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Corrección del Examen de Análisis I - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Corrección del Examen de Análisis I

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Vamos a corregir todos los problemas del examen y además un par de problemas 00:00:00
que hizo un compañero vuestro 00:00:03
que no pudo realizar el examen el mismo día que vosotros. 00:00:05
Bien, empezamos con la derivada de la función. 00:00:10
Es de la forma f partido por g, por lo tanto f' de x 00:00:13
será de la forma f' por g menos f por g' entre g². 00:00:17
Pues nada, lo ponemos. 00:00:24
Primero podemos empezar por g² que es más fácil. 00:00:28
pondríamos logaritmo de x al cubo más 2 00:00:30
todo y al cuadrado 00:00:36
ponemos f' que sería menos seno de 00:00:37
elevado a 2x más 1 00:00:41
por la derivada de lo de dentro 00:00:43
que es elevado a 2x más 1 00:00:45
por 2 menos 00:00:48
perdón, por g 00:00:51
que sería logaritmo de periano de 00:00:54
x al cubo más 2 00:00:58
Ahora menos la f, que es el numerador, coseno de elevado a 2x más 1, por la derivada del denominador, la derivada de g, que como es de la forma logaritmo periano de f, su derivada es f' partido por f, que sería f' 3x cuadrado entre f x al cubo más 2. 00:01:00
y esa sería la derivada 00:01:28
no se puede simplificar mucho más 00:01:31
si acaso se pueden cambiar los productos de orden y ya está 00:01:33
de hecho en el enunciado del problema se decía que no hace falta simplificar 00:01:36
se puede poner así por ejemplo 00:01:40
pero bueno, no es necesario 00:01:42
2 elevado a 2x más 1 00:01:45
seno de 2x más 1, bueno con el menos 00:01:49
por logaritmo de periano de x al cubo más 2 00:01:54
menos 3x al cuadrado entre x al cubo más 2 00:01:58
coseno de elevada a 2x más 1 00:02:03
entre logaritmo de x al cubo más 2 al cuadrado 00:02:07
El segundo problema es de límites 00:02:13
Había dos en el examen pero vamos a corregir tres 00:02:15
porque había un tercer límite que hizo un compañero vuestro 00:02:17
en su examen que es interesante 00:02:20
Bien, lo primero que hacemos es ver qué tipo de indeterminación es 00:02:22
Tenemos que el límite, esto es una función de la forma f elevado a g, vamos a ver el límite cuando x tiende a infinito de f, tomando funciones equivalentes, es el límite cuando x tiende a infinito de x partido por x, que es 1. 00:02:27
Por otra parte, el límite cuando x tiende a infinito de x cuadrado menos 5 partido por x más 1, es el límite cuando x tiende a infinito, tomando funciones equivalentes, de x cuadrado partido por x, que es infinito. 00:02:45
Por lo tanto es 1 en terminación de la forma 1 elevado a infinito 00:02:59
De forma que el límite va a ser e elevado a el límite cuando x tiende a infinito 00:03:04
Y aquí la fórmula era f menos 1 por g 00:03:15
Pues lo ponemos de x más 3 entre x más 5 menos 1 por x cuadrado menos 5 partido por x más 1 00:03:21
Y podemos calcular aquí debajo este límite. 00:03:32
Vamos a ponerlo aquí, el límite cuando x tiende a infinito de x más 3 partido por x más 5 menos 1 por x cuadrado menos 5 partido por x más 1. 00:03:36
Lo primero que podemos hacer es calcular este valor. 00:03:49
Bueno, vamos a hacerlo. x más 3 entre x más 5 menos 1, esto es igual a x más 3 menos x menos 5 entre x más 5, y eso es menos 2 entre x más 5. 00:03:52
Por lo tanto, este límite es el límite cuando x tiende a infinito de menos 2 entre x más 5 por x cuadrado menos 5 entre x más 1. 00:04:12
Tomando funciones equivalentes, se puede poner, por ejemplo aquí, funciones equivalentes. 00:04:24
Eso es el límite cuando x tiende a infinito, b. 00:04:34
Bueno, antes de nada, ¿por qué tomamos funciones equivalentes? 00:04:38
Porque sólo tenemos productos. Es decir, estamos viendo esto, por esto, por esto y por esto. 00:04:40
Entonces, las funciones equivalentes se pueden sustituir sólo cuando están multiplicando o dividiendo, y nada más que en esas circunstancias. 00:04:47
Pues tendríamos menos 2 por x cuadrado entre x por x. 00:04:54
Y ese es el límite cuando x tiende a infinito de menos 2x cuadrado entre x cuadrado, que es menos 2. 00:05:00
Por lo tanto, esto es elevado a menos 2. 00:05:08
Y ya está. 00:05:11
Bueno, hay gente que directamente ha hecho este producto, ha multiplicado esto, que era menos 2x cuadrado más 10. 00:05:13
Ha multiplicado esto, que era x cuadrado más 6x más 5, y ha calculado el límite cuando x tiende a infinito de menos 2x cuadrado más 10, perdón, entre x cuadrado más 6x más 5, y obviamente eso es menos 2. 00:05:22
Bueno, pues obviamente este paso también está bien 00:05:43
Bien, tenemos aquí un límite 00:05:46
Esto, si lo calculamos, tendríamos menos infinito a la 5 00:05:53
Por elevado a menos infinito, que es menos infinito por 0 00:05:58
Y eso es una indeterminación 00:06:02
