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EvAU MAtemáticas II 2017 Junio A 2 Geometría - Contenido educativo

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Subido el 11 de marzo de 2018 por Pablo Jesus T.

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En esta ocasión vamos a resolver el ejercicio de la EVAO de Madrid del año 2017 00:00:02
de la convocatoria de junio, el modelo A, el ejercicio 2. 00:00:07
Es un ejercicio de geometría 3D. 00:00:13
Me dan unos puntos y me piden, lo primero, hallar la ecuación del plano que contiene a P, Q y R. 00:00:16
Bueno, pues empezamos por pintar los puntos. 00:00:23
He pintado ya ese también, los cuatro. 00:00:27
Ahí los tenemos. 00:00:29
y para hallar la ecuación del plano que pasa por P, Q y R 00:00:30
pues lo que tendremos que hacer es fabricar el determinante, la matriz 00:00:34
en la primera línea ponemos X menos las coordenadas de uno de los puntos 00:00:39
entonces he elegido el punto P 00:00:45
X menos 1 y más 2Z menos 1 00:00:46
y en las otras dos líneas pues he puesto P, Q y PR 00:00:50
O sea que he puesto las coordenadas de Q menos las coordenadas de P y las coordenadas de R menos las coordenadas de P. 00:00:57
Así he podido además utilizar copiar y pegar sustituyendo X, Y, Z del primer paréntesis o llave por las coordenadas de Q y de R. 00:01:06
Me sale esta matriz y si hago el determinante y lo igual a 0, me sale este plano 2X más 5Y menos 7Z más 15 igual a 0. 00:01:16
que no debe sorprendernos que es el plano que ha calculado GeoGebra según sus herramientas 00:01:26
y es el plano que contiene a los tres puntos. 00:01:32
Bueno, la primera cosa que puede llamarnos la atención es que da la casualidad que ya vemos 00:01:36
que ese también pertenece a ese plano, con lo cual la respuesta al apartado B estará más sencilla. 00:01:41
Además, recordad que si damos representación 2D de A, pues tenemos aquí que efectivamente P, Q, R y S están en el mismo plano, porque hemos hecho que nos muestre aquí este plano, por si no lo conocíais. 00:01:47
cerramos la vista gráfica 00:02:07
y volvemos a nuestro ejercicio, ya tenemos un punto 00:02:11
vamos a pasar al apartado C y haremos finalmente el B 00:02:14
hallar el área del triángulo formado por los puntos P, Q y R 00:02:19
aquí tenemos el triángulo, GeoGebra nos proporciona además 00:02:23
su área aquí, pero para hacerlo 00:02:27
en selectividad, utilizaremos la fórmula 00:02:31
de que el módulo del producto vectorial de PQ por PR 00:02:34
PQPR, pues sería el área del paralelogramo 00:02:38
que se formaría aquí, es decir, un romboide 00:02:43
¿de acuerdo? si yo divido el área del romboide por 2 00:02:46
porque el romboide está dividido en dos triángulos 00:02:50
pues tendremos el área del triángulo 00:02:53
pues para hacerlo, lo que hago es 00:02:58
en la mis hago otra matriz 00:03:02
en la que voy a hacer el producto vectorial 00:03:05
de pq por pr 00:03:06
pero resulta que ya lo tenemos hecho 00:03:08
porque el resultado de los 3 menores 00:03:11
lo tengo aquí 00:03:13
es 2 5 menos 7 00:03:15
de hecho si lo hacéis pues vuelve a ser 00:03:16
2 5 menos 7 00:03:18
pero esto a alumnos apuntaroslo 00:03:19
para tener esa ventaja 00:03:22
porque pasa siempre y caen muchos ejercicios 00:03:24
resulta que 00:03:27
las coordenadas del vector normal 00:03:29
al plano 00:03:31
pues son 00:03:33
el área del 00:03:35
paralelogramo 00:03:37
que buscamos 00:03:39
si hago pitágoras 00:03:40
me da raíz de 78 00:03:42
y si lo divido entre un medio 00:03:44
pues me da un medio de raíz de 78 00:03:47
