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AN6. 1.1. Área subtendida por la gráfica de una función - Contenido educativo

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Subido el 15 de enero de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AN6 dedicada a las aplicaciones de las integrales. En la videoclase de hoy 00:00:22
estudiaremos el cálculo del área subtendida por la gráfica de una función. En esta videoclase 00:00:32
vamos a iniciar el estudio de las aplicaciones de las integrales con el caso más sencillo 00:00:48
posible, el cálculo del área de una superficie plana y más en concreto el área subtendida por 00:00:53
la gráfica de una función. Para ver a qué nos referimos con esto del área subtendida vamos a 00:00:59
utilizar un ejemplo. El ejemplo que vamos a tomar es este que tenemos aquí a la izquierda, la función 00:01:05
f de x igual a x al cubo menos 4x cuya representación gráfica tenemos aquí y que empleábamos como 00:01:12
ejemplo en la unidad cfu2 de funciones elementales y definidas a todos, como podéis ver dentro del 00:01:18
apartado de funciones polinómicas de orden superior a 2. 00:01:24
Bien, supongamos que se nos pidiera calcular el área limitada, acotada, 00:01:27
subtendida por la gráfica de la función, en este caso. 00:01:34
Se refiere al área limitada por la función y el eje de las x, el eje de abstizas que tenemos aquí. 00:01:38
Y en este caso se refiere a la suma de dos áreas. 00:01:45
La de esta superficie limitada que estoy marcando con el cursor por la gráfica de la función y el eje de las X, este lóbulo que encontramos a la izquierda del eje de ordenadas, del eje de las Y, más el área de esta otra superficie, también limitada por el eje de las X y la gráfica de la función, y que se encuentra a la derecha del eje de ordenadas. 00:01:48
Si fuéramos más hacia la derecha o más hacia la izquierda, el área que tendríamos no estaría limitada y entonces no se nos pide. 00:02:10
Área acotada, limitada, subtendida por la función, se refiere siempre a la limitada por la función y el eje de las x. 00:02:17
Podría haberse nos pedido algo diferente, se nos podría haber pedido el área subtendida por la gráfica de la función entre las abstizas, por ejemplo, x igual a menos 1 y x igual a 1. 00:02:26
En ese caso no sería toda este área y toda este área, sino que nos encontramos con a la izquierda el límite, la abstisa x igual a menos 1, así sería el área limitada por esta abstisa, la gráfica de la función y el eje de las x, y en el caso de hacia la derecha lo que tendríamos es el área de este otro trozo limitada por la abstisa x igual a 1, el eje de las x y la gráfica de la función. 00:02:37
Algo importante es que, teniendo en cuenta las propiedades de la integral definida que habíamos visto en la unidad anterior, 00:03:04
el área de esta superficie subtendida por la función es directamente la integral definida, 00:03:12
entre esta abscisa, donde la función corta al eje de las x, y esta otra, que en este caso va a ser x igual a 0, 00:03:19
más la suma de este otro área, pero hemos de tener en cuenta que, como decía, teniendo en cuenta las propiedades de las integrales definidas, 00:03:25
La integral entre esta abscisa y esta otra de la función nos va a dar un área negativa, 00:03:33
puesto que los valores de las imágenes, esas alturas de los rectángulos con los cuales, 00:03:41
teniendo en cuenta la definición de Dagú, estábamos calculando el área utilizando esas aproximaciones, 00:03:45
todas esas áreas son negativas. Así que hemos de tener cuidado. 00:03:52
No podemos calcular la integral definida alegremente, sino que tenemos que tener en mente que, 00:03:56
en el caso en el que la función es definida no negativa, el área va a ser positiva. 00:04:02
En el caso en el que el área es definida no positiva, el área va a ser negativa. 00:04:07
Así pues hemos de tener cuidado. 00:04:11
Y no calcular una única integral, entre en este caso esta abscisa y esta otra, 00:04:13
sino que tenemos que tener cuidado de dónde se producen estos posibles cambios de signo. 00:04:20
Dependiendo de cuál sea el grado del polinomio, en el caso de que se trate de una función polinómica, 00:04:25
si tenemos una función distinta tenemos cosas más complicadas bueno pues lo que necesitamos va a 00:04:29
ser encontrar los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y tener en cuenta que entre el 00:04:34
primer y el segundo punto de corte entre el segundo y el tercero entre el tercero y el cuarto y así 00:04:42
sucesivamente la función tendrá un mismo signo positivo o negativo y lo que tenemos que hacer 00:04:46
será calcular las áreas de cada uno de estos lóbulos entre el primero y el segundo el segundo 00:04:52
tercer tercero y cuarto etcétera puntos de corte y si no queremos mirar el signo 00:04:58
poner directamente el valor absoluto de la integral definida esto nos va a 00:05:03