Por lo tanto, hay que utilizar algún método alternativo 00:06:04
Por ejemplo, repitarlo 00:06:11
O ordenarse al infinito 00:06:12
En este caso haciendo un cambio de variable porque tenemos un menos infinito y no un más infinito 00:06:14
Bien, pues nada, lo hacemos 00:06:18
lo primero que hacemos es 00:06:20
por ejemplo con l'Hôpital 00:06:24
es pasar una función abajo 00:06:25
quiero decir 00:06:28
l'Hôpital es para 00:06:29
la función 0 partido por 0 o infinito 00:06:37
partido por infinito, con lo cual 00:06:39
aquí no tenemos ninguna de las dos 00:06:40
habría que tener o bien 00:06:42
x a la 5 por elevado a 00:06:45
menos x 00:06:47
que esto va a 00:06:49
funcionar, el otro cambio posible 00:06:51
sería el elevado a x 00:06:53
entre 1 partido por x a la 5, pero esto no va a funcionar porque si hacemos derivadas 00:06:55
tendríamos elevado a x entre, hasta la primera derivada 00:06:59
menos 5 por x a la 6 y esto se complicaría 00:07:02
sucesivamente, esto no va a valer, con lo cual vamos a tener que hacer esto 00:07:07
si hacemos lo vital, entonces sería el límite 00:07:11
voy a hacerlo en dos pasos para que no haya dudas, x a la 5 00:07:14
entre 1 partido por elevado a x y esto es el límite 00:07:19
cuando x tiende a menos infinito de x a la 5 entre el elevado a menos x 00:07:22
y ahora ya podemos aplicar la regla del hospital 00:07:28
ahora tenemos arriba menos infinito y abajo 00:07:32
el elevado a menos menos infinito que es menos infinito entre infinito 00:07:37
se puede aplicar el hospital 00:07:43
es el límite cuando x tiende a menos infinito de 5x cuadro derivada y aquí menos elevado a menos x 00:07:44
estamos otra vez en lo mismo 00:07:51
aplicamos otra vez la pital 00:07:54
tenemos el límite cuando x tiende a menos infinito 00:07:56
de 20x al cubo entre e elevado a menos x 00:08:01
fijaos que aquí aparece un menos 00:08:06
aquí es aparecido porque es el menos del exponente 00:08:08
que vuelve a aparecer 00:08:11
hacemos otra vez la pital 00:08:13
límite cuando x tiende a menos infinito 00:08:15
de 60e x cuadrado entre menos elevado a menos x. Hacemos otra vez lo vital. Límite cuando 00:08:19
x tiende a menos infinito de 120x entre elevado a menos x igual a límite cuando x tiende 00:08:31
a menos infinito de 120 entre menos elevado a menos x. Y aquí ya arriba tenemos un número 00:08:40
y abajo tendríamos menos elevado a menos menos infinito y esto es infinito 120 entre infinito 00:08:48
que es 0. Por lo tanto, bueno, perdón, menos infinito que es 0. El límite es 0. Eso con 00:09:03
el pital. ¿Cuál es el segundo método? Pues el segundo método tendría un límite cuando 00:09:12
x tiende a menos infinito 00:09:17
de x a la 5 elevado a x 00:09:18
el segundo es que hay que hacer un cambio de variable 00:09:21
t igual 00:09:23
a menos x 00:09:25
por lo tanto x es menos t 00:09:27
esto no es para ponerlo, esto es lo que entiende 00:09:29
y si t 00:09:31
si x 00:09:33
tiende a menos infinito 00:09:36
pues t tiende a infinito 00:09:39
entonces sería el límite 00:09:42
cuando t tiende a 00:09:43
infinito 00:09:46
de menos t, porque x es menos t 00:09:47
elevado a 5 por elevado a menos x 00:09:50
podemos pasar el menos x abajo, esto es el límite 00:09:58
cuando t tiene infinito, de menos t a 5 y elevado a menos x 00:10:04
es 1 partido por elevado a t 00:10:09
me he fistado, esto es 1t, entonces este límite sería 00:10:12
este límite, y ahora ya si que teníamos 00:10:22
podemos aplicar órdenes 00:10:36
porque en infinito sabemos que t a la 5 00:10:38
es mucho más pequeño que elevado a t 00:10:40
y por lo tanto este límite es t 00:10:42
ya hemos terminado 00:10:44
me han preguntado 00:10:46
vale, observación 00:10:47
si se puede hacer una cosa similar 00:10:50
en menos infinito 00:10:54
y la respuesta es que sí 00:10:57
pero es desaconsejable porque se aprenden muchas reglas 00:10:59
la regla del cambio de variable 00:11:01
se puede aplicar en muchos contextos 00:11:03
de hecho en la evau hay un ejercicio 00:11:06
aunque para otra cosa diferente de cambio de variable 00:11:08
bueno pues 00:11:10
pongo aquí para que no lo hagan 00:11:12
la gente 00:11:16
desaconsejable 00:11:17
sería pues ver 00:11:20
porque habría que venderse más cosas 00:11:23
que ocurre menos infinito 00:11:25
con los 00:11:28
con el orden de las funciones 00:11:28
bueno pues eso podría ser el límite 00:11:33
cuando x tiende a menos infinito 00:11:34
pero 00:11:36
como teníamos este producto 00:11:37
tendría que haber una división de cosas 00:11:40
entonces podemos poner de elevado a x 00:11:42
entre 1 partido por x a la 5 00:11:44
y es verdad que 00:11:47
en menos infinito teníamos que 00:11:50
elevado a x es mucho más pequeño 00:11:52
ocurre al revés, fijaos que en infinito 00:11:54
tenemos esto mayor que tal, pues aquí tenemos que 00:11:56
esto es mucho más pequeño que 1 partido por x a la 5 00:11:58
