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Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 1 - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 1

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Comenzamos el tutorial de derivación. El objetivo de este tutorial es explicar desde cero 00:00:00
las diferentes reglas de derivación y las derivadas de las funciones elementales. 00:00:05
Esto es, seno, coseno, etc. 00:00:11
Exponencial, logaritmo... 00:00:15
De modo que se puedan ir aprendiendo poco a poco y con la práctica. 00:00:17
En cuanto a las reglas, solo se van a decir las elementales sin mezclarlas. 00:00:22
El combinar todo esto se deja para la siguiente parte del tutorial. 00:00:25
Vamos a emplear la siguiente tabla de derivación, los suyos que la tengáis a mano, aunque se recomienda que vayáis aprendiendo de memoria las fórmulas según se van explicando. 00:00:32
De hecho, esa es la idea por la cual vamos incluyendo unas fórmulas de forma secuenciada junto con otras reglas, etc. 00:00:43
Facilitar la memoria. 00:00:50
Pero bueno, no viene mal tenerla. 00:00:52
Hacemos un zoom a la parte de arriba de la tabla y podéis ver que en la parte de arriba tenéis las reglas de derivación. 00:00:54
Por ejemplo, aquí tenéis la derivada de la suma y aquí la del producto. 00:01:02
Bien. 00:01:07
Y abajo tenéis las derivadas de funciones particulares. 00:01:08
Bueno, aquí la de la constante, que es cero, y aquí las derivadas de funciones. 00:01:12
Por ejemplo, x elevado a n, raíz de x, o elevado a x. 00:01:18
A la derecha tenemos las mismas derivadas, pero aplicadas a una función. 00:01:23
por ejemplo, f elevado a n 00:01:27
raíz de f o elevado a f 00:01:29
sería por ejemplo 00:01:32
si esta aquí sería x elevado a n 00:01:33
pues x elevado a 5 00:01:36
pues aquí considerar por ejemplo la función 00:01:37
seno de x elevado a 5 00:01:39
bien 00:01:42
y entonces pues nada 00:01:46
son muy parecidas 00:01:48
aquí tenéis las derivadas normales 00:01:50
y las derivadas de la derecha 00:01:53
no es más que aplicar la regla de la cadena 00:01:55
por ejemplo en el caso de 00:01:57
f elevado a n, pues si x elevado a n 00:01:59
derivada es nxn-1, pues sería 00:02:03
lo mismo pero con la f, nf elevado a n-1 00:02:06
con la diferencia de que después multiplicamos por f' 00:02:13
con lo cual si os sabéis todas estas, automáticamente os vais a saber 00:02:16
también estas. Acabaría la tabla y comenzamos 00:02:21
Empezamos con las derivadas más elementales 00:02:27
La primera es que la derivada de x es 1 y que la derivada de cualquier número es 0. 00:02:30
Y estas las unimos con la derivada de x elevado a n, cuya derivada es n por x elevado a n-1. 00:02:40
Por ejemplo, x elevado a 8, derivada sería 8xnx elevado a n-1, que sería 7. 00:02:48
x elevado a 9, derivada sería 9x8, por ejemplo. 00:03:02
bien, si queréis para practicar brevemente 00:03:07
hacéis x15 derivada 00:03:11
y x7 derivada 00:03:13
bueno, pares la grabación y corregimos 00:03:16
eso sería 15x14 00:03:19
bajamos la unidad y esto es 7x6 00:03:22
bueno, junto a esto 00:03:26
aplicamos la siguiente regla de derivación 00:03:28
la primera es que si yo tengo dos funciones 00:03:30
que se suman 00:03:34
La derivada es la suma de las derivadas. 00:03:37
Por ejemplo, si yo tengo x8 y lo sumo x6, la derivada sería la suma de las derivadas 8x7 y 6x5. 00:03:41
La segunda regla es que si yo tengo una función y la multiplico por un número, su derivada es ese número multiplicado por la derivada. 00:03:54
Por ejemplo, si yo tengo, bueno, 15 es un poco más sencilla, 5x al cubo, y yo derivo, la derivada será 5 por la derivada de x al cubo, que sería 3x al cuadrado. 00:04:06
Lo que pasa es que es más rápido poner directamente 15x al cuadrado. 00:04:22
Bueno, si queréis, hacéis uno de ese tipo, pero aplicando el producto directamente. 00:04:27
Entonces, por ejemplo, si tenemos 6x7, directamente hacemos 6 por 7, 42, y ahora bajamos un grado del exponente, 7x4, 7 por 4, 28, y bajamos a x cubo. 00:04:35
Bueno, pues hacéis un par de ellas. Por ejemplo, 5x4 derivada y 3x cuadrado derivada. 00:04:54
Bueno, ahí es para la grabación. Corrijo. 5 por 4 es 20, x al cubo. Bajamos un grado. 00:05:11
3 por 2 es 6, x al lado es 1. Lo que pasa es que x al lado de 1 es x. 00:05:19
Una pequeña observación, es que si yo tengo esto en realidad x es x elevado a 1, si yo derivo tendría 1 por x elevado a 0, eso directamente 1 y como x elevado a 0 es 1, sería 1. 00:05:24
con lo cual pues directamente la regla de esta función pues es la misma que las demás 00:05:43
lo que pasa es que como es un poco distinta en su comportamiento 00:05:50
pues no vale la pena pensarla, directamente ponemos 1 y ya está 00:05:52
respecto a esta, lo mismo, pues x a la 1 no se pone 00:05:57
bueno, aplicamos lo sabido con polinomios, tenemos las reglas 00:06:02
la derivada de x es 1, el número es 0 00:06:06
y x elevado a n derivada es nxn-1 00:06:10
entonces si tenemos un polinomio, por ejemplo 00:06:15
5x4-x al cubo 00:06:18
más 7x cuadrado 00:06:23
menos 9x más 3 00:06:25
y calculamos su derivada 00:06:28
pues aplicamos lo que ya sabemos 00:06:30
multiplicamos exponente 00:06:32
hacemos la de esta, luego la derivada de esta 00:06:34
esta, esta y esta sumando 00:06:38
entonces aquí tendríamos 5 por 4 es 20 00:06:40
20 y bajamos el grado 00:06:43
20x cubo 00:06:46
menos 00:06:47
bueno, aquí no hay ningún número multiplicando 00:06:48
sería 1, pues directamente 3x cuadrado 00:06:50
aquí 7 por 2 es 14 00:06:53
bajamos el grado de x 00:06:57
y aquí, pues cuando tenemos 9x 00:06:58
la derivada es 9 por la derivada de x que es 1 00:07:01
que es menos 9 00:07:04
pero para ahorrar directamente 00:07:05
ponemos el menos 9 00:07:07
bajamos el grado de x 00:07:09
que es poner 1 00:07:10
entonces directamente ponemos menos 9 y ya está 00:07:12
en cuanto a la derivada de 3 sería 0 00:07:15
pero no se pone 00:07:17
porque es perder el tiempo 00:07:19
con lo cual directamente la derivada se queda así 00:07:21
otro ejemplo 00:07:24
9x6 menos 3x4 menos 2x cubo 00:07:26
más x cuadrado menos 7x más 25 00:07:34
por ejemplo, derivada. ¿Cuánto sería esto? Pues sería 9 por 6, 54x, bajamos el grado, 5, menos 3 por 4, 12x cubo, menos 2 por 3, 6x, bajamos el grado, 2, más 2x, y ahora pues el menos 7x se queda un menos 7, y el 25 pues desaparece. 00:07:40
Con lo cual la derivada sería esta. 00:08:08
Bueno, pues podéis practicar haciendo estas dos derivadas. 00:08:11
7x8 menos 4x7 más 3x6 menos x5 más 2x4 más x3 menos 2x2 más x más 8. 00:08:20
Derivada. 00:08:38
Y por ejemplo, pues 7x4 menos 9x al cubo más 10x cuadrado menos 7x más 9 derivada. 00:08:39
Para ir a la grabación, hacéis las dos derivadas y corregimos. 00:09:01
Bien, la corrección sería 7 por 8 es 56x, bajamos el grado, menos 4 por 7 es 28x6, más 3 por 6 es 18x, bajamos el grado de 6 a 5, menos 5x4, más 2 por 4 es 8x3, más 3x2, menos 2x, no volvemos x al lado de 1, se sobreentiende. 00:09:05
y aquí tenemos más x, pues sería más 1 00:09:37
en la de aquí 00:09:39
pues 7 por 4 00:09:42
x cubo menos 00:09:45
9 por 3, 27 x cuadrado 00:09:48
más 2 por 10 00:09:51
20 x 00:09:53
y aquí menos 7 x 00:09:55
y queda menos 7 00:09:57
y esto pues se hace 0 00:09:58
no lo tenemos en cuenta 00:10:01
y ya estaría esta derivada 00:10:02
añadimos dos funciones más 00:10:05
que es el seno de x y el coseno de x 00:10:09
cuyas derivadas son 00:10:13
coseno de x y menos seno de x 00:10:16
mi recomendación es que los aprendáis ya 00:10:20
la regla que vamos a emplear va a ser la siguiente 00:10:24
a ver, tenemos 7 por ejemplo 00:10:28
7x4 00:10:31
más 6 seno de x 00:10:32
más 5 coseno de x 00:10:36
más 32, por ejemplo, yo que sé, y menos 7 seno de x, menos 9 coseno de x, más x al cubo, menos 17, derivada y derivada, bueno, pues las hacemos, bueno, las hacemos igual que siempre, 7 por 4, 28x cubo, y ahora, 00:10:40
cuando el seno de x ponemos coseno 00:11:03
manteniendo el signo 00:11:05
y cuando tenemos coseno, como el coseno es menos seno 00:11:07
pues el coseno cambia el signo 00:11:14
sería menos 5 seno de x 00:11:15
