógnitas. 00:22:28
Con lo cual, una de ellas puede tomar cualquier valor, y si toma cualquier valor, el sistema es indeterminado. 00:22:36
Hay más de una solución. 00:22:41
En el ejemplo anterior que os he dicho, este es un sistema indeterminado. 00:22:43
¿Por qué? 00:22:48
Porque la I puede tomar cualquier valor y me da lugar a infinitas soluciones. 00:22:49
Entonces, dicho esto, esto que sepáis que es bastante mecánico, 00:22:56
como lo doy yo, casi siempre os dan un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas. 00:23:03
En EVA uno creo que es lo que es más grande. 00:23:09
A veces es más pequeño, tiene algún pequeño refinamiento. 00:23:12
Pero vamos, este es el problema típico. 00:23:16
Discutir este sistema. 00:23:19
Discutir este sistema tenemos que saber cuántas soluciones tenemos. 00:23:23
Y dice, en función del parámetro 1. 00:23:27
En función del parámetro 1. 00:23:29
Entonces, tomo la matriz del sistema. 00:23:32
Esta, ¿sabéis qué es la matriz A? 00:23:49
Y esta es la matriz ampliada. 00:23:52
Que generalmente, en casi todos los libros, se llama estrella. 00:23:54
Pero en el libro de texto que tenéis se llama N. 00:23:57
Entonces, quiero saber si tienen el mismo rango o no. 00:24:02
Si tienen el mismo rango el sistema es compatible. 00:24:08
Si tienen distinto rango el sistema es incompatible. 00:24:11
No tiene solución. 00:24:15
Vale, pues ¿cómo hago esto? 00:24:17
Yo veo la matriz A es 3x3. 00:24:20
Entonces, el rango de A como mucho es 3. 00:24:26
La matriz A estrella es 3x4. 00:24:33
Y como vimos, aunque haya cuatro columnas, el rango por filas es igual al rango por columnas. 00:24:39
Y como solo hay tres filas, el rango de A estrella también como mucho es 3. 00:24:46
Entonces, ¿por dónde empiezo? Por A. 00:24:56
¿Por qué? 00:25:00
Si el rango de A es igual a 3, entonces el rango de A estrella es igual a 3. 00:25:03
¿Por qué? 00:25:13
Porque su rango es o menor o igual que 3. 00:25:14
Y el rango de A, si esta matriz tiene rango 3, esta matriz como mínimo tiene rango 3. 00:25:18
O sea, que no puede ser ni más pequeña ni mayor ni menor que 3. 00:25:26
Pues si no es ni mayor ni menor que 3, tiene que ser 3. 00:25:33
¿Cómo calculo el rango de A? 00:25:38
Y esta es una cuenta relativamente fácil. 00:25:41
Como es una matriz cuadrada, calculo el determinante de esa matriz. 00:25:45
¿Qué da? Menos 2. 00:25:51
1 por 0 por 1 es 0. 00:25:54
2 por 2 es 4, por A es 4A. 00:25:57
1 por menos 1 es menos 1, por A es menos A, pero como lo cambié de signo es más A. 00:26:01
1 por menos 1 es menos 1, por A es menos A, pero como lo cambié de signo es más A. 00:26:08
0, menos 0. 00:26:20
Y menos 4. 00:26:23
Me parece que tengo algún signo mal, voy a mirarlo. 00:26:24
1, 1, A, 4. 00:26:28
2, menos 1, es 0. 00:26:29
2, menos 1, es 2. 00:26:30
2A. 00:26:32
1, 1, A. 00:26:33
2, menos 1, es 0. 00:26:34
Aquí es que es un menos 1. 00:26:36
Es mi fallo últimamente. 00:26:39
O sea, 0 y aquí sería... 00:26:40
Al hacer esto queda... 00:26:43
O sea que me queda 4 menos A, que es 3A. 00:26:51
Y menos 2 menos 4, que es menos 6. 00:26:56
Si este determinante es distinto de 0, yo puedo concluir que el rango de A es 3. 00:26:59
Yo no puedo mirar si el determinante vale 3, 5, 7, 24, porque son infinitos casos, pero sí puedo mirar cuando esto vale 0. 00:27:06
Si esto vale 0, 3A es igual a 6 y A es igual a 2. 00:27:15
