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21-2BT1 - Contenido educativo

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Subido el 21 de febrero de 2024 por Francisco J. M.

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inconveniente en que grabe la clase, pues que me lo diga y dejemos de compartir la grabación, ¿de acuerdo? 00:00:00
Bueno, esta clase es la repetición de la clase de lunes. La semana que viene, sí, bueno, 00:00:09
entonces, a ver, la semana pasada me gustaría que quedara claro que es muy importante que se 00:00:18
que sepáis el concepto de función, que sepáis calcular un dominio de funciones, que sepáis dibujar una recta y una parábola con todos sus elementos 00:00:33
y lo que son las funciones definidas a trozos. No pondré unos trozos muy extraños, rectas, parábolas, que se siempre, 00:00:41
o alguna cosa similar que podamos ver hoy y bueno, vamos al tema ya. Como función 00:00:49
definida a trozos, en particular, os quiero explicar la función valor absoluto. Primero 00:01:10
lo voy a hacer de una forma y luego de la forma que se supone que la barraca es lógica, 00:01:19
pero quiero que 00:01:24
veáis lo siguiente 00:01:27
tenéis la función igual a valor absoluto 00:01:32
de x más 2 00:01:34
si yo tomo la función igual a valor 00:01:35
absoluto de x 00:01:42
yo sé que el valor 00:01:43
absoluto de un número 00:01:48
es el mismo número 00:01:49
si x es 00:01:52
mayor o igual que 0 00:01:54
¿qué ocurre si x 00:01:56
es menor que 0? 00:01:58
si x es menor que 0 00:01:59
si x es menor que 0 00:02:08
tengo que cambiar de signo 00:02:11
si es menos 5, lo absoluto es 5 00:02:12
¿cómo se indica un cambio de signo? 00:02:14
pues poniendo un menos delante 00:02:16
analíticamente estamos decidiendo 00:02:18
el cambio de signo 00:02:21
para el valor de x 00:02:22
¿qué es lo que ocurre aquí? 00:02:24
si tengo x más 2 00:02:28
valor absoluto, por ejemplo 00:02:30
si tomo el menos uno 00:02:33
menos uno más dos es uno, el valor absoluto 00:02:35
es uno, no hay que cambiar de signo 00:02:37
¿Cómo se suele hacer esto 00:02:39
para definirlo como una función definida 00:02:41
a trozos? Bueno, pues 00:02:43
hacerlo así mismo. Yo tengo que 00:02:47
ver donde la función 00:02:49
vale cero 00:02:50
¿No? O sea, yo sé que cuando 00:02:51
x más dos sea mayor o igual que cero 00:02:55
la función no cambia de signo 00:02:57
Entonces 00:02:59
Entonces, como siempre, te subo la desigualdad, x igual a menos 2, dibujo una recta, señalo el menos 2, el menos 2, y aquí, por ejemplo, si tomo el menos 3, menos 3 más 2 es menos 1, que es menor que 0, y si tomo aquí por el 0, por ejemplo, el 0, 0 más 2 es 2, que es menor que 0. 00:03:00
Conclusión. Aquí tengo que cambiar de signo y aquí no tengo que cambiar de signo. 00:03:37
O sea, la función valor absoluto de x más 2 es, si x es menor que menos 2, va a ser de una forma y si x es mayor o igual que menos 2, va a ser de otra forma. 00:03:49
¿De qué forma va a ser si x es mayor o igual que menos 2? 00:04:04
pues como lo que hay dentro del valor absoluto 00:04:07
es positivo 00:04:10
pues el valor absoluto de x más 2 00:04:11
es x más 2 00:04:14
en cambio, si x es menor 00:04:15
que menos 2 00:04:18
lo que hay dentro del valor absoluto 00:04:19
es negativo, para que sea positivo 00:04:22
tendría que cambiarlo de sí 00:04:24
¿Vale? 00:04:25
Luego, en la práctica 00:04:28
el otro día lo expliqué de otra forma 00:04:29
que estaría bien que la vierais 00:04:31
en la práctica 00:04:33
o sea, esto sería expresar analíticamente 00:04:34
en la práctica 00:04:43
para hacer la gráfica 00:04:45
insisto, el otro día lo hice de otra forma 00:04:56
como función definida a trozos 00:04:58
sale lo mismo 00:04:59
en el tutorial 00:05:00
pero vamos, para ganar un poquito de tiempo en la clase de hoy 00:05:02
pues 00:05:06
vamos a hacerla así 00:05:07
si yo tengo la función 00:05:08
igual a x más 2 sin valor 00:05:11