y las restantes pues desaparecen 00:11:18
aquí, seno de x 00:11:21
pues es coseno manteniendo el signo 00:11:23
que sería, bueno, como 7 00:11:26
menos 7 coseno de x 00:11:28
el coseno pasa a ser 00:11:30
seno de x 00:11:31
pero el coseno, como aquí hay un menos 00:11:32
cambia el signo de lo que tengamos 00:11:35
tenemos 9, pues sería 00:11:37
sería menos menos 9 que es más 9 00:11:39
pero automáticamente 00:11:41
cambiamos el signo 00:11:43
y ahora pues seguimos derivando 00:11:45
3x cuadrado 00:11:47
y esto desaparece 00:11:49
bueno, pues vamos a hacerlas 00:11:50
hacemos dos más 00:11:52
bueno, las escribimos 00:11:53
a ver 00:11:56
9 seno de x 00:11:57
menos 4 00:12:01
coseno de x 00:12:03
bueno, más 00:12:05
6x a la 4 00:12:08
menos 12, derivada 00:12:11
igual, y ahora 00:12:14
menos 4x al cubo 00:12:16
menos 7 seno de x 00:12:22
bueno, he puesto aquí un 7, vamos a cambiarla 00:12:25
menos 5 seno de x 00:12:29
3 más 8 coseno de x menos x más 7, derivada. 00:12:33
Para ir a la elevación, realicemos las dos derivadas y corregimos. 00:12:45
Bueno, corregimos, 9 seno de x, pues el signo es el 9, coseno de x, manteniendo el signo que teníamos que era positivo. 00:12:50
Menos 4, ¿tenemos un coseno? Pues cambia el signo, más. 00:12:59
y de coseno pasa seno 00:13:03
y ahora igual que antes 00:13:06
6 por 4, 24x al cubo 00:13:08
y la constante desaparece 00:13:10
siguiente 00:13:13
4 por 3, 12 00:13:14
x, bajamos un grado a 2 00:13:16
y mantenemos el signo 00:13:18
y ahora 00:13:21
el seno mantiene el signo 00:13:21
menos 5 coseno de x 00:13:24
el coseno cambia el signo 00:13:26
menos 8 seno de x 00:13:29
Y ahora, pues, por el menos x ponemos un menos 1. La constante desaparece. 00:13:32
Eso siempre igual. El coseno sería menos seno, pero es más... 00:13:38
Cuando hacemos cálculos, lo que hacemos es cambiar automáticamente el signo. 00:13:42
El seno es más coseno, pero cuando hacemos cálculo, mantenemos el signo. 00:13:46
Es la forma de hacerlo automáticamente. 00:13:50
Bien, añadimos una regla más. 00:13:55
Ahora la del producto. 00:13:58
f por g derivada 00:13:59
es f' por g 00:14:02
más f por g' 00:14:04
por ejemplo 00:14:07
si tenemos 00:14:09
seno de x 00:14:14
bueno 00:14:16
3x5 para hacerlo un poco más 00:14:17
interesante 00:14:20
derivada, ¿qué sería? 00:14:21
pues aquí hay que localizar 00:14:25
la función f, que puede ser esta 00:14:27
y la función g. La derivada es f' por g más f por g'. 3x5 es la f, pues derivamos 15x4. 00:14:28
Ahora ponemos seno de x. Entonces, la regla suele ser derivada del primero más el segundo 00:14:46
sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo. Pero bueno, también 00:14:53
Y es más rápido hacer f'g más f'g'. 00:15:02
Ya sabéis que la prima está aquí y aquí. 00:15:04
Seguimos. 00:15:09
Más f. ¿Cuál es f? 3x5. 00:15:10
Ahora la derivada de g. 00:15:13
Pues coseno de x. 00:15:16
Y ya está. Así se queda. 00:15:21
Otro ejemplo. 00:15:24
Pues 4x coseno de x, por ejemplo. 00:15:24
Derivada. 00:15:32
pues esta sería la f 00:15:33
esta sería la g 00:15:36
y ya está 00:15:38
pues 00:15:40
bueno, de hecho 00:15:41
vamos a añadir una cosilla más 00:15:44
y es 00:15:45
más x al cubo menos 2 00:15:50
bueno, pues 00:15:52
hacemos primero esta parte de aquí 00:15:54
y lo demás es lo de siempre sumas 00:15:56
primero la f 00:15:58
f' por g 00:16:01
más f por g' 00:16:02
prima. ¿Derivada de f prima cuánto es? Pues si f es 4, es 4x, sería 4. Ahora g sin 00:16:05
derivar, coseno de x más, ahora ponemos la f sin derivar, 4x, y la derivada de g, que 00:16:13
como hay una derivada ponemos un paréntesis, menos seno de x. Y ahora ya seguimos con lo 00:16:22
que está sumando, más 3x cuadrado y la constante que desaparece. 00:16:32
Y esto, pues, habrá que significar un poco 4 coseno de x menos 4x seno de x. 00:16:37
Cuando ya tengáis práctica la derivación, vais a poner directamente el menos sin pensar. 00:16:44
Pero por ahora mejor hacerlo así, porque ya tendréis tiempo para quitar ese tipo de cálculos. 00:16:50
Bueno, pues haced un par de ejemplos 00:16:58
Por ejemplo, x elevado a 8 seno de x más 2 derivada 00:17:02
Y por ejemplo, x7 coseno de x, bueno, 3x7 coseno de x menos 6x más 1 derivada 00:17:08
para ir a la grabación 00:17:25
y luego pues 00:17:27
reanudar la grabación para corregir 00:17:30
corregimos 00:17:33
a ver, aquí tenemos un producto 00:17:36
esta es la F 00:17:39
esta es la G 00:17:40
y esto ya lo 00:17:42
lo daremos después 00:17:45
derivada de F 00:17:46
8X7 00:17:48
F' por G 00:17:50
más f por g prima 00:17:53
ahora la g 00:17:56
sin derivar 00:17:58
más 00:18:00
ahora la f sin derivar 00:18:01
x8 y ahora la g 00:18:04
derivada que sería 00:18:05
coseno de x 00:18:08
y como ya hablamos antes, pues desaparece 00:18:09
la derivada de esto es cero, ni se pone 00:18:12
siguiente derivada 00:18:14
aquí esta sería la f 00:18:16
y esta la g 00:18:18
la derivada de este 00:18:19
producto es f' por g más f por g'. Podríamos hacerlo. Derivada de f, pues 3 por 7, 21x6. 00:18:22
Ahora ponemos la g, que es coseno de x. Ahora más la f sin derivar, que sería más 3x7 por la derivada 00:18:37
de la g. Como el coseno tiene derivada menos seno, ponemos un paréntesis. Fundamental 00:18:48
los paréntesis que es el fallo más recurrente que hay. Lo demás lo daríais bien, pero 00:18:56
el paréntesis se os olvida en muchas ocasiones. Menos seno de x. Y ahora pues seguimos derivando 00:19:01
lo que queda, que es menos 6. Y ya está. Bueno, hemos visto ya que la derivada de x 00:19:09
elevado a n es nx n-1. 00:19:19
Bueno, pues bien, eso se puede aplicar no solamente cuando n es un número 00:19:23
natural, sino para cualquier tipo de 00:19:27
exponente con n. Por ejemplo, 00:19:30
la raíz cuadrada de x derivada es x elevado a 1 medio 00:19:34
derivada. Entonces, podemos aplicar esa fórmula. 00:19:39
1 medio de x elevado a 1 medio menos 1. 00:19:43
Ahora bien, 1 medio menos 1, ¿cuánto es? 00:19:45
Pues 1 medio menos 2 medios, que es menos 1 medio 00:19:49
Esto es 1 medio de x elevado a menos 1 medio 00:19:52
Y esto es 1 medio de 1 partido por x elevado a 1 medio 00:19:57
Y esto es 1 medio de 1 partido por raíz de x 00:20:03
O lo que es mejor, 1 partido por 2 raíz de x 00:20:07
Bien 00:20:11
Y luego, pues lo mismo, si tenemos, por ejemplo, 1 partido por x derivada, eso sería x elevado a menos 1 derivada, esto es menos 1x menos 1 menos 1, menos 1 elevado a x menos 2, 00:20:12
esto es, bueno, este menos x ya se podría haber puesto directamente con un menos, y esto ya es menos 1 entre x cuadrado. 00:20:32
Bueno, en general todas las derivadas de este tipo se pueden hacer así 00:20:43
Pero estas dos compensa sabérselas porque aparecen mucho 00:20:47
Por ejemplo, pues yo que sé, hacemos, a ver, la derivada de la raíz cúbica de x 00:20:51
Voy a hacer una más complicada, 1 partido de raíz cúbica de x se lo da 4 derivada 00:21:03
Vamos a hacer esta 00:21:07
Bueno, lo primero que hacemos es convertir esta función en un x al lado de n 00:21:09
Pues nada, eso sería 1 partido por x elevado a 4 tercios derivada 00:21:16
Eso sería x elevado a menos 4 tercios derivada 00:21:23
Y ahora ya aplicamos la regla 00:21:28
Menos 4 tercios por x elevado a menos 4 tercios menos 1 00:21:29
Podemos irnos a una esquina y calcular 00:21:36
Menos 4 tercios menos 1 es menos 4 tercios menos 3 tercios que es menos 7 tercios 00:21:38
y ahora lo ponemos 00:21:45
menos 4 tercios x elevado a menos 7 tercios 00:21:46
y ahora hay que deshacer un poco esto 00:21:50
bueno, esto ya sería la derivada 00:21:52
y estaría bien 00:21:54
pero para entenderlo un poco mejor 00:21:55
convendría desarrollarla 00:21:57
entonces esto sería menos 4 tercios 00:22:01
por 00:22:05
perdón 00:22:07
por 1 entre 00:22:10
x elevado a 00:22:13
7 tercios, ya podemos juntar estas dos fracciones 00:22:16
eso sería menos 4 entre 3 veces 00:22:19
y ahora esto es una raíz 00:22:23
raíz cúbica de x elevado a 7 00:22:24
y esta incluso se puede sacar fuera de la raíz lo que haga falta 00:22:27
pues como 7 es 00:22:30
perdón, como 7 00:22:33
como esto es la raíz cúbica de x elevado a 6 por x 00:22:37
