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Progresión aritmética: 5.Gauss - Contenido educativo

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Subido el 4 de enero de 2011 por EducaMadrid

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La anécdota de Gauss sobre la suma de los 100 primeros números naturales.

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Vamos a ver un vídeo más dentro de esta colección de vídeos sobre progresiones aritméticas. 00:00:00
En este caso se trata de ilustrar, de explicar, la famosa anécdota que nos relaciona a las progresiones aritméticas con Gauss. 00:00:07
Gauss, nacido en el año 1777 y muerto en el año 1855, está considerado como el príncipe de las matemáticas 00:00:15
y forma, junto con Newton y Arquímedes, el trío de matemáticos más relevante de la historia. 00:00:26
Tenemos aquí un retrato de Gauss, ya mayor, y lo que vamos ahora a explicar es una anécdota bastante conocida 00:00:32
dentro de lo que pueden ser conocidas las anécdotas sobre personajes relacionadas con las matemáticas. 00:00:40
Son conocidas bastantes anécdotas relativas a Gauss, ya que era un niño prodigio. 00:00:47
Esta anécdota refiere cómo en una clase de unos 50 niños, de alrededor de 10 años de edad, 00:00:57
el profesor que estaba con ellos quería un rato de tranquilidad y se les ocurrió proponerles una actividad 00:01:04
que pensó que iba a llevarles bastante tiempo, de manera que podrían descansar un rato. 00:01:12
Este problema, esta actividad, consistía en que sumaran los 100 primeros números naturales. 00:01:17
El profesor les dijo, además, que conforme fueran terminando, dejaran el pizarrín, 00:01:25
con el que trabajaban en esta época los niños, que dejaran el pizarrín encima de su mesa, 00:01:31
que luego lo corregiría, ¿verdad? 00:01:38
Gauss resolvió el problema extraordinariamente rápido, en muy poco tiempo. 00:01:41
Tenía la solución en su pizarrín y lo llevó al profesor. 00:01:45
Tan rápido fue que el profesor pensó que estaría mal y ni siquiera lo miró. 00:01:49
Ni siquiera miró la pizarra. La dejó allí encima de la mesa. 00:01:54
Y cuando ya después de mucho tiempo terminaron los demás, 00:01:57
comprobó el profesor que el resultado de Gauss era el único correcto. 00:02:00
¿Cómo lo hizo? Pues vamos a explicarlo. 00:02:07
Bueno, lo que tenía que sumar Gauss, ¿qué era? 00:02:11
Pues lo que tenía que sumar era esto. 00:02:17
Esa suma que tenemos ahí, con puntos suspensivos para no escribir todos los números. 00:02:19
Tenía que sumar todos los números del 1 al 100. 00:02:23
1 más 2 más 3 más 4 más 5 más 6 más 7. 00:02:26
Hacer esa suma, sumarlo, todos esos números y calcular lo que le daba. 00:02:28
Bueno, una manera de hacer esta suma, claro, sin hacer la suma directamente de 1 a 1, 00:02:33
término a término, ¿cuál es? 00:02:39
Bien, si nos fijamos resulta que el primer término de esta progresión aritmética, 00:02:43
puesto que esos 100 números pueden interpretarse, pueden verse como una progresión aritmética 00:02:48
de diferencia 1, que empieza en el número 1 y termina en el 100, 00:02:54
resulta que si sumamos el primero de los términos de la progresión y el último, el 1 con el 100, 00:02:58
pues nos da 101. 00:03:03
Si sumamos el 2 con el 99 nos da también 101. 00:03:05
Si sumamos el 3 con el 98 nos da también 101. 00:03:09
Y así, 4 con 97, 101, etc. 00:03:13
Por ejemplo, ya si llegamos a la parte central, 49 más 52 nos da 101 00:03:16
y 50 más 51 nos da 101. 00:03:21
Bueno, ¿qué tenemos entonces que hacer? 00:03:23
Pues resulta que tendríamos que sumar, en vez de sumar 1 a 1, 00:03:27
resulta que nos damos cuenta de que lo que tenemos que hacer es sumar 101, 00:03:31
101, un total de cuántas veces tendríamos que sumar 101. 00:03:35
Pensamos un poquito y resulta que la cantidad de veces que tenemos que sumar 101, 00:03:41
teniendo en cuenta que hemos cogido por parejas y había 100, 00:03:46
pues sería 50 veces. 00:03:50
De manera que entonces esa suma lo que debe dar es 50 veces 101, 00:03:53
o 101 por 50, una multiplicación muy sencilla, que da como resultado 5050. 00:03:58
Ese sería el resultado de esa suma. 00:04:04
Y hay que darse cuenta que hemos hecho la suma sin tener que sumar término a término, 00:04:06
número a número. 00:04:11
Otra manera de presentar esta misma idea, 00:04:13
que suele ser la más corriente que hay en los libros de texto, 00:04:15
es la de que nos damos cuenta que si llamamos S a la suma de los números del 1 al 100, 00:04:18
colocados empezando por el 1, el más pequeño, terminando por el 100, 00:04:23
resulta que la suma sería la misma si empezamos a sumar desde el 100 hasta el 1. 00:04:27
Si hacemos aquí una suma de estas dos sumas, valga la redundancia, 00:04:33
resulta que tendríamos que 2S es igual a lo que nos quedaría en este lado, 00:04:41
que sería 101, más 101, más 101, más 101, más 101, más 101, etc. 00:04:49
¿Y cuántas veces hay aquí 101? 00:04:56
Hay que tener en cuenta que aquí está 101 100 veces, 00:04:59
porque aquí sí hemos sumado 101 100 veces, una por cada sumando. 00:05:03
Entonces tendríamos 100 por 101, que eso es muy sencillo, 00:05:08
porque solo hay que añadirle 2S a 101, sería 10.100. 00:05:11
Como dos veces el valor de la suma es 10.100, 00:05:14
es fácil ver que entonces la suma sería la mitad de 10.100, 00:05:19
y por lo tanto 5.050. 00:05:24
De manera que resulta que Gauss, a una temprana edad, 00:05:27
había descubierto una propiedad de las progresiones aritméticas, 00:05:31
que es que la suma de los términos equidistantes de los extremos 00:05:35
es siempre igual a la suma del primero y el último. 00:05:40
Y esta propiedad es la que sirve para calcular o para dar la fórmula 00:05:44
de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, 00:05:49
que después veremos un poco más en detalle, de una manera más rigurosa, cómo sale. 00:05:53
Pero es una anécdota yo creo muy curiosa, muy interesante, 00:05:58
que viene al caso en este tema de las progresiones aritméticas. 00:06:01
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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          • Primer Curso
Autor/es:
José Antonio Ortega
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
1226
Fecha:
4 de enero de 2011 - 11:44
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
José Antonio Ortega
Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.
Duración:
06′ 10″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
800x600 píxeles
Tamaño:
18.75 MBytes

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