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Ecuaciones trigonométricas - Contenido educativo

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Subido el 20 de octubre de 2023 por Elias M.

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Hola, para los ejercicios de hoy voy a explicaros cómo usar la calculadora científica. 00:00:00
Fijaos que vamos a recordar el triángulo con el que estuvimos trabajando el último día, 00:00:10
del que ya calculamos sus valores. Era un triángulo que construimos para calcular las razones trigonométricas 00:00:21
del ángulo de 30 grados y el de 60 grados. Triángulo rectángulo con estas dimensiones 00:00:28
y que elegíamos de manera que su hipotenusa valiera 1. 00:00:35
Si recordáis lo que nos dio, estos son los valores que obtuvimos. 00:00:41
Observáis que como son ángulos complementarios, estos valores están cruzados. 00:00:58
Y la tangente de uno es la inversa de la del otro. 00:01:23
Pues imaginaos que esto no lo supiéramos, que son valores que os tenéis que aprender en memoria, 00:01:31
pero si no lo supiera lo tendría la calculadora para poderlo resolver. 00:01:38
Fijaos primero que la calculadora tiene varios modos de configuración de los ángulos 00:01:43
y normalmente lo utilizaremos en modo de grados exagerimales. 00:02:03
Fijaos que aquí pone una D de degree en inglés, que está configurada en grados sexagesimales, 00:02:08
que son los grados que utilizamos habitualmente. 00:02:16
Así, si yo a la calculadora le digo, cálculame el seno de 30 grados, me dará un medio, 0.5. 00:02:20
Y los otros, como me va a dar con decimales, pues no hace falta comprobarlo, 00:02:35
pero simplemente es poner coseno de 30 grados, 0.866. 00:02:42
0.866 es lo mismo que raíz de 3 entre 2, pues sí, es lo mismo, ¿vale? 00:02:55
0.866. 00:03:05
Con la calculadora es fácil hacerlo. 00:03:08
Muy bien, pero hay veces que necesitaremos utilizar la calculadora en radianes, 00:03:11
para hacer cálculos en radianes. 00:03:21
Imaginaos que nosotros queremos calcular el seno de 30, pero utilizando la calculadora en radianes. 00:03:23
Primero tenemos que saber que 30 grados es igual que 30 por pi, 00:03:27
dividido entre 180, igual a pi sextos radianes. 00:03:36
Pi sextos radianes, para saber el valor, pi entre 6 es 0.5236 radianes. 00:03:43
Entonces yo a la calculadora le puedo decir, a ver, lo primero hay que configurarla en radianes. 00:04:03
¿Cómo se hace en esta calculadora? 00:04:11
Dándole dos veces a MODE y me sale para elegir la unidad de medida en la que quiero utilizar los ángulos. 00:04:13
Grados sexagesimales, radianes y grados centesimales, ¿vale? 00:04:22
Nosotros vamos a utilizar estas dos primeras. 00:04:28
Ahora el 2. 00:04:31
Y fijaos que aquí se pone una R, indicándome que vamos a trabajar ahora en modo radianes. 00:04:34
¿Qué pasa? Que si ahora pusiera seno de 30, se lo estaría indicando mal. 00:04:41
Seno de 30, ahora como estamos en radianes, estos 30 no son grados. 00:04:49
Estoy diciendo seno de 30 radianes. 00:04:54
30 radianes son 1700 grados. 00:04:56
O así, si hacéis la conversión, nos daréis cuenta que son aproximadamente 1700 grados. 00:04:59
En radianes es un ángulo muy grande. 00:05:03
Daríamos varias vueltas a la circunferencia. 00:05:05
Fijaos que el valor no me da un medio. 00:05:08
Ahora doy seno de 30 y no me da un medio. 00:05:11
Por eso tened mucho cuidado en cómo tenéis configurada la calculadora antes de hacer cualquier ejercicio. 00:05:13
Aquí siempre la veis si vais a trabajar en grados. 00:05:19
Y si vais a trabajar en radianes, una R. 00:05:21
¿Cómo le pediríamos a la calculadora que nos calcule el seno de 30 grados y nos tiene que dar un medio? 00:05:23
