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Integral definida

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Subido el 4 de marzo de 2019 por Pablo Jesus T.

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Vamos a realizar una construcción para explicar integrales definidas a nuestros alumnos. 00:00:12

Vamos a utilizar la ventana Vista Gráfica 2 para poner ahí nuestros auxiliares. 00:00:19

De acuerdo, hacemos esto un poquito, luego ya lo adecuaremos mejor. 00:00:27

antes de pintar nuestra función vamos a hacer clic en la vista gráfica 1 00:00:34

para que cuando pintemos nuestra función la pinte en la vista gráfica 1 00:00:41

si nos pasara eso y os hubiera salido en la vista gráfica 2 no pasa nada 00:00:47

nos vamos a configuración, avanzado y ahí podemos cambiar la vista gráfica 00:00:52

seguramente nos pase al tener abierta la vista gráfica 2 en algún momento más 00:00:58

además lo voy a poner la función en azul 00:01:03

de acuerdo, muy bien, escribimos la herramienta punto 00:01:07

ponemos un punto 00:01:12

sobre el eje x, otro punto sobre el eje x 00:01:15

comprobamos que ambos puntos solo se pueden 00:01:20

mover sobre el eje x, ya que van a ser nuestros 00:01:24

límites de la integral 00:01:28

los vamos a poner por debajo para que no nos estorben el dibujo 00:01:32

y si os parece que 00:01:36

puede ser buen momento este 00:01:38

si os parece que el tamaño de A 00:01:40

o de B 00:01:43

de las letras en concreto son pequeñas 00:01:45

pues mirad que podemos 00:01:48

simplemente en propiedades 00:01:50

figuración se llama en GeoGebra 6 00:01:53

ir a rótulo 00:01:59

y ahí siempre que lo ponga entre dos símbolos del dólar 00:02:03

puedo escribir todo el código látex que quiera 00:02:07

por ejemplo color, blue 00:02:11

para que sea más fuerte, tamaño 00:02:15

large 00:02:19

y lo que queremos que se vea por supuesto es el nombre, tanto por ciento n 00:02:20

el valor ya sabéis que es tanto por ciento v 00:02:27

Lo seleccionamos todo para con control C, pues lógicamente metérselo también a control V. 00:02:30

Y ahí tenemos nuestro A y nuestra B de un tamaño más adecuado a lo que nosotros queremos. 00:02:41

Ya veremos esto más adelante, otras utilizaciones, otros usos. 00:02:48

Muy bien, pues ahora que ya tengo mis puntos A y B 00:02:54

Lo que nosotros vamos a definir es una variable n 00:02:59

Igual 1 00:03:02

Que nos va a marcar los puntos que queremos 00:03:04

El número de cuadrados que queremos visualizar 00:03:10

Si pinchamos, como veis, la ha visualizado en la vista 1 00:03:13

Nosotros, ya que nos lo ha abierto aquí 00:03:17

Primero vamos a poner que vaya de 1 a 100, de 1 en 1, no ha querido cogerlo, de 1, no le daba enter, de 1 en 1, lo demás yo creo que lo podemos dejar como está, podemos quitar ya, mostrar deslizador en la vista algebraica porque no lo vamos a utilizar ahí en esta ocasión, es una de las ventajas de GeoGebra 6. 00:03:21

Y en avanzado, pues le vamos a decir que nos lo muestre en la vista gráfica 2. 00:03:53

¿De acuerdo? Bueno, pues ya tenemos nuestro deslizador. 00:03:58

Empezamos a construir. 00:04:02

Suma inferior. 00:04:05

Aquí veis los parámetros que espera. 00:04:07

Función, extremo inferior, extremo superior y número de rectángulos. 00:04:09

Pues nada, lo elegimos. 00:04:13

La función va a ser f, coma, el extremo inferior va a ser x de a, coma, 00:04:14

el extremo superior va a ser x de b, coma 00:04:22

y el número de cuadrados 00:04:26

pues va a ser n. Aquí veis que 00:04:30

a no está exactamente en el punto que queríamos para que diera exacto, pero bueno 00:04:33

es lo de menos y ya lo hemos arreglado. Podemos ponerle un color 00:04:37

verde 00:04:42

y vamos a ponerle un poquito más oscuro 00:04:45

De acuerdo, además le vamos a hacer que no se vea la etiqueta visible. 00:04:49

Muy bien, pues ya tenemos nuestra suma inferior, vamos a ver cómo funciona de bien nuestro deslizador y ya simplemente puedes hacer la suma superior de f, x de a, x de b, n. 00:04:56

podríamos haber incluso copiado y pegado de arriba 00:05:18

ahora como veis como me he ido a mover la N 00:05:24

pues me lo ha creado en la ventana 2 00:05:29

bueno, estos son pequeños problemillas 00:05:31

por precisamente trabajar en dos ventanas 00:05:36

aunque yo creo que la ventaja es superior a esta pequeña posible desventaja 00:05:38

en algún caso que se nos pase 00:05:46

le quitamos la etiqueta visible 00:05:50

y yo creo que está bien, ahora lo bajamos un poco para que 00:05:52

se vea mejor, muy bien, pues ya tenemos 00:05:58

la suma superior e inferior en todos los casos 00:06:02

ahora vamos a hacer que se visualice o no 00:06:07

para ello vamos a coger una casilla 00:06:10

de control y en rótulo vamos a poner suma inferior para que nos muestre o no nos muestre. 00:06:14