y puesto que esto es mucho más pequeño 00:12:01
el límite es 0 00:12:03
también vale 00:12:04
pero hay que estudiarse 00:12:06
y ver como son en menos infinito 00:12:08
pues es las funciones 00:12:10
y tenemos pues que 00:12:12
habría que pensar pues que 00:12:14
todos los polinomios de 00:12:16
x elevado a 00:12:17
alfa o a 00:12:20
con a 00:12:22
con a negativo 00:12:23
pues todos tienden a cero 00:12:26
en menos infinito y que la 00:12:28
es pequeña que todos ellos, habría que ponerse muchas más 00:12:30
fórmulas diferentes 00:12:32
para ese tipo de 00:12:34
de límites, es mejor 00:12:36
tenerlas todas en más infinito 00:12:38
y hacer un cambio variable 00:12:40
yo lo desaconsejo 00:12:43
pero ya que me han preguntado lo pongo 00:12:44
por último un límite 00:12:47
de la forma infinito menos infinito 00:12:54
porque eso tiene infinito y esto infinito 00:12:59
en este caso lo más razonable es multiplicar por el conjugado 00:13:01
esto es el límite 00:13:08
cuando x tiende a infinito de raíz de x al cuadrado más 3x menos x por raíz cuadrada de x al cuadrado más 3x más x entre raíz cuadrada de x al cuadrado más 3x más x. 00:13:10
Y eso es el límite cuando x tiende a infinito. De arriba ponemos x cuadrado más 3x menos x al cuadrado. Y abajo podemos sustituirlo por x cuadrado raíz cuadrada más x, ya que esto es equivalente a x cuadrado y tenemos una suma de modo que nos hace 0. 00:13:30
Y esto es el límite cuando x tiende a infinito, bueno, esto y esto se va, de 3x entre x más x, que es el límite cuando x tiende a infinito, de 3x entre 2x, que es 3 medios. 00:13:58
Y ya hemos terminado. 00:14:18
El siguiente problema es fácil. Nos piden calcular la recta tangente a esta función paralela a esta recta. 00:14:20
Para ello hay que calcular en qué punto de esta función su pendiente es la misma que la de esta recta. 00:14:27
Lo primero que hacemos es calcular la pendiente de recta. 00:14:36
Para ello despejamos la Y. 00:14:39
Tenemos 4X menos 2Y es igual a 3, por lo tanto 4X menos 3 es igual a 2Y. 00:14:41
Y tenemos que Y es igual a 4X menos 3 partido por 2, que es 2X menos 3 medios. 00:14:49
De modo que la pendiente de dicha recta que queremos representar con la letra m sería 2. 00:14:56
Ahora calculemos la pendiente en todos los puntos de la función, por lo que en lo mismo calculemos la derivada. 00:15:03
f de x es x cuadrado menos 3x más 1. 00:15:11
Su pendiente en cada punto es f' de x, que es 2x menos 3. 00:15:15
Y esto, pues, pedimos encontrar cuál es el punto en que vale 2 00:15:20
Y esto ocurre si sólo si, pues, 2x es igual a 2 más 3 que es 5 00:15:26
Es decir, si x es igual a 5 medios 00:15:34
De modo que ahí tenemos el punto 00:15:39
Y ahora, pues para que pueda haber esta pendiente, nos hace falta calcular por una parte f de 5 medios y f' de 5 medios. 00:15:41
f' de 5 medios ya lo sabemos, es 2, porque esto ocurre si solo así ocurre esto. 00:15:55
En cuanto a f de 5 medios, sustituir sería 5 medios al cuadrado menos 3 veces 5 medios más 1, 00:16:01
Esto es 25 cuartos menos 15 medios más 1, esto es 25 menos 30 más 4 partido por 4 y esto es menos 1 cuarto. 00:16:13
Y ya es aplicada la fórmula. La recta tangente en un punto x0 de f de x es igual a f de x0 más f' de x0 por x menos x0. 00:16:29
Y la recta tangente en x igual a 5 medios de f de x sería y igual a f de x0, f de 5 medios, que es menos 1 cuarto más n' que es 2, por x menos 5 medios. 00:16:51
Esto es igual a menos 1 cuarto más 2x menos 5, esto es igual a 2x. 00:17:15
Ahora calculamos menos 5 menos 1 cuarto, lo hacemos aparte, esto es menos 20 menos 1 partido por 4 que es menos 21 cuartos. 00:17:22
Por lo tanto la solución es igual a 2x menos 21 cuartos. 00:17:39
El siguiente problema no es del examen, pero sí del examen que realizó el compañero aquel día, por eso lo tenemos con 3 prima. 00:17:50
Nos piden calcular la recta tangente de mínima pendiente de esta función 00:17:55
Para ello, en primer lugar, tenemos que calcular la pendiente en cada punto, que es la derivada 00:18:02
Y después, por todos estos puntos, hay que calcular el que tenga pendiente mínima 00:18:08
Para ello hay que hacer la derivada de la derivada, que es la derivada segunda 00:18:22
Que es 6x menos 6 00:18:27
Igualamos a 0 para encontrar los mínimos 00:18:30
Esto ocurre si solo si 6x es igual a 6, si solo si x es igual a 1. 00:18:33
Falta comprobar que es un mínimo. 00:18:40
Lo podemos hacer de dos formas. 00:18:42
La más sencilla es calcular directamente f'' de x, que es 6, porque esto es f' de x derivada segunda, 00:18:44
que como es mayor que cero, tendríamos que 1 es un mínimo de f' de x. 00:18:59
Bueno, esto no es fácil de escribirlo, lo escribo yo para explicar. 00:19:08
Eso es lo más sencillo. También se podría hacer, pues, viendo los signos de derivada segunda. 00:19:13