absoluto, yo sé que es 00:05:13
una recta, para dar una recta 00:05:15
tengo que dar dos puntos 00:05:17
por ejemplo, si x vale 0 00:05:19
la y vale 00:05:21
y bueno 00:05:25
esto creo que lo hice el otro día 00:05:27
si la y vale 0, la x vale 2 00:05:29
así nos dan los puntos con los x 00:05:32
¿no? entonces 00:05:34
este es el punto 0, 2 00:05:37
este es el punto 2, 0 00:05:39
y esta es la recta igual a x más 2 00:05:41
estos dos también 00:05:44
porque es que si 00:05:47
A ver, si x es igual a 0, la y vale 2. 00:05:50
Y si la y vale 0, si es igual a 0, entonces queda que 0 es igual a x más 2, con lo cual x es igual a menos 2. 00:05:55
x menos 2. 00:06:08
O sea que es el punto 0, 2 y el punto menos 2, 3. 00:06:10
entonces esta es la recta 00:06:37
igual a x más 2 00:06:40
y de aquí saco 00:06:42
que 00:06:44
la función 00:06:46
valor absoluto de x más 2 00:06:48
consiste en 00:06:51
tomar de nuevo los mismos ejes 00:06:52
la parte 00:06:54
positiva 00:06:58
dejarla como está 00:06:59
y la parte negativa 00:07:03
se refleja, o sea este trozo 00:07:07
de aquí lo subo porque quiero 00:07:10
que sea posible. ¿De acuerdo? Pues puse, si no me equivoco, otro ejemplo. Pues, por 00:07:11
ejemplo, si tenéis una parábola de este tipo, que es una función f de x, pues el 00:07:26
valor absoluto de esa función sería coger los mismos cuernos 00:07:40
que están hacia arriba, por encima del eje, 00:08:02
y esta parte de aquí, para que sea positiva, se le da la vuelta. 00:08:05
Esta será la función igual a valor absoluto de f de x. 00:08:11
Bueno, esto es todo. 00:08:16
Lo que quería comentaros en cuanto a valor absoluto, muy brevemente, 00:08:17
que veáis que hay que calcular los puntos de corte con el eje de las y 00:08:20
y es para saber dónde se dobla la función, 00:08:25
donde las partes que están abajo 00:08:30
tendrían que ser muy reflejadas 00:08:33
en el 00:08:35
semiplano superior 00:08:37
bueno, como veis 00:08:38
tenéis ejercicios propuestos 00:08:41
que son de 00:08:43
funciones a trozos 00:08:45
y de valor absoluto 00:08:46
bueno, seguimos con un 00:08:49
concepto que 00:08:51
os suele costar 00:08:52
al principio 00:08:55
yo intento que lo mecanicéis 00:08:56
creo que es lo más 00:08:58
dos o tres ejemplos 00:08:59
para que veáis cómo funciona 00:09:02
qué es la composición de funciones. 00:09:06
¿En qué consiste la composición de funciones? 00:09:10
Bueno, primera cosa, se escribe con un redondito. 00:09:13
Esto se llama, se escribe G compuesto con F de X. 00:09:15
Y consiste en a la X 00:09:20
aplicarle la función F 00:09:22
y al resultado, no a la misma x, sino al resultado de esa operación, aplicarle la función g. 00:09:26
Vamos a verlo con un ejemplo. 00:09:37
Entonces, lo que tenéis que tener claro es que f compuesto con g, f compuesto con g de x, 00:09:45
ya veréis cuando hablemos de derivadas hablaré de lo de dentro o lo de fuera. 00:09:55
Yo aquí calculo primero la g de x de la función de la derecha y al resultado le aplico la f. 00:09:59
Si en cambio tenéis g compuesto con f de x, primero hacéis la f de x, esto es lo que llamo lo de dentro, y a esto de dentro le aplico la f. 00:10:13
Vamos a ver la diferencia en este caso con esta función y con esta función. 00:10:26
A ver, si yo quiero calcular la composición de f con g, como os he dicho, esto es f aplicado a g de x. 00:10:34
¿Qué es g de x? Pues g de x es 1 menos x cuadrado. 00:10:51
Y ahora viene la parte que os cuesta más comprender. 00:10:58
Esto, a esto le tengo que aplicar f. 00:11:06
La función f es 2 menos 7 por x, pero es que aquí dentro de la f no tengo x, sino que tengo 1 menos x cuadrado. 00:11:10
Entonces, este es el paso más complicado. ¿En qué consiste calcular la imagen de una función? 00:11:25
En sustituir en la fórmula lo que tenéis dentro de la función. 00:11:31
Pues aquí no tengo x, sino 1 menos x cuadrado. 00:11:38
Y una vez hecho esto, mucho cuidado, esto no se resta porque por jerarquía de operación tenemos que hacer producto. 00:11:40