Si está en radianes, no tenemos que poner seno de 30. 00:05:31
Hay que dar el valor del ángulo, de ese mismo ángulo, pero en radianes, que es pi sextos. 00:05:35
Entonces pongo seno, abro paréntesis porque voy a ponerlo exactamente con la pi, 00:05:39
que veis que le estoy dando el 6, me sale la pi, entre 6. 00:05:45
Seno de pi sextos. Estoy indicándole en radianes lo mismo que antes cuando hemos dicho seno de 30 grados. 00:05:49
¿Veis? 0,5. 00:05:55
Correcto. Porque estamos trabajando en radianes. 00:05:58
Muy bien. Pues esto es algo que tenéis que tener en cuenta. 00:06:03
Fijaos también que la calculadora la utilizamos casi siempre, 00:06:08
no sólo para calcular las razones trigonométricas, sino también para calcular las razones trigonométricas inversas. 00:06:13
Las razones trigonométricas inversas son las que nos dan el ángulo, sabiendo la razón trigonométrica. 00:06:23
O sea, tú sabes que el seno de algún ángulo desconocido es un medio, 00:06:31
y con la calculadora, haciendo la razón trigonométrica inversa, averiguarás que ese ángulo que tienes en un medio vale 30 grados. 00:06:37
Es decir, si yo quiero averiguar qué ángulo tiene un seno de 0,5, de un medio, 00:06:47
lo que tengo que hacer es arco seno de un medio me va a dar 30 grados. 00:06:59
¿Vale? Vamos a ver qué pasa si pongo arco seno. 00:07:08
Fijaos que hay calculadoras que vienen indicado como arco seno, pero en esta y en otras viene indicado como seno a la menos uno. 00:07:11
Es una nomenclatura que no es correcta, pero así les ocupa menos. 00:07:20
Entonces pondría seno a la menos uno, que ya os digo que en realidad lo que quiere decir esto es arco seno. 00:07:25
Arco seno de un medio, de 0,5, voy a poner... ¿Cuánto dará? 00:07:34
¡Uy! No me sale 30 grados. ¿Qué es lo que me sale? 00:07:42
Como la tengo en radianes, lo que me está saliendo es la medida del ángulo, pero en radianes, porque la tengo configurada en radianes. 00:07:47
0,5236 radianes, pero si pongo la calculadora en modo grados, la D, ¿vale? 00:07:56
Y hago ahora la misma operación, seno a la menos uno de 0,5. 00:08:09
Estoy diciéndole a la calculadora ¿Qué ángulo tiene un seno de 0,5? 00:08:18
Y dámelo en grados. 30 grados. 00:08:23
¿Veis? Así que mucho cuidado cuando usemos la calculadora, ¿vale? 00:08:28
Porque hay que indicarle bien cómo queremos... cuál es la unidad en la que queremos dar y que nos dé la calculadora los grados, ¿vale? 00:08:32
Esto por un lado. ¿Para qué utilizamos mucho la calculadora? 00:08:43
No siempre, ¿eh? Estad atentos al enunciado, porque hay algunos ejercicios en los que no me interesa el uso de la calculadora 00:08:48
y voy a pediros que lo hagáis sin calculadora, ¿vale? 00:08:57
Pues sirve para resolver algo que se llama ecuaciones trigonométricas, ¿vale? 00:09:01
Aunque el nombre os pueda asustar de primera, vais a ver que no son muy complicadas 00:09:05
y que lo que vamos a tener que hacer es prácticamente lo que hicimos en los ejercicios del día anterior, ¿vale? 00:09:11
Os explico cómo se lleva una ecuación trigonométrica. 00:09:20
Muy fácil, la más fácil que os podéis echar a la cara es, por ejemplo, esta. 00:09:23
¿Vale? ¿Por qué se llama ecuación trigonométrica? 00:09:31
Porque la X está dentro de una razón trigonométrica, ¿vale? 00:09:35
¿Qué es lo que tenemos que resolver aquí? ¿Qué es la incógnita? 00:09:39
Bueno, en vez de X le voy a llamar alfa, ¿vale? 00:09:44
Los ángulos muchas veces se representan con letras griegas y así no nos confundimos con la X que he puesto por otro lado, ¿vale? 00:09:47
Mirad, esta ecuación consiste en averiguar qué ángulo tiene un seno de un medio, de 0.5. 00:09:55
Es el ángulo con el que hemos trabajado en la hoja anterior. 00:10:06