garantizar que en estos casos donde la función es negativa tendremos el valor 00:05:07
absoluto del área tendremos positiva y en estos otros casos de una función es 00:05:12
positiva tendremos el área positiva en el caso en el que tengamos que 00:05:16
calcular el área limitada entre una abscisa o dos abscisas lo que tenemos 00:05:20
que hacer será descartar todos los ceros de la función que se encuentren a la izquierda de la 00:05:25
primera abstisa y a la derecha de la segunda, de tal forma que si por ejemplo aquí tuviéramos que 00:05:31
calcular el área subtendida limitada por las abstisas x igual a menos 1, x igual a 1, la 00:05:35
función y el eje de las x, una vez que determinamos todos estos puntos de corte nos quedaremos con, 00:05:41
empezando menos 1, desecharemos este, nos quedaremos con este punto de corte 0, nos quedaremos con la 00:05:47
Abstisa x igual a 1 y desecharíamos este otro punto de corte que está más allá de la última abstisa. 00:05:53
E insisto, el área que se nos pide se va a calcular con una integral definida y hemos de tener cuidado de que en el caso en el que la función es no negativa, 00:05:59
la integral definida nos va a dar el área con el signo adecuado. 00:06:08
En el caso en el que la función es no positiva, hemos de tener cuidado porque nos va a dar la integral definida un valor negativo que va a ser el área pero con el signo cambiado. 00:06:11
Habremos de tomar el valor absoluto. 00:06:20
Y si no queremos mirar los signos, directamente pondremos las sumas de esas integrales definidas siempre en valor absoluto. 00:06:22
Con el ejemplo que acabo de mencionar en mente, lo que viene aquí descrito en la parte de teoría cobra sentido. 00:06:32
Se nos dice que queremos calcular el área subtendida por la gráfica de una función en el intervalo cerrado AB. 00:06:38
Este es el caso en el que se nos dice entre las abstisas x igual a y la abstisa x igual a b. 00:06:46
Lo que hemos de hacer en ese caso es calcular las soluciones de la ecuación f de x igual a cero en el intervalo de integración, los puntos de acorte de la función, como os decía, que están a la derecha de la primera abstiza y a la izquierda de la segunda en el intervalo de integración. 00:06:52
Vamos a expresar el intervalo de integración como la unión de esos subintervalos que van desde a al primer cero, del primer cero al segundo, del segundo ante cero, etc., así hasta el último cero, hasta este valor x igual a b, hasta la última abstiza. 00:07:06
Y vamos a aplicar la regla de Barrow a cada uno de los subintervalos anteriores. Esto es, vamos a calcular las sucesivas integrales definidas entre a y el primer cero, entre el primer cero y el segundo, etc. hasta entre el último cero y esta abstisa b. 00:07:19
Esas integrales definidas nos van a dar esas áreas que indicaba anteriormente con cuidado de que en ocasiones será positiva porque la función es positiva, no negativa, o en otros casos nos saldrá un valor negativo puesto que la función es no positiva. 00:07:34
Así pues, el área buscada, como veis aquí, será la suma de los valores absolutos de los resultados anteriores. 00:07:47
Haremos la suma de los valores absolutos de las correspondientes integrales definidas. 00:07:53
El primer caso que os mencionaba era en el caso en el que no nos dan este intervalo cerrado AB, 00:07:59
sino que eso nos sabrá directamente del área de la superficie acotada, limitada, etc. 00:08:04
En ese caso, como os decía, lo que hemos de hacer es calcular todos los ceros de la función 00:08:10
y considerar que este intervalo cerrado es el que empieza en el primer cero, el más pequeño, y acaba en el último, el más grande. 00:08:16
Por lo demás, el procedimiento sería exactamente el mismo. 00:08:23
Determinamos los ceros de la función, expresamos el intervalo de integración como la unión de esos subintervalos 00:08:26
que van, en este caso, del primer cero al segundo, del segundo al tercero, etc., así hasta llegar al último, 00:08:32
y los últimos dos pasos son iguales. 00:08:38
En esencia, vamos a calcular el área como la suma de los valores absolutos de las integrales definidas en cada uno de esos intervalos. 00:08:40
Con esto que acabamos de ver, ya se pueden resolver estos ejercicios propuestos que veremos en clase y probablemente veremos en alguna videoclase posterior. 00:08:48
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:08:59
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:09:05
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:09:10
Un saludo y hasta pronto. 00:09:16
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
15
Fecha:
15 de enero de 2025 - 8:48
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
09′ 44″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
23.67 MBytes

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