que en decimales es 4,42 00:03:49
como había calculado muy bien 00:03:51
GeoGebra, lo sabe hacer GeoGebra 00:03:53
ahora finalmente 00:03:55
vamos a hacer el apartado B 00:03:56
posición relativa de la recta R 00:03:58
que pasa por P y Q y la recta S que pasa por R y S 00:04:00
ya sabemos, ya vemos aquí 00:04:04
que va a salir que se cortan 00:04:06
o sea que no necesitamos mucho más, aquí las tenemos 00:04:11
porque ese estaba coplanario con Q y con P 00:04:15
con lo cual podría haber salido paralelo, pero nosotros como ya lo estábamos viendo 00:04:19
sabíamos que no eran rectas paralelas 00:04:23
y lo que hay que hacer es, lógicamente, montar una matriz con los vectores, otra vez más, PQI, PR, que serían el primero y el segundo 00:04:26
y le he añadido aquí, como lo que nos interesa es el rango, da igual en qué orden lo añadas, arriba, abajo, vamos, aquí abajo, RS, el vector, perdón, RS, sí 00:04:40
pues me queda esta matriz 00:04:54
simplemente tengo que hallar su rango 00:04:58
que GeoGebra me dice ya que es 2 00:05:01
pero nosotros para el examen de la BAO 00:05:03
lo que haríamos es calcular el determinante 00:05:07
nos da 0 00:05:10
y luego aquí vemos que hay un 00:05:11
determinante de orden 2 distinto de 0 00:05:15
menos 8 más 15 es 7 00:05:19
con lo cual ya tenemos claramente demostrado que el rango es 2. 00:05:22
Como el rango es 2, las posiciones relativas de R y S es que las rectas se cortan. 00:05:26
Y esto lo escribimos y ya tendríamos los tres puntos del ejercicio. 00:05:35
Para que el ejercicio sirva también para aprender más cosas, vamos a calcular el punto de corte. 00:05:40
Bueno, si le damos aquí, pues GeoGebra no tarda nada en calcularnos el punto A de corte, ¿verdad? 00:05:46
si nosotros lo hubiéramos querido hacer a mano 00:05:51
pues la manera es recordar que al contrario de lo que hace GeoGebra 00:05:53
no podemos utilizar en las rectas R y S 00:05:58
el mismo parámetro para definirlas 00:06:03
si esta la definimos con lambda, esta la definiremos con mu 00:06:06
porque ahora para llegar al punto de corte 00:06:09
lo que haremos, que está aquí hecho 00:06:11
es igualar la coordenada X en paramétricas 00:06:13
y entonces nos sale en función de lambda y de mu 00:06:18
nos salen tres ecuaciones con dos incógnitas 00:06:21
si le pedimos a GeoGebra que lo resuelva 00:06:24
nosotros lo podríamos hacer bastante fácil 00:06:26
con la tercera sacaríamos mu 00:06:29
con cualquier otra sacaríamos lambda 00:06:30
y comprobaríamos con la tercera ecuación 00:06:32
que efectivamente se cumple 00:06:35
porque si no sería que no 00:06:36
que sería un sistema incompatible 00:06:38
y significaría que las rectas se cruzan 00:06:40
pero no, nos da bien 00:06:42
lambda un medio, mu un medio 00:06:44
solo tenemos que en cualquiera de las dos 00:06:45
sustituir lambda por un medio 00:06:48
aquí lambda por un medio, aquí sería mu porque este sería mu 00:06:52
a la casualidad que también da un medio 00:06:56
y nos salen las coordenadas del punto A 00:06:57
un medio por 5 menos 5 medios, 1 menos 5 medios 00:07:04
menos 3 medios, menos 2 más 1 00:07:08
menos 1 y 1 más 0, 1 00:07:12
Estas serían las coordenadas del punto de corte de las dos rectas. 00:07:16
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
214
Fecha:
11 de marzo de 2018 - 18:24
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
https://www.geogebra.org/m/u32dJc22
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
07′ 22″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
23.21 MBytes

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