Ya lo sabemos, pero si no lo supiéramos o, en cualquier caso, la manera de explicarlo sería así. 00:10:11
El ángulo que buscamos se obtiene haciendo el arco seno de un medio, ¿vale? 00:10:17
Tú haces el arco seno de un medio y te da el ángulo que buscas. 00:10:26
Lo hacemos con la calculadora o sabiendo de memoria, como debéis saberos, esta tabla y obtenemos el resultado. 00:10:31
¿Resultado? 30 grados. 00:10:40
¿Vale? Hemos resuelto la ecuación. 00:10:43
Bueno, podríamos pensar que la hemos resuelto, porque si lo dejáis así está sin acabar el ejercicio. 00:10:45
¿Y por qué os digo esto? 00:10:53
Porque muchas veces hay más de un ángulo que tiene la misma razón trigonométrica. 00:10:54
Puede suceder que solo haya un ángulo que tiene una determinada razón trigonométrica, 00:11:00
pero puede ser que haya hasta dos ángulos con la misma razón trigonométrica. 00:11:06
¿Cómo averiguamos el otro? 00:11:10
En este caso va a haber dos. 00:11:12
A este le vamos a llamar ángulo 1. 00:11:14
¿Cómo averiguamos el otro? 00:11:17
Pues el procedimiento es este. 00:11:18
Hacemos la circunferencia goniométrica con la que trabajamos en los ejercicios del día anterior. 00:11:21
Hacemos la circunferencia y sabemos que el ángulo 1 de ellos, el primero que hemos averiguado haciendo el arcoseno, es 30 grados. 00:11:33
Lo dibujamos. 00:11:43
Ángulo de 30 grados. 00:11:46
Y este es el punto donde corta el ángulo con la circunferencia. 00:11:50
¿Vale? 00:11:56
Y sabíamos que las razones trigonométricas de este ángulo son las coordenadas de este punto. 00:11:57
La y, la altura del punto, es el seno. 00:12:05
Yo lo he puesto aquí. 00:12:09
Y la x es el coseno. 00:12:11
¿Vale? 00:12:15
Entonces sabemos que el seno es un medio. 00:12:17
Y el coseno ahora mismo no nos preocupa. 00:12:21
Porque en esta ecuación solo habla del seno. 00:12:24
Entonces lo importante es que dibujemos solo el seno. 00:12:27
¿Vale? 00:12:30
O que nos fijemos solo en el seno. 00:12:31
El seno es este, un medio. 00:12:33
Y ahora nos tenemos que hacer la pregunta. 00:12:35
¿Habrá algún otro ángulo que tenga exactamente el mismo seno? 00:12:38
El mismo seno quiere decir que tenemos que encontrar esta misma distancia en algún otro ángulo. 00:12:43
¿Vale? 00:12:50
Esta misma distancia y en vertical. 00:12:51
Porque los senos se miden en vertical. 00:12:54
Son la y. 00:12:57
¿Hay algún otro ángulo que tenga exactamente esta altura? 00:12:58
¿Algún otro punto en la circunferencia está exactamente a la misma altura que este? 00:13:04
Pues puntos a la misma altura que este sí que hay uno. 00:13:13
Y es justo el que está enfrente, simétrico, respecto al eje de ordenadas. 00:13:19
Fijaos que este punto y este tienen la misma altura. 00:13:29
La x no es la misma porque, aunque la distancia sí, está x. 00:13:34
Y esto es la misma distancia pero la coordenada sería menos x porque está hacia el lado negativo del eje. 00:13:40
En cambio la y sí. 00:13:48
La y son positivas las dos. 00:13:49
Es exactamente igual. 00:13:51
Esta y es igual que esta y. 00:13:52
O sea que hay otro ángulo que tiene el mismo seno. 00:13:54
¿Qué ángulo es? 00:13:57
Pues este triángulo que se ha formado aquí es el mismo que este de aquí. 00:13:59
O sea que esto mide 30 grados. 00:14:02
Y para saber qué ángulo es el que se corresponde con este puntito de aquí, 00:14:04
este punto de aquí es el ángulo de 30 grados. 00:14:08
Pero este de aquí es el ángulo que va desde aquí del origen, 00:14:12
porque los ángulos siempre se empiezan a medir desde aquí, 00:14:15
hasta aquí, todo este ángulo. 00:14:19
Ese va a ser el otro ángulo que buscamos. 00:14:22
¿Y cómo sabemos cuánto mide este? 00:14:26
Pues hay varias formas. 00:14:28