Haciendo la tabla, de menos infinito a 1, el 1, y de 1 a infinito, f'', y f'. 00:19:17
f'. Como esto es una recta, 00:19:33
esto es la recta 6x-6, que tiene esta forma, 00:19:37
aquí es positiva, aquí es negativa, 00:19:42
perdón, al revés. 00:19:43
Negativo, positivo, aquí es cero, 00:19:48
aquí es decreciente, 00:19:52
creciente, por lo tanto aquí es un mínimo. 00:19:54
También se puede calcular esto viendo un punto 00:20:01
de aquí, viendo el valor de la derivada. Si cogemos, por ejemplo, 00:20:03
El punto 0, pues aquí la derivada vale menos 6, negativa. 00:20:07
Si aquí cogemos el punto 2, pues tenemos 12 menos 6, que es 6, y es positiva, y ya está hecho. 00:20:12
Bueno, pues entonces ya tenemos que el 1 es un mínimo de f'. 00:20:28
Bueno, una vez que hemos hecho eso, ya es calcular la pendiente. 00:20:33
Recta tangente, cogemos un punto general de f de x en x0. 00:20:39
Y la recta tangente de f de x en x igual a 1. 00:20:48
Bueno, antes de nada hay que calcular el valor de f' de 1 y f' de 1. 00:20:57
f' de 1, perdón, me he fiscado, y de f de 1. 00:21:11
f' de 1 es 3 por 1 menos 6, que es menos 3. 00:21:16
f de 1 es 1 menos 3 más 4, que es 4 menos 5 menos 3, 2. 00:21:23
Y ya lo que tenemos es, pues, a ver, la recta general es y es igual a f de x0 más f' de x0 por x menos x0. 00:21:31
Y esto es y es igual a 1, que es f de 1, que es 2, más f' que sería menos 3 por x menos 1. 00:21:44
y esto es 2 menos 3x más 3 y esto es menos 3x más 5, con lo cual la solución sería igual a menos 3x más 5. 00:21:55
Por último, si alguien tiene dudas del significado de esto, pues a ver si cogemos la representación de esta función, 00:22:20
tiene esta forma. La derivada aquí va decreciendo hasta un punto que es mínima. Esa es la recta 00:22:26
que es en el punto 1 y esta es la recta pendiente que es igual a menos 3x más 5. Luego ya vuelve 00:22:36
a crecer la pendiente hasta el infinito, aquí venía de menos infinito, y la recta que hemos 00:22:44
calculado exista. Bien, en este problema tenemos que estudiar los intervalos de crecimiento y los 00:22:51
extremos relativos, es decir, máximos y mínimos relativos, en el intervalo de menos 5 infinito. 00:23:01
Aquí lo fundamental es saber que el menos 5 es un extremo y que habrá que tenerlo en cuenta. 00:23:08
Tenemos que calcular en cuenta, como extremos relativos, los bordes de los intervalos, los 00:23:15
puntos si la función es a trozos en que se junta, que aquí no es el caso, y los ceros 00:23:23
de la derivada. Pues nada, empezamos. Calculando los ceros de la derivada. Si f de x es x elevado 00:23:28
a x menos 3, f' de x sería 1 por elevado a x más x elevado a x, esto es, sacando el 00:23:36
factor común, x más 1 por elevado a x. Y eso es igual a 0 si y solo si x más 1 es 00:23:45
igual a cero, ya que esto siempre es distinto de cero. Y esto es igual a cero si solo x es igual a menos uno. 00:23:52
Por lo tanto, los puntos que vamos a estudiar serán el menos uno. Entonces, estudiamos como posibles extremos 00:24:03
relativos menos uno y menos cinco. Esto no hay que escribirlo en el examen, no hace falta, se sobreentiende. 00:24:15
lo escribo yo para que quede constancia de eso 00:24:23
porque el fallo más común ha sido no contar el menos 5 00:24:27
como extremo relativo 00:24:31
y por tanto tampoco absoluto 00:24:34
bueno, no era absoluto tampoco como solución 00:24:35
pero como candidato absoluto quería decir 00:24:39
bueno, pues hacemos la tabla 00:24:41
tenemos una tabla donde tengamos desde menos 5 00:24:43
de menos 5 hasta menos 1 00:24:46
el menos 1 00:24:50
y de menos 1 a infinito 00:24:52
cogemos los valores de f' y los de f 00:24:55
aquí vale 0, aquí no nos importa lo que valga 00:25:01
y ahora calculamos los valores 00:25:09
como esto es positivo 00:25:12
van a ser los valores de la recta x más 1 00:25:16
y la recta x más 1 tiene esta forma 00:25:19
va a ser aquí positivo y negativo 00:25:20
pero si no, cogemos un punto de aquí 00:25:22
por ejemplo el menos 2 00:25:25
Y calculamos, pues, f' de menos 2, que sería menos 0,135. 00:25:26
Como eso es negativo, pues, efectivamente son menos. 00:25:39
Podemos calcular un punto que está aquí, el más inferior de 0, y f de 0, perdón, f' de 0 es, pues, 1, que es positivo, con lo cual esto es positivo. 00:25:43
y ya está bueno pues ahora ponemos los datos de jefe esto es decreciente esto es creciente bueno 00:26:00
aquí tenemos que cero es un vídeo porque tiene esta forma con lo cual es un mínimo y aquí es 00:26:16
un máximo relativo porque a partir del solo de 13 estamos en un borde de función va a ser así 00:26:24
con lo cual es un máximo 00:26:28
y ahora nos queda poner la información 00:26:31
menos 5 es un máximo relativo 00:26:34
y menos 1 es un mínimo 00:26:40
bueno, 8 son el mínimo relativo 00:26:45
luego que hay el único máximo relativo 00:26:47
y luego 00:26:48
