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Resumen Vectores - Contenido educativo

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Subido el 15 de febrero de 2022 por Roberto A.

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Bueno, comenzamos, vamos a hacer un ligero repaso sobre el tema primero que compete para la segunda evaluación, los vectores y sus operaciones. 00:00:00
Lo que aquí tenemos que saber nosotros es que un vector, un vector a la vez, es un segmento orientado donde tenemos un origen y un extremo. 00:00:09
Y esto es muy importante, esto es muy importante porque nos ayuda a nosotros a luego, cuando manejemos la recta, a tener un vector directo. 00:00:17
Nosotros tenemos un origen A y un extremo B, por lo tanto, teniendo dos puntos, dos puntos A y B, yo puedo tener un vector. 00:00:28
Si el vector va de A a B, pues tiene un módulo, tiene una dirección y tiene un sentido. 00:00:38
El módulo es la distancia entre A y B, se designa entre barras, y es lo que mide realmente el vector. 00:00:46
La dirección es la recta que lo contiene y el sentido es muy importante porque nos lo dice la flecha. 00:00:53
Entonces cuando nosotros vamos de A a B, que es el vector AB que tenemos aquí, 00:00:59
pues aunque esté contenido dentro de esta recta, pues el sentido es partiendo de A, que es su origen, y su extremo es B. 00:01:05
Sin embargo, si nosotros tuviéramos el vector BA, pues su origen es B y su extremo es A. 00:01:13
Perdonad porque tengo un ratón y no es fácil dibujar, ¿vale? 00:01:22
Entonces, en el momento que nosotros tengamos un módulo, una dirección y un sentido, 00:01:30
pues nosotros tenemos definido lo que es el vector, ¿de acuerdo? 00:01:36
¿Qué ocurre? Que dos vectores son iguales, dos vectores son exactamente iguales 00:01:41
si tienen la misma dirección, módulo y sentido y se llaman equipolentes, ¿vale? 00:01:47
Y cuando queremos hacer uso, como aquí bien dice, de un vector, podemos tomar en su lugar cualquiera de los que son iguales a él, es decir, tenemos varios vectores equivalentes, por lo tanto, utilizamos uno de ellos, y cada uno de ellos es un vector fijo, sin embargo, el representante de ellos se llama vector libre, ¿de acuerdo? 00:01:52
¿De acuerdo? Entonces, en principio, lo que tenemos que saber de un vector es que tiene un origen, un extremo, por lo tanto, un módulo, una dirección y un sentido. 00:02:10
Luego, que al multiplicar un vector por un producto, pues lo que hacemos es aumentar ese módulo en k, aumentamos ese módulo en k, 00:02:19
y que luego, en función de si ese k es positivo o negativo, pues modificamos o no el sentido. 00:02:30
¿Vale? Evidentemente si nosotros multiplicamos por cero el vector es igual al vector cero, que tiene el mismo origen y el mismo destino, por lo cual su módulo es cero. 00:02:36
El menos v lo que hace es el opuesto de v, es decir, v empieza aquí, termina aquí y tiene esta recta que lo contiene en dirección desde este origen a este extremo, 00:02:47
Si el marco menos sube, pues es en sentido contrario, ¿vale? 00:03:01
¿Suma y resta de vectores? Pues súper importante, ¿vale? 00:03:05
Leemos esta parte de aquí, es muy importante para luego ver 00:03:08
cuando nosotros hallemos el punto medio o el varicentro de un triángulo 00:03:10
o la mediana y demás. 00:03:16
Todo esto nos va a servir saber cómo se suma y se resta gráficamente dos vectores, ¿vale? 00:03:18
Si todos lo sabemos, pues no es más. 00:03:26
como bien nos dice aquí para asombrar dos vectores u y v 00:03:28
se procede siempre del mismo modo 00:03:33
se sitúa u a continuación de v 00:03:36
con el modo que los orígenes coincidan de ambos vectores 00:03:41
y lo que hacemos es llevarnos v por ejemplo al extremo de u 00:03:47
o bien llevarnos u al extremo de v 00:03:55
El caso es que nosotros formamos aquí un paralelogramo donde la unión del vértice de unión de u y v con la diagonal donde termina ese paralelogramo, esto de aquí encolorado, ¿vale? Es la suma de los dos vectores, ¿vale? 00:03:58
Sin embargo, la recta es la otra diagonal, ¿de acuerdo? 00:04:18
Formamos siempre el paralelogramo U y V con el mismo origen. 00:04:26
Una diagonal desde el origen de U y V hasta el otro extremo es la suma de los ángulos 00:04:31
y luego si nosotros hacemos U-V, lo que nos vamos es al extremo donde acaba V 00:04:38
y hacemos la otra diagonal, en este sentido, ¿vale? 00:04:43
Si nosotros, por ejemplo, tuviéramos v menos v, es esto mismo, pero partiendo desde u y las flechas hacia v. 00:04:48
