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Modelo B Ejercicio 4 Análisis de Matemáticas II - Contenido educativo

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Subido el 19 de enero de 2021 por Manuel D.

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Modelo B Ejercicio 4 Análisis de Matemáticas II

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Bueno, vamos con este ejercicio que trata sobre el teorema de error. Nos dan una función definida en trozos, lo tenéis ahí por pantalla, y nos piden calcular unos parámetros a, b y c para que esa función verifique las hipótesis del teorema de error. 00:00:00
entonces lo primero de todo es declarar las hipótesis del teorema de error 00:00:18
las hipótesis del teorema de error como sabéis son las siguientes 00:00:23
primero la función debe ser continua en el intervalo cerrado 00:00:27
nos están diciendo que el intervalo es el intervalo 0,4 00:00:31
entonces f es continua en el intervalo cerrado 00:00:35
tiene que ser continua en el derivable en el abierto 00:00:37
y pues la función vale lo mismo en los extremos 00:00:45
Si se verifican estas tres condiciones, entonces va a existir un valor de dentro, un valor de la x de dentro del intervalo abierto, de modo que la derivada en ese punto se hace cero. 00:00:58
Fijaos que en esa situación, si tenemos la función que es derivable, que en la función vale lo mismo, en f de 0, f de 0 y f de 4 valen lo mismo, 00:01:18
necesariamente, al menos una vez, va a haber un máximo o un mínimo. 00:01:30
Puede haber varios máximos o varios mínimos, pero como mínimo, bueno, a no ser que la función sea constante, en cuyo caso, pues todas las de puntos la derivada es 0. 00:01:35
En este caso no es constante porque tenemos un trozo de parábola y un trozo de recta. 00:01:44
Bien, entonces existe al menos un valor. 00:01:48
Bien, pues luego después nos van a pedir que calculemos este valor precisamente. 00:01:55
Bueno, pues vamos a interpretar estas tres condiciones como tres ecuaciones 00:01:59
y a partir de ellas pues resolveremos un sistema, plantearemos mejor dicho un sistema 00:02:04
que luego resolveremos teniendo en cuenta que tenemos tres incógnitas, vamos a tener tres ecuaciones, pues listo. 00:02:09
Bien, en primer lugar observad que la función f es una función definida a trozos y que tiene dos trozos, una parábola, si no me equivoco, si x es mayor o igual que 2, ¿verdad? 00:02:15
No, perdón, si x es mayor que 2 y una recta si la x es menor o igual que 2. Por tanto, va a ser continuo y derivable salvo quizá en el 2. 00:02:39
bueno y vamos a ver en x igual a 2 que es lo que ocurre 00:02:58
en x igual a 2 lo que tenemos que imponer es que sea continuo y que sea derivable 00:03:17
pues vamos a ello 00:03:20
la primera de las condiciones va a ser que el límite cuando la x tiende a 2 por la izquierda 00:03:22
debe ser lo mismo que el límite cuando la x tienda a 2 por la derecha 00:03:27
y esto equivale a pues al sustituir la x por 2 porque las funciones son continuas 00:03:33
A la izquierda tendremos 2c más 1 y a la derecha tendremos 4 más 2a más b. 00:03:40
Pues vamos con ello. 00:03:50
Vamos con ello. 00:03:53
Efectivamente, si estaba revisando, por si acaso, 4 más 2a más b será el límite por la derecha y por la izquierda 2c más 1. 00:04:02
Correcto. 00:04:12
Y entonces, ahora vamos con el tema de la derivada. 00:04:13
La derivada hay que calcularla, para ello lo que tendremos que hacer es derivar la parábola y derivar la recta. La derivada de x cuadrado más ax más b es 2x más a, si la x es mayor que a, mayor que 2, y si la x es menor que 2, la derivada valdrá c. 00:04:16
¿Y qué pasa en el 2? Eso es el dilema. Pues lo que tenemos que ver en el 2 es que los límites laterales de la derivada coincidan. 00:04:41
Si coinciden estos límites laterales, pues la derivada, la función será derivable en el 2. 00:04:53
Es decir, que lo que vamos a hacer es sustituir en esa ecuación de ahí. 00:04:58
De manera que al sustituir nos queda por 2, pues el límite por la derecha será 4 más a y el límite por la izquierda será a. 00:05:04
Con lo cual tenemos ahí esa ecuación. De momento tenemos 2. ¿Cuál es la tercera? Pues la tercera es la que poníamos antes. La función debe valer lo mismo en el 0 que en el 4. 00:05:15