2 menos 7 y menos 7 por menos x cuadrados más 7x cuadrados. 00:11:48
Bueno, aquí operáis y queda 7x cuadrados menos 5. 00:11:54
Para que veáis, por ejemplo, para que veáis un ejemplo, me voy a inventar un valor. 00:12:01
Por ejemplo, el 1. F compuesto con G de 1 es F de G de 1. Pues esto sería F de G de 1 es 1 menos 1 al cuadrado. 00:12:08
Y 1 menos 1 al cuadrado es 0. Sustituís en la fórmula y queda 2 menos 7 por 0. 00:12:28
es que veáis que esto y esto 00:12:39
es lo que estoy sustituyendo 00:12:42
en la fórmula cada vez 00:12:44
y 2 menos 7 por 0 es 2 00:12:45
¿sí? ¿qué ventaja 00:12:49
tiene lo que he hecho yo antes? 00:12:52
pues que esta fórmula vale para cualquier 00:12:54
número, pero si sustituís aquí 00:12:56
en 1, en esta fórmula os queda 7 00:12:58
por 1, que es 7 menos 5 es 2 00:13:00
¿no? esto 00:13:02
esta función os da 00:13:04
lo que hace la f y la g 00:13:06
para cualquier número 00:13:08
siempre que esté en el domingo 00:13:09
y bueno, por otra parte 00:13:13
la composición de g con f 00:13:16
ya veréis que no tiene 00:13:19
nada que ver con 00:13:21
la composición de f con g 00:13:24
aquí la función 00:13:26
que queda adentro, que se come 00:13:28
la g, es la f 00:13:30
f de x 00:13:32
es 2 menos 7 de x 00:13:35
y ahora, ¿qué es g? 00:13:36
1 menos x cuadrado 00:13:43
entonces 00:13:45
Entonces, voy a señalar que no hay x sino 7 menos 2x. 00:13:47
La función g es 1 menos x al cuadrado. 00:13:52
¿Qué es lo que ocurre? Que ahora no tengo x sino 2 menos 7 por x. 00:13:59
Y aquí me queda 1 menos, esto lo desarrollo, el cuadrado del primero, 00:14:07
más el cuadrado del segundo, menos el doble del primero por el segundo, 00:14:12
Y me sale, pues, menos 49x cuadrado más 28, aquí es otra parte, más 28x, más 3. 00:14:23
Como veis, esta función y esta, pues, se parecen un poco, ¿no? 00:14:40
Voy a repasar un momentín, 2x, 4, 29, 28. 00:14:44
para que lo entendáis 00:14:52
mejor y para introducir 00:15:01
el siguiente término 00:15:03
que si no me equivoco son 00:15:05
porque fue parte de un problema 00:15:06
de examen 00:15:09
vamos a hacer la composición de estas dos funciones 00:15:09
en principio son más 00:15:19
complicadas pero luego veréis que 00:15:24
al simplificar las cosas quedan muy 00:15:26
distintas 00:15:36
aquí tengo que hacer f compuesto con g 00:15:36
y g compuesto con f 00:15:40
como antes 00:15:41
Como os digo, f es la función que se queda adentro y que es g, x cuadrado menos 2 partido por 3. 00:15:43
Ahora, aplico f. f es la raíz de 3 por x más 2. 00:16:01
Pero yo no tengo x, sino que tengo x cuadrado menos 2 partido por 3. 00:16:10
entonces, perdonad, no es que me tiemble la mano 00:16:16
es que me tiembla la tabla 00:16:22
a ver, entonces 00:16:25
si yo tengo un 3 multiplicando y un 3 dividiendo 00:16:27
yo sé que esto me queda 00:16:30
lo puedo simplificar y me queda x cuadrado menos 2 00:16:33
más 2, si yo tengo 00:16:36
un 2 restando y un sumando 00:16:39
se tacha y me queda la raíz de x cuadrado 00:16:42
Y si yo tengo una raíz y un cuadrado, pues fijaos que os queda X. Os recuerdo que es algo que, aunque un número tenga dos raíces positivas, una positiva y otra negativa, cuando aparece en una expresión así, se supone que estoy tomando la raíz por segundo. 00:16:46
Bueno, ahora, si quiero calcular g compuesto con f de x, voy a hacer g de f de x. 00:17:11
Como veis, la composición de funciones no es conmutación, aunque a veces sí puede ser. 00:17:28
f de x es la raíz de 3x. 00:17:34
Entonces, ¿qué es G? Coger X, elevarlo al cuadrado. En este caso, coger la raíz de 3X más 2, elevarlo al cuadrado y restarle 2 y dividir entre 3. 00:17:38
¿Qué es lo que ocurre? 00:17:59
Que una raíz en cuadrado se cancela 00:18:02
el 2 y el menos 2 se cancelan 00:18:04
y 3x partido por 3 es x 00:18:17
Bueno, pues esto que sepáis 00:18:23
que es lo que se llama la función inversa 00:18:27