A 2, perdón. 00:27:22
Ahora, si el determinante de A es 0, concluyo con que A solo puede ser 2. 00:27:29
Pues ahora viene el primer caso. 00:27:37
Si A es distinto de 2, le doy la vuelta a la tortilla, entonces el determinante de A es distinto de 0. 00:27:42
Y si el determinante de A es distinto de 0, el rango de A es 3, porque tiene 3 filas linealmente independientes. 00:27:53
Ahora, como os he dicho antes, como A estrella no puede tener rango 4 y es una matriz que contiene A, pues el rango de A estrella también es 3. 00:28:06
Y ahora viene la segunda parte del teorema de Roosevelt. 00:28:23
Esto quiere decir que el sistema es compatible, ¿no? 00:28:29
El sistema es compatible. 00:28:33
Pero cuando es compatible, yo quiero saber si es determinado o es indeterminado. 00:28:37
Si tiene una solución o infinitas soluciones. 00:28:43
Entonces, ¿cuál es el número de incógnitas? 00:28:46
¿Cuántas incógnitas tiene ese sistema? 00:28:48
Tiene 3, que son X, Y y Z. 00:28:53
A es un parámetro, es una cosa que puede variar. 00:28:56
Que coincide con el rango de A. 00:29:01
Que coincide, a su vez, con el rango de A estrella. 00:29:05
Pues si coincide el rango con el número de incógnitas, además es compatible con el número de incógnitas. 00:29:08
Determinado. 00:29:18
Acordaos, no pongáis abreviaturas. 00:29:22
No pongáis Y, no pongáis Z, no pongáis S, R, Z. 00:29:25
Porque a veces puede dar lugar a confusiones. 00:29:28
Bueno, pues yo diría que esta es la parte más complicada del ejercicio. 00:29:31
En un ejercicio de 2.5, esto cuesta 2 puntos. 00:29:35
Bueno, me equivoco. 00:29:40
No, porque todavía queda… ¿Qué pasa si lo igualamos? 00:29:42
Esto sería un punto y 25, un punto y medio. 00:29:46
Bueno, entonces, repito. 00:29:49
Tomo el determinante del sistema, de los coeficientes, lo igualo a cero. 00:29:52
Y cuando no sale cero, la matriz de los coeficientes está en lo que es rango 3, la ampliada también, 00:29:59
por lo que el sistema es compatible. 00:30:07
Y como el número de incógnitas también es 3, el sistema es determinado. 00:30:08
Y ahora, yo, fiel a mí mismo, si A es igual a 2… 00:30:17
Pues lo llevo diciendo toda la clase y la anterior, que si un sistema no tiene parámetros, 00:30:27
porque ya ya sé que A vale 2, el mejor método es el método de A8. 00:30:33
Y aquí A2x2 es 4. 00:30:46
Si aquí os sale un sistema compatible y determinado, revisad las cuentas porque es imposible. 00:30:51
Aquí os va a salir incompatible o compatible e indeterminado. 00:30:58
Porque el rango de A no puede ser 3. 00:31:02
¿El de A estrellas? Sí, pero el de A no puede ser 3. 00:31:05
Entonces, bueno, para variar y para que veáis que hay trucos a veces más sencillos, 00:31:10
que hacen las cuentas más sencillas, en vez de escalonar por la columna de las X, lo voy a hacer por la de las Z. 00:31:20
¿Por qué? Porque aquí hay un 2 y aquí hay un 2. 00:31:26
Y porque aquí ya hay un 08. 00:31:29
Por lo cual, os recuerdo el método de Gauss. 00:31:31
1, 1, 2, 4. 00:31:34
Esta habría que hacer algo en 0, pero es que ya está hecho ese 0. 00:31:40
Entonces la dejo como está. 00:31:44
Y ahora, si aquí hay un 2 y aquí hay un 2, hago F3 menos F2. 00:31:46
Y ahora tengo que restar. 00:31:58
Menos 1, menos 1, menos 2. 00:32:01
Menos 2, perdón, 2 menos 1, 1. 00:32:05
2 menos 2, 0. 00:32:12
Y 4 menos 4, 0. 00:32:15