Aquí los ejemplos y vais a ver que no es complicado. 00:04:57
Esto ya os digo que se utiliza para que sea más fácil entender la fórmula del punto medio, 00:05:03
dividir un segmento en partes iguales y también a la hora de hallar la forma 00:05:10
en combinación lineal de vectores es muy importante en el sentido de que todo esto 00:05:20
todo esto vale es combinación lineal de otros dos vectores que nosotros decíamos que luego vamos a 00:05:25
A ver, nosotros tenemos aquí el vector x e y, que definen un plano. 00:05:34
Entonces, todos los puntos de este plano se pueden poner como combinación lineal de x e y. 00:05:40
Y eso es súper importante. 00:05:44
Las coordenadas de un vector, pues como tenemos que cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos, 00:05:49
esta combinación lineal es única. 00:05:58
Esa combinación lineal es única, quiere decir que nosotros si decidimos tener dos vectores que van a formar una base, lo que luego veremos como una base, 00:06:00
pues cualquier vector va a tener una serie de coordenadas respecto a esos dos vectores que tienen distintas direcciones. 00:06:16
Eso sí, súper importante, ¿vale? Los vectores no pueden tener la misma dirección porque si no tendríamos uno que es combinación lineal del otro, son dos vectores que se llaman linealmente independientes, ¿vale? 00:06:23
Y entonces saber que existen unas coordenadas respecto a la base. 00:06:35
Aquí viene el concepto de base, ¿no? El conjunto de base se llama base al conjunto de los vectores del plano, del conjunto de los vectores del plano a dos vectores cualesquiera que tengan, eso sí, distintas direcciones. 00:06:41
Lo importante de la base ortonormal, pues la base ortonormal primero es ortogonal porque forma 90 grados, son perpendiculares entre ellos, 00:06:53
y luego el módulo de cada uno de esos vectores sobre los cuales vamos a hacer las coordenadas, pues tiene el módulo. 00:07:03
Esto de aquí la verdad que es súper, súper importante. 00:07:11
Todo esto de aquí es muy importante. 00:07:15
¿Vale? Entonces, en el momento que nosotros tengamos una base, es decir, tenemos, en este caso, si es un plano, 00:07:17
tenemos dos vectores, pues cualquier vector, como es combinación lineal de ellos, 00:07:24
pues se puede poner como un número multiplicado por uno de ellos, más otro número multiplicado por el otro que forma el vector. 00:07:29
Es decir, si x e y son los vectores que forman la base, pues cualquier vector v, como es combinación lineal de ellos, 00:07:37
pues tendrá una serie de coordenadas, esas coordenadas que son un número que multiplica al vector x 00:07:47
y otro número b que multiplica al vector y, que forma la base y por tanto el vector v 00:07:53
pues tiene unas coordenadas respecto a esa base de x y y es lo que forma la combinación. 00:08:08
Este recuadro de aquí también es bastante importante, ¿vale? 00:08:17
Luego estas propiedades, pues nada de los sumos, nosotros sumamos dos vectores, 00:08:22
tenemos las coordenadas de u respecto a la base, las coordenadas de v respecto a esa misma base, 00:08:26
pues las coordenadas del vector suma es sumar la componente x por un lado y la componente y por otro. 00:08:33
Cuando nosotros multiplicamos por un escalar o un vector, pues al final estamos multiplicando cada una de sus coordenadas, ¿vale? 00:08:38
Y luego recordar que las coordenadas de una combinación lineal, pues nosotros si tenemos el vector u, 00:08:47
el vector u, perdón, el vector u lo voy a quitar, ¿vale? 00:08:54
No aquí, a ver, y ahora si me dejan aquí, bueno, el vector u que tiene las coordenadas x1 y x1 respecto a la base, 00:09:01
el vector v que tiene las coordenadas x2 y x2 sobre la base, 00:09:11
y nosotros hacemos la combinación lineal tanto de u y de v, 00:09:15
es decir, multiplicamos u por a y el vector v por b, 00:09:19
pues el resultado de la primera componente es a por x sub 1 más b por x sub 2, 00:09:23
a por x sub 1 más b por x sub 2. 00:09:29
Eso de ahí es fundamental para luego entender todo lo que hacemos nosotros 00:09:32
en el siguiente tema de resta y demás. 00:09:37
El producto escalar es muy importante, se define así como el producto de los módulos y el coseno del ángulo que forman ellos y luego lo que hemos visto hoy en clase, que si tanto u como v están sobre sus coordenadas, sobre una base ortonormal, 00:09:42
pues al final el producto escalar analíticamente es la multiplicación de las coordenadas y su suma, ¿vale? 00:10:03
