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Suma y Resta de Vectores en Geogebra - Contenido educativo - Contenido educativo

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Subido el 20 de febrero de 2022 por Roberto A.

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bueno vamos a representar gráficamente la suma y resta de vectores y vamos a ver cómo hallar el 00:00:01
módulo de esos vectores sumas o restas dependiendo del ángulo que forman esos vectores para empezar 00:00:08
voy a crear un punto en el punto por ejemplo 53 me da igual aquí vemos que se ha creado un vector 00:00:15
con centro perdona un punto en el 5 ahora lo que voy a definir es una circunferencia cuyo centro 00:00:25
es ese punto y de radio le voy a poner un con qué objetivo pues que el módulo de todo de todo 00:00:32
vector que empiecen a y tenga como fin cualquier punto de la circunferencia su módulo va a ser uno 00:00:41
que es el radio, ¿vale? Ahora voy a hacer otra circunferencia, por ejemplo, también con centro A, 00:00:49
pero el radio, perdona, vamos a hacer una circunferencia centro y el radio. Definimos el centro A y el radio, 00:00:57
por ejemplo, 3, ¿de acuerdo? Con lo cual, igual, si yo tengo un vector cuyo origen es el punto A 00:01:07
y cuyo extremo es cualquier punto de esta nueva circunferencia, 00:01:14
pues todos esos vectores van a ser de módulo. 00:01:18
Voy a crear un vector que va desde A, que es 5, 3, a, por ejemplo, el punto 6, 3. 00:01:22
Vemos aquí, no sé si se ve bien, que el punto B está en el 6, 3 00:01:33
y por tanto el vector, si lo veis aquí 00:01:41
tiene coordenadas 1, 0 00:01:43
empieza en 00:01:45
5, 3, empezaba en 6, 3 00:01:47
y tiene 11 00:01:49
si yo este punto 00:01:51
B, yo lo muevo 00:01:53
podéis ver 00:01:55
que evidentemente el punto difiere 00:01:56
las coordenadas también 00:01:59
aquí me voy a el punto 00:02:01
menos 1, 0, aquí 00:02:03
también menos 1 00:02:05
es 0, estos son ya 00:02:07
errores de compilación aquí 0 1 vale pero todos estos vectores todo este vector que une el punto 00:02:09
a y el punto b es cualquiera de las circunferencias de radio 1 pues va a tener de módulo de módulo 00:02:17
el b por ejemplo aquí en el 6 me viene ahora otro vector otro vector cuyo origen es el centro 00:02:25
Y, por ejemplo, va aquí al punto 5, 6, con lo cual el vector es el 0, 3. 00:02:37
El 0, 3, su módulo es 3. 00:02:46
Si yo muevo este punto C, por ejemplo, aquí al punto 8, 3, pues el vector también es 3. 00:02:50
Aquí sería 0, menos 3. 00:02:59
Aquí 3, menos 0. 00:03:02
aquí es justo 0,3, al final todas las coordenadas van cambiando, pero sin embargo, si nosotros hacemos Pitágoras, al final lo que tenemos es un vector de módulo, ¿vale? 00:03:05
lo que a mí me interesa es 00:03:20
representar, que vamos a verlo aquí gráficamente 00:03:24
el vector uv 00:03:28
u más v, ¿vale? se representa aquí 00:03:30
de hecho, w, si yo muevo cualquiera de los dos puntos 00:03:35
pues este vector, veis que va 00:03:40
se va modificando, ¿de acuerdo? se va modificando 00:03:43
Y, por supuesto, si yo modifico C, pues este vector, este vector que es suma, se va a cambiar, evidentemente modificando. 00:03:47
La suma que es W la voy a poner en verde, ¿vale? 00:03:59
La voy a poner en verde para que luego veáis ustedes qué es lo que yo quiero estudiar y explicaros, ¿de acuerdo? 00:04:03
Aquí tengo la suma de u más v, es un vector que evidentemente si yo tengo alineado el b con el c, si yo lo tengo alineado pues el vector v va a medir 4, vemos aquí ahora están todos sobre la misma línea, 00:04:10
