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Intersección Recta Cónica - Contenido educativo

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Subido el 14 de octubre de 2021 por Ramon De F.

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Método para hallar los puntos de intersección entre una curva cónica y una recta.

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Hola a todos. Os dejo en este vídeo las explicaciones para resolver el problema de la intersección 00:00:00

entre una recta y una curva cónica. Y con esto cerramos el tema de las curvas cónicas. 00:00:08

Vamos a recordar primero la definición de elipse en este caso. Veréis que el procedimiento 00:00:17

lo aplicamos igual para las tres curvas cónicas. 00:00:24

Entonces, si recordáis, la elipse punto M, el lugar geométrico de los puntos del plano 00:00:28

cuya suma de distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es la misma. 00:00:33

Esta definición es la que utilizábamos para construir la elipse. 00:00:39

Ahora, vamos a recordar una segunda definición. 00:00:42

Y es aquella en la que se definen los puntos de la elipse, en este caso, 00:00:48

de la curva cónica como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que 00:00:54

pasando por un punto fijo, el foco, son tangentes a la circunferencia focal del otro. 00:01:01

Véis que, dependientemente del punto que elija, la circunferencia que, teniendo centro 00:01:09

en el punto de la elipse, en este caso pasa por el foco prima, va a ser tangente a la 00:01:16

circunferencia focal de F, del otro foco. Entonces, ¿qué pasa? Que el problema de 00:01:23

la intersección entre la recta y la cónica va a ser encontrar este centro de una circunferencia 00:01:31

que pasando por el foco sea tangente a la circunferencia focal. Y para eso vamos a utilizar 00:01:39

el concepto de potencia, que vamos a repasar ahora. Por eso quería dejar este problema 00:01:44

después de haber visto potencia. 00:01:51

Recordad que el eje radical de dos circunferencias que se cortan 00:01:56

era muy sencillo de hallarlo porque era simplemente la recta que pasaba por esos dos puntos de corte. 00:02:01

Y ahora, veíamos que desde cualquier punto de ese eje 00:02:08

el valor de la distancia del punto al punto de tangencia 00:02:13

era el mismo. Entonces, fijaos que no importa 00:02:20

la circunferencia que yo haga, que siempre que pase 00:02:25

por A y por B, esta distancia desde el punto 00:02:29

al punto de tangencia va a ser la misma. 00:02:32

Entonces, ¿por qué era muy potente 00:02:37

el concepto de potencia 00:02:41

para resolver problemas de tangencias? Porque yo podía 00:02:45

a coger, o sea, si esta era la circunferencia de solución, pero yo no sé dónde está 00:02:49

el centro, un nuevo dato, que es el que me va a ayudar a conseguir ese centro, es que 00:02:52

dibújate cualquier circunferencia que comparta ese eje, porque esta distancia va a ser la 00:02:57

misma en la circunferencia auxiliar que trazas, que en la solución que no sabes dónde está, 00:03:04

con lo cual me está dando un dato. Entonces, vamos a resolver el problema y vemos cómo 00:03:09

se aplica la potencia aquí. Tenemos la recta, tenemos la elipse, pero no hace falta tener 00:03:16

el dibujo, de hecho no lo tendremos, lo que tendremos serán los datos. Y encontraremos 00:03:22

los puntos de intersección sin dibujar la elipse. Lo primero que haremos será dibujar 00:03:28

la circunferencia focal, desde el otro foco trazamos la perpendicular y su simétrico, 00:03:36

de tal forma que ahora F'1 y F van a ser estos dos puntos A y B 00:03:43

con lo cual esta recta verde es el eje radical 00:03:51

y ahora la circunferencia solución pasará por F por F' 00:03:57

y será tangente a la circunferencia focal 00:04:02

como no la conozco, cojo una circunferencia auxiliar cualquiera 00:04:06

que va a compartir ese eje radical que tenéis ahí en verde 00:04:11

Bien, esa circunferencia auxiliar corta a la circunferencia focal creándome un eje radical auxiliar. 00:04:15

Este será el centro de las tres circunferencias, es decir, el centro radical de la circunferencia auxiliar, la circunferencia focal y mi circunferencia solución. 00:04:28

Con lo cual si desde ese centro radical hallo la tangente a la circunferencia auxiliar, que sería lo mismo que hallar la tangente a la circunferencia focal, este valor es el que me va a dar el punto de tangencia de la solución con la circunferencia focal y veréis que me da dos posibles soluciones. 00:04:40

Entonces, desde esos puntos M y N unimos con el otro foco y estos son los puntos solución. 00:05:07

¿Veis? La circunferencia en blanco que pasaría por F y por F' y por el punto de tangencia. 00:05:16

¿Por qué este es el punto de solución? Porque si la circunferencia solución blanca y la circunferencia focal son tangentes en M, 00:05:22

¿dónde está? ¿Qué condición se cumple entre el punto de tangencia y los centros? 00:05:31

que están alineados, luego alineo con el centro que conozco, el de la circunferencia focal, 00:05:34

y me sale la solución. 00:05:41

Esto funciona para las tres cónicas. 00:05:45

Entonces ya os dejo que vosotros lo reviséis y con esto podéis resolver ya los problemas. 00:05:49

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