Creo que el otro ya lo hice de otra forma, pero la conclusión ya veréis que es la misma. 00:32:18
Bueno, ya he hecho aquí una columna de ceros. 00:32:23
Tengo que continuar aquí. 00:32:27
Tengo que hacer este 0 de aquí. 00:32:29
Y para hacer este 0 de aquí, acordaos que en el segundo paso del método de Gauss, las dos primeras ecuaciones se quedan como están. 00:32:32
Y aquí hago F3 más F2. 00:32:45
Acordaos que en el segundo paso del método de Gauss se utiliza la segunda para hacer un 0 más en la tercera. 00:32:51
Menos 2 más 2, 0. 00:32:59
1 menos 1, 0. 00:33:01
0 más 0, 0. 00:33:04
Y 0 más 2, 2. 00:33:06
Entonces, aquí puedo concluir de dos formas. 00:33:11
Una es como hacíamos el otro día. 00:33:16
Si yo paso aquí esto a sistema, esto es X más Y más 2Z igual a 4. 00:33:17
2X menos Y igual a 2. 00:33:22
0 igual a menos 2. 00:33:25
Si ponéis 0 igual a menos 2, ya sabéis que el sistema es incompatible, porque es imposible que 0 sea igual a menos 2. 00:33:27
Pero aquí a veces se razona, utilizando el teorema de Rousseff-Rodénius. 00:33:36
¿Cuál es el rango de A? 00:33:41
De esta matriz. 00:33:42
Una, dos filas y esta no cuenta porque está llena de ceros. 00:33:45
¿Y cuál es el rango de A estrella? 00:33:50
De la grande. 00:33:55
Sería 3 porque el sistema ya está escalonado y la última fila no está totalmente llena de ceros. 00:33:58
Y la última fila no está totalmente llena de ceros. 00:34:07
Como los rangos son distintos, el sistema es incompatible. 00:34:12
Entonces, esto es la discusión. 00:34:25
Y esto ya os digo que si el ejercicio es de dos puntos y medio, esto suele contar... 00:34:28
Esto suele contar de dos puntos y medio a dos. 00:34:36
Para igual a 1 os lo voy a dejar como ejercicio. 00:34:46
Porque esto sabéis que lo tenéis que hacer por el método de Gauss. 00:34:52
Lo único que voy a deciros es que yo sé que el sistema va a ser compatible determinado. 00:35:00
¿Por qué? 00:35:05
Porque si A es distinto de 2, hemos dicho que el sistema es compatible determinado. 00:35:07
Como veis, esto vuelve a ser lo mismo. 00:35:20
Lo que pasa es que el apartado B le da una pequeña vuelta a lo que hay. 00:35:25
A mí este ejercicio me gusta porque tenéis que razonar. 00:35:30
Generalmente, si esto es de dos puntos, esto vale punto y medio y esto cero cinco. 00:35:34
Lo que no me gusta poner, pero a veces sí que es inevitable, es que el apartado B depende del resultado del apartado A. 00:35:39
Porque tenéis que resolver el sistema para los valores de lambda para los que el sistema posee una solución. 00:35:48
Entonces, esto como tampoco es medio punto, a veces sí. 00:35:55
Entonces, vamos a tomar el ejercicio. 00:36:03
Y se estudia el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro. 00:36:12
Como tiene parámetros, ya sabéis. 00:36:19
También, si lo hiciéramos por dados, tendríamos que poner la matriz de coeficientes. 00:36:23
Si a alguien no le gusta la letra lambda en los exámenes, me decís que la llaméis A. 00:36:29
A lo llamo lambda, las conclusiones las ponéis al final y ponéis una A o lo que queráis. 00:36:36
Lambda, uno, uno, tres. 00:36:42
Uno, uno, lambda, dos menos lambda. 00:36:46
Sabéis que esta es la matriz A, ¿no? 00:36:51
La matriz ampliada es A estrella. 00:36:54
Que el rango de A como muchos tres. 00:37:00
Y que el rango de A estrella es como muchos tres. 00:37:04
Si el rango de A es tres, el rango de A estrella tiene que ser también tres. 00:37:11