¿Qué es lo que hace la función inversa? 00:18:30
Yo cojo x, calculo g de x 00:18:32
Y me sale otro valor. Y al hacer f de ese otro valor vuelvo a recuperar la x. Lo que hace la f lo deshace la g. Y lo que hace la g lo deshace la f. Se dice que la inversa de f es g y también que la inversa de g es n. 00:18:37
Aquí, como veis, el proyecto de la composición de funciones es conmutativa, que es una cosa que nos genera. 00:18:59
Este es el siguiente concepto que he introducido para que entendáis lo que es una función inversa. 00:19:13
Se dice que la función inversa de f es f elevado a menos uno cuando al componer las dos y aplicárselo a cualquier número se vuelve a un número inicial. 00:19:34
Vamos a ver cuál es el método para calcular inversas. Os voy a dar directamente el método. 00:19:45
Todo esto que estoy dando, el año pasado fue un ejercicio de examen de preguntar una forma a la otra. 00:19:54
Primero voy a hacer el ejercicio 27, que es el más sencillo, que es calcular la inversa de f es 7x más 5. 00:20:05
la función se llama f 00:20:17
pero sabéis que la f es el valor de la y 00:20:20
entonces, ¿cómo se calcula la y? 00:20:23
pues primero 00:20:28
se intercambia 00:20:29
cambia la x 00:20:34
por la y 00:20:38
y la y por la x 00:20:40
Entonces, si yo tengo en esta expresión 00:20:45
igual a 7x más 5 00:20:49
y cambio la x por la y 00:20:52
me queda que x es igual a 7y más 5 00:20:54
Y a la segunda parte 00:20:59
se despeja la y 00:21:02
¿Cómo se despeja la y? 00:21:04
Pues, como siempre 00:21:15
7y lo dejo aquí porque está positivo 00:21:17
aquí tengo la x 00:21:22
lo que está sumando pasa restando 00:21:24
y lo que está multiplicando 00:21:27
pasa a dividir 00:21:30
bueno, pues esta es la inversión 00:21:31
f-1 de x 00:21:36
es x-5 00:21:41
partido por c 00:21:44
y ya está 00:21:45
aparentemente es sencillo 00:21:46
pero practicando algunos 00:21:51
practicando los del examen pasado 00:21:52
de la 00:21:54
grabación pasada 00:21:57
porque esto 00:21:58
no es demasiado difícil 00:22:00
pero requiere 00:22:07
su tiempo para entenderlo. 00:22:09
A ver, ¿cómo comprobo yo esto? 00:22:11
Perdón, es f-1. Ahora, 00:22:13
si queréis comprobar que el resultado 00:22:27
está bien, pues sabéis que tenéis 00:22:29
que hacer f compuesto 00:22:31
con f-1 00:22:33
aplicado a x. Podéis 00:22:34
hacer f con f-1 o f-1 00:22:37
con f, como queráis. 00:22:39
Si ocurre una cosa, ocurre 00:22:41
la otra. Bueno, sabéis que f-1 de x es x-5 partido por 7. Y hacer f consiste en, esta 00:22:43
es la fórmula de f, 7 multiplicarlo por lo que hay dentro del paréntesis y sumarle 00:22:56
5, ¿no? Más 5. 00:23:08
Entonces, como hacíamos 00:23:11
antes, un 7 multiplicando y un 6 00:23:12
dividiendo, se van 00:23:14
un menos 5 y un más 00:23:16
5 se van 00:23:18
y total 00:23:19
me queda que esto es x. 00:23:22
Como probado. 00:23:25
¿Vale? 00:23:26
Bueno, el siguiente 00:23:28
es el que ya es más 00:23:30
parecido al que os puse en el examen 00:23:32
del año pasado, que es el ejercicio 00:23:34
30. Este 00:23:36
tipo de ejercicios a mí me gusta. 00:23:39
Normalmente, este 00:23:42
es demasiado evidente, pero 00:23:43
este sabemos 00:23:45
practicar la primera rotación. 00:23:47
A ver, si 00:23:51
tengo que y, 00:23:51
primer paso, tengo y igual a 00:23:53
4x menos 00:23:56
3 partido por 00:23:57
7x más 5. 00:23:59
Entonces estoy diciendo que 00:24:02
cambio la x por 00:24:03
x igual a 00:24:04
4y menos 3 partido por 7y más 5. 00:24:07
Entonces, primera cosa, quito denominadores. 00:24:14
Lo que está dividiendo pasa a multiplicar. 00:24:25
Ahora quito paréntesis. 00:24:35
x por 7y es 7xy. 00:24:41
x por 5 más 5x igual a 4y menos 3. 00:24:45
Y ahora ya, despejo. 00:24:52
Bueno, primero lo que se llama trasponer términos. 00:24:55
Trasponer términos consiste en todo lo que tenga ahí lo dejo en un miembro y todo lo que no tenga ahí lo dejo en el otro. 00:25:08
Saco factor común ahí. 00:25:23
