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Ecuaciones de la Recta en el espacio - Contenido educativo
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Se estudian los cinco tipos de ecuaciones de la recta: vectorial, paramétrica, continúa, recta que pasa por dos puntos y ecuaciones implícitas o cartesianas. Video del bloque de Geometría de Matemáticas II
Bienvenidos al siguiente vídeo del bloque de geometría en el espacio. En esta ocasión vamos
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a estudiar las distintas formas que hay de escribir la ecuación de una recta. Antes de nada necesitamos
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recordar que las coordenadas de un punto P coinciden con las coordenadas del vector que
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tiene por extremo inicial el origen de coordenadas y por extremo final el punto P. Si lo que queremos
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es calcular las coordenadas del vector que une dos puntos arbitrarios del espacio A y B, no hay más
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que restar a las coordenadas del extremo final B las del inicial A. Fácil, ¿verdad? Bueno, pues ahora
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vamos a fijar una recta en el espacio tridimensional. ¿Qué datos son necesarios para determinarla del
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todo? Pues, por ejemplo, un punto llamado punto posición y un vector, el vector director. Si
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tomamos un punto arbitrario P de coordenadas X, Y, Z, las condiciones para que ese punto
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pertenezca a la recta nos determinarán las distintas ecuaciones de la misma. Por ejemplo,
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el punto P estará en la recta R si el vector AP, que une el punto posición de la recta
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con P, es proporcional al vector director de la recta U. Obtenemos así la llamada ecuación
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vectorial OP igual a OA más lambda por U. Veamos un ejemplo con datos concretos. A igual
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a menos 2, 6 menos 1 y U igual a 2, 1, 3. La ecuación vectorial se calcula de esa manera
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y determina en realidad una ecuación para la X, otra para la Y y otra para la Z. Escribiendo
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esto como un sistema de ecuaciones obtenemos las ecuaciones paramétricas. Las ecuaciones
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paramétricas son muy sencillas. Los coeficientes del parámetro lambda son las coordenadas
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del vector director y los términos independientes son las coordenadas del punto posición. A partir
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de las ecuaciones paramétricas, si despejamos lambda de una ecuación y la sustituimos en las
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otras dos, obtenemos la ecuación en forma continua. Siguiendo con el ejemplo anterior,
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vemos cómo las coordenadas del punto posición quedan en el numerador cambiadas de signo y las
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del vector director en el denominador. Si en lugar ahora de tener como datos un punto y un vector
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tenemos dos puntos, A y B, la cuestión es también sencilla. No hay más que calcular el vector
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director AB, restando las coordenadas de B menos las de A, y sustituir en la ecuación continua.
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Obtenemos así la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Y vamos por fin con el último tipo
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de ecuación de la recta. La ecuación en forma continua es en realidad dos ecuaciones. Lo mismo
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ocurre con su primera hermana, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si simplificamos
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la primera de ellas, obtendríamos una ecuación del tipo ax más bi igual a c. Y si hacemos
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lo mismo con la segunda, la de la derecha, obtendremos una ecuación del mismo tipo en
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las variables y y z. Como vamos a ver en el próximo vídeo, una ecuación lineal con
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tres incógnitas representa un plano. Dos ecuaciones de ese tipo representan dos planos. Por tanto,
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estamos escribiendo la ecuación de la recta como la intersección de dos planos. Estas
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son las ecuaciones implícitas o cartesianas de la recta. Cualquier pareja de planos que
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se corten en nuestra recta nos valdrá para ello, claro. En resumen, hemos obtenido cinco
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formas de escribir la ecuación de la recta. Dos de ellas, vectorial y paramétrica, que
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dependen de un parámetro. Las otras tres, recta que pasa por dos puntos, ecuación continua
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y ecuaciones implícitas, se escriben sólo en función de las coordenadas x y z. Para
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pasar de las ecuaciones paramétricas a las implícitas no hay más que eliminar el parámetro
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lambda. Al revés, para obtener las paramétricas a partir de las ecuaciones implícitas basta con
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resolver el sistema. Fijaos que es un sistema compatible indeterminado cuya solución dependerá
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de un parámetro, el parámetro lambda. Geométricamente las ecuaciones que dependen de un parámetro
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representan a la recta como la trayectoria que describe un punto al
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variar dicho parámetro, mientras que las ecuaciones implícitas describen a la
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recta como intersección de dos planos. Esta misma filosofía en realidad se puede
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aplicar a cualquier curva en el espacio. Bien se puede representar como la
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intersección de dos superficies mediante sus ecuaciones implícitas o bien
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mediante unas ecuaciones paramétricas que describen la posición de un punto al
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moverse en el espacio en función de los valores del parámetro. Pero eso ya es adentrarse
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en el maravilloso mundo de la geometría de curvas y superficies, que será objeto de
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futuros vídeos. ¡Hasta la próxima!
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
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- Bachillerato
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Manuel Domínguez
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 279
- Fecha:
- 31 de octubre de 2018 - 7:10
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Duración:
- 05′ 15″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 30.01 MBytes
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