f es decreciente 00:26:51
en menos 5 menos 1 00:26:55
y es creciente en menos 1 infinito 00:26:59
y ya estaría estudiado el crecimiento y los extremos relativos 00:27:06
veamos ahora los máximos y mínimos absolutos 00:27:10
para hacer esto lo único que hay que hacer es comparar 00:27:13
esas funciones con el resto de extremos que hay 00:27:17
que solo nos quedaría el infinito 00:27:22
a ver, tenemos, bueno 00:27:24
a ver, tenemos espectacular 00:27:27
f de menos 1, f de menos 5 00:27:30
y el límite cuando x tiende a infinito de f de x 00:27:35
f de menos 1 lo calculamos 00:27:40
y sería menos 3,368 00:27:44
f de menos 5 lo calculamos 00:27:50
bueno, aquí he redondeado hacia arriba 00:27:52
porque lo que tenía la calculadora es menos 3,3678 00:27:54
como esto es mayor que 5, lo he redondeado a 8 00:27:59
f de menos 5 es 00:28:02
menos 3, 0, 3, 3, 7 00:28:04
que también he redondeado hacia arriba 00:28:08
a ver, menos 1 era 00:28:10
y el límite cuando tiende a infinito 00:28:12
pues es el límite cuando x tiende a 00:28:14
infinito de elevado a x 00:28:16
menos 3 00:28:18
esto es infinito por elevado a infinito 00:28:19
que es infinito menos 3 00:28:22
infinito menos 3 que es infinito 00:28:23
entonces, pues nada 00:28:26
Como hay un límite que es el más infinito, no hay máximos absolutos. 00:28:30
Si esto fuera menos infinito, lo que ocurriría es que no habría mínimos absolutos. 00:28:41
Y ahora, como ya hemos quitado este borde, se va a más infinito, con lo cual lo que hace es que este no es máximo absoluto. 00:28:45
Pero el menos uno no compite con nadie. 00:28:53
Entonces, menos uno es el mínimo absoluto. 00:28:56
el mínimo absoluto y ya habíamos terminado al final si cogéis lo aunque bueno que hemos 00:29:07
utilizado que cogemos la función y la representamos de acuerdo pues vale en menos 5 sería un máximo 00:29:21
relativo en menos unos en un mínimo relativo y luego pues el infinito sería así de acuerdo 00:29:29
entonces 00:29:35
pero si calculáis los valores aquí 00:29:38
de todos los extremos 00:29:42
y los límites cuando tenemos extremos abiertos 00:29:43
el valor más pequeño de todos 00:29:47
va a ser siempre 00:29:50
el mínimo absoluto 00:29:51
y el valor más grande de todos 00:29:56
si existe 00:29:58
va a ser el mínimo absoluto 00:30:00
o el ínfimo o el supremo 00:30:03
quiero decir que 00:30:05
Si se alcanza en alguno de los puntos, que es lo que quería decir, va a ser el mínimo absoluto. 00:30:05
Y si no se alcanza en ningún punto, pues es que no va a haber extremo absoluto. 00:30:11
Repito, cuando me coja esos valores, el más pequeño de todos, si se alcanza en un punto, va a ser el mínimo absoluto. 00:30:17
Siempre y cuando no haya menos infinitos, etc. 00:30:25
Y el más grande de todos, siempre y cuando no haya más infinitos, va a ser el máximo absoluto. 00:30:27
Ello es debido al teorema de Bayes, que decía que cuando la función está definida en un intervalo cerrado, habría siempre un máximo y un mínimo absoluto. 00:30:33
Lo que pasa es que, aunque aquí no hay intervalos cerrados porque eso es más infinito, pero hablamos de casos en que los valores que se alcanzan en estos sitios. 00:30:45
Entonces, bordando en esos sitios sí que habría máximos y mínimos absolutos. 00:31:00
Antes de nada, podemos aprovechar todo lo que hemos hecho antes, en particular el cálculo de antes tenemos los siguientes cálculos, pues que f' de x es igual a 1 por e elevado a x más x por e elevado a x, que es x más 1 elevado a x, y esto era igual a 0, si solo si, x era menos 1, y tenemos calculado que el límite cuando x tiende a infinito de f de x es igual a infinito. 00:31:07
Esto lo tenemos de antes 00:31:33
Bueno, pues aunque lo tengamos de antes 00:31:35
Podemos citarlo y escribirlo 00:31:39
Pero hay que escribirlo porque son argumentos que utilizamos 00:31:41
Bueno, empezamos 00:31:43
Hay que demostrar que esto es un único punto x0 00:31:45
Donde f se anula 00:31:49
Bueno, pues empezamos demostrando que existe 00:31:50
Un punto donde se anula, el teorema de Bolzano 00:31:53
Y luego veremos que solo como mucho existe uno 00:31:55
Entonces primero hay que ver como poco existe uno 00:31:58
Y luego como mucho existe uno 00:32:00
A ver, empezamos 00:32:01
con Bolzano 00:32:03
f de 00:32:04
perdón, iba a poner x0 00:32:06
empezamos con el extremo de aquí 00:32:09
f de 0 sería 00:32:12
0 por elevado a 0 menos 3 00:32:13
que es menos 3 menor que 0 00:32:15
y ahora hay que coger 00:32:17
o bien el límite cuando x tiende a infinito 00:32:19
x elevado a x menos 3 00:32:22
que nos da infinito 00:32:26
lo hemos calculado otra vez 00:32:28
o decir directamente que era infinito, lo habíamos calculado antes 00:32:29
Pero bueno, infinito por infinito menos 3, que es infinito. 00:32:31
Entonces, por estas cosas, escribimos directamente, por el teorema de Bolzano, existe C, por ejemplo, perteneciente a 0 infinito. 00:32:37