Pues me voy de nuevo otra vez a calcular el rango de A. 00:37:16
¿Cómo calculo el rango de A? 00:37:22
Pues tengo que ver cuando el determinante de la matriz que forman los coeficientes es distinto de cero. 00:37:25
Pues la calculo. Uno por lambda, dos lambda, lambda. Uno por uno por uno, más uno. 00:37:37
Lambda por dos lambda, dos lambda cuadrado. 00:37:44
Aquí uno por uno por dos lambda, dos lambda, pero con el menos delante. 00:37:49
Uno por uno por uno, menos uno. 00:37:54
Y lambda por uno por lambda, lambda cuadrado, pero con el menos delante. 00:37:57
Simplificando me queda, lambda cuadrado. Lambda menos dos lambda es menos lambda. 00:38:03
Y uno menos uno, cero. 00:38:13
Entonces tengo que ver cuando este determinante es igual. 00:38:19
Casi siempre saldrá una ecuación de grado dos o de grado tres. 00:38:26
O de grado tres. En la anterior salía de grado uno me parece. 00:38:30
Por eso se he puesto este que es un poco más largo. 00:38:35
Mirad unos cuantos porque hay una cierta casuística. Hay bastantes cosas que pueden variar bastante. 00:38:38
Esta es una ecuación de segundo grado. Si alguien no se acuerda la hace con la fórmula. 00:38:45
Pero lo suyo es sacar factor común lambda. 00:38:50
Porque si yo saco factor común lambda el producto de dos cosas es cero. 00:38:54
Cuando la primera es cero. Cuando la segunda es cero. 00:38:59
En el primer caso lambda está despejada. Lambda vale cero. 00:39:04
Y en el segundo caso despejo lambda y me queda lambda cuadrado. 00:39:09
Estoy en el apartado A. 00:39:18
¿Qué puedo sacar de aquí? 00:39:21
Pues es muchísimo. Porque aquí ya hay infinitas cuentas hechas. 00:39:24
Que el determinante es cero cuando lambda es cero o uno. 00:39:29
Pues si lambda no es ni cero ni uno. 00:39:34
El rango de la matriz A es tres. 00:39:42
Y el rango de la matriz ampliada también es tres. 00:39:48
Por lo que hemos razonado en las dos ocasiones anteriores. 00:39:53
Pero es que además es igual al número de incógnitas. 00:39:56
Porque hay tres incógnitas que son X, Y y Z. 00:39:59
¿Entonces cómo es el sistema? 00:40:04
Bueno. 00:40:06
Como estos dos rangos son iguales. 00:40:11
Es compatible. 00:40:16
Y como además coincide con el número de incógnitas. 00:40:21
Es determinante. 00:40:26
Esta sería la primera conclusión. 00:40:29
Pero aún hay más. 00:40:37
Tengo que ver qué pasa si lambda es igual a cero. 00:40:43
Si lambda es igual a cero. 00:40:50
Yo siempre os diré gao. 00:40:53
Uno, uno, cero. 00:40:55
Y dos menos dos por cero que es dos. 00:41:01
Cero, uno, uno. 00:41:04
Y aquí un tres. 00:41:07
Y aquí uno, uno, cero. 00:41:10
Y dos menos cero que es dos. 00:41:17
Y dos menos cero que es dos. 00:41:21
Mirad, para variar. 00:41:30
Para que veáis que hay muchas combinaciones para hacer las cosas. 00:41:33
Voy a cambiar la segunda fila. 00:41:36
Por la primera. 00:41:42
Cambio. 00:41:45
F1 por F2. 00:41:48
¿Por qué? Pues ahora lo veréis. 00:41:52
Si aquí pongo F2, cero, uno, uno, tres. 00:41:56
El otro día lo hice de otra forma. 00:42:00
Uno, uno, cero, dos. 00:42:03
Y uno, uno, cero, dos. 00:42:06
Aquí tengo dos ceros. 00:42:11
¿No? Ya tengo esto escalonado. 00:42:14
Pero no solo eso. 00:42:17
Sino además que si me doy cuenta. 00:42:20
Esto hacerlo solo si os dais cuenta. 00:42:23
Esta fila se puede tachar porque es igual a la anterior. 00:42:26