Habrá que sustituir por 0. La función en el 0 vale como la de abajo. f de 0 vale 1 y f de 4 vale, pues sustituir arriba, 4 al cuadrado 16 más 4 a más b, 16 más 4 a más b. 00:05:26
Y ahora pues debemos igualar esas dos ecuaciones. 4a más b más 16 debe ser igual a 1. Entonces, ¿qué hacemos ahora? Pues juntar las tres ecuaciones. 00:05:48
Si juntamos las tres ecuaciones habremos resuelto, habremos planteado ya el sistema. Vamos con ellas. La primera de ellas vamos a simplificarla un poquito. 00:06:06
Que quedaría 2a más b menos 2c. 2a más b menos 2c igual a menos 3. La segunda quedaría a menos c igual a menos 4. Y la última quedaría 4a más b igual a menos 15. 00:06:15
Correcto, bueno, entonces ahora lo que vamos a hacer es aplicar la reducción 00:06:42
Lo más sencillo es restar la primera a la segunda 00:06:47
Vamos a ver, perdón, la tercera menos la primera 00:06:51
Restamos y obtenemos una ecuación que solo tiene a y c 00:06:54
Que luego juntamos con la segunda 00:06:57
Bueno, pues venga, restamos 2a 00:06:59
b menos b es 0, menos menos c es más 2c 00:07:01
Eso es igual a 3 00:07:06
perdón, menos 15 00:07:09
menos menos 3, menos 15 más 3 00:07:12
pues 00:07:14
menos 15 más 3 es 00:07:15
menos 12 y dividiendo todo entre 2 00:07:17
A más C igual a 00:07:20
menos 6 00:07:22
tenemos esa ecuación y ahora vamos a juntar 00:07:22
esa ecuación con esta de aquí 00:07:26
y juntando esas dos 00:07:28
ecuaciones resolvemos ese sistema 00:07:30
chupado y obtenemos A y B 00:07:32
A y C, perdón, vamos con ello 00:07:33
Vamos a pintar mejor en boli, ¿verdad? 00:07:35
a más c igual a menos 6 00:07:40
Bien, y luego tenemos a menos c igual a menos 4 00:07:42
Sumando, 2a igual a menos 10 00:07:49
Con lo que a vale menos 5 00:07:53
Si la a vale menos 5, ya la tenemos resuelta 00:07:55
Necesariamente, de la de arriba, la c valdrá menos 6 menos a 00:07:58
es decir, la c vale menos 1, con lo que ya tenemos el valor de la c y ahora calculamos el valor de la b que nos queda 00:08:03
que la sacamos de aquí, por ejemplo, b será igual a menos 15 menos 4a, es decir, menos 15 menos 4 por menos 5 más 20 00:08:11
con lo que la b vale 5 y ahora ya sustituimos la función, vamos a copiarla y vamos a pegarla 00:08:21
No la tengo copiada en ningún lado, no la puedo copiar y pegar, pero la reproducimos. f de x será igual a x cuadrado más ax más b. f de x será x cuadrado menos 5x más b, que la b valía 5. 00:08:29
Aquí la tenemos. Y eso si la x es mayor que 2. Y cx, la c hemos quedado que vale menos 1, pues menos x más, ¿cuánto era? Menos x más 1 si la x es menor o igual que 2. 00:08:47
Ya tenemos nuestra función, ya tenemos gran parte de lo que nos pedían y ahora lo que necesitamos es, vamos a calcular la derivada porque nos piden el punto donde se verifica el punto que asegura el teorema de Rho, para ello derivamos, ya teníamos, podíamos sustituir en la derivada que ya la tenemos calculada o directamente como sabemos que es derivable podemos poner algún igual en los dos lados, 00:09:07
Fijaos que al sustituir por 2, 2 por 2 es 4, menos 5 menos 1 igual a menos 1, o sea que funciona, es continua y derivada. 00:09:31
Esta derivada existe, es continua en todo R. 00:09:37
Y nada más, ahora, ¿qué hacemos? Igualar a 0 porque sabemos que existe un valor c dentro del intervalo 0, 4. 00:09:41
Esta solución tiene que estar en el intervalo 0, 4. 00:09:48
Aquí no hay ninguna ecuación, menos 1 igual a 0 nada, nada, pero 2x menos 5 sí. 00:09:52
2x menos 5 igual a 0, con lo cual x igual a 5 medios es el valor, buscar es nuestro valor que llamaban c minúscula en la letra 00:09:56
aquí utilizar una c cuando se está utilizando aquí, o sea que enunciado, ahí habría que cambiarlo para poner ahí otra letra 00:10:09
pero bueno, este es el valor que aseguraba nuestro teorema de Rolle, así que ahí lo tenéis, f' de 5 medios es igual a 0 00:10:15
Este valor que existe por el teorema de Rho es el 5 medios. 00:10:28
Solo existe uno en este caso, que es el 5 medios, donde la derivada es acelera. 00:10:46
Bueno, pues esto es todo. Vamos a por el siguiente ejercicio, ¿os parece? 00:10:50
Venga, por él. 00:10:54
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
13
Fecha:
19 de enero de 2021 - 23:06
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
10′ 56″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
46.55 MBytes

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