Bueno, aquí no incluimos el 0, obviamente, porque el 0 no vale 0, tal que F de C vale 0. 00:32:56
ya está, es lo que se llama existencia 00:33:09
existe un punto por lo menos 00:33:11
pequeños cambios que se podrían hacer 00:33:14
bueno, pues en vez de hacer esto 00:33:16
podríamos haber hecho, coger un punto 00:33:18
grande, pues yo que sé 00:33:20
por ejemplo 10 00:33:21
entonces podríamos haber hecho 00:33:23
a ver, otra opción 00:33:25
pues poníamos que f de 0 00:33:28
era menos 3 00:33:30
f de 10 00:33:32
que vale 00:33:34
220.000 00:33:36
261,658 00:33:41
obviamente eso es mayor que 0 00:33:48
entonces podríamos poner 00:33:50
por el teorema de Bolzano 00:33:52
existe c perteneciente a 0,10 00:33:57
tal que f de c es igual a 0 00:34:02
y si existe un punto entre 0 y 10 00:34:07
pues ese punto también está entre 0 e infinito 00:34:08
bueno, pues la existencia ya está 00:34:11
vamos a ver ahora la unicidad 00:34:13
a ver, teníamos que 00:34:14
f' de x 00:34:17
lo puedo volver a escribir, lo pongo directamente 00:34:19
es igual a 0 00:34:21
si y solo si 00:34:23
x es igual a menos 1 00:34:24
luego 00:34:27
f' de x 00:34:29
no se 00:34:31
anula 00:34:33
en 0 infinito 00:34:34
por lo tanto 00:34:38
por lo tanto 00:34:39
por el teorema 00:34:45
de Rolle 00:34:49
como mucho 00:34:51
existe 00:34:53
c perteneciente a 00:35:00
0 infinito 00:35:03
incluso puedo caer en cerrado 00:35:05
no pasa nada 00:35:08
tal que f de c 00:35:09
es igual a 0 00:35:12
y ya está 00:35:14
entonces si hay 1 00:35:16
y como mucho hay 1 quiere decir que hay 721 00:35:18
y ya hemos terminado 00:35:20
este problema no estaba en el examen 00:35:21
es calcular las sinotas de esta función 00:35:26
sino en el del compañero 00:35:28
que lo hizo un día distinto 00:35:30
a ver, tenemos 00:35:32
que calcular en primer lugar 00:35:34
por ejemplo 00:35:36
las asintotas verticales 00:35:38
hay que buscar 00:35:42
los puntos en los que se anula 00:35:46
el denominador 00:35:48
bueno, si tuviéramos una tangente 00:35:49
pues también valdría la tangente 00:35:52
pero como no es el caso, solo hay que mirar eso 00:35:53
entonces tenemos que e elevado a x menos 1 es igual a 0 00:35:55
si y solo si, e elevado a x es igual a 1 00:36:00
y eso ocurre si y solo si x es igual a 0 00:36:03
se puede ver de dos formas 00:36:06
bien, tomando el logaritmo de 1 que es 0 00:36:07
también se puede hacer haciendo 00:36:13
a ver, e elevado a x es igual a 1 00:36:15
logaritmo de e elevado a x es igual a logaritmo de primero de 1 00:36:17
por lo tanto x es igual a 0, ya está 00:36:20
por último, también se puede hacer viendo directamente 00:36:34
que elevado a cero es uno, porque la función elevado a x tiene inversa y para cada número 00:36:39
solo hay un elevado a x positivo que valga eso, que es lo que quiere decir que la función 00:36:50
elevado a x es inyectiva, cosa que no hemos demostrado, que no hemos definido, pero bueno, 00:36:56
da igual. Viendo esto ya se ve automáticamente que x tiene que ser cero, porque solo hay 00:37:02
la solución. La ecuación elevado a x igual a a tiene siempre 00:37:07
como mucho una solución. Una si es positivo, cero si es 00:37:11
y ninguna si es negativo o cero. Bien, pues ya está. 00:37:16
Entonces pondríamos que f tiene 00:37:20
una asíntota 00:37:24
vertical que es 00:37:28
x igual a cero. Segundo, 00:37:32
Asíntotas horizontales y oblicuas 00:37:36
Y aquí hay que ver los límites en el infinito 00:37:44
Hombre, aquí es muy claro que el límite va a ser 00:37:46
Bueno, empezamos con el infinito 00:37:51
Límite cuando x tiende a infinito 00:37:53
Voy a hacerlo como si no tuviera ni idea 00:37:56
Evidentemente aquí parece que va a haber una asíntota oblicua 00:37:59
Porque hay una x, pero como si no tuvieramos ni idea 00:38:01
Límite de f de x, a ver cuánto es 00:38:03
Entonces, límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x entre elevado a x menos 1, esto es el límite cuando x tiende a infinito, tomando funciones equivalentes, x elevado a x entre elevado a x, que es el límite cuando x tiende a infinito de x, que es infinito. 00:38:07
por lo tanto ya en infinito no hay ninguna acentueta horizontal como mucho oblicua 00:38:23
vamos a ver las oblicuas 00:38:30
entonces tenemos m que es el límite cuando x tiende a infinito de f de x partido por m por x 00:38:31
que es el límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x 00:38:39
partido por x elevado a x menos 1 00:38:43
esto es el límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x entre x elevado a x menos x 00:38:49
esto es el límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x entre x elevado a x 00:38:56
por funciones equivalentes 00:39:02
porque esto es equivalente a x elevado a x 00:39:03
y esto es el límite cuando x, o porque es mucho más grande 00:39:09
