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Teoremas 4 - Contenido educativo

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Subido el 15 de octubre de 2023 por Maria Isabel P.

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Bien, vamos a ver. En este caso me piden probar, luego no hay nada que ver si se cumple o no se cumple, 00:00:00
tenemos que comprobar que sí, que esta función alcanza este valor 4 en este intervalo. 00:00:09
Entonces, a ver, primero entender bien el enunciado. Esto es una función que depende de una variable que es x. 00:00:16
Su resultado, que sería esto, es un valor de la y. 00:00:23
Lo que me están pidiendo es que comprende que para algún valor de x dentro de este intervalo, porque estos son valores de x, el resultado de este cálculo va a ser 4, porque esto es un valor de la y. 00:00:26
Eso es lo que me están pidiendo. 00:00:41
Entonces, en estas condiciones, con una función, un intervalo de valores de x y un valor de la y concreto, esto es una aplicación directísima del teorema de Dargoum. 00:00:44
Se puede hacer con Bolzano, luego lo digo al final también, porque a fin de cuentas Darboux es una consecuencia del teorema de Bolzano. 00:00:54
Entonces vamos a ver, recordando lo que dice el teorema de Darboux, el teorema de Darboux, es que si tuve una función continua, una función f de x, continua en un intervalo cerrado, llamémosle a b. 00:01:02
Y de manera que f de a y f de b son diferentes, son valores distintos, ¿vale? Supongamos, por ejemplo, que f de a es más pequeño que f de b, ¿vale? 00:01:18
Entonces, lo que me dice el teorema de Darboux es que para cualquier valor, bueno, hay un simbolito en mates, hay un simbolito que es este, significa para todo. 00:01:37
Para todo vamos a llamarlo, por ejemplo, lambda. Este en el intervalo f de a, f de b, entre medias de esos valores de la y, para cualquier valor de estos, existe un valor g de los valores de x tal que nuestra función va a tomar ese valor. 00:01:55
A ver, lo explico otra vez. Quiere decir que, por ser continua, ¿vale? Si la función toma valores distintos, ¿eh? Entonces, con los x, sustituyendo los x de este intervalo, mi función va a tomar, va a tomar todos los valores que hay en este intervalo de valores de la y. 00:02:24
lo va a recorrer entero 00:02:46
eso es lo que viene a decir 00:02:49
entonces, gráficamente 00:02:53
vamos a ver si podemos poner alguna gráfica 00:02:57
y luego una función continua 00:02:59
donde sea, pongamos que me centro en este intervalo 00:03:02
desde a hasta b 00:03:06
bueno, pues en este caso el valor de la función en a es este 00:03:08
esto es f de a 00:03:12
y este valorcito de aquí es fdb 00:03:13
en este caso fdb es más pequeño 00:03:16
el intervalo en vez de ser escrito 00:03:18
estar escrito así sería fdb fda 00:03:19
porque tiene que ir de menos a más 00:03:23
bien, pues como la función es continua 00:03:25
lo que me está diciendo es que 00:03:27
para cualquier 00:03:29
a ver voy a coger 00:03:30
otro color 00:03:32
para cualquier valor de la i 00:03:34
que yo coja de este intervalo 00:03:38
pongamos este de aquí 00:03:40
por ser la función continua 00:03:42
en el intervalo AB 00:03:44
entonces yo voy a 00:03:46
poder encontrar un valor 00:03:48
justo está en este intervalo, este sería 00:03:50
mi C, donde la función vale esto 00:03:52
eso es lo que viene a decir 00:03:54
bien 00:03:57
vamos a resolver este caso 00:03:58
completo, entonces vamos a ver 00:04:00
si vamos comprobando las hipótesis 00:04:02
primera cosa que necesito, que la función sea continua 00:04:04
en el intervalo cerrado, muy bien 00:04:06
pues esta función 00:04:08
es una función continua 00:04:09
porque vale, es un cociente 00:04:12
pero fijaos que este cociente, este denominador 00:04:14
jamás va a valer cero 00:04:16
porque el seno, lo menos que vale es menos uno 00:04:17
o sea, es decir, para que 00:04:20
el denominador vale ese cero, el seno tendría que ser menos dos 00:04:22
y un seno nunca vale menos dos 00:04:25
entonces 00:04:26
nuestra función es continua 00:04:27
en todo R 00:04:30
en particular en el intervalo que esta vez 00:04:32
sí nos dan, pero estupendo 00:04:34
no lo tenemos que buscar 00:04:36
ya tengo esto 00:04:37
y ahora vamos a ver que valores toma 00:04:39
en ese intervalo, entonces vamos a calcular 00:04:41
el valor de la función en menos pi medios 00:04:44
que sería 00:04:46
6 partido por 2 00:04:48
más, ¿cuánto es el seno de menos 00:04:50
pi medios? menos pi medios es 00:04:52
girar 90 grados 00:04:54
pero en el sentido contrario 00:04:56
es decir, que sería 00:04:58
menos 1 00:05:00
menos 1, lo cual sería 00:05:01
abajo tengo un 1, pues esto sale 00:05:04
6, y f de pi medios 00:05:06
es igual 00:05:08
A 6 partido por 2 00:05:10
Y medio es 90 grados 00:05:15
Ese no es 1 00:05:16
6 entre 3, 2 00:05:17
Entonces fijémonos en estos dos valores de la I 00:05:19
2 y 6 00:05:21
Y comparémoslo con 4 00:05:22
¿Qué 4 está entre medias? 00:05:24
A ver, no tiene que ser exactamente el punto medio 00:05:28
Esto es casualidad, ¿vale? 00:05:30
Pero sería como este C 00:05:31
Perdón, perdón, perdón 00:05:33
Sería este valor de la I 00:05:34
Un valor que está entre medias 00:05:36
El más pequeño que toma es 2 00:05:37
y el más grande que toma 00:05:40
que es 6 00:05:41
bueno, no es el más pequeño y el más grande 00:05:43
pero el que toma en los extremos del intervalo 00:05:45
me refiero, esa es la idea 00:05:47
bien, entonces 00:05:50
¿qué es lo que me dice el teorema de Darboux? 00:05:51
pues me dice, entonces 00:05:53
por el teorema de Darboux 00:05:54
yo sé que 00:05:58
existe un valor 00:06:01
g de la x 00:06:03
con lo cual está entre menos pi medios 00:06:05
y pi medios 00:06:08
tal 00:06:09
que f de c es 4 00:06:10
y en la misma conclusión podría sacar 00:06:16
si en vez de 4 me hubieran dicho 2,5 00:06:19
3,5, 5,7 00:06:21
cualquier número que estuviera entre 2 y 6 00:06:24
que son los valores que toma para los extremos 00:06:27
de mi intervalo 00:06:30
eso es lo que significa 00:06:32
el otro nombre que tiene el teorema de Darbu 00:06:32
que también se le llama el teorema de los valores intermedios 00:06:36
de que la función en ese intervalo 00:06:38
de valores de x toma todos los valores intermedios 00:06:42
entre el que toman un extremo en el intervalo y el que toman el otro 00:06:45
ya está 00:06:48
Subido por:
Maria Isabel P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
48
Fecha:
15 de octubre de 2023 - 10:00
Visibilidad:
Público
Centro:
IES GUSTAVO ADOLFO BÉCQUER
Duración:
06′ 50″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
67.26 MBytes

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