Los que tengáis buena percepción visual enseguida os daréis cuenta de cuánto mide ese ángulo. 00:14:29
Hay gente que le cuesta más. 00:14:34
Entonces tenemos dos métodos. 00:14:36
Nos podemos imaginar... 00:14:38
Bueno, nosotros sabemos que este primer cuadrante es un ángulo de 90 grados 00:14:40
y además habría que sumarle esto. 00:14:43
¿Esto cuánto medirá sabiendo que esto mide 30? 00:14:46
Pues es fácil de deducir. 00:14:50
Pero hay otra forma que a mí me parece más fácil. 00:14:53
Si todo hasta aquí, el ángulo llano, es de 180 grados, 00:14:56
le restamos 30 y obtenemos el ángulo 2, con el mismo seno. 00:15:00
180 grados menos este trocito de aquí, 00:15:06
ya tenemos el ángulo que buscábamos, 00:15:09
que es la segunda solución de la ecuación. 00:15:15
Y esta es la respuesta. 00:15:18
Eso es resolver una ecuación trigonométrica. 00:15:20
Voy a poneros otro ejemplo. 00:15:24
Otro ejemplo también muy fácil. 00:15:26
La segunda ecuación trigonométrica va a ser 00:15:40
el coseno de alfa es igual a un medio. 00:15:44
Vale. 00:15:55
Bueno, podemos empezar como hemos hecho antes, 00:15:59
con la calculadora o con la tabla que nos tenemos que saber de memoria. 00:16:02
Averiguamos el primero de los ángulos. 00:16:06
Arco coseno de un medio. 00:16:08
¿Qué ángulo es? 00:16:11
Pues buscamos en los cosenos 00:16:12
y el que tiene coseno un medio es el ángulo de 60 grados. 00:16:15
¿Vale? 00:16:20
Ahora dibujamos en la circunferencia el ángulo de 60 grados. 00:16:23
El ángulo de 60 grados es más o menos por aquí. 00:16:32
60 grados. 00:16:38
¿Vale? 00:16:40
Y en este ángulo, 00:16:42
las razones trigonométricas de ese ángulo se corresponden con 00:16:44
las coordenadas de este punto. 00:16:49
¿Vale? 00:16:54
Pues... 00:16:55
¿Cuál es el coseno? 00:16:59
Porque ahora estamos hablando del coseno. 00:17:00
Ahora hay que fijarse en el coseno. 00:17:01
Del seno pasamos. 00:17:03
Esto no nos interesa. 00:17:05
Lo que queremos ver es esta distancia de aquí. 00:17:06
La X. 00:17:09
Otro ángulo que tenga exactamente esta misma X. 00:17:11
¿Vale? 00:17:17
Esto de aquí. 00:17:18
Que mida lo mismo. 00:17:20
Esto y esto es lo mismo. 00:17:22
¿Vale? 00:17:24
¿Cuál es el ángulo? 00:17:25
Que otro punto en toda la circunferencia va a estar a esta misma distancia del eje de las is. 00:17:26
Pues habrá gente que me diga... 00:17:37
Pues este punto de aquí. 00:17:39
No. 00:17:40
Porque aunque la distancia es la misma, este sería menos X. 00:17:41
Sería negativo. 00:17:44
El punto en realidad que tiene exactamente esta misma X, coordenada X, es el que está aquí debajo. 00:17:46
Fijaos. 00:17:57
Esta X de aquí y esa X de ahí son la misma y las dos son positivas porque van hacia la derecha en el eje de las X. 00:17:59
Entonces ya sólo nos queda averiguar qué ángulo es el que va desde aquí y da toda la vuelta, toda la vuelta, toda la vuelta, toda la vuelta, hasta llegar aquí que es donde se corresponde con este puntito. 00:18:08
¿Vale? 00:18:26
Pues otra vez hay varias formas de hacerlo. 00:18:27
Sabemos que esto es 90, 180, 270 y podríamos a 270 le podemos sumar este trozo de aquí, que os imaginaréis cuánto es. 00:18:30
Pero otra forma fácil es, como esto mide 60 y este trozo de aquí es lo mismo que hay aquí, 00:18:42
pues podemos hacerlo como que el ángulo 2 es toda la vuelta a la circunferencia, que son 360 grados, menos 60. 00:18:48
360 grados menos 60. 00:18:56
El segundo ángulo que buscamos es de 300 grados. 00:18:59
Y estas son las dos soluciones de esta ecuación trigonométrica. 00:19:04
¿Vale? 00:19:10
Y un último ejemplo, porque hay veces que también en las ecuaciones trigonométricas aparece la tangente. 00:19:12
Así que os voy a poner un ejemplo de cómo se resolvería una razón trigonométrica con la tangente. 00:19:20