Si hacéis eso. 00:42:29
Ponéis aquí porque F2 es igual a F3. 00:42:33
Si no os dais cuenta seguís haciendo cero. 00:42:39
Ahora, ¿este sistema está escalonado? 00:42:42
Sí, porque ya no tiene más ecuaciones. 00:42:47
Y de la primera ecuación a la segunda hay un escalón. 00:42:50
¿Cuál es el rango de agua? 00:42:53
¿Qué rango tiene este? 00:42:59
También se pueden tachar si son proporcionales. 00:43:02
Pero entonces pondrías F2 igual a 17F3. 00:43:05
Por ejemplo, 5F3 o lo que sea. 00:43:09
Sí, efectivamente. 00:43:12
¿Cuál es el rango de agua? 00:43:15
Ah, es esta matriz, ¿no? 00:43:19
Esta. 00:43:22
¿Cuál es su rango? 00:43:26
Dos, ¿no? 00:43:29
¿Y cuál es el rango de la estrella? 00:43:32
Dos también, porque es esta de aquí, ¿no? 00:43:39
El rango de la estrella también es dos. 00:43:43
Entonces, conclusión. 00:43:46
Como son iguales, ¿no? 00:43:51
El sistema es compatible. 00:43:54
Pero ¿cuál es el número de incógnitas? 00:44:01
Son tres incógnitas. 00:44:03
Entonces, como no es igual, es indeterminado. 00:44:07
Y esto, os lo he puesto en la teoría, pero creo que no ha existido lo suficientemente antes. 00:44:15
Si yo tengo tres incógnitas y dos ecuaciones, 00:44:22
¿me falta una ecuación para poder despejar una incógnita? 00:44:26
Bueno, pues depende de tres menos dos parámetros. 00:44:31
Eso, como luego lo vamos a resolver, lo vais a entender mejor. 00:44:38
Y que sepáis que este ejercicio no se ha terminado. 00:44:46
Porque todavía hay un valor para el cual no he hecho nada, que es para lambda igual a uno. 00:44:50
Para lambda igual a uno. 00:44:57
Pues todavía no he terminado la discusión. 00:45:01
Si lambda es igual a uno, pues tengo que poner uno, uno, dos por una, dos. 00:45:04
Dos menos dos, cero. 00:45:12
Lambda vale uno. 00:45:15
Lambda igual a dos. 00:45:18
Lambda igual a tres. 00:45:21
Lambda igual a cuatro. 00:45:24
Dos menos dos, cero. 00:45:26
Lambda vale uno. 00:45:29
Tres. 00:45:32
Y uno, uno. 00:45:33
Uno. 00:45:36
Y dos menos uno es uno, ¿no? 00:45:37
Bueno, yo sé que este sistema es más incompatible que nada. 00:45:40
¿Por qué? Porque si x más y más z es igual a tres, x más y más z no puede ser igual a uno. 00:45:44
Pero es que puede que no nos pongamos cuenta de eso. 00:45:51
Podemos razonar así. 00:45:53
Si ponéis porque estas dos condiciones no se pueden cumplir, a lo mejor sí. 00:45:55
¿No? Pero como no me doy cuenta, voy a hacerlo. 00:45:59
Voy a hacer f2 menos f1. 00:46:02
Y f3 menos f1. 00:46:05
Además el álgebra lineal está por eso. 00:46:08
Porque la mayoría de las veces no vemos las cuentas que dan compatibilidad o incompatibilidad. 00:46:10
Uno menos uno, cero. 00:46:16
Uno menos uno, cero. 00:46:18
Uno menos dos, menos uno. 00:46:20
Tres menos cero, tres. 00:46:22
Uno menos uno, cero. 00:46:25
Uno menos uno, cero. 00:46:27
Uno menos dos, menos uno. 00:46:29
Y uno menos cero, uno. 00:46:32
Aquí parece que el sistema está escalonado. 00:46:36
No está escalonado. 00:46:39
Yo puedo razonar como antes. 00:46:41
Si menos z es igual a tres, menos z no puede ser igual a uno. 00:46:43
Pero si quiero hacer el método de Gauss ortodoxo, que sepáis que de aquí a aquí hay un escalón doble. 00:46:47
Pero de aquí a aquí no hay escalón. 00:46:53
Eso tened cuidado porque a veces parece que el sistema está escalonado y no lo está. 00:46:56
Entonces tendría que hacer f3 menos f2. 00:47:01