Entonces, es importante, si dos vectores su producto escalar da cero, eso significa que los vectores son perpendiculares, ¿de acuerdo? 00:10:14
Entonces, si son perpendiculares, si son perpendiculares, el producto escalar es cero. Igualmente, si el producto escalar es cero, pues, por lo tanto, ellos son perpendiculares. 00:10:27
Al multiplicar el producto escalar, tiene una serie de propiedades. 00:10:40
La conmutativa, que da igual multiplicar, pero hace el producto escalar de u por v, que es v por u. 00:10:50
La propiedad asociativa, en la cual hay un escalar, que en este caso es lambda, que multiplica el producto escalar. 00:10:55
Eso es igual a multiplicar ese lambda por uno de los vectores y hallar el producto escalar. 00:11:03
o bien hacer el producto de escalar del otro vector por el escalar multiplicado por el segundo. 00:11:08
O la propiedad distributiva, donde el producto de escalar de un vector u con otro vector que suma de otros dos 00:11:14
es lo mismo que sumar los productos escalares de tanto u con v como u por v. 00:11:22
Aquí es fundamental la base autonómica. 00:11:30
que si la base que forma el eje de coordenadas es una base ortonormal, 00:11:33
eso quiere decir que si IJ es una base ortonormal, el producto escalar de I por I es igual a 1, 00:11:43
eso quiere decir que el módulo es 1, que J por J también es 1, y luego que I por J es igual a 0. 00:11:50
¿Pero eso qué significa? Pues que el módulo de Y es 1, el módulo de J es 1, 00:11:57
y que Y y J, al ser su producto escalar cero, es que son perfectos, ¿de acuerdo? 00:12:02
Entonces aquí sí, cuando nosotros estamos en una base ortonormal, 00:12:09
pues resulta que el producto escalar se resume únicamente al producto de las coordenadas X entre ellas 00:12:12
y se le suma el producto de las coordenadas Y, ¿vale? 00:12:19
luego entramos en las coordenadas de un vector ortogonal 00:12:22
lo hemos visto también 00:12:31
cuando tú tienes un vector de esa vez 00:12:32
otro es ortogonal a E 00:12:35
si lo que cambiamos es el orden 00:12:37
es decir, la coordenada X por la coordenada Y 00:12:41
aquí es la coordenada A y B 00:12:44
pues se cambian entre ellos 00:12:46
y se le cambia el signo 00:12:47
aquí lo podemos comprobar 00:12:49
Y se puede comprobar que si nosotros, por ejemplo, tenemos 3, 2, pues menos 2, 3 o 2, menos 3 son ortogonales al vector 3, 2. 00:12:51
Su producto es para el 0. 00:13:05
Y el módulo de un vector con una base ortonormal al final es pitao. 00:13:13
Aquí vemos que esto es la aplicación de Pitágoras tal cual, donde la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los capítulos. 00:13:24
el ángulo de dos vectores en una base ortonormal 00:13:38
pues esto es la definición 00:13:46
de un circuito escalar 00:13:47
por lo tanto 00:13:49
el coseno en una base ortonormal 00:13:50
como el circuito escalar 00:13:53
es la multiplicación de los coordenados 00:13:54
y los módulos en la siguiente 00:13:56
pues está formulado aquí 00:13:58
también 00:14:00
es importante saberlo 00:14:01
yo aquí lo que os recomendaba 00:14:03
es que hagáis estos ejercicios y problemas 00:14:07
resueltos 00:14:09
resueltos como 00:14:09
tal y luego proponen otros 00:14:12
ejercicios, si de aquí tenéis 00:14:14
alguna duda, pues por favor 00:14:17
explícame o hago un vídeo 00:14:19
explicativo sobre 00:14:21
la descomposición 00:14:22
del sector, también sería 00:14:26
importante 00:14:28
y estos ejercicios 00:14:29
demasiado, yo creo que son 00:14:32
bastante interesantes 00:14:34
tenéis aquí 00:14:36
solución y luego os proponen 00:14:37
otro, pues intentad hacerlo 00:14:41
y si tenéis alguna duda 00:14:43
me decís, ¿vale? 00:14:44
Aquí también 00:14:47
hay una serie de ejercicios 00:14:48
si queréis intentar 00:14:51
alguno de ellos, pues 00:14:52
lo decís, ¿de acuerdo? 00:14:54
uno o lo que sea, pues 00:14:59
por favor, preguntadme 00:15:03
porque 00:15:05
bueno, son interesantes 00:15:06
Aquí estos son más complejos, aunque yo os recomiendo que más que de aquí, que si tenéis las ideas fundamentales de aquí, la aplicación de todo esto va a venir en el siguiente, en el siguiente, ¿vale? 00:15:10
Voy a hacer ahora una panada y luego os explico en profundidad el tema. 00:15:25
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
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59
Fecha:
15 de febrero de 2022 - 21:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
15′ 37″
Relación de aspecto:
1.91:1
Resolución:
1024x536 píxeles
Tamaño:
198.80 MBytes

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