¿Qué ángulo tiene tangente 1? 00:19:27
Pues los otros de la tabla o con la calculadora en seguida podríamos averiguar un ejemplo usando la arco tangente. 00:19:30
Arco tangente de 1 es el ángulo de 45 grados. 00:19:39
¿Vale? Lo tenéis en la tabla que habéis hecho. 00:19:44
Hacemos la circunferencia goniometrica. 00:19:47
Y dibujamos el ángulo de 45 grados, que está por aquí, por la mitad. 00:19:54
45 grados. 00:20:04
Este es el punto que tiene coordenadas x e y. 00:20:07
La y es el seno. 00:20:13
La x es el coseno. 00:20:16
La x es el coseno. 00:20:20
Y la tangente. 00:20:24
¿Cuál es la tangente? 00:20:27
Vale, pues es que eso no os lo he explicado. 00:20:29
La tangente, y recordadlo porque esto es nuevo, 00:20:32
la tangente gráficamente, igual que el seno se representa en las is y el coseno en las x, 00:20:35
la tangente, para poderla dibujar, tenemos que... 00:20:44
Tenemos que dibujar una línea tangente a la circunferencia en este punto. 00:20:50
En el punto que se correspondería con... 00:20:57
Bueno, es una línea recta, se supone. 00:21:02
No lo es, pero se supone que es. 00:21:04
¿Y qué es la tangente? 00:21:10
Pues la tangente es, si prolongamos este lado del ángulo, 00:21:13
donde corta esta medida de aquí, 00:21:18
esto es la tangente de alfa, 00:21:22
lo que mida este trozo de aquí, ¿vale? 00:21:26
Si os dais cuenta, este trozo mide ahora mismo 1. 00:21:29
Porque esto y esto miden lo mismo, ya que esto es 45 grados, 45 grados, 00:21:38
esto es el radio, que mide 1, y esto mide 1, ¿vale? 00:21:43
Eso es la tangente. 00:21:48
En este ejemplo mide 1, pero fijaos que si yo cogiera un ángulo más grande, mediría más de 1, 00:21:51
y así, cada vez puede tomar valores muy grandes la tangente. 00:21:56
Fijaos que incluso en el ángulo de 90 grados no hay tangente, 00:22:03
porque esto nunca se llegaría a cortar, ¿vale? 00:22:07
Por eso no existe la tangente en el ángulo de 90 grados. 00:22:10
Y hacia abajo también. 00:22:13
Cuando empezamos ya en el segundo cuadrante, fijaos que la tangente es negativa. 00:22:16
Fijaos, los ángulos que están en el segundo y en el cuarto cuadrante dan tangentes negativas, 00:22:21
pero cuando los alargas, tocan en la parte de abajo de la línea, 00:22:27
entonces los valores de la tangente son negativos, ¿vale? 00:22:33
Pero bueno, centrándonos en este ejercicio, hay un ángulo que tiene tangente 1. 00:22:37
¿Cuál es el otro ángulo que tiene tangente 1? Pues justo el que está enfrente. 00:22:41
El ángulo que estaría por aquí, al prolongarlo, también tendría tangente 1, 00:22:45
porque siempre se mide en esta línea a la derecha, ¿vale? 00:22:50
No hay otra línea aquí para medir las tangentes de este lado. 00:22:53
Tú tienes que alargarlo hasta tocar la línea, entonces el otro ángulo es este. 00:22:56
¿Y cuánto mide este ángulo? La segunda solución. 00:23:01
Pues esto es 90 grados, 180, y esto, que es un ángulo opuesto por el vértice 1, mide 45 también, 00:23:05
sería 180 grados más otros 45. 00:23:13
El segundo ángulo que buscamos es de 225 grados. 00:23:18
Y así resolvemos las ecuaciones trigonométricas en las que aparece la tangente, ¿vale? 00:23:23
Pues de momento vamos a hacer una serie de ejercicios sobre esto, 00:23:28
y luego ya os explico más cosillas. 00:23:36
Venga, hasta luego. 00:23:43
Idioma/s:
es
Autor/es:
Elías Martí Borredà
Subido por:
Elias M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
5
Fecha:
20 de octubre de 2023 - 14:01
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLA DE VALLECAS
Duración:
23′ 46″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
136.82 MBytes

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