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Teoremas 3 - Contenido educativo

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Subido el 15 de octubre de 2023 por Maria Isabel P.

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Otro caso es otro de los casos típicos del uso del teorema de Bolzano. 00:00:00

Vamos a ver, ¿por qué sé que tengo que usar Bolzano? 00:00:06

Porque es que aquí tengo un hermosísimo cero. 00:00:10

Y me es para ver cuando algo vale cero. 00:00:14

Entonces me pregunta, ¿se puede afirmar que esta ecuación tiene al menos una raíz real? 00:00:16

Es decir, me está preguntando si existe algún valor de x, algún número real, tal que se cumple esta ecuación. 00:00:22

Dice, si es así, haya un intervalo en el cual se encuentre dicha raíz 00:00:28

Bien, pues este es un caso en el que tengo que aplicar un teorema en un determinado intervalo 00:00:32

Y el intervalo no me lo dan 00:00:37

Entonces, ¿qué tengo que hacer? Buscarlo yo 00:00:38

Entonces, vamos a ver cuáles son las hipótesis del teorema de Bolzano 00:00:41

El teorema de Bolzano habla de que yo tengo 00:00:45

Vamos a ponerlo 00:00:48

Esto sería lo que se llama enunciar un teorema 00:00:49

Que a veces se pide 00:00:52

¿Qué es lo que dice? Que si yo tengo una función continua en un intervalo cerrado, llámalo a b. 00:00:53

De manera que el valor de la función en a y el valor de la función en b tienen signos contrarios. 00:01:07

Que eso, una forma de abreviarlo, es que su producto sea negativo. 00:01:14

Bien, pues el teorema establece que en estas condiciones existe un valor de x, llamémoslo c, en el interior del intervalo, en el interior, o sea, ni es justo a ni es justo b, tal que, eso se puede poner con punto y coma o así con una barrita inclinada, ¿vale? 00:01:19

El valor de la función en ese punto, en ese valor de x, es igual a 0. 00:01:39

¿Vale? 00:01:46

Bien. 00:01:47

Entonces, ¿cómo llevamos esto, este teorema, para aplicarlo en esta situación? 00:01:48

Bueno, pues entonces lo que necesito es una determinada función. 00:01:53

¿Quién va a ser mi función? 00:01:57

Lo que está a la izquierda en esta ecuación. 00:01:58

Es decir, lo que tenemos que igualar a 0. 00:02:01

Entonces digo, vale, pues defino mi función. 00:02:04

Es típico, sea, que nos encantan los matemáticos, sea f de x igual a seno de x más 2x menos 1, ¿vale? 00:02:06

Esto es una función continua en todo R, porque está formada por funciones continuas en R, una función seno y un polinomio, ¿vale? 00:02:17

Pues en particular es continua en cualquier intervalo, pues ahora buscaremos el intervalo en cuestión, ¿vale? 00:02:26

Dejo el en aquí esperando 00:02:33

Y ahora, ¿a qué te vas? 00:02:35

Pues que hay que tantear 00:02:37

Pero tampoco comiéndose mucho la cabeza 00:02:39

A ver, nuestro gran amigo el cero 00:02:41

Que aquí es un buen amigo 00:02:44

Lo sustituimos porque es fácil de sustituir 00:02:45

Y fácil de calcular 00:02:47

Es una buena referencia, un punto de partida 00:02:48

Entonces vamos a ver 00:02:51

Con cero tendría el seno de cero 00:02:52

Que es cero más cero menos uno 00:02:54

Pues esto es menos uno 00:02:58

Me ha salido negativo 00:02:59

Pues ahora me tengo que buscar la vida 00:03:00

para encontrar un valor de x, un valor de x, de forma que si lo sustituyo aquí, el resultado de esto me salga positivo y no negativo, ¿vale? 00:03:03

Pues teniendo en cuenta que aquí resto un 1, ¿vale? 00:03:11

Y aquí tengo una función seno, el seno de x, acordaos que como su resultado está entre menos 1 y 1, 00:03:16

bueno, pues para compensar esto que está restando, tendré que poner primero una cantidad que sea positiva, 00:03:23

para que este término sea positivo 00:03:28

y buscar que el seno sea lo mayor posible. 00:03:30

Entonces, ¿dónde vale el seno 1? 00:03:33

Pues en pi medios, pues vamos a poner pi medios. 00:03:36

Acordaos que aquí ya trabajamos con radianes, 00:03:40

que pi medios son 90 grados. 00:03:42

Entonces, el seno de pi medios es 1, 00:03:44

más 2 por pi medios, menos 1. 00:03:47

Esto se va. 00:03:51

Y este 2 con este también, pero me queda pi, 00:03:53

que pi es un número positivo. 00:03:55

Bien, pues ahora ya, ¿qué intervalo entonces es el que voy a coger? Pues desde cero hasta pi medios. Y lo pongo aquí. Así. Pues ahora sí, si comparamos, vamos a ver. El tema es bolsado que decía. Función continua y intervalo cerrado. Lo tengo. Esta función es continua en este intervalo. 00:03:58

Y la función toma valores de signo contrario en ese intervalo. En cero vale menos uno, que es negativo. En pi medios vale pi, que es positivo. Signo contrario. Pues eso significa que en estas condiciones el teorema de Bolzano me asegura que existe un valor, vamos a llamarlo c, 00:04:18

perteneciente al intervalo cero y medios 00:04:43

tal que f de c es cero. 00:04:48

Pero esto equivale completamente, 00:04:55

daos cuenta que esta función, 00:04:58

yo la he definido así para poder aplicar el teorema, 00:05:00

pero en principio no había función, sino una ecuación. 00:05:04

Entonces hay que responder en relación a cómo me plantean la pregunta. 00:05:06

esto equivale a que existe 00:05:10

c 00:05:13

a ver si me cabe 00:05:14

perteneciente a 00:05:17

cero, no me cabe 00:05:19