porque x elevado a x es mucho más grande que x 00:39:14
y eso es ya directamente 1 00:39:20
ahora calculamos n que es el límite cuando x tiende a infinito de f de x menos m por x 00:39:24
que es el límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x entre elevado a x menos 1 menos x 00:39:39
que es el límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x menos x elevado a x más x 00:39:47
entre elevado a x menos 1 00:40:01
esto y esto se va 00:40:04
y eso es el límite 00:40:07
cuando x tiende a infinito 00:40:09
de x entre elevado a x menos 1 00:40:11
y ahora tenemos que esto es 00:40:14
bueno, sería infinito en definito 00:40:17
pero 00:40:19
bueno, podemos quitar 00:40:20
pero tenemos que elevado a x 00:40:22
es mucho más grande que x 00:40:25
por lo tanto 00:40:27
esto es 0 00:40:28
y ya está 00:40:29
Entonces tendríamos que f tiene una asíntota oblicua en infinito que es y igual a x. 00:40:31
Veamos ahora qué ocurre en menos infinito 00:40:53
A ver, límite cuando x tiende a menos infinito de f de x 00:40:57
A ver cuánto es, eso es el límite cuando x tiende a menos infinito de x elevado a e elevado a x entre elevado a x menos 1 00:41:03
¿Y aquí qué tenemos? 00:41:11
Pues tenemos, bueno, pues tendríamos aquí menos infinito por e elevado a menos infinito 00:41:18
Entonces eso hay que calcular la parte. Vamos a hacerlo abajo, o por ejemplo aquí a la derecha, por falta de espacio, a ver límite cuando x tiende a menos infinito de x elevado a x. 00:41:31
Hacemos un cambio de variable, por ejemplo, o hacemos el hospital. Vamos a dejar, por ejemplo, el hospital. Es el límite cuando x tiende a menos infinito de x entre elevado a menos x. 00:41:50
como vamos a tener 00:42:03
arriba tenemos infinito 00:42:05
y abajo tenemos elevado a menos menos infinito 00:42:08
que es 00:42:11
elevado a infinito y esto es infinito entre infinito 00:42:11
por lo tanto se puede aplicar lo pital 00:42:15
esto por lo pital 00:42:17
es el límite cuando x tiende a menos infinito 00:42:19
de 1 entre menos 00:42:23
elevado a menos infinito 00:42:25
esto es 1 entre 00:42:26
infinito que es 0 00:42:28
por lo tanto ya sustituyendo esto es 00:42:31
pero habría que calcular esto aparte 00:42:34
esto es 0 entre 00:42:38
elevado a menos infinito que es 0 00:42:42
menos 1 00:42:44
por lo tanto esto es 0 entre menos 1 que es 0 00:42:46
por lo tanto 00:42:50
f tiene una 00:42:52
asíntota horizontal 00:42:56
en menos infinito 00:42:59
que es 00:43:03
x, perdón 00:43:05
que es 00:43:06
y igual a 0 00:43:09
y ya tendríamos resuelto este problema 00:43:10
por último nos piden calcular 00:43:12
la continuidad de variabilidad de esta función 00:43:16
bueno, vamos a ver, en primer lugar 00:43:18
no hemos podido 00:43:20
nada de dominio 00:43:22
ni nada de eso, aunque bueno, es fácil de calcular 00:43:24
el único punto donde 00:43:26
hay el problema para que la función no se define aquí 00:43:28
sería donde eso es igual a 0 00:43:30
y esto ocurre pues si solo si 00:43:32
x más 1 es igual a 0, si solo si x es igual a menos 1 00:43:34
y aquí no está. Por otra parte, el otro problema sería el logaritmo 00:43:38
que no se define si es negativo, pero aquí tenemos 00:43:44
que eso está definido para x mayor que 0 y en particular pues el logaritmo 00:43:48
está definido en todos estos puntos. Bueno, borro esto 00:43:51
Pues nada, empezamos por ejemplo con 00:43:56
la función es continua en todos los puntos, salvo 00:44:01
los bordes que están aquí, entonces hay que estudiar 00:44:05
esos puntos, ¿no? Pues vamos a ver 00:44:09
a ver, en menos 1 vamos a calcular el límite 00:44:12
límite cuando x tiende a 00:44:16
menos 1 por la izquierda de seno de x cuadrado 00:44:20
menos 4x menos 5 entre x más 1 00:44:24
cogemos la calculadora y esto menos 1 vale 0, tendríamos 00:44:28
seno de 0 partido por 0 que es 0 partido por 0 00:44:32
Por lo tanto, hay una indeterminación 00:44:35
En este caso, claramente hay que utilizar l'Hôpital 00:44:39
Hacemos l'Hôpital 00:44:41
Y este es el límite cuando x tiende a menos 1 por la izquierda 00:44:43
Pues tenemos el coseno de x al cuadrado menos 4x menos 5 00:44:48
Por la derivada de adentro 00:44:55
Que es 2x menos 4 00:44:56
Entre la derivada de adentro 00:44:58
que es 1. Sustituimos y tendríamos el coseno de 0, que es esto, por menos 2 menos 4, coseno 00:45:03
de 0 es 1 por menos 6 entre 1, que esto es menos 6. Ahora, el límite cuando x tiende 00:45:17
a 1 por la derecha, bueno, podemos ver antes, pero bueno, límite cuando x tiende a 1 por 00:45:24
la derecha de f de x, perdón, de menos 1, de x cuadrado, esto es menos 1 al cuadrado, 00:45:35
que es 1. Como no son iguales, entonces f no es continua en menos 1 y por tanto tampoco 00:45:42
es derivable. Y con la derivada no hay que hacer nada más, no hay que calcular la derivada 00:46:00