Por lo tanto, el producto escalar del coseno de 0 es 1, el producto escalar es la multiplicación de esos módulos, pues tenemos uno que mide 3, el otro que mide 1 y el vector suma pues es 4, ¿vale? 00:04:32
Yo, sin embargo, si ahora los hago 180 grados, como el producto escalar, el coseno de 180 es, lo diré, menos 1, pues entonces tenemos 1 menos 3, 1 menos 3 que es menos 1, ¿vale? 00:04:53
Vemos aquí que W va cambiando, va desde menos 2, luego va creciendo un poquillo en módulo, un poquillo en módulo, hasta que llega a 4. 00:05:16
Y luego vuelve a bajar, a bajar, a bajar, a bajar, a bajar, hasta que finalmente vuelve al menos 2, cuando se llevan 100. 00:05:27
El objetivo, pues ahora yo me voy a crear el u menos v, el vector u menos v, que es este de aquí, que además lo voy a representar, a ver si yo lo cambio. 00:05:36
vale 00:05:56
le han llamado a 00:05:58
u menos v 00:06:01
lo voy a poner de color 00:06:04
el positivo verde 00:06:06
y el colorado 00:06:09
si recordamos 00:06:12
lo que era gráficamente 00:06:16
nosotros cuando tenemos dos vectores 00:06:17
aquí tenemos el vector a b y aquí el vector 00:06:20
a c, le hacíamos 00:06:22
un paralelogramo 00:06:24
y si uníamos 00:06:26
al final es una especie de cometa o de rumboide 00:06:28
donde si unimos el origen común de los dos vectores 00:06:31
con la otra diagonal le da la suma 00:06:35
y si unimos la otra diagonal 00:06:38
como aquí lo que nos interesa es el módulo 00:06:43
pues es la diferencia. 00:06:45
Aquí podemos observar que la suma es más pequeña que la vectoria. 00:06:48
sin embargo pues llega un momento 00:06:56
sobre todo cuando están alineados 00:06:58
pues aquí que la suma vuelve a ser 00:06:59
mayor que la recta 00:07:02
en función del ángulo que van formando 00:07:03
así, así, así, así 00:07:05
y llega un momento, si os fijáis 00:07:07
si os fijáis, cuando son 00:07:10
perpendiculares, cuando son 90 grados 00:07:12
los ángulos que 00:07:14
forman, pues 00:07:16
U más V 00:07:17
y U menos V 00:07:19
pues son 00:07:21
ángulos como 00:07:22
como los complejos, los conjugados, ¿no? 00:07:25
Si os fijáis, sin embargo, el módulo es exactamente el mismo. 00:07:28
Aquí cuando ya son 180, las restas miden más que la suma. 00:07:33
Aquí cuando son perpendiculares, volvemos a ver que tienen el mismo módulo 00:07:38
y que son los dos conjugados. 00:07:41
Y aquí cuando están alineados, pues evidentemente la suma es mayor que... 00:07:43
Y me interesa mucho que veáis gráficamente, pues eso, ¿no? 00:07:50
El módulo de a más b o el módulo de a menos b es exactamente el mismo cuando son perpendiculares los vectores a y b, en este caso u y v. 00:07:54
Cuando u y v son perpendiculares, el módulo de a más b y el módulo de a menos b es exactamente igual. 00:08:10
Y aquí lo que hacemos precisamente es el módulo de 1 más el módulo de otro. 00:08:17
Aquí lo que hacemos es pitágoras. 00:08:27
Tenemos que el u es de módulo 1, el v es de módulo 3, 00:08:30
Por lo tanto, el módulo de la suma o el módulo de la diferencia es la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 3 al cuadrado, que no es otra cosa que el módulo de 10. 00:08:38
Nosotros aquí, si vemos precisamente la distancia o longitud, voy a quedar, me está boteando un poco, vamos a ver si hallamos distancia o longitud, vamos a ver desde aquí hasta aquí, me lo halla, y desde aquí hasta aquí, bueno. 00:08:50
Voy a ver si me pone aquí, voy a poner valor absoluto de u más v, cierro valor absoluto y aquí vemos que es 3.17, si comparáis la raíz de 10 es 3.17. 00:09:15