Uno, uno, dos, cero. 00:47:05
Cero, cero, menos uno, tres. 00:47:08
Y ahora sería cero, cero, cero. 00:47:11
Y uno menos tres, menos dos. 00:47:14
¿Cuál es el rango de A? 00:47:17
Dos. ¿Y el rango de la estrella? 00:47:22
Tres. ¿Conclusión? 00:47:25
Como los rangos de las dos matrices no coinciden, el sistema es incompatible. 00:47:30
No tiene sentido hablar de determinado e indeterminado. 00:47:37
Consejo. 00:47:41
Consejo. 00:47:42
Al terminar el ejercicio, poner la conclusión. 00:47:44
Aunque sea reiterativa. 00:47:49
Es decir, para lambda distinto de cero y uno el sistema es compatible. 00:47:51
Para lambda igual a cero el sistema es compatible e indeterminado. 00:48:02
Para lambda igual a cero el sistema es compatible e indeterminado. 00:48:06
Para lambda igual a cero el sistema es compatible e indeterminado. 00:48:09
Y para lambda igual a uno el sistema es incompatible. 00:48:12
Esta es la discusión, que es lo más largo. 00:48:16
Quiero que veáis dos o tres y que veáis que hay una cierta mecánica que yo creo que no es demasiado difícil ni de cuentas ni de conceptos. 00:48:20
Y ahora la segunda parte os dice. 00:48:32
Resuélvelo para los valores de A para los que el sistema posee más de una solución. 00:48:34
¿Cuándo un sistema tiene más de una solución? 00:48:42
Cuando es compatible e indeterminado. 00:48:47
O sea, que el apartado B os está diciendo que lo resolváis para lambda igual a cero. 00:48:50
Para lambda igual a cero, además, si no me equivoco, ya lo tenéis escalonado. 00:48:56
Para lambda igual a cero, además, si no me equivoco, ya lo tenéis escalonado. 00:49:09
O sea, éste ya estará escalonado. 00:49:22
Escalonado en el apartado A. 00:49:25
Pues pongo x más y igual a dos. 00:49:34
Y más z igual a tres. 00:49:40
Entonces, ¿cómo se resuelve esto? 00:49:45
¿Cómo se resuelve esto? 00:49:47
Como vimos el otro día. 00:49:48
Primero de aquí se saca una incógnita. 00:49:49
Y ahora os voy a decir un truco. 00:49:52
Si la y está arriba y abajo, lo mejor es que la pongáis, esa es la que pongáis que toma cualquier valor. 00:49:54
¿Por qué? 00:50:03
Porque en la ecuación de abajo podéis decir que y es igual a tres menos z. 00:50:04
Y de la ecuación de arriba podéis sacar que... 00:50:09
Perdón, al revés. 00:50:15
A ver, de aquí podéis sacar que la z es igual a tres menos y. 00:50:23
Y de aquí podéis sacar que la x es igual a dos menos y. 00:50:29
Y la y es la que puede tomar cualquier valor. 00:50:34
Entonces, el otro día creo que también lo hice de otra forma. 00:50:44
Pero eso está bien, que tengáis distintos procedimientos para hacer lo mismo y tengáis distintos recursos. 00:50:47
Como veis esta segunda parte es muy cortita. 00:50:53
Vale mucho menos que todo lo que hemos visto hasta ahora. 00:50:56
Pues esto es todo lo que os tengo que decir por hoy en cuanto a discutir sobre un sistema. 00:51:03
Que es el ejercicio central de la parte de sistemas. 00:51:11
Luego de matrices está la inversa, las ecuaciones matriciales. 00:51:14
Puede haber algún ejercicio de determinantes. 00:51:17
Os he dejado por aquí, ya la última tutorial la tengo esta tarde. 00:51:22
Algún ejercicio de otros exámenes. 00:51:28
Este examen yo sé que lo he puesto alguna vez en mi vida, pero no sé cuánto. 00:51:31
¿No? Ecuaciones matriciales. 00:51:36
Cuidado aquí. 00:51:40
Mirad, el otro día esto salía mal y eso... 00:51:41