pues esto es la raíz cúbica de x elevado a 6 raíz cúbica de x 00:22:43
que es x cuadrado raíz cúbica de x 00:22:48
3x cuadrado raíz cúbica de x 00:22:51
pero bueno, esto es igual de claro 00:22:55
con lo cual, pues nada, ya estaría la derivada 00:22:57
entonces, pues nada, si queréis para practicar 00:23:03
haced pues una de cada, pues por ejemplo 00:23:07
1 partido por x al cuadrado derivada 00:23:10
la raíz cúbica de x derivada 00:23:14
y una que mezcle ambas, pues yo que sé 00:23:19
1 partido por la raíz de quinta de x al cubo 00:23:21
derivada 00:23:25
hacéis hasta 3, paráis la grabación 00:23:27
y luego corregimos 00:23:31
bien, corregimos 00:23:32
pues esto es 00:23:37
x elevado a menos 2 derivada 00:23:38
Esto es menos 2x elevado a menos 2 menos 1, que sería menos 3 00:23:42
Y eso sería menos 2 partido por x al cubo 00:23:48
Y ya está 00:23:55
Este de aquí, pues vamos a ver 00:23:56
Sería, pues, x elevado a un tercio derivada 00:23:59
Y esto es, pues, un tercio por x elevado a un tercio menos 1 00:24:05
Ahora vamos a la esquina 00:24:10
y 1 tercio menos 1 es 00:24:12
1 tercio menos 3 tercios 00:24:13
que es menos 2 tercios 00:24:16
también se puede hacer esto en la calculadora 00:24:17
esta cosa que hacéis rápido, o bien de cabeza 00:24:19
pero bueno, como ya os he explicado 00:24:21
lo hago con todos los casos 00:24:24
es 1 tercio de x elevado a 00:24:25
menos 2 tercios 00:24:28
esto es 1 tercio por 00:24:29
1 partido por x elevado a 2 tercios 00:24:32
ahora ya podemos juntar fracciones 00:24:34
y eso es 1 partido por 3 veces 00:24:36
y ahora 00:24:39
Esto lo convertimos en la raíz cúbica de x al cuadrado. 00:24:40
Y ya tenemos otra derivada hecha. 00:24:46
Vamos a la siguiente. 00:24:48
Aquí hay que hacer un poquito más de cálculo. 00:24:50
Esto es 1 partido por x elevado a 3 quintos derivada. 00:24:53
Y eso es la derivada de x elevado a menos 3 quintos. 00:24:58
Y ahora ya podemos aplicar esta fórmula. 00:25:02
Eso sería menos 3 quintos de x elevado a menos 3 quintos menos 1. 00:25:07
Ahora, o bien lo hacemos de cabeza, o bien ponemos que, o bien en la calculadora, o bien ponemos que menos tres quintos menos uno es menos tres quintos menos tres tercios, que es menos, perdón, me he fistado. 00:25:13
Quería poner menos cinco quintos y esto es menos ocho quintos. 00:25:29
Entonces sería menos tres quintos x elevado a menos ocho quintos. 00:25:36
Y ahora ya, pues nada, eso es menos tres quintos por uno entre x elevado a ocho quintos. 00:25:41
Ahora ya podemos juntar fracciones, menos tres entre cinco por, y esto lo convertimos en la raíz quinta de x elevado a ocho. 00:25:52
Como resulta que la raíz quinta de x elevado a ocho es la raíz quinta de x elevado a cinco por la raíz quinta de x elevado a cubo, 00:26:03
Esto es x, la raíz quinta de x al cubo. 00:26:13
Y nada, pues nos saldría menos 3 partido por 5x, la raíz quinta de x elevado al cubo. 00:26:20
Bueno, pues ya está. 00:26:34
Una observación, es que si os fijáis, en estos dos casos, aquí hemos multiplicado por x justamente debajo. 00:26:35
Aquí también, lo que pasa es que hemos multiplicado más y no se ve. 00:26:44
Esto es lo mismo que x, la raíz séptima de x elevado. 00:26:47
perdón, la raíz cúbica de x elevado a 4 00:26:51
que es lo que tenemos aquí 00:26:55
es lógico, porque estamos dividiendo por x 00:26:57
porque al elevar por n-1 00:26:59
eso también es n por x elevado a n 00:27:01
por x elevado a menos 1 00:27:04
o sea, es lo mismo que dividir por x 00:27:06
que sería otra forma de verlo 00:27:08
a ver, existen fórmulas que se pueden hacer para esto 00:27:10
y de hecho en la tabla están 00:27:15
por ejemplo 00:27:16
En ese tipo de funciones, la gráfica sería, bueno, voy a hacer una siguiente página, de esa forma, la derivada de la función 1x elevado a n sería menos n entre x elevado a n más 1. 00:27:19
Os podéis aprender una nueva derivada y ponerla, o bien aplicar la anterior. 00:27:43
Por ejemplo, en este caso, esto sería, pues, es fácil de demostrar, esto es x elevado a n derivada, esto es menos n x elevado a menos n menos 1, esto es menos n x elevado a menos n más 1, esto es menos n entre x elevado a n más 1. 00:27:49
y ya tenemos esta fórmula 00:28:14
entonces o bien se deduce en cada caso particular 00:28:16
o bien 00:28:18
se pone pues así 00:28:19
ahora bien las que sí que son útiles 00:28:22
es la de 00:28:24
que la raíz de x derivada es 00:28:25
1 entre 2 raíz de x 00:28:28
debido a que esto se utiliza muchísimo 00:28:29
ya sabéis que la raíz cuadrada se utiliza mucho más 00:28:32
que cualquier otra raíz de modo práctico 00:28:37
y bueno 00:28:39
y la de 1 partido por x también se utiliza 00:28:41
sobre todo cuando haya que hacer las integrales 00:28:43
aquí será 00:28:45
menos 1 entre x cuadrado 00:28:46
entonces o bien os aprendéis esta o esta 00:28:48
conviene saberlo 00:28:50
bueno, pasamos a lo siguiente 00:28:52
hagamos un ejercicio breve 00:28:55
vamos a calcular raíz de x por raíz de x 00:28:58
derivada 00:29:01
vale la grabación y lo hacéis 00:29:02
bueno, corregimos 00:29:04
vamos quizá a dos métodos 00:29:06
el corto y el largo 00:29:08
primero el largo 00:29:09
eso sería ver que tenemos f por g 00:29:11
y la derivada sería f' por g más f por g' 00:29:14
f' ¿cuánto es? pues si f es raíz de x, 1 entre 2 raíz de x 00:29:19
g raíz de x más f raíz de x, g, 1 entre 2 raíz de x 00:29:24
y ahora ya operamos 00:29:30
a ver, aquí la raíz cuadrada está dividiendo y aquí multiplicando, se van 00:29:32
divide y multiplica, se van 00:29:37
y esto nos da 1 medio más 1 medio, que es 1 00:29:38
Y esto es sorprendentemente fácil 00:29:43
¿Por qué tenemos eso? Vamos a ver 00:29:46
Eso también es igual 00:29:50
Porque raíz cuadrada de x por raíz cuadrada de x 00:29:52
¿Cuánto es raíz de x al cuadrado? 00:29:54
Y esto es la derivada de x 00:29:59
Que ya sabemos que es 1 00:30:01
Entonces si os dais cuenta queda más fácil 00:30:03
Bueno, pasemos a lo siguiente 00:30:06
Bien, hemos dado hasta ahora la función potencial 00:30:09
también las derivadas de las funciones seno de x y coseno de x 00:30:14
y algunas potenciales especiales, bueno todas estas generalizadas 00:30:22
y unas como 1r de x, 1 partido por x e incluso si queréis 1 partido por x elevado a n 00:30:27
entonces conviene ir aprendiéndolas de memoria mientras vemos este tutorial 00:30:35
Las que vamos a añadir ahora y que también conviene aprenderles ahora mismo de memoria son elevado a x y logaritmo de piano de x 00:30:42
La derivada de elevado a x es la más sencilla de todas, es elevado a x 00:30:51
La del logaritmo neperiano de x es 1 partido por x 00:30:57
Bueno, pues con esto ya podemos hacer algunos ejemplos 00:31:01
Empezamos por ejemplo con uno sencillo, derivada de 7 elevado a x menos 8 logaritmo de p1 de x más 5, derivada. 00:31:06
Y también, yo que sé, pues un producto, 8 elevado a x coseno de x menos x a la 5 logaritmo de p1 de x más, yo que sé, x al cubo menos 3, por ejemplo. 00:31:18
derivada 00:31:36
y otra más 00:31:38
pues 7 00:31:39
elevado a x 00:31:42
logaritmo de perinodo de x 00:31:44
menos 00:31:46
x cuadrado 00:31:47
coseno de x 00:31:51
más 00:31:54
elevado a x menos 00:31:54
6 logaritmo 00:31:57
de perinodo de x 00:31:59
seno de x 00:32:00
más 3 00:32:02
para ir repitiendo todo 00:32:03
Bueno, pues empezando haciendo estos ejemplos 00:32:07
Eso es una suma normal, hay que hacer cada derivada 00:32:12
7 por la derivada de elevado a x, que es elevado a x 00:32:15
Menos 8 por la derivada del logaritmo 00:32:19
Y el 5 desaparece 00:32:22
Y esto es igual a 00:32:25
7 elevado a x menos 8 partido por x 00:32:28
A ver, cuando tenéis ya práctica 00:32:32
En vez de hacer este paso, hacéis directamente este. 00:32:34
Sigamos. Aquí tenemos dos productos, este y este. 00:32:40
Aquí tenemos una función f y una función g multiplicando, y aquí otra función f y otra función g multiplicando. 00:32:46
Pues nada, aplicamos en ambos casos la regla del producto, f' por g más f por g'. 00:32:56
¿Cuánto es f'? Pues 8 elevado a x 00:33:04
¿Cuánto es g? Coseno de x 00:33:09
¿Cuánto es f? 8 elevado a x 00:33:11