Y aquí si hago el módulo de u menos v y cierro el módulo, pues también cuando son perpendiculares exactos, pues es el mismo. 00:09:36
pero para eso tiene que ser justamente 00:09:55
perpéndico 00:09:58
esto sea perpéndicular lo veis 3,16 00:10:00
voy a hacerle un momentillo con la calculadora 00:10:06
para comprobarlo, ahí ya sí que son 00:10:10
perpendiculares, por lo tanto u más v 00:10:12
el módulo es lo mismo que v más u, voy a hacer raíz de 10 00:10:14
y efectivamente es 3,16 00:10:18
entonces esto es 00:10:20
muy importante y aquí lo vemos gráficamente. Como yo aquí, si voy 00:10:24
moviendo esto, pues los módulos van cambiando. 00:10:28
Vemos aquí que el módulo de la recta, cuando el ángulo 00:10:32
es 180, es 00:10:36
la suma 2 y lo tenéis que ver aquí. La suma 00:10:39
es 2, la recta es 4 y ahora que son 00:10:44
la misma línea, pues la suma vale 4 00:10:48
y la resta vale 2, es decir, cuando el ángulo es 0, pues la suma es la suma de los dos, 00:10:51
la resta es la resta de los dos módulos, en este caso recordamos que era 1 y 3. 00:10:58
Aquí cuando son 180 grados, precisamente por el producto escalar que es menos 1, 00:11:03
la suma vale 2 y sin embargo la resta, su módulo vale 4. 00:11:09
cuando son 90 grados estrictos, aquí podéis ver que este es 3.16 y este es 3.16, 00:11:14
es aplicar Pitágoras, módulo de uno al cuadrado más módulo de otro al cuadrado, su raíz cuadrada. 00:11:21
Y aquí igual, aquí cuando hacen 90 grados, a ver si consigo ponerlo aquí en 90 grados, 00:11:26
pues son dos vectores, si estábamos en complejo son los conjugados y el módulo 00:11:33
pues es exactamente el 3,16 ¿no? 00:11:39
¿Qué ocurre aquí? 00:11:45
Que cuando hace 90 grados 00:11:47
lo que forma la suma y la resta es un rombo 00:11:49
un rombo, perfecto 00:11:53
aquí no sé si os podéis imaginar 00:11:55
cómo se forma ese rombo 00:11:57
más v y v más u 00:12:02
¿vale? 00:12:06
Entonces, bueno, si tenéis alguna duda de esto, decídmelo, pero a mí lo que me interesa mucho es eso, ¿no? 00:12:06
Que veáis cómo la suma o la recta de ángulos va variando en función de los ángulos que forman esos vectores, ¿no? 00:12:15
Y por curiosidad, pues cuando los vectores forman 90 grados, pues el módulo de la suma de vectores es igual al módulo de la recta 00:12:24
y ahí es aplicar Pitágoras 00:12:34
y es pues eso, el módulo de uno al cuadrado más el módulo del otro al cuadrado 00:12:36
la raíz de la raíz. Veis aquí que si aquí formamos el paralelogramo 00:12:42
pues tanto el U más V como el V más U 00:12:46
es decir, el U más V sería, imaginaros que aquí tengo el punto D 00:12:50
voy a ver si puedo hacer el punto y lo llamo D 00:12:53
sería aquí, pues esto formaría un paralelogramo 00:12:57
logramos, ¿vale? A, B, C, D 00:13:02
cuando se forman 90 grados y vemos 00:13:04
que al ser un rectángulo 00:13:06
pues las diagonales son 00:13:08
exactamente iguales y una diagonal 00:13:10
A, D es la suma 00:13:12
y la otra diagonal 00:13:13
B, C es la recta 00:13:15
su módulo pues tiene que 00:13:18
ser igual y aquí es aplicar 00:13:20
Pitágoras, ¿no? Este mide 00:13:22
uno al otro mide tres 00:13:24
por lo cual 00:13:25
en este caso sería raíz 00:13:26
de raíz 00:13:30
dicha. Cualquier duda, me decís. 00:13:31
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
37
Fecha:
20 de febrero de 2022 - 19:08
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
13′ 36″
Relación de aspecto:
1.91:1
Resolución:
1024x536 píxeles
Tamaño:
34.22 MBytes

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