Bueno. 00:51:47
Copiar y pegar. 00:51:49
Que sepáis que hay ecuaciones matriciales que se resuelven con la inversa y otras que se resuelven con letras. 00:51:51
Entonces, en este tipo de ecuación, por ejemplo, yo tengo que hacer A por A. 00:52:00
Que me saldrá la matriz A cuadrada. 00:52:06
El resultado lo pongo aquí. 00:52:09
Más. 00:52:12
X por A. La matriz X por A, sabéis que si X e Y son números, la matriz X por A es X, 2X, menos 3X, 4X. 00:52:14
Y la matriz Y por la identidad, acordaos que la identidad tiene unos, uno por Y, uno por Y, Y, y el resto son ceros. 00:52:27
Y cuando os dan la matriz cero, se supone que es una matriz de orden 2, que es la matriz 0000. 00:52:37
Que tenéis que sumar todas estas cosas e igualar cada término a cada término. 00:52:46
Esto es otra forma de resolver ecuaciones matriciales que os la recuerdo porque no hemos visto demasiados ejercicios. 00:52:51
Y vamos, os lo dejo aquí indicado. 00:53:02
Y no sé si hay alguna cosa más que queráis decirme. 00:53:07
Esta, por ejemplo, esto es una ecuación matricial que se hace de la otra forma. 00:53:12
Aquí, bueno, como veis tenéis, mirad todos estos tutoriales porque salen cosas distintas. 00:53:18
Las ecuaciones matriciales también. 00:53:24
Y este, por ejemplo, para los que no se acuerden, este seguramente... 00:53:26
Y ahí tenéis que ver si el determinante es distinto de cero o no. 00:53:32
Si el determinante de B es distinto de cero, entonces yo puedo decir, bueno, esto lo puedo decir siempre, que 2XB es igual a C-A. 00:53:38
Que X por B es igual a C-A partido por 2, porque esto es dividir cada coeficiente entre dos. 00:53:50
Y ahora, si el determinante de B es distinto de cero, existe inversa, ¿no? 00:53:58
Y si existe inversa, X es igual a esta cuenta que habéis hecho previamente por la inversa. 00:54:07
Y la inversa debe la pongo a la izquierda o a la derecha. 00:54:14
Por la inversa. Y la inversa debe la pongo a la izquierda o a la derecha. 00:54:16
Aquí. Y la B está a la derecha, se pone a la derecha. Mucho cuidado con eso. 00:54:21
¿Qué pasaría si el determinante de B es cero? Que hay que hacerlo con letras. 00:54:29
Hay que poner una matriz, pues me parece que sería... ya no me acuerdo. 00:54:34
Vamos, con letras, no sé cuántos coeficientes tiene que tener, ¿no? 00:54:39
Hay que ir buscándolos, que es mucho más laborioso generalmente. 00:54:43
Pero que sepáis que os puede caer una ecuación de cualquiera de estos. 00:54:47
Bueno, pues esto es lo que os he podido dar en esta evaluación. 00:54:53
Espero veros pronto. 00:54:57
Javier, Javier, ¿por qué lo divides? 00:54:59
En la tercera evaluación sabéis que ya es toda la geometría, ¿no? 00:55:06
Bueno, pues nada, como siempre, muchas gracias por asistir. 00:55:09
Y siguen. 00:55:13
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Autor/es:
Javier M.
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
12
Fecha:
1 de febrero de 2024 - 19:40
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LOPE DE VEGA
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
63.91 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

Comentarios

Para publicar comentarios debes entrar con tu nombre de usuario de EducaMadrid.

Comentarios

Este vídeo todavía no tiene comentarios. Sé el primero en comentar.


EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid