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FU2. 8 Funciones definidas a trozos. Ejercicios 9 y 10 resueltos - Contenido educativo

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Subido el 17 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:20
de la unidad FU2 dedicada a las funciones elementales y definidas a trozos. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos las funciones definidas a trozos. 00:00:31
En esta videoclase vamos a estudiar las funciones definidas a trozos. 00:00:40
Como su propio nombre indica, son funciones en cuya definición voy a tener distintas expresiones algebraicas en función de cuál sea el valor de x. 00:00:51
Aquí lo que ocurre es que el dominio completo de la función se va a dividir en distintos intervalos, en distintos trozos, que vamos a llamar técnicamente subdominios. 00:01:00
Todos estos subdominios, al unirnos, van a formar el dominio de la función y deben tener como característica que sean disjuntos. 00:01:10
No puede haber ningún valor de x que pertenezca simultáneamente a varios de estos subdominios. 00:01:17
Eso es lo que viene indicado aquí a la derecha. 00:01:22
Y entonces lo que ocurre es que el dominio completo de la función se divide en distintos trozos, 00:01:25
todos los disjuntos, y dependiendo de si la x se encuentra en uno u otro de estos subdominios, 00:01:30
se va a calcular la imagen con una definición diferente. 00:01:36
Aquí tenemos un ejemplo. 00:01:40
Tenemos un primer ejemplo donde eso nos pide que representemos gráficamente una función f de x 00:01:42
que está definida mediante tres trozos que podemos ver aquí. 00:01:47
La función calculará las imágenes como 2 tercios de x si x toma un valor menor que menos 3, 00:01:51
si x está comprendida en el intervalo que va desde menos infinito, por supuesto abierto, hasta menos 3, también abierto. 00:01:58
La función va a tomar el valor menos 2, constante, si x toma valores comprendidos entre menos 1 y más 1, 00:02:04
si está comprendida en el intervalo menos 1, 1, abierto en los dos extremos. 00:02:12
Y por último va a tomar valores que se calcularán como 4 menos x si x toma valores mayores o iguales que 1. O sea, si x está dentro del intervalo que va desde 1 cerrado hasta más infinito, por supuesto, abierto. 00:02:16
2 tercios de x es una función lineal, es una recta oblicua, menos 2 es una función lineal, constante, es una recta horizontal, y 4 menos x va a ser también una recta, en este caso también oblicua. 00:02:32
En el primer caso la función va a ser una recta creciente y en el último caso la recta va a ser decreciente, porque aquí ve un coeficiente principal positivo y aquí ve un coeficiente principal negativo. 00:02:44
En el caso en el que tengamos trozos que sean rectas, ya sean constantes o binoblicuas, 00:02:56
lo más fácil para representar la función es directamente construir una tabla de valores. 00:03:01
Y lo que vamos a hacer es tomar siempre los valores que delimitan cada uno de los trozos, 00:03:08
si son dos con esto va a ser suficiente, y si tenemos solo uno tomaremos alguno más dentro del dominio. 00:03:14
Me explico. Para representar gráficamente este primer trozo, f de x igual a dos tercios de x, 00:03:20
solo si x es menor que menos 3, lo que voy a hacer es una tabla de valores con el valor de x igual a menos 3 00:03:25
y algún otro, me da igual uno a cualquiera, que sea menor que menos 3, que pertenezca al dominio de este trozo. 00:03:32
Aquí he elegido el valor menos 6. 00:03:38
Calculo las imágenes utilizando la definición de la función. 00:03:40
Para este trozo igual a 2 tercios de x. 00:03:44
Si x es menos 6 obtengo el valor menos 4, si x es menos 3 obtengo el valor menos 2. 00:03:46
Voy a llevarme esos puntos a mi representación gráfica. 00:03:52
Aquí tengo el punto menos 6 menos 4, estaría aquí, justo al borde del dibujo. 00:03:56
Y aquí tengo el punto menos 3 menos 2. 00:03:59
Voy a trazar la línea recta que pasa por estos puntos únicamente en valores menores que menos 3. 00:04:02
Así que únicamente desde menos infinito hasta que la x vale menos 3. 00:04:09
Y aquí, dado que la desigualdad es estricta y x igual a menos 3 no pertenece al dominio de este trozo, 00:04:13
lo que voy a hacer es pintar un punto vacío. El punto menos 3 menos 2 será un punto vacío y el 00:04:20
primer trozo se corresponde con esta primera parte en la representación gráfica de la función, justo 00:04:27
hasta que x vale menos 3. Para el segundo trozo igualmente voy a hacer una tabla de valores. En 00:04:32
este caso tengo dos límites, uno inferior que es menos 1 y otro superior que es 1. Voy a tomar esos 00:04:38
dos valores. La función en este trozo se define como y igual a menos 2 constante. Entonces voy a 00:04:43
pintar los puntos menos 1 menos 2, aquí lo tengo, y 1 menos 2. La función la voy a representar entre 00:04:50
estos dos puntos y lo que voy a hacer es dejar los dos puntos vacíos, puesto que tanto x igual a menos 00:04:58
1 como x igual a 1 no pertenecen al dominio de este trozo, el intervalo. Si hubiera utilizado una 00:05:03
definición con intervalos tendría los dos extremos abiertos y aquí tengo los dos puntos abiertos y 00:05:09
entre medias para valores de x entre menos 1 y 1 la función constante menos 2. En cuanto al tercer 00:05:14
y último trozo me ocurre igual que en el primero. Tengo únicamente un límite, en este caso el límite 00:05:21
inferior x igual a 1 y por encima valores hasta más infinito. Voy a tomar en mi tabla de valores x 00:05:27
igual a 1 y voy a elegir un valor cualquiera por encima de 1 y he elegido x igual a 5. En este caso 00:05:34
voy a calcular las imágenes con la definición del tercer trozo, igual a 4 menos x. Cuando la x 00:05:40
vale 1, la y vale 3. Cuando la x vale 5, la y vale menos 1. Y estos puntos 1, 3 lo he pintado aquí y 00:05:46
el punto 5 menos 1 también lo he pintado aquí. He trazado la línea recta que pasa por estos dos 00:05:54
puntos comenzando por x igual a 1, que es donde inicia el dominio este trozo, y hacia más infinito, 00:06:01
puesto que la x para este trozo puede tomar valores hasta más infinito. 00:06:06
Y en este caso, fijaos, el punto lo he pintado en relleno, 00:06:11
porque x igual a 1 sí forma parte del dominio de este trozo, 00:06:14
y entonces el valor de la imagen cuando x vale 1 se calcularía con este trozo. 00:06:18
La representación gráfica de la función completa es esta que tenemos aquí. 00:06:23
Veo un primer tramo recto para valores de x hasta menos 3 sin incluir, lo que tengo aquí. 00:06:27
Tengo un tramo horizontal para valores de x entre menos 1 y 1 sin incluir ninguno de los dos extremos, justo lo que tengo aquí. 00:06:34
Y tengo un tramo recto para x desde el valor x igual a 1 incluido y valores superiores a este, justo lo que tengo aquí. 00:06:42
Fijaos en un detalle, si yo le pregunto a la función cuál es el valor f de menos 4, dado que menos 4 es menor que menos 3, calcularía la imagen con este trozo. 00:06:51
Si me pregunto por cuál es el valor de la función cuando x toma el valor 0, dado que 0 está entre menos 1 y 1, tengo que utilizar la definición de este segundo trozo. 00:07:01
Si me pregunto por cuál es el valor de la función cuando x toma el valor 17, dado que 17 es mayor o igual que 1, tengo que utilizar la definición de este trozo. 00:07:11
¿Qué ocurre si pregunto por la imagen cuando x vale menos 3? 00:07:20
Menos 3 no está en ninguno de estos dominios. La función no existe. 00:07:24
Puesto que no pertenece al dominio de ninguno de los trozos, no pertenece al dominio de la función. 00:07:27
Igualmente, ¿qué ocurre si x vale menos 1? No está en ningún trozo. 00:07:32
¿Qué ocurre si x vale 1? No está en ningún trozo. 00:07:36
¿Qué ocurre si x vale menos 2? Razón de más, no está en ninguno de los trozos. 00:07:39
No pertenece al dominio de la función. La función no está definida. 00:07:44
Fijaos, punto vacío, punto vacío, aquí no pasa nada. 00:07:47
Cuidado con que si x vale 1, no está en el dominio de este trozo, pero sí está en el dominio de este otro. 00:07:50
Así pues, cuando x vale 1, la función sí toma una imagen. 00:07:57
No la voy a calcular con el trozo del centro, puesto que no está incluido en este intervalo, pero sí con este otro. 00:08:01
Esa es la razón por la cual en esta línea horizontal aquí hay un punto vacío, pero aquí hay un punto relleno. 00:08:07
Y cuando x vale 1, la función sí toma un valor, que es este valor 3 que he calculado con este trozo. 00:08:13
En este segundo ejemplo se nos pide que representemos gráficamente la función 00:08:20
y igual a f de x igual a 2 elevado a x, una función exponencial si x es menor que 1, 00:08:24
y logaritmo en base 2 de x, una función logarítmica si x es mayor o igual que 1. 00:08:31
Ya no tenemos segmentos rectos, sino que tenemos funciones elementales 00:08:36
de las que hemos estudiado en las videos clases anteriores. 00:08:40
Tal vez la mejor forma de operar en este caso, cuando no tenemos segmentos rectos, 00:08:43
sino otras funciones elementales, sea en un mismo gráfico representar las funciones 2 elevado a x 00:08:48
y logaritmo en base 2 de x en su dominio natural, lo que sería su dominio de definición el más 00:08:55
amplio posible. En el caso de la función exponencial, en toda la recta real, y en el caso de esta función 00:09:00
logarítmica, con valores positivos de x. Os recuerdo que los logaritmos no están definidos 00:09:06
para argumentos que sean cero ni negativos. Si hacemos eso, pintaríamos para la función 2 elevado 00:09:11
a x lo que sería este tramo de curva azul y lo que sigue en gris punteado. Lo que he hecho ha sido 00:09:18
pensar en que se trata de una función exponencial con una base mayor que 1, luego es una función 00:09:25
monótona creciente. Estoy leyendo el valor x cero que es igual a cero, puesto que aquí tengo x en 00:09:31
el argumento en el exponente de la función y estoy leyendo un valor de y cero que es igual a cero 00:09:40
puesto que aquí como constante aditiva no estoy viendo nada y entonces lo que estoy pensando es 00:09:45
que la asíntota horizontal que va a tener esta función cuando x tiende a menos infinito es el 00:09:50
eje de las x la recta y igual a cero y a partir de ahí estoy pintando monótona creciente la función 00:09:56
despegándose desde el propio eje de las x. 00:10:02
Lo que tengo que hacer ahora es pintar la recta x igual a x0 00:10:06
que me iba a ayudar a pintar la función. 00:10:11
Sería el propio eje de las y. 00:10:13
Y yo sé que en el caso de las funciones exponenciales, 00:10:15
a partir del punto x0 y 0, que en este caso particular es el 0,0, 00:10:19
si subo una unidad, aquí voy a pintar la función, 00:10:23
y aquí tengo la función. 00:10:26
Si me moviera una unidad hacia la derecha, hacia arriba, 00:10:28
tendría que contarme la función a una distancia igual a la base, así que aquí a la altura 2 voy a pintar este punto donde voy a encontrar la función 00:10:31
y si me moviera una unidad hacia la izquierda me encontraría la función a una altura igual a 1 partido por la base, 00:10:38
un medio que sería este 0,5 que tengo aquí. Así que pintaría desde la asíntota horizontal despegándome de ella, 00:10:46
pasando por este punto, este y este, y luego con la tendencia hacia más infinito, 00:10:54
esta parte que sería la función exponencial. 00:10:59
Así pintado sería en su dominio natural de definición, en toda la recta real, 00:11:03
pero en esta función f de x concreta, su dominio son todos los valores de x estrictamente menores que 1. 00:11:06
Así que, en la abstisa x igual a 1 voy a pintar un punto vacío 00:11:14
Y voy a pintar en azul lo que sí es perteneciente a la función f, que es todo lo que corresponde a valores de x estrictamente menores que 1. 00:11:19
Y aquí este punto vacío. 00:11:29
Con la función logarítmica operaría de igual manera. Voy a representarla en su dominio natural. 00:11:32
La función logaritmo en base 2 de x está definido para valores de x mayores que 0, estrictamente mayores que 0. 00:11:37
Y como función elemental yo sé que, veamos, dado que la base es 2, un número mayor que 1, 00:11:43
se va a tratar de una función monótona creciente. 00:11:49
Dado que x0, dentro del argumento estoy leyendo x menos 0, dado que x0 es 0, 00:11:53
yo sé que el propio eje de las y es la recta x igual a 0, va a ser asíntota vertical de esta función. 00:11:57
Y que puesto que la función es monótona creciente, va a tener que despegarse de la función 00:12:04
viniendo desde menos infinito y tomando valores crecientes, este tramo que está pintado en color gris. 00:12:08
Por otro lado, dado que y0 es 0, aquí como constante aditiva no hay nada, luego tengo un 0, me voy a pintar la recta y igual a 0, que se corresponde con el eje de las x, para ayudarme a pintar la función. 00:12:14
Y es que yo sé que en el caso de las funciones logarítmicas, si parto de este punto x0, y0, que en este caso es el origen del sistema de referencia, el punto 0,0, si me desplazo una unidad hacia la derecha, aquí voy a encontrar la función y pintaría este punto. 00:12:28
Si con respecto a este punto 0,0 me desplazara una unidad hacia arriba, 00:12:43
hacia la derecha me debería desplazar una distancia igual a la base, en este caso 2, para encontrarme la función y pintaría este punto. 00:12:49
Y si con respecto a ese punto 0,0 me desplazara una unidad hacia abajo, 00:12:56
debería desplazarme hacia la derecha una distancia igual a 1 partido de la base, un medio que es 0,5, 00:13:01
aquí tendría este punto, para encontrarme la función. 00:13:06
Y entonces pintaría una función monótona creciente que parte de la asíntota vertical x igual a 0, que pasa por el punto 1 medio menos 1, 1, 0, 2, 1 y que continúa siendo monótona creciente para mantener la tendencia. 00:13:08
dependencia. Ahora, ¿qué es lo que pertenece realmente a la función f de x? Pues el tramo de 00:13:25
esta función que va desde el 1 incluido hacia más infinito, puesto que el dominio de este trozo es x 00:13:32
mayores o iguales que 1. Así que el punto 1, 0, que sí pertenece a este trozo, lo voy a pintar 00:13:38
relleno y a partir de aquí hacia la derecha lo voy a pintar en azul. Esto que he pintado punteado 00:13:45
para 2 elevado a x con valores mayores o iguales que 1. O esto que he pintado punteado para logaritmo en base 2 de x para valores comprendidos entre 0 y 1 00:13:51
no forma parte de la función. Lo puedo pintar para ayudarme. Lo que sí es la función f es este trozo de función 2 elevado a x hasta el punto 1, 2 vacío, 00:14:00
puesto que cuando x vale 1 la función no se define con la función exponencial y si pinto relleno el punto 1, 0, que sí pertenece al dominio del segundo trozo y a partir de aquí pintaré lo que tengo del segundo trozo. 00:14:12
Una función definida a trozos muy importante es la función valor absoluto. La función valor absoluto se representa, como veis aquí, con estas barras verticales dentro de la cual pondremos el argumento. 00:14:29
en este caso tenemos valor absoluto de x y es la función que elimina el signo de lo que haya 00:14:40
dentro. Si acepta como argumento un número positivo lo va a devolver tal cual, si fuera 00:14:46
cero igualmente, y si le damos como argumento un número negativo lo que va a hacer es eliminarle 00:14:51
el signo y devolvernos el valor positivo que le corresponde, lo que se llama el valor absoluto, 00:14:56
eliminando el signo. Así pues es una función definida por trozos, dependiendo de cuál sea 00:15:02
el valor del argumento me devuelve una cosa u otra. Y aquí vamos a distinguir dos trozos. Si la 00:15:07
x es mayor o igual que 0, lo que le estamos dando es un número positivo o 0, nos va a devolver 00:15:13
exactamente el mismo valor sin cambiar, x. Mientras que si nosotros le damos como argumento un número 00:15:19
negativo, x menor que 0, lo que va a hacer es cambiarle el signo para eliminárselo. Eso equivale 00:15:25
multiplicar por menos 1 y por eso tenemos en la definición menos x. Si le damos el valor 7 positivo 00:15:31
nos va a devolver 7, si le damos el valor menos 7 negativo nos va a devolver menos menos 7 que es 00:15:37
más 7, el valor positivo que le corresponde. Su representación gráfica, valor absoluto de x, es 00:15:44
esta que tenemos aquí. En el caso en el que le estamos dando como entrada el valor x positivo 00:15:50
nos va a devolver el mismo valor y eso se corresponde con la recta y igual a x, la bisectriz 00:15:57
del primer cuadrante, iniciándose en 0, puesto que si le damos el valor 0 nos va a devolver el valor 00:16:02
0. En cuanto a qué es lo que ocurre si le damos un valor negativo, lo que tenemos es y igual a 00:16:08
menos x, esa es la bisectriz del segundo cuadrante y sería esta recta que tenemos aquí. Fijaos, le 00:16:14
damos el valor 2, nos devuelve el valor 2, le damos el valor 4, nos devuelve el valor 4, le damos el 00:16:19
valor 0 nos devuelve valor 0 y ahora le damos el valor menos 3 nos devuelve más 3, le damos el 00:16:24
valor menos 5 nos devuelve valor menos 5. Esta función valor absoluto un poco más adelante 00:16:30
veremos que es una función importante puesto que es algo muy útil, la vamos a utilizar en muchas 00:16:36
ocasiones y es un ejemplo de una función que veremos es continua pero que no es derivable 00:16:41
puesto que en este punto veremos la derivada no es continua. Hablaremos de esto en la unidad 00:16:47
correspondiente. Otro ejemplo también importante de una función definida por trozos es la función 00:16:52
parte entera, también llamada función suelo, y que se representa de esta manera, con estos ganchitos, 00:16:58
con este tramo horizontal en la parte de abajo, hablando de suelo, y que lo que hace es, dado como 00:17:06
argumento un número cualquiera, truncarlo. Le va a eliminar la parte decimal y nos va a devolver el 00:17:12
número entero que le corresponda y que sea inferior a él. De ahí lo del suelo, nos va a devolver un 00:17:19
número entero, el más próximo, inferior a él. De tal forma que si le doy un número comprendido 00:17:24
entre 0 y 1, al truncarlo nos va a devolver 0, lo mismo si le doy el valor idénticamente 0. Si le 00:17:30
doy un número comprendido entre 1 y 2, lo va a truncar y me va a devolver el valor 1, igual 00:17:35
ocurre si le devuelvo el 1, etc. Su representación gráfica sería tal y como vemos aquí, una sucesión 00:17:40
de segmentos con el extremo inferior cerrado, el extremo superior abierto y esos extremos de 00:17:49
longitud 1. Si le doy un número comprendido entre 0 y 1, 0,1, 0,7, 0,954, me va a devolver como 00:17:54
imagen el valor 0. Si le doy el valor 0, me va a devolver 0. Si le doy el valor 1, ya me va a dar 00:18:02
el valor 1. Igual que si le doy como entrada valores entre 1 y 2, 1,2, 1,7, 1,9, me va a devolver el 00:18:07
valor 1 estamos truncando, hasta que llego al valor 2. Cuando le doy el valor idénticamente a 2, 00:18:15
lo que me va a devolver la función es el valor 2 y así sucesivamente. Este es un ejemplo de una 00:18:21
función definida por un número infinito de trozos. En el aula virtual de la asignatura tenéis 00:18:26
disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes 00:18:35
bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro 00:18:41
de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:18:46
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
13
Fecha:
17 de noviembre de 2025 - 8:58
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
19′ 16″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
44.80 MBytes

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