Y por último, despejo. 00:25:25
lo que está multiplicando 00:25:39
pasar el vídeo 00:25:43
repasar estos pasos 00:25:44
hacerlo con los del examen 00:25:53
porque vamos 00:25:55
a mi me gusta poner algo 00:25:57
similar a lo que haya puesto en clase 00:25:58
ahora, ¿cuál sería la solución? 00:26:01
pues que la inversa 00:26:06
de la función que se llama g 00:26:07
o sea g-1 de x 00:26:09
menos 3 00:26:13
menos 5x 00:26:15
partido por 7x 00:26:16
menos 4. Esto 00:26:19
se me da igual 00:26:21
y esto no está 00:26:21
porque es 7x menos 4. 00:26:24
Bueno, pues hoy ya hemos 00:26:31
visto 00:26:32
valor absoluto, cómo se representa, 00:26:33
la expresión analítica, 00:26:36
lo que es la composición de funciones 00:26:38
y lo que es calcular 00:26:40
la inversa de una función, que es 00:26:42
la función que deshace lo que hace una 00:26:44
Bueno, nos queda, por último, la exponencial, el logaritmo y luego la parte de simetrías, pues ya os dije que la miréis, pero no la pregunto ni en primer instante. 00:26:46
Bueno, la función exponencial. Primero, ¿por qué se llama exponencial? 00:27:10
Porque la x está en el exponente. 00:27:45
Parece una tontería, pero, por ejemplo, si tengo x elevado a 3, no es exponencial. 00:27:50
se llama potencia 00:28:03
es potencia 00:28:09
y si tenéis varias potencias 00:28:11
sabéis que sale una función 00:28:13
entonces 00:28:14
la fórmula es siempre 00:28:15
un número elevado a x 00:28:23
aquí la x podría poner 00:28:24
x más 5, se podría complicar la cosa 00:28:27
pero las funciones que vamos a ver 00:28:29
son las básicas que tenéis 00:28:31
una base 00:28:33
que siempre es mayor que 0 00:28:34
y distinta de 1 00:28:36
y el exponente es la x 00:28:38
Bueno, la base es mayor que cero porque si cogéis una base negativa 00:28:42
y, por ejemplo, hacéis a elevado a un medio, os sale la raíz de a, que no es un número real. 00:28:47
Con números negativos la función exponencial sería una función que funciona muy mal. 00:28:54
Funciona para muchos números, pero para muchos otros no. 00:28:59
¿Y por qué a es distinto de 1? 00:29:03
Porque si a vale 1, 1 elevado a x siempre vale 1. 00:29:05
Lo cual queda una función que es constante. 00:29:11
¿Sí? 00:29:15
Bueno, ya os voy diciendo que el dominio de esta función son todos los números reales. 00:29:15
¿Sí? 00:29:23
Y antes de hacer todo esto, vamos a hacer esto. 00:29:24
La gráfica da igual a 2 elevado a x. 00:29:30
Entonces, por ejemplo, doy el 0, el 1, el 2, el menos 1 y el menos 12. 00:29:41
Bueno, sabéis que cualquier número elevado a cero 00:29:46
distinto de cero, vale 00:29:50
Sabéis que 2 elevado a 1 es 2 00:29:52
2 elevado a 2 es 4 00:29:57
Por si no lo recordáis 00:29:59
2 elevado a menos 1 es 1 medio 00:30:02
que es 0,5 00:30:05
y 2 elevado a menos 2 es 1 cuarto 00:30:06
que aproximadamente es de 0,25 00:30:11
Entonces, siempre que no tenéis una función, si queréis haceros una idea de cómo es, pues siempre podéis dar valores y a ver qué es lo que nos queda. 00:30:17
Entonces, si la x vale 0, la y vale. Si la x vale 1, la y vale 2. Si la x vale 2, la y vale. 00:30:36
aunque no esté, si la x vale 3 00:30:50
la y vale 8 00:30:57
como veis empieza a subir de forma que se llama 00:30:59
exponencial, o sea esto prácticamente 00:31:03
se pone vertical en muy poquito tiempo 00:31:06
y ahora, si la x vale menos 1 00:31:09
la y vale 0.5, si la x vale 00:31:15
menos 2, la y vale 0.25 00:31:19
y así sucesivamente 00:31:21
bueno, entonces nos queda una gráfica 00:31:25
que es de este tipo 00:31:31
y diríamos más o menos que tiene una forma de tobogán 00:31:32
no es una expresión técnica 00:31:39
para que quede claro 00:31:41
voy a hacer otra gráfica 00:31:50
como pone que A es mayor que 0 00:31:53
o sea positivo y distinto de 1 00:31:56
voy a tomar un número mayor que 1 00:31:59
que en este caso es el 2, y por ejemplo voy a tomar un número menor que 1, pues que será 0,5, 0,5 elevado a x. 00:32:02
Voy a hacer una tabla de valores. Voy a ver si me sale exactamente lo mismo. 00:32:15
Voy a coger el 0, el 1 y el 2, el menos 1 y el menos 2. 00:32:22
voy a tomar una tabla de valores 00:32:27
0,5 elevado a 0 00:32:30
pues cualquier número elevado a 0 00:32:32
sale 1, excepto el 0 00:32:34
0 elevado a 0 es una 00:32:36
interminación que aunque no lo veamos 00:32:37
pues que sepáis 00:32:40
que 0 elevado a 0 lo haces con la calculadora 00:32:46
y sale a error 00:32:48
si tomáis 0,5 elevado a 1 00:32:49
pues evidentemente es 0,5 00:32:52
si tomáis 0,5 elevado a 2 00:32:54
es 0,25. 00:32:57
Ahora esto, si queréis, bueno, así repasamos un poquito. 00:33:03
0,5 elevado a menos 1. 00:33:07
0,5 elevado a menos 1, sabéis que es 1,5 elevado a menos 1. 00:33:10
Y elevado a menos 1 consiste en dar la vuelta a la fracción. 00:33:15
O sea que esto es 2. 00:33:19
Y bueno, si hacéis lo mismo con 0,5 elevado a menos 2, os salvo 4. 00:33:23
Y sabéis que diréis, ¿qué cosa más extraña, no? 00:33:30
Tomo valores más grandes y me salen más pequeños, tomo valores negativos y me salen más grandes. Pues sí, pues sí, porque yo, sincero, si multiplico una cosa por un número menor que 1, que está entre 0 y 1, me va saliendo más pequeño. 00:33:32
0,5 por 0,5 es 0,25. Si lo multiplico otra vez por 0,5 sería 0,125, así sucesivamente. 00:33:48
Y si lo hago al revés, pues en vez de crecer, pues no crecerá. 00:33:59
Bueno, entonces tengo el punto 0, 1, el punto 1, 0, 5, el punto 2, 0, 25, el punto menos 1, 2 y el punto 2, 4. 00:34:02
¿Suelve un tema de simetría? 00:34:25
Estas dos gráficas son simétricas entre sí, pero no son simétricas en una simetría. 00:34:35
Entonces, como veis, la gráfica siempre es de tobogán. 00:34:49
Da igual que sea roja, que sea azul, que sea la base mayor que uno o menor que uno. 00:34:53
¿Sí? Como veis, esto es fundamental. La exponencial, esto, cuando vimos ecuaciones exponenciales, creo que os lo comenté, siempre es positiva. 00:34:59
cuando digo la función 00:35:16
cuando digo la exponencial 00:35:23
me refiero a la función exponencial 00:35:26
x puede tomar cualquier 00:35:28
valor, sea positivo o negativo 00:35:30
también son todos los números reales 00:35:32
pero f de x que es la y 00:35:34
siempre os sale 00:35:36
positivo 00:35:38
de tal forma que si tenéis 00:35:39
por ejemplo 00:35:42
2 elevado a x 00:35:42
es igual a menos 3 00:35:51
esto no 00:35:52
tiene solución 00:35:55
Esta es una de las principales aplicaciones de la función exponencial, cuando la estudiáis, que la función exponencial siempre es posible. 00:35:56
Ahora, aparte, esta función siempre pasa por este punto. 00:36:08
Siempre pasa por el punto 0, 1. 00:36:24
¿Por qué? 00:36:30
Porque a elevado a 0 siempre vale 1. 00:36:30
sea cual sea la función 00:36:33
y ahora el significado de A 00:36:36
si A es mayor que 1 00:36:39
entonces la función 00:36:42
de este tipo es creciente 00:36:44
y esto es un crecimiento exponencial 00:36:46
F es creciente 00:36:49
y si A 00:36:53
está entre 0 y 1 00:36:57
negativo 00:37:00
ya hemos visto que no podía ser 00:37:02
entonces la función es decreciente 00:37:03
cortes con los ejes pues ya hemos visto que si x es igual a cero y vale una elevada a cero que 00:37:07
es igual a uno con lo cual siempre hay un punto de corte que es aquel en el que la x vale cero 00:37:23
y la vida de uno y si pongo igual a cero cero es igual a elevado a x y esto no tiene solución 00:37:29
porque la función exponencial siempre es positiva. 00:37:38
Entonces, solo hay un punto de corte y siempre es el mismo. 00:37:50
Y luego, asíntota, este es el eje de las X, que sabéis que es la recta, igual a cero. 00:37:55
Pues siempre voy a tener como asíntota el eje de las X, que su ecuación Y es igual a cero. 00:38:08
Pero si la base es mayor que 1, es una asíntota horizontal por la izquierda. 00:38:17
Esto ya anticipando lo que va a ser el siguiente tema de límites. 00:38:36
Y si A está entre 0 y 1, es una asíntota horizontal por la derecha. 00:38:41
Por si alguien no sabe o no recuerda lo que es una asíntota, una asíntota es una recta a la cual la gráfica se aproxima todo lo que queramos sin llegar a tocarla nunca. 00:38:48
Aquí, cuando tengo 2 elevado a menos 5, pues es 0,00 algo. Es un número muy cercano a cero, pero nunca llega a ser a cero, con lo cual nunca se toca la asíntota. 00:39:04
Bueno, pues esto es lo que tengo que contaros de la función exponencial. 00:39:20
Conviene, en un otro día también vimos la proporcionalidad inversa, vimos las parábolas y eso, 00:39:39
conviene que os familiaricéis con cada tipo de función para que podáis pintarla prácticamente sin deciros nada. 00:39:46
Si por ejemplo os dicen y igual a 3 elevado a x, bueno, pues yo sé que como la base es mayor que 1, la función es así. 00:39:53
O sea, que sepáis intuitivamente que me ponen igual a un tercio elevado a x. Pues yo sé que como la base es menor que 1, la función va a ser igual. Esto lo podéis hacer de forma intuitiva, que sepáis cómo va a ser una gráfica de una función. 00:40:07
Si tenéis una parábola igual a x cuadrado menos 3x más 4, pues sabéis que la función va a ser así. 00:40:31
Aunque aquí deberíais calcular los cortes con los ejes y el vértice. 00:40:44
Que os dan esta función igual a menos x cuadrado más 25. 00:40:56
Entonces es una parábola que va boca abajo. 00:41:08
Y luego habréis que calcular los cortes con los ejes y el vértice. 00:41:12
Pero conocer las familias de funciones os permite ya saber cómo más o menos ver la función. Yo sé que esta función va a tener un mínimo y que no tiene un máximo, cosa que ya veréis que es importante. 00:41:15
Bueno, por último, por hoy, la función logarítmica. Así, además, repasamos los logaritmos y os recuerdo un poco que la función logaritmo es la función inversa de la función exponencial. 00:41:32
vamos a verlo 00:42:02
si hasta la llamo f 00:42:30
y hasta la llamo g 00:42:33
f compuesto 00:42:36
a ver mejor es poner g 00:42:40
f compuesto 00:42:42
con g 00:42:47
de x 00:42:48
es igual a f 00:42:50
de g de x 00:42:53
¿no? 00:42:55
g de x es a elevado a x 00:42:59
y f es el logaritmo 00:43:01
en base a 00:43:08
de a elevado a x 00:43:09
y esto si os acordáis 00:43:11
el logaritmo 00:43:14
es el exponente 00:43:16
al que hay que elevar a 00:43:18
al que hay que elevar a 00:43:20
para que me dé esto 00:43:23
pues esto obviamente es x 00:43:24
¿no? 00:43:26
si no lo veis bien 00:43:27
repasad los ejercicios de logaritmos 00:43:29
porque esto es lo que está mostrando 00:43:32
Entonces, yo tengo la función, por ejemplo, quiero dibujar la función igual a logaritmo en base 2 de x. 00:43:34
Yo sé que si tengo la función igual a 2 elevado a x, pues su tabla de valores la calculo. 00:43:47
0, 1, 2, menos 1, menos 2. 00:44:04
Si la x es igual a cero, la y vale uno, esto era dos, esto era cuatro, esto cero cinco, un medio y esto cero veinticinco. 00:44:06
Bueno, pues como la función inversa consiste en cambiar la x por la y, 00:44:16
La gráfica, la tabla de la función logaritmo va a ser la siguiente, 1, 2, 4, 0, 5, 0, 25 y aquí la x es 0, 1, 2, menos 1 y menos 2. 00:44:29
Entonces, para dibujar la gráfica de la tensión de ritmo, cojo el 1, 0, el 2, 1. 00:44:56
Bueno, si queréis seguir, tendríamos el 4, ah, no, que lo tengo aquí, el 4, 2. 00:45:12
Como veis, empieza a doblarse muy prontito y luego el 0, 5, menos 1 estaría por aquí. 00:45:18
0,5 menos 1, el 0,25 menos 2 00:45:28
y como veis os queda una función que es así. 00:45:34
Esta es la función y igual a la gráfica de la función 00:45:40
igual a la gráfica de la función de x. 00:45:45
Voy a dibujar la exponencial a su lado 00:45:48
para que veáis que, bueno, esta la he hecho antes, ¿no? 00:45:52
Era por aquí, por aquí, creciendo cada vez muchísimo. 00:45:56
Esta, esto, esto nunca va a parar de crecer, no va a tener límite, pero va a crecer despacísimo. 00:46:02