las funciones, ver cuál es el límite, no, solamente 00:46:07
si no es continuo no es variable, ya está, miramos ahora que pasa 00:46:10
en el 1, luego con otro color para que quede un poco más claro 00:46:14
ahora, perdón, en 0, pues empezamos 00:46:21
a ver el límite cuando x tiende a 0 00:46:26
por la izquierda, df de x 00:46:29
es el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de x cuadrado 00:46:34
que es 0 al cuadrado que es 0 00:46:38
límite cuando x tiende a 0 por la derecha 00:46:40
tenemos de f de x es el límite 00:46:43
cuando x tiende a 0 por la derecha 00:46:46
de x logaritmo neperiano de x 00:46:49
además en este caso el logaritmo neperiano de x 00:46:51
solo está definido en 0 por la derecha 00:46:53
aviso, si no nos acordamos del valor de un límite 00:46:55
del logaritmo neperiano o lo que sea 00:47:00
la función logaritmo neperiano 00:47:03
es así 00:47:04
¿Vale? Y en 0 el límite es menos infinito. Si cogemos la calculadora no va a existir en 0, pero si queremos calcular su límite nos cogemos un número muy grande, por ejemplo, muy cerca de 0, muy cercano a 0, por ejemplo, 0,0001. 00:47:06
Cogemos la calculadora, calculamos dicho logaritmo neperiano y obtenemos que el logaritmo neperiano de 0,00001 vale menos 11,5129. 00:47:22
Pues bueno, eso quiere decir que el límite, ya la intuición nos recuerda que es menos infinito. 00:47:42
Algunos han puesto infinito, lo cual está mal, es menos infinito. 00:47:47
entonces directamente, si no nos acordamos 00:47:50
calculadora, igual que ocurre con las funciones trigonométricas 00:47:54
no me acuerdo el límite de lo que sea 00:47:57
pues lo calculas 00:47:59
el límite de la gran gente 00:47:59
tal, pues lo calculas 00:48:01
y ya está, entonces ya sabes 00:48:03
si hay un asíntota así, o lo que sea, etc 00:48:05
lo hacéis para vosotros 00:48:08
ya sabéis el valor 00:48:11
y luego en el examen sólo ponéis 00:48:12
ponéis aquí, si queréis 00:48:13
que esto es 0 por 00:48:16
menos infinito que es indeterminación 00:48:18
ya está 00:48:20
Bueno, como es una indeterminación, habrá que hacer algo, por ejemplo, el hospital. 00:48:23
Entonces, habrá que poner 1 en el denominador. 00:48:27
Lo más lógico es pasar el x, que es más sencillo de derivar, que el 1 partido por logaritmo de p1 de x. 00:48:32
Esto es logaritmo de p1 de x, y aquí ponemos 1 partido por x. 00:48:39
Y ahora aquí sí que tenemos, es por la derecha, arriba tenemos menos infinito y abajo infinito. 00:48:43
Se puede aplicar lo pital. Y este es el límite, cuando x tiende a 0 por la derecha, tendríamos 1 partido por x entre menos 1 partido por x al cuadrado. 00:48:48
Que si no nos acordamos, pues haremos, a ver, 1 partido por x es x a menos 1. Vamos a llamarle g. 00:49:02
Pues g' de x, ¿cuánto sería? Pues menos 1 por x a la menos 2, y esto es menos 1 partido por x al cuadrado. 00:49:11
Hacemos una esquina y ya está. Y esto es el límite cuando x tiende a 0 por la derecha, operamos esto, esto se opera con esto, esto con esto, menos x cuadrado partido por x, que es el límite cuando x tiende a 0 por la derecha, de menos x, que es 0. 00:49:19
Entonces coincide, tenemos que f es continua en 0 00:49:40
Para ver la derivabilidad derivamos 00:49:48
A ver, el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de f' de x 00:49:51
Es el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de esta función que es 2x es 2 por 0 que es 0 00:49:59
El límite cuando x tiende a 0 por la derecha de f' de x es igual al límite cuando x tiende a 0 por la derecha de, ahora daríamos esta función, x derivada de x es 1 por logaritmo de p' de x menos x por la derivada de logaritmo que es 1 partido por x y esto es el límite cuando x tiende a 0 por la derecha del logaritmo de p' de x menos 1. 00:50:09
y esto es menos infinito, menos 1 00:50:40
que es menos infinito 00:50:42
ya automáticamente no hay derivada 00:50:45
o sea, bastaría este valor 00:50:47
porque si no existe una derivada letal 00:50:48
en un punto, ya no hay en total 00:50:50
pero bueno, entonces tenemos 00:50:52
que f no es 00:50:55
derivable 00:50:57
0, como nos piden 00:51:06
la continuidad derivable de f 00:51:10
podemos poner 00:51:12
f es continua 00:51:13
en R menos el punto menos 1 00:51:15
y F es derivable en R 00:51:21
menos los puntos menos 1 y 0 00:51:27
y ya tendríamos todo completo 00:51:32
bueno, esto lo borramos, lo de arriba 00:51:34
y así quedaría el problema resuelto 00:51:37
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Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
5
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 11:49
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Corrección del Examen de Análisis I
Duración:
51′ 42″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
404.02 MBytes

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