¿Y cuánto es g'? Menos seno de x 00:33:15
Ahora vamos con lo siguiente, restamos 00:33:18
Nuevamente, tenemos f' por g más f por g' 00:33:22
f' por g más f por g' 00:33:28
Pero ojo, aquí tenemos un menos 00:33:31
Y hay que tener cuidado 00:33:33
porque el menos abarca a todo 00:33:35
entonces hay que poner un paréntesis 00:33:37
punto número 1 00:33:40
y ahora ya podemos hacer eso 00:33:43
si no, ponemos un paréntesis 00:33:47
tenemos que poner aquí un menos en vez de un más 00:33:49
ponemos un más porque he puesto paréntesis 00:33:51
pues vamos a hacerla 00:33:53
f' ¿cuánto es? 00:33:56
pues 5x4 00:33:58
ahora logaritmo de p1 de x 00:34:01
más 00:34:03
f que es x5 00:34:03
por g' 1 partido por x 00:34:06
Sigamos, más la deriva de x cubo, que es 3x cuadrado, y el número que desaparece. 00:34:08
Y ahora hay que simplificar. 00:34:17
Entonces, ¿cómo simplificamos? 00:34:20
Bueno, esto se deja igual, 8 elevado a x coseno de x. 00:34:21
Ahora quitamos el paréntesis y tenemos menos 8 elevado a x seno de x. 00:34:29
observación 00:34:35
igual que antes dije que esto 00:34:36
el que tiene práctica lo hace de forma automática 00:34:38
pues el que tiene práctica 00:34:41
y sabe que aquí hay un coseno 00:34:42
y sabe que luego va a haber un menoseno 00:34:44
pone directamente el menos aquí 00:34:47
y luego este producto 00:34:48
pero claro, hay que tener práctica 00:34:50
si no se tiene práctica se puede ir haciendo esto 00:34:52
y luego simplificar 00:34:55
ahora tenemos el menos 00:34:56
que afecta a dos cosas 00:34:59
un menos y un menos 00:35:00
pues 5x4 00:35:01
logaritmo de pi 1 de x 00:35:04
y menos esto, pero esto se puede significar 00:35:05
porque x5 entre x 00:35:08
es x4 00:35:10
y ahora ya más 3x al cuadrado 00:35:11
y ya hemos terminado 00:35:15
vamos con la siguiente 00:35:17
esta ya es más compleja 00:35:20
bueno, más que compleja, más larga 00:35:21
aquí tenemos 00:35:24
tres productos 00:35:26
este, este y este 00:35:27
bueno, pues ponemos en cada uno lo mismo 00:35:31
F por G, F por G y F por G 00:35:33
Empezamos con el primero, vamos a poner 00:35:43
F por G más, perdón, F' por G más F por G' 00:35:48
F' ¿cuánto es? 00:35:55
Pues es 7e elevado a X 00:35:58
Por G, logaritmo de P1 de X 00:36:02
Más F, 7 elevado a X 00:36:04
Por G', 1 partido por X 00:36:07
ya está 00:36:10
menos, ahora cuidado 00:36:12
a por paréntesis 00:36:14
la mayor parte de los fallos que suelo corregir 00:36:16
con las derivadas 00:36:19
es por no poner paréntesis 00:36:21
y de hecho 00:36:23
si en ese momento lo ponéis 00:36:26
sin paréntesis podéis saber lo que hacéis 00:36:28
pero si lo leéis a cada dos meses 00:36:30
pues 00:36:33
os confundiréis 00:36:34
porque no sabéis que hay un paréntesis invisible 00:36:36
que no habéis puesto 00:36:38
ahora, pues lo mismo 00:36:39
f' por g más f por g'. 00:36:41
Pues lo ponemos, f' es 2x, g es coseno de x, más f es x cuadrado, y g' menos el seno de x. 00:36:46
Ahora, derivada de elevado a x, que es elevado a x, menos, a volver a repetir nuevamente, 00:37:03
y repetimos la historia 00:37:10
f' por g 00:37:12
más f por g' 00:37:14
f' que es 00:37:16
por 1 partido por x 00:37:23
por g 00:37:27
seno de x 00:37:28
más f6 logaritmo 00:37:30
de x por g 00:37:33
coseno de x 00:37:35
y el más 3 pues que desaparece 00:37:36
porque es una constante 00:37:39
y ahora ya lo que toca es simplificar 00:37:39
sabiendo que va a ser un poco más difícil aquí 00:37:42
voy a hacer dos simplificaciones 00:37:45
voy a hacerlo sencillo 00:37:47
esto es 7 elevado a x 00:37:49
logaritmo de pn de x 00:37:52
más 00:37:53
podemos juntar esto 00:37:54
7 elevado a x 00:37:56
partido por x 00:37:57
menos 2x coseno de x 00:37:58
menos x cuadrado por menos seno de x 00:38:01
a ver, si somos rápidos 00:38:04
podemos apostar directamente 00:38:05
menos y menos más y ya está 00:38:07
pero bueno 00:38:09
por simplificado voy a hacer dos pasos 00:38:09
Más elevado a x menos 6 seno de x partido por x menos 6 logaritmo de p1 de x coseno de x 00:38:12
Y ya para acabar, esto sería 7 elevado a x logaritmo de p1 de x más 7 elevado a x entre x menos 2x coseno de x 00:38:23
Ahora quitamos este menos 00:38:32
Más x cuadrado seno de x más elevado a x menos 6 seno de x partido por x 00:38:33
menos 6 logaritmo de x coseno de x 00:38:42
a ver 00:38:45
quizás 00:38:46
habría sido más rápido hacer directamente 00:38:48
que menos 00:38:50
por menos es más y poner aquí un más 00:38:51
pero como estoy explicando 00:38:54
hago todos los pasos 00:38:56
bueno pues hacemos 3 ejemplos 00:38:57
por ejemplo pues 00:39:02
una sencillita al principio 00:39:04
8 logaritmo de x 00:39:05
menos 7 elevado a x 00:39:08
más x cuadrado menos 8 00:39:10
derivada 00:39:12
la segunda 00:39:14
una que incluye a productos 00:39:16
3 elevado a x 00:39:17
seno de x 00:39:20
menos 5 00:39:22
logaritmo de piano de x 00:39:25
por x al cubo 00:39:26
menos x cuadrado más 3 00:39:29
derivada 00:39:33
y yo que sé 00:39:35
pues 00:39:36
elevado a x 00:39:40
coseno de x 00:39:41
menos 3 logaritmo de la persona de x por seno de x 00:39:43
menos 8, yo que sé, elevado a x, coseno de x 00:39:49
menos 1, derivada 00:39:57
Para ir a la grabación, hacéis las derivadas y corregimos 00:40:04
Bueno, voy a reducir un poco el espacio en la parte de arriba 00:40:09
para escribir mejor 00:40:17
La primera es una suma de funciones con derivada sencilla, pues hacemos la derivada de cada uno de los términos. 00:40:21
A ver, la derivada del primero es 8 por la derivada del logaritmo, menos 7 por la derivada de elevado a x, más la derivada de x al cuadrado, y la constante que tiene derivada de 0, pues desaparece directamente. 00:40:27
Simplificamos y nos queda 8 partido por x, menos 7 elevado a x, más 2x. 00:40:42
Si bien esto se podría haber puesto directamente desde el principio. 00:40:48
La segunda es un poco más compleja, tiene dos productos, con una función f y una función g, y nuevamente una función f y una función g. 00:40:50
Pues nada, es cuestión de hacer cada una de ellas. Empezamos, f' por g más f por g'. 00:41:01
A ver, estas letras no hace falta ponerlas, las pongo yo porque las estoy explicando, y nada más que por eso. 00:41:10
También podéis tener en mente la frase derivada del primero más el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por la derivada del segundo. 00:41:16
Bueno, sigamos. f' es 3 elevado a x, pues es igual. La derivada de x no cambia. 00:41:26
Ahora g, que es seno de x, más primero sin derivar 3 elevado a x por la derivada del segundo, derivada del seno, es el coseno. 00:41:34
Eso ya está 00:41:45
Sigamos con lo siguiente 00:41:47
Ahora tenemos un menos 00:41:48
Ojo, porque ahora hay que poner un paréntesis 00:41:49
Ya que aquí va a haber una suma 00:41:52
Y el menos afecta a todo 00:41:56
Pues nada, vamos a poner lo siguiente 00:41:57
Igual que antes 00:42:01
F' por g más f por g' 00:42:02
Esto es f 00:42:05
La derivada de f es 5 por 3 es 15 00:42:08
15x cuadrado 00:42:10
Por g que es el logaritmo de x 00:42:12
Más f que es 5x al cubo 00:42:14
por la derivada del logaritmo, que es 1 partido por x. 00:42:18
Seguimos. Ahora tenemos la derivada de menos x al cuadrado, que es menos 2x, y el 3 que desaparece. 00:42:23
Ahora toca simplificar. Para simplificar solo habrá que hacer dos cosas. 00:42:33
La primera, quitar el paréntesis, y la segunda, operar esto. 00:42:38
Con algo de práctica, ya hemos dicho antes que este paréntesis se puede poner directamente un menos y un menos. 00:42:43
Pero bueno, yo empezaría poniendo paréntesis. A ver, 3 elevado a x, seno de x, más 3 elevado a x, coseno de x, y ahora ya quitamos paréntesis, menos 15x cuadrado logaritmo de pleno de x. 00:42:47
Y ahora este menos lo combinamos con este más y nos queda menos, ahora calculamos esto, que es 5x al cuadrado y ahora quitamos el menos 2x y ya está. 00:43:04
La siguiente es un poco más compleja porque tiene tres productos, este, este y este. 00:43:23
Bueno, pues empezamos. Aquí tenemos la f y la g, la f y la g, y la f y la g. 00:43:31
Pues empezamos con el primero, sería f' por g más f por g'. 00:43:42
pues lo ponemos 00:43:48
f'4 elevado a x 00:43:50
perdón, g coseno de x 00:43:53
más 00:43:55
f'4 elevado a x 00:43:57
g' menos 00:43:59
seno de x 00:44:02
si tenemos ya práctica 00:44:04
podríamos ponerle aquí un menos 00:44:06
y nos subiría un poquito de paréntesis 00:44:08
sigamos 00:44:09
menos, como hay un menos 00:44:11
y hay una derivada de un producto, ponemos un paréntesis grande 00:44:13
podemos ponerlo luego ya 00:44:16
hacerlo después, ponemos nuevamente 00:44:21
f por g' 00:44:23
perdón, f' por g 00:44:26
más f por g' 00:44:27
puedes saber 00:44:32
derivada de f es 00:44:34
3 por 1 partido por x 00:44:36
que podríamos haber puesto directamente 3 entre x 00:44:38
por g 00:44:41
que es 00:44:43
seno de x 00:44:43
más f 00:44:45
que es 00:44:48
3 logaritmo de pino de x 00:44:50
por la derivada de g que es coseno de x 00:44:52
cerramos paréntesis 00:44:54
y ahora ponemos la tercera 00:44:56
menos, abrimos paréntesis 00:44:58
ahora, derivada de 8 elevado a x 00:45:00
que es 8 elevado a x 00:45:03
bueno, ponemos, perdonad 00:45:04
f por g 00:45:06
más f por g prima y prima 00:45:08
derivada de f es 00:45:10
8 elevado a x 00:45:13
por g coseno de x 00:45:14
más f 00:45:17
nuevamente 8 elevado a x 00:45:18
por la derivada de g menos seno de x 00:45:20
cerramos y cerramos 00:45:23
y ahora pues simplificamos 00:45:25
las simplificaciones que va a haber que hacer 00:45:27
es quitar este paréntesis 00:45:30
quitar este paréntesis 00:45:31
y aquí va a haber que quitar este menos 00:45:33
además 00:45:35
de este menos de aquí 00:45:36
bueno, pues empezamos 00:45:39
4 elevado a x 00:45:40
coseno de x menos 00:45:43
4 elevado a x 00:45:45
seno de x 00:45:46
Ahora quitamos el paréntesis, menos, vamos a hacer ya esto, 3 seno de x partido por x, menos, porque menos por más es menos, 3 logaritmo de piano de x, coseno de x, menos 8 elevado a x, coseno de x. 00:45:48
Y ahora, a ver, lo más rápido sería quitar directamente estos dos menos, lo voy a hacer con dos pasos, aquí debajo voy a hacer el paso intermedio, que sería menos 8 elevado a x por menos seno de x, y esto de aquí es más 8 elevado a x seno de x. 00:46:13
Entonces sería más 8 elevado a x seno de x y ya lo tendríamos. Esto no hace de ponerlo, lo suyo sería hacer un menos y otro menos es más y ya está. Pasamos a lo siguiente. 00:46:42
La siguiente regla de derivación que veremos es la del cociente de dos funciones, que es f' por g menos f por g' entre g cuadrado. 00:47:04
Podemos observar que el numerador es muy parecido a la del producto y que en el denominador solo aparece la g y sin derivar. 00:47:18
Vamos a poner algunos ejemplos. 00:47:24
Elevado a x entre coseno de x, derivada. 00:47:26
Logaritmo de peno de x entre x4, derivada. 00:47:30
Y una cosa que aparece en los ejercicios de forma habitual, que es un cociente de polinomios. 00:47:36
Útil, por ejemplo, a la hora de estudiar el crecimiento de funciones o de representarlas. 00:47:46
Bien, vamos con cada una. 00:47:57
Empezamos. 00:47:59
Aquí tenemos un cociente f entre g cuya derivada es f' por g menos f por g' 00:47:59
Y tenemos un g cuadrado en el denominador 00:48:09
Pues a ponerlo, f' es la derivada de elevado a x que es elevado a x 00:48:12
g es el coseno de x menos f es elevado a x 00:48:18
y g' sería menos seno de x que ponemos entre paréntesis 00:48:24
Por último, en el denominador ponemos el coseno de x al cuadrado, pero recordando que en el coseno, el cuadrado se suele poner encima del coseno y así nos cerramos unos paréntesis. 00:48:29
Esto simplificando sería elevado a x, coseno de x, menos por menos más, elevado a seno de x, todo ello entre coseno al cuadrado de x. 00:48:46
Bien, cojamos el siguiente ejemplo 00:48:55
Igual tenemos numerador f, denominador g, ya no lo escribo 00:48:59
f' por g menos f por g' entre g cuadrado 00:49:03
Numerador es la f, pues sería derivada del logaritmo 1 partido por x 00:49:08
por la g, que es x4, menos la f sin derivar 00:49:13
logaritmo en el plano de x 00:49:17
por la derivada de g, que es 4x al cubo 00:49:19
Y en el denominador ponemos el x4, todo ello al cuadrado. 00:49:24
Ahora simplificamos, 1 partido por x por x4 es x al cubo, menos, podemos poner antes el 00:49:31
polidinomio, aunque es todo un poco igual, pero es más elegante, entre x a la 8. 00:49:39
Bien, ahora hagamos la siguiente, aquí va a ser un poquito más larga la simplificación, 00:49:47
pero tampoco mucho porque el denominador es de grado 1. 00:49:53
Bien, pues igual que antes, ponemos f' por g menos f por g' y aquí g cuadrado. 00:49:57
La derivada de f sería 2x menos 3, la g es x más 7 menos, ahora f es x cuadrado menos 3x más 5 y g' es 1 directamente, que no haré falta ni ponerlo. 00:50:07
Por último, en el denominador ponemos x más 7 al cuadrado. 00:50:26
Ahora, para simplificar, bueno, en el denominador podemos poner x más 7 al cuadrado, que eso ya está simplificado. 00:50:31
Además nos indica que siempre es mayor o igual que 0. 00:50:37
Y ahora, en el numerador, lo único que tiene un poco más de cálculo es este producto, que podemos hacer en una esquina. 00:50:41
2x menos 3 por x más 7 00:50:53
también se podría hacer directamente pero bueno 00:50:58
14x menos 21 00:51:00
2x cuadrado menos 3x 00:51:03
la suma nos da 2x cuadrado menos 11x menos 21 00:51:06
lo ponemos 00:51:11
2x cuadrado menos 11x menos 21 00:51:16
menos 00:51:19
y ahora ya que solo tenemos un paréntesis nada más 00:51:20
porque el 1 es como si no estuviera 00:51:24
Podemos quitar directamente el paréntesis. Menos x al cuadrado menos por menos más más 3x menos 5. Y ya podemos operar. Y esto nos daría 2x cuadrado menos x cuadrado sería x cuadrado menos 11x más 3x menos 8x y menos 21 menos 5 menos 26. 00:51:26
todo ello entre x más 7 al cuadrado 00:51:51
y ya no se puede simplificar más porque desarrollar el denominador sería absurdo 00:51:56
bueno, pues ahora os pongo tres ejemplos similares 00:52:01
podéis parar la grabación y realizarlos 00:52:05
vamos a poner una línea divisoria 00:52:08
por ejemplo, pues yo que sé 00:52:11
logaritmo de piano de x entre coseno de x derivada 00:52:14
e elevado a x entre x cuadrado menos 3x más 1 00:52:21
y también un cociente de polinomios. 00:52:27
Ahora podríamos poner en el denominador 00:52:30
e elevado a 2 x cuadrado menos 3x más 5 00:52:31
y aquí un 2x más 3. 00:52:37
Corregimos, igual que antes, 00:52:50
esta es la f, esta es la g 00:52:53
y la derivada es f' por g menos f por g'. 00:52:54
Y en el denominador tenemos un g cuadrado. 00:52:57
Vamos a poner las funciones. 00:53:03
La f' es la deriva del logaritmo, que es 1 partido por x, g es el coseno de x, menos f es el logaritmo de p1 de x, y g' es menos el seno de x, que ponemos entre paréntesis. 00:53:06
En el denominador ponemos coseno cuadrado de x, que es el cuadrado del denominador. 00:53:22
Ahora simplificamos. Por ejemplo, en el numerador tenemos coseno de x partido por x, y ahora quitamos el signo, menos por menos más, logaritmo de pleno de x, seno de x entre coseno cuadrado de x. 00:53:27
Esto ya está bastante simplificado. Lo que pasa es que se puede simplificar todavía más. 00:53:46
Por ejemplo, si nos piden hallar máximos y mínimos, habría que igualar a cero, en cuyo caso habría que hacer el numerador un poco más sencillo. 00:53:50
Aunque bueno, podrías igualar a cero el numerador y luego hacer lo que va a salir ahora. 00:53:59
Bueno, igual que antes, gente con mucha práctica se podría quitar directamente este signo desde el principio, adelantándose. 00:54:05
Pero bueno, sigamos, pues podemos observar que si ponemos aquí x y aquí x, multiplicando arriba y abajo, obtenemos el coseno de x más x logaritmo de piano de x, seno de x, todo ello entre x, y dividiendo entre coseno cuadrado de x. 00:54:13
Si ponemos aquí el partido por 1 para hacer la regla de división de fracciones, obtendríamos coseno de x más x logaritmo de piano de x por seno de x y abajo x coseno cuadrado de x. 00:54:38
Sigamos con la siguiente 00:54:55
Igual que antes, esta es la f, esta es la g 00:54:58
Y aquí tenemos f' por g menos f por g' 00:55:01
Abajo podemos poner g' 00:55:06
f' es la derivada de elevado a x, que es elevado a x 00:55:13
g es x cuadrado menos 3x más 1 00:55:17
Que ponemos como un paréntesis 00:55:23
Y recuerdo que el fallo que más veces he visto 00:55:25
es no poner paréntesis cuando hay que ponerlos 00:55:29
a la hora de derivar 00:55:31
menos f que es elevado a x 00:55:32
y aquí g' sería la derivada 00:55:35
del denominador 00:55:37
que es 2x menos 3 00:55:38
por último ponemos 00:55:40
el denominador al cuadrado 00:55:43
x cuadrado menos 3x 00:55:44
más 1, todo ello al cuadrado 00:55:47
en este caso la forma más fácil de derivar 00:55:49
es sacar tu factor común 00:55:53
de elevado a x, podemos hacer todo con una esquina 00:55:55
y hacerlo rápido, pero 00:55:57
voy a poner todos los cálculos 00:55:59
Entonces es elevado a x, saco factor común de x cuadrado menos 3x más 1 menos, abor paréntesis, 2x menos 3. 00:56:01
Todo ello entre x cuadrado menos 3x más 1 al cuadrado. 00:56:14
Voy a hacer todos los pasos para que se entienda mejor. 00:56:19
elevado a x por x cuadrado menos 3x más 1 menos 2x más 3 00:56:21
entre x cuadrado menos 3x más 1 al cuadrado 00:56:27
lo que nos da elevado a x por x cuadrado menos 5x más 4 00:56:34
entre x cuadrado menos 3x más 1 al cuadrado. 00:56:45
¿Ya se ha simplificado? Bueno, habitualmente se suele poner el elevado a x después de los polinomios, o sea, se pondría habitualmente aquí, pero el anterior estaba bien. 00:56:49
Igual que antes, ponemos aquí la f, aquí la g, y la derivada es f' por g menos f por g'. 00:57:08
Y en el denominador tenemos g cuadrado. f' sería 2, que es la derivada de este polinomio. g es x cuadrado menos 3x más 5 menos f, que es 2x más 3. 00:57:17
Y en el denominador tenemos la derivada que es 2x menos 3. 00:57:42
Y abajo ponemos x cuadrado menos 3x más 5 al cuadrado. 00:57:52
Y ahora simplificamos. 00:58:01
Esto es muy sencillo. 00:58:05
Esto es 2x cuadrado menos 6x más 10. 00:58:07
Y aquí hemos tenido suerte porque tenemos suma por diferencia de cuadrados. 00:58:13
Esto es 2x más e2x menos 3, tendríamos 2x al cuadrado menos 3 al cuadrado. 00:58:19
Una de las igualdades notables que nos da, ahora paréntesis, 4x al cuadrado menos 9. 00:58:27
Y en el denominador tenemos, pues, x al cuadrado menos 3x más 5, todo ello al cuadrado. 00:58:36
Voy a hacer todos los pasos nuevamente en la simplificación. 00:58:45
2x cuadrado menos 6x más 10 menos 4x cuadrado más 9, todo ello entre x cuadrado menos 3x más 5. 00:58:48
Y esto nos da menos 2x cuadrado menos 6x más 19, todo ello, bueno aquí falta un cuadrado, entre x cuadrado menos 3x más 5 al cuadrado. 00:59:02
Y con esto habíamos terminado este apartado. 00:59:24
Vamos a ver ahora una hereda nueva, concretamente la de la tangente de x. 00:59:29
Vamos a verla como cociente del seno y del coseno porque calculando la derivada así se van a deducir automáticamente las diferentes formas que tiene esta derivada y que son equivalentes. 00:59:37
Vamos a empezar igual que antes. Esto es f, esto es g. Tendríamos f' por g, menos f por g' y aquí g cuadrado. 00:59:52
De modo que en el numerador tendríamos derivada del seno, que es el coseno de x, ahora por gx, nuevamente el coseno de x, menos f, que es el seno de x, y ahora la derivada del coseno, que es menos seno de x, y que ponemos entre paréntesis. 01:00:00
y en el denominador tenemos coseno al cuadrado de x. 01:00:17
Significando, tenemos coseno de x por coseno de x, coseno al cuadrado de x, menos por menos, más, 01:00:23
y ahora seno de x por seno de x, seno al cuadrado de x. 01:00:30
Y dividimos entre coseno al cuadrado de x. 01:00:34
Bien, y aquí podemos simplificar de dos maneras. 01:00:38
La primera será observar que el coseno al cuadrado de x más el seno al cuadrado de x es 1. 01:00:43
De modo que tenemos 1 entre coseno cuadrado de x. 01:00:46
Y ya tenemos una de las fórmulas de la derivada. 01:00:51
Esto además es 1 partido por coseno de x al cuadrado, y esto por definición es la secante de x. 01:00:58
¿Cómo es el cuadrado? Pues el cuadrado. 01:01:08
Y tenemos otra forma de poner la derivada, que es directa. 01:01:11
Lo que pasa es que, bueno, en general utilizamos más la palabra coseno de x que la palabra secante de x. 01:01:14
Y luego, pues otra sería, pues separar en dos, en el delineador tenemos coseno cuadrado de x entre coseno cuadrado de x más seno cuadrado de x entre seno cuadrado de x. 01:01:23
Y esto nos da, perdón, entre coseno cuadrado de x. 01:01:36
entonces aquí tenemos 1 más 01:01:42
seno de x entre coseno de x 01:01:45
al cuadrado 01:01:47
que es 1 más la tangente de x 01:01:48
al cuadrado 01:01:51
y entonces pues así 01:01:52
tenemos 01:01:55
tres formas de poner la derivada en realidad 01:01:56
dos, esta y esta 01:01:59
¿cuál es mejor? pues depende 01:02:01
del contexto, por ejemplo 01:02:03
pues puede parecer 01:02:05
que tengas que utilizar esta, por ejemplo 01:02:09
la hora de hacer integrales o lo que sea, con lo cual en este 01:02:11
caso compensa saberse las dos. Tanto 1 partido por coseno cuadrado de x como 1 más tangente 01:02:13
cuadrado de x. Además, sabiendo que esto es la secante de x al cuadrado, por definición. 01:02:19
Bueno, de hecho, es que una de las fórmulas de la trigonometría es que secante de cuadrado 01:02:29
de x es 1 más tangente cuadrado de x. Igual que otra muy parecida es que la cosecante 01:02:35
que cuadrado de x es 1 más la cotangente cuadrado de x. 01:02:41
Y se deduce precisamente haciendo esto. 01:02:48
Borremos un poco de información y pongamos algunos ejemplos. 01:02:53
Tenemos tres formas de expresar la derivada. 01:02:58
Nosotros emplearemos sobre todo la primera y la segunda. 01:03:00
Hagamos un par de ejemplos. 01:03:03
Pues 7 tangente de x menos logaritmo de periano de x más 5, por ejemplo, derivada. 01:03:06
Y por ejemplo, pues, tangente de x entre elevado a x más 2 derivada. 01:03:12
Vamos a emplear en la primera esta y en la segunda esta. 01:03:22
Bueno, pues, vamos a hacerlo. 01:03:27
Aquí tenemos dos derivadas sencillas que están restando, pues hacemos cada una. 01:03:30
7 por 1 partido por coseno cuadrado de x menos 1 partido por x. 01:03:37
Y ya está. Se podría simplificar ligeramente. 01:03:42
Y con mucho operar esto, sí hay que igualar a cero. 01:03:47
Pero bueno, así estaría bien. 01:03:56
La siguiente es un poco más compleja. 01:03:59
Tenemos lo de siempre. 01:04:01
Fg, f' por g, menos f por g' entre g al cuadrado. 01:04:04
f' es 1 más tangente al cuadrado de x. 01:04:10
por g, pues sería 01:04:14
elevado a x más 2 menos f 01:04:17
tangente de x, por g, pues la derivada de g 01:04:21
prima, la derivada de g es elevado a x 01:04:26
y en el denominador ponemos 01:04:29
g cuadrado, que es elevado a x más 2 al cuadrado 01:04:32
y ya está. Bueno, pues como ejercicio 01:04:37
podéis hacer dos, una muy sencillita 01:04:40
Pues yo que sé, 5 tangente de x menos x al cubo más coseno de x más 1 derivada 01:04:44
Si queréis hacer lo mismo que antes, ponéis primero esta y luego esta 01:04:56
Para practicar las dos 01:05:01
Y en la segunda, pues, elevado a x tangente de x menos 3, por ejemplo, derivada 01:05:03
Paréis la grabación y luego corregimos 01:05:15
bueno, vamos a corregir 01:05:19
la primera sería hacer cada una 01:05:24
5 por 1 partido por coseno cuadrado de x 01:05:27
menos 3x cuadrado menos seno de x 01:05:30
y ya está 01:05:35
como mucho se podría poner así 01:05:35
pero poco más 01:05:38
no se puede simplificar más 01:05:39
en la siguiente pues tenemos aquí un producto 01:05:41
esto es f por g 01:05:45
sería f' por g más f por g' 01:05:48
prima. Sería e elevado a x, que es la derivada de f, por g, que es tangente de x, más f elevado a x por la derivada de g. 01:05:51
Tangente cuadrado de x más 1. Ojo, habría que poner aquí un paréntesis porque si no estaría mal. 01:06:06
Y aquí ya está. Bueno, se puede simplificar ligeramente sacando el factor común de elevado a x, pero poco más. 01:06:15
tangente de x más tangente cuadrada de x más 1, incluso se puede reordenar 01:06:20
y ya está. Vamos a ver ahora la regla de la cadena 01:06:27
que dice que si busco la derivada de g de f de x 01:06:38