Un crecimiento logarítmico es un crecimiento movimiento. 00:46:10
Pero si os fijáis aquí hay una simetría con respecto de esta recta, que es y igual a x, 00:46:13
porque estoy cambiando la x por la y. 00:46:20
esta es la función 00:46:22
igual a 2 elevado a x 00:46:27
¿sí? 00:46:30
y bueno 00:46:32
entonces, esta función 00:46:33
la función logaritmo 00:46:36
bueno, voy a ponerla aquí 00:46:40
el dominio 00:46:46
su dominio 00:46:48
su dominio 00:46:49
son los números positivos 00:46:59
el intervalo 0, 25 00:47:04
nunca va a llegar aquí 00:47:06
siempre pasa por el punto 00:47:08
0, 1 00:47:11
perdón, 1, 0 00:47:13
porque el logaritmo de 1 00:47:14
siempre es 0 en cualquier base 00:47:16
tiene como asíntota vertical 00:47:22
por la izquierda 00:47:28
por la derecha, perdón 00:47:35
el eje 00:47:37
que os recuerdo que la ecuación del eje OI 00:47:42
es X igual a 0 00:47:45
si yo me acerco por la derecha 00:47:47
al 0 00:47:49
la función va cayendo 00:47:50
hasta el infinito. 00:47:54
La función está vertical 00:47:55
por la derecha 00:47:57
de aquí. Bueno, esta 00:48:00
función ya la hemos dibujado 00:48:21
y esta 00:48:23
está la propuesta pero la voy a hacer. 00:48:24
Tengo que hacer 00:48:29
la función inversa de esta función de aquí. 00:48:33
Un medio o 0.5 le va a dar x. 00:48:35
Lo parimos en base a x de 0.4. 00:48:45
Entonces, yo 00:48:48
recuerdo que para hacer la función exponencial, si hago la función exponencial igual a 0,5 00:48:49
elevado a x, la tabla de valores que me salía era 0,1, 1, 0,5, 2, 0,25, menos 1, 2, esta 00:48:57
la tengo ya de antes. Si hago la tabla, pues me sale 0, 1, que sería aquí, 1, 2, 4, y luego menos 1, perdón, aquí es 0, 1, 1, 0, 5, 2, 0, 25. 00:49:14
¿Os acordáis que daba así? 00:49:57
Menos 1, 2 y menos 2, 4. 00:50:00
Esta es la que yo sabía porque la base era menor que 1. 00:50:05
Esta es la función igual a 0,5 elevado a x. 00:50:09
Y ahora, si cambio la x por la y, me queda el 1, 0, el 0, 5, 1, el 0, 25, 2, el 2, menos 1 00:50:13
y el 4 menos 2 00:50:28
aquí me quedaría el 00:50:31
punto 1, 0 00:50:33
el 0, 5, 1 00:50:35
que sería el 0, 5, 1 por aquí 00:50:38
el 0, 25, 2 00:50:43
si os fijáis queda así 00:50:46
y ahora el 2 menos 1 00:50:48
y el 4 menos 2 00:50:53
esta es la gráfica de la función 00:50:55
igual a logaritmo 00:51:02
en base 0.5 de x 00:51:04
bueno, para finalizar 00:51:06
el otro día me dio un poquito más de tiempo 00:51:10
creo, porque lo hice 00:51:12
esto, lo hice 00:51:19
más rápido 00:51:20
para finalizar 00:51:22
os diría que os metáis en el aula 00:51:25
virtual, que veáis 00:51:27
los ejercicios ya que podéis ir 00:51:29
haciendo, no me va a dar tiempo a entrar 00:51:31
y además si tardamos en entrar 00:51:33
a la aula virtual 00:51:35
que vayáis viendo los ejercicios 00:51:36
que podéis ir haciendo ya de examen 00:51:41
para la tercera evaluación 00:51:43
y que repaséis todos los conceptos 00:51:44
hemos trabajado 00:51:47
en ecuaciones exponenciales 00:51:48
hemos trabajado en ecuaciones 00:51:50
repasando los conceptos 00:51:52
de la primera evaluación 00:51:55
para que 00:51:56
os salga bien en la tercera 00:51:58
y obviamente 00:52:01
para que podáis repasar 00:52:02
la primera evaluación 00:52:04
quien es 00:52:08
pues nada 00:52:08
pues un gusto 00:52:12
que estéis ahí, muchas gracias por 00:52:13
vuestra asistencia 00:52:15
y nada, nos vemos el lunes 00:52:16
de la semana que viene 00:52:19
el lunes por cierto es el próximo día que tengo 00:52:20
tutoría individual para revisión de exámenes 00:52:23
que todavía no se puede 00:52:26
contestar 00:52:27
hasta pronto 00:52:28
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Autor/es:
Javier M.
Subido por:
Francisco J. M.
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Fecha:
21 de febrero de 2024 - 12:00
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IES LOPE DE VEGA
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