entonces es g' de f de x 01:06:42
por f' de x. Concretemos un poco 01:06:47
si tenemos por ejemplo las funciones 01:06:51
Entonces x elevado a n, elevado a x, logaritmo de periódico de x, seno de x o coseno de x. 01:06:55
Y tenemos sus respectivas derivadas. 01:07:03
Cuando tengo la función, una función elevado a n o elevado a una función, o el logaritmo en el periódico de la función, o el seno de la función o el coseno de la función, 01:07:13
automáticamente su derivada va a ser lo que teníamos antes 01:07:26
por ejemplo en el caso de elevado a f 01:07:31
multiplicando después por f' 01:07:32
en el caso del seno, si teníamos coseno de x 01:07:37
pues tendríamos coseno de f y luego multiplicamos por f' 01:07:41
la derivada del coseno menos seno de f 01:07:45
y luego por f' 01:07:50
y lo mismo, f elevado a n, nf, n-1 01:07:51
por f' 01:07:56
y el logaritmo sería 01:07:57
1 partido por f por f' 01:07:59
pero en el caso del logaritmo 01:08:02
la cosa puede mejorar un poco 01:08:05
porque se puede escribir 01:08:07
mejor 01:08:08
f' partido por f 01:08:10
que es un poco más 01:08:14
elegante y rápido de escribir 01:08:17
con lo cual es aplicar esto 01:08:19
por ejemplo, nos dicen 01:08:22
e elevado a 01:08:23
x cuadrado más 3 01:08:25
Pues la derivada sería, esto es elevado a f, ¿dónde f es esta función? Pues la derivada sería elevado a f por f', regla de la cadena, elevado a x cuadrado más 3 por la derivada de lo de adentro. 01:08:27
coseno de e elevado a x menos 3x más 2 derivada 01:08:44
pues tenemos la función f y tenemos coseno de f 01:08:56
la derivada sería menos seno de f por f' 01:09:00
que sería pues menos seno de e elevado a x menos 3x más 2 01:09:03
por la derivada que es 01:09:11
elevado a x menos 3 01:09:14
y así sucesivamente 01:09:16
tenemos el logaritmo periano de 01:09:19
x cubo menos 2x más 5 01:09:22
derivada 01:09:25
tenemos el logaritmo de f 01:09:27
es más fácil poner 01:09:29
la derivada del logaritmo 01:09:31
que sería 01:09:34
f periado partido por f 01:09:35
entonces sería 01:09:38
f' pues 3x cuadrado menos 2 y f 01:09:40
x cubo menos 2x más 5 01:09:45
con lo cual en general lo que hacemos es repetir la función 01:09:49
y poner la derivada después, salvo en el caso del logaritmo 01:09:53
que es la única que habría que aprender un poco más de memoria 01:09:57
que escribimos de forma un poco más elegante 01:09:59
bueno, y hacemos una polinomial 01:10:02
coseno de x elevado a 5 01:10:06
que esto lo excluimos como coseno de 5 de x 01:10:15
si hacemos la derivada 01:10:19
¿qué tendríamos? 01:10:20
pues una función que es el coseno elevado a 5 01:10:23
entonces, ¿la derivada cuál sería? 01:10:26
pues 5f4 por f' 01:10:30
pues eso es 01:10:33
5 por coseno 4 de x 01:10:34
por la derivada del coseno que es menos seno de x 01:10:38
Si simplificamos, tenemos menos 5 coseno de 4 de x por seno de x. 01:10:41
Bueno, pues vamos a practicar algunas. 01:10:50
Aquí no hay espacio, vamos a hacer un zoom y seguimos. 01:10:53
Bueno, vamos a practicar algunas. 01:11:01
He elevado al coseno de x más 3, logaritmo de Periano de x al cuadrado menos 3x más 1, 01:11:02
e elevado a 5x, coseno de x más 3 derivada, coseno a la cuarta de x derivada, y por ejemplo, pues, e elevado a x más logaritmo de perinode x menos 1, todo ello elevado a 7 derivada. 01:11:13
Bueno, pues hace de estas y luego corregimos. 01:11:58
Corregimos la primera derivada de la forma elevado a f, donde f es esta función. 01:12:12
Por lo tanto, la derivada será elevado a f por f' 01:12:18
Es decir, elevado a coseno de x más 3 por f' que es menos seno de x. 01:12:22
Esto sería más simple si pusiéramos el menos y quitaríamos de paréntesis 01:12:35
Y de hecho más elegante si ponemos seno de x y luego elevado a coseno de x más 3 01:12:41
La segunda derivada es de la forma logaritmo de periodo de f 01:12:48
Donde f es esta función 01:12:56
Y la derivada es f' partido por f 01:12:59
Pues nada, esta es la única que hay que aprender de memoria 01:13:02
entonces pondremos arriba la derivada que es 2x menos 3 01:13:06
y abajo la función x cuadrado menos 3x más 1 01:13:12
la siguiente es nuevamente de la forma elevado a f 01:13:16
donde f es 5x 01:13:20
como tenemos como derivada elevado a f por f' 01:13:22
pues sería elevado a 5x por la derivada de 5x que es 5 01:13:26
puesto de forma más elegante 5 por elevado a 5x 01:13:31
En la siguiente tenemos una derivada de la forma coseno de f, donde f es x más 3 01:13:36
De modo que la derivada es menos seno de f, que es la derivada del coseno en la f, por f' 01:13:43
Es decir, menos el seno de x más 3 01:13:53
Pero f' ¿cuál es? 1, realmente se deja igual, no hace falta poner 1 01:13:58
Directamente pondríamos esto 01:14:04
Vamos a la siguiente, aquí tenemos coseno de 4 de x que sería una función que es coseno de x elevado a 4 01:14:08
Entonces tenemos f elevado a 4 cuya derivada es 4f cubo por f prima 01:14:19
Pues lo ponemos 4 coseno cubo de x, 4f cubo por la derivada del coseno que es menos seno de x 01:14:26
Simplificando esto es menos 4 coseno cubo de x por seno de x 01:14:37
La última es nuevamente una derivada de una función de la forma f elevado a 7 01:14:47
Cuyo derivada sería 7f elevado a 6 por f' 01:14:55
Pues nada, donde f es esta función 01:15:00
Bueno, pues lo ponemos. Sería 7 por elevado a x más logaritmo de piano de x menos 1 elevado a 6 por eje prima, que es elevado a x más 1 partido por x y la constante que se va. 01:15:05
Y ya está. Esta no se puede significar más. 01:15:27
un par de ejemplos calificadores 01:15:30
si hacemos la derivada del logaritmo de x a la 5 01:15:33
nos sale lo siguiente 01:15:37
esto es de la forma 01:15:42
logaritmo de pierna de f 01:15:43
cuya derivada es f' partido por f 01:15:46
por lo tanto sería 01:15:48
5x4 entre x a la 5 01:15:52
ahora bien, si simplificamos 01:15:55
nos sale 5 partido por x 01:15:58
la razón es la siguiente 01:16:00
Si cogemos esta derivada por las propiedades de los logaritmos, esto es 5 veces el logaritmo heperiano de x. 01:16:05
Derivada que es precisamente 5 por 1 partido por x, esto es 5 partido por x. 01:16:17
Obviamente coinciden. 01:16:25
Otro ejemplo calificador es hacer la derivada del seno de 2x. 01:16:30
que va a ser lo mismo que la derivada de la función equivalente 2 seno de x coseno de x. 01:16:35
Aquí tendríamos seno de f cuya derivada es coseno de f por f' en este caso coseno de 2x por 2. 01:16:51
Esto es 2 coseno de 2x. 01:17:07
En este caso, si derivamos, tendremos f y g, cuya derivada es f' por g más f por g' 01:17:09
y obtenemos 2, porque multiplica todo lo que vaya a dar, 01:17:19
bueno, podemos poner también que la función f tiene el 2 incluido, 01:17:26
Pues 2 coseno de x por coseno de x más 2 seno de x por menos seno de x 01:17:31
Esto es 2 coseno cuadrado de x, aquí ponemos el menos, menos 2, seno por seno, seno cuadrado de x 01:17:46
Esto es 2 coseno cuadrado de x menos seno cuadrado de x 01:17:56
Y esto coincide con el 2 veces el coseno de 2x, de modo que nuevamente son iguales como no podía ser de otra manera. 01:18:01
Un último apunte, si en el logaritmo en vez de tener el logaritmo de periano de x a la 5, 01:18:15
tuviéramos por ejemplo el logaritmo de periano de x a la 5 más 3, entonces esto ya no se podría hacer. 01:18:21
De hecho su derivada es, pues tomamos aquí logaritmo de pierna de f, aquí f' partido por f y tendríamos que es f' que es 5x4 entre x a la 5 más 3. 01:18:28
Y efectivamente esto no se puede poner como una potencia y esto no se puede simplificar. 01:18:49
Ahora que hemos explicado la derivada de la composición, esto es la regla de la cadena, 01:18:56
es un buen momento para explicar cuál es la derivada de coger un número a y elevarlo a x. 01:19:03
Y también de paso, pues explicar qué ocurre cuando tomamos el logaritmo en base a de x y derivamos. 01:19:10
En el primer caso obtenemos el logaritmo de perinodo de a por a elevado a x 01:19:19
y en el segundo, 1 entre el logaritmo de Pena de A por X. 01:19:25
Por ejemplo, la deriva de 2 elevado a X sería el logaritmo de Pena de 2 por 2 elevado a X 01:19:31
y el logaritmo en base 5 de X derivada sería 1 entre el logaritmo de Pena de 5 por X. 01:19:39
El caso del número e, cuando a es igual a e, es un caso particular de esto, puesto que si aplicamos esta fórmula a la función elevada a x derivada, obtendríamos el logaritmo neperiano de e por elevado a x, 01:19:51
Y lo mismo si tomamos el logaritmo neperiano de x, que no es más que el logaritmo en base de x, que sería 1 entre el logaritmo neperiano de e por x. 01:20:12
Lo que ocurre es que al ser el logaritmo neperiano de e igual a 1, esto se nos simplifica a tener e elevado a x y 1 partido por x. 01:20:31
Esta es la razón por la cual en cálculo, cuando uno hace la exponenciación, la base natural es e elevado a x y con el logaritmo, la base natural es el logaritmo de Operiano. 01:20:44
Porque la derivada se nos queda mucho más sencilla y también la integral. 01:20:56
Y ahora al hacer cálculos, y la derivada integral hay que utilizarlas bastante, pues todo se simplifica notablemente. 01:21:00
De hecho, históricamente, el número e tomó relevancia precisamente por cuestiones como esta. 01:21:11
Ya se conocía, pero cuando realmente tomó importancia es a la hora de calcular las tablas de logaritmos, que gracias precisamente a estos hechos que estamos indicando aquí, se hacían muchísimas más simples empleando el número e. 01:21:16
Bien, si sólo conocemos estas derivadas, no pasa nada porque las otras se pueden deducir de ellas. 01:21:31
En efecto, por ejemplo, a elevado a x es elevado al logaritmo de pleno de a, todo ello elevado a x. 01:21:46
Esto es elevado al logaritmo de pleno de a por x. 01:21:57
Por lo tanto, al derivar, si hacemos a elevado a x derivada, tendríamos elevado al logaritmo de perinodo de a por x, que es una función de la forma elevado a f y cuya derivada es elevado a f por f'. 01:22:01
Entonces obtenemos elevado al logaritmo de perinodo de a por x por el logaritmo de perinodo de a. 01:22:20
Y esto es el logaritmo de P no de A, cambiándolo de orden, por esto que ya hemos visto que es A elevado a X. 01:22:30
Muy rápidamente, en el caso de que nos pidan la derivada de 2 elevado a X, pues tendríamos lo mismo como el logaritmo, solo que quiero ir a la cadena. 01:22:38
Ahora, el logaritmo, por ejemplo, en base a dx es el logaritmo de P1 de x entre el logaritmo de P1 de a de x. 01:23:03
Y esto ya es una constante aunque esté dividiendo por un número. 01:23:19
Esto es 1 partido por el logaritmo de P1 de a por el logaritmo de P1 de x, 01:23:22
cuya derivada es 1 partido por el logaritmo de P1 de A por 1 partido por X. 01:23:26
Y esto es 1 entre el logaritmo de P1 de A por X. 01:23:35
Por ejemplo, el logaritmo en base 10 que el 10 nos describe de X 01:23:39
sería el logaritmo de P1 de A por X entre el logaritmo de P1 de 10 01:23:51
Y eso sería, pues, 1 partido por logaritmo de P9 de 10, por 1 partido por X, esto es... 01:23:57
A ver, como ejemplos de ese tipo de derivadas, podéis hacerlas directamente, podéis tomar, pues, 5 elevado a X derivada y el logaritmo en base 7 de X derivada. 01:24:08
Ahora ahí lo realizáis y corregimos 01:24:30
Bueno, corregimos, muy fácil 01:24:32
Logaritmo neperiano de 5 por 5 elevado a x 01:24:36
Y aquí 1 entre logaritmo neperiano de 7 por x 01:24:39
Y ya hemos terminado 01:24:51
Nos quedan tres derivadas por dar 01:24:53
Que son 01:24:58
Largo tangente de x 01:24:59
Cuya derivada es 01:25:02
1 entre 1 más x al cuadrado 01:25:04
el arseno de x cuya derivada es 1 entre 1 menos x al cuadrado raíz cuadrada 01:25:07
y el arcoseno de x cuya derivada es menos 1 entre raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado. 01:25:15
Puede sorprender que el arseno y el arcoseno tengan derivada opuesta 01:25:27
pero si observamos que tenemos la siguiente identidad 01:25:31
10 que el arco seno de x es pi medios menos el arco seno de x y al revés, que el arco 01:25:36
seno de x es pi medios menos el arco seno de x, entonces a la hora de derivar ya sabemos 01:25:50
que la constante se nos va y entonces tendríamos una función, la deriva de una función es 01:26:01
menos la derivada de otra función, y viceversa aquí también. 01:26:08
Así que, pues, es lógico. Además, el arseno es creciente y eso es positivo, 01:26:14
y el arcoseno es decreciente y eso es negativo. 01:26:20
Vuelvo a esas observaciones y seguimos trabajando en el tema. 01:26:24
Hagamos algunos ejemplos para practicar. 01:26:29
Por ejemplo, la derivada de la arcotangente de elevado a x, 01:26:33
la derivada del arseno del logaritmo de x y el arcoseno de x al cubo, derivada, derivada y derivada. 01:26:39
En el primer caso, pues tendríamos la arco tangente de una función cuya derivada es 1 partido por 1 más f cuadrado por f prima. 01:26:58
O si queréis, f prima partido por 1 más f cuadrado. 01:27:12
Pues nada, sería e elevado a x, f prima, por 1 más f cuadrado, que es elevado a x al cuadrado. 01:27:16
Aunque eso se puede simplificar poniendo elevado a x entre 1 más elevado a 2x 01:27:25
La segunda lo mismo 01:27:31
Tenemos el arc seno de una función 01:27:33
Cuya derivada es 1 partido por raíz cuadrada de 1 menos f cuadrado por f' 01:27:37
O si queréis f' entre 1 menos f cuadrado raíz cuadrada 01:27:43
Entonces tendríamos la derivada del logaritmo que es 1 partido por x 01:27:48
y raíz cuadrada de 1 menos el logaritmo de x al cuadrado 01:27:55
Se podría simplificar dejándolo así 01:28:01
1 entre x raíz cuadrada de 1 menos logaritmo de x al cuadrado 01:28:03
Por último, aquí tendríamos el arcoseno de una función 01:28:08
cuya derivada es menos 1 entre 1 menos f cuadrado 01:28:19
raíz cuadrada por f prima 01:28:23
que también se puede poner como menos f entre raíz cuadrada de 1 menos f al cuadrado. 01:28:26
La derivada es, pues, menos derivada de f menos 3x al cuadrado entre raíz cuadrada de 1 menos x al cubo al cuadrado. 01:28:32
La única simplificación sería poner menos 3x al cuadrado entre raíz cuadrada de 1 menos x a la 6. 01:28:44
Bueno, pues hace tres ejemplos y ya está. 01:28:51
Por ejemplo, la derivada del arco tangente de x a la 5, del arc seno de x a la 8 menos 3 y del coseno de elevado a x, por ejemplo. 01:28:55
Para ir a grabación lo hacéis y corregimos. 01:29:20
Bien, corregimos. Aquí tenemos el arco tangente de una función cuya derivada es 1 partido por 1 más f cuadrado por f', es decir, f' partido por 1 más f cuadrado. 01:29:24
Es cuestión de ponerlo, sería f' que es 5x4 entre 1 más x5 al cuadrado 01:29:40
Ya con práctica, voy a poner directamente 5x4 entre 1 más x a la 10 01:29:52
En la otra, pues sería el arc seno de una función, tiene como derivada 1 entre la red cuadrada de 1 menos f cuadrado por f' 01:29:58
esto es f' entre 1 menos f al cuadrado raíz cuadrada. 01:30:09
Entonces su derivada sería f' que es 8x7 entre 1 menos raíz cuadrada de x a la 8 menos 3 al cuadrado. 01:30:17
se podría 01:30:34
simplificar 01:30:36
tampoco hace falta 01:30:39
si lo hacemos, pero tampoco 01:30:40
8x7 entre la raíz cuadrada 01:30:43
esto da 01:30:47
1 menos, ahora paréntesis 01:30:52
x a la 16 menos 6x8 01:30:55
más 9 01:30:58
que nos da 8x7 01:31:01
entre, bueno ya 01:31:06
calculando todo esto 01:31:08
menos x a la 16 más 6x a la 8 01:31:09
y luego sería menos 9 que más 1 es menos 8 01:31:13
Por último, pues esta función es un arco seno de x 01:31:19
cuya derivada es menos 1 entre raíz cuadrada de 1 menos f cuadrado por f prima 01:31:27
esto es menos f prima entre raíz cuadrada de 1 menos f cuadrado 01:31:32
La derivada es menos f prima que es menos elevado a x 01:31:37
entre la raíz cuadrada de 1 menos 01:31:42
f cuadrado que es elevado a x al cuadrado 01:31:44
la significación que se podría hacer es 01:31:47
menos elevado a x entre la raíz cuadrada de 1 menos 01:31:50
elevado a 2x 01:31:54
y ya está 01:31:55
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Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
10
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 11:20
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 1
Duración:
1h′ 32′
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
757.64 MBytes

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