La primera vez que cogemos la suma inferior, perdón, cualquier casilla de verificación 00:06:28

nos la deja mover, pero ahora cuando ya hago clic y la intento mover ya no me deja, simplemente 00:06:34

es que la etiqueta visible perdón la casilla fija ha quedado marcada de acuerdo si la quisiéramos 00:06:42

volver a mover pues habría que desmarcarla bueno pues ya tengo la suma inferior vemos que 00:06:48

efectivamente la muestra y la oculta repetimos con la suma superior suma superior marcamos la 00:06:55

suma superior en realidad lo único que hace geogebra es crear como estáis 00:07:09

viendo unas variables booleanas 00:07:15

qué se las asigna a lo que estamos viendo dejando de ver 00:07:21

de acuerdo es aquí simplemente si yo ahora me fuera y viera sus propiedades 00:07:28

En avanzado, vería que la condición para mostrar el objeto es que la variable booleana c sea verdadera. 00:07:35

¿De acuerdo? Bueno, pues ya tenemos nuestra integral acotada. 00:07:43

Vamos a visualizarlo. Para eso vamos a utilizar la herramienta texto. 00:07:49

En látex vamos a elegir el símbolo de la integral. 00:07:56

para que lo veáis, no va a ser luego exactamente así, pero la integral va a ir desde a, que es una variable, 00:08:02

porque está en construcción, queremos que después nos valga para otros valores, entonces ponemos x de a, 00:08:14

así será dinámico 00:08:22

borramos b 00:08:25

y escribimos x de b 00:08:27

hay que hacer clic dentro, no se os olvide 00:08:32

perfecto, aquí vamos a poner la función 00:08:34

y detrás, con un pequeño espacio, diferencial de x 00:08:39

de acuerdo, si queremos ver la vista previa 00:08:46

está perfecto, era lo que queríamos 00:08:49

Y esto tiene que ser menor que la suma superior, si elegimos este símbolo podéis poner el que queráis, va a ser menor que b, recordar, b minúscula, y va a ser mayor que a. 00:08:53

así que tiene la forma que queríamos 00:09:14

le damos ok y lo ponemos entre las dos 00:09:20

por último lo que voy a hacer es 00:09:25

que solamente se vea 00:09:28

aparte de fijarlo y fijarlo a la pantalla 00:09:33

para que cuando alguien arrastre el ratón sobre esta parte no se me vaya 00:09:37

como veréis lo estoy haciendo clic 00:09:41

que arrastrar y no se mueve nada, eso es lo ideal. Vamos a hacer que solamente se vea 00:09:45

cuando C y D sean verdad, simplemente selecciono, primero nos vamos a elegir mueve, selecciono 00:09:51

propiedades, avanzado y donde pone condiciones para mostrar escribo C espacio ampersand ampersand 00:09:59

Como veréis, cuando dé a Enter, me ha puesto este simbolito que lo podríamos haber elegido aquí abajo, cuando elegimos en el menú, pues podríamos haber elegido aquí también este simbolito, y es el AND lógico. 00:10:10

Muy bien, comprobamos que se oculta, si quito la suma superior o la suma inferior, en los dos casos ya no se muestra porque no tendríamos los dos extremos para poderlo comprobar. 00:10:30

si quisiéramos cambiar la función 00:10:54

pues simplemente nos podemos ir a casilla de control 00:10:57

casilla de entrada, perdón 00:11:01

y ponemos en el rótulo fdx 00:11:03

igual 00:11:07

ahora si queremos poner algún espacio aquí es el problema 00:11:10

en GeoGebra 5 existe, como veis aquí 00:11:13

la manera de pinchando 00:11:17

elegir este espacio separable 00:11:22

de acuerdo, de tal manera que 00:11:26

le puedo dar control C 00:11:30

venirme al nuestro 00:11:32

y dar control V un par de veces, de tal manera que 00:11:40

no se quede tan pegado, como vamos a ver ahora 00:11:45

no esté la barra tan pegada 00:11:48

Lo vuelvo a seleccionar porque voy a hacer más cosas con ello. Vamos a hacer primero que no sea fijo todavía porque lo voy a mover después, que el texto vaya en mediano, por ejemplo, que el color vaya en azul que es el color de nuestra función y que la longitud de la casilla sea la mitad. 00:11:53

aunque esto es solamente la imagen, es decir, esta casilla es indefinida en tamaño 00:12:20

si yo fuera añadiendo simplemente solo se verían 10 caracteres 00:12:26

pero puedo escribir 30 caracteres, no es limitante en ese sentido 00:12:30

si nos vamos a elige y mueve 00:12:34

sabéis que en GeoGebra 5 00:12:37

me permite, a ver, porque ahora no me deja 00:12:40

clic y arrastrar 00:12:48

bueno 00:12:50

lo arrastramos 00:12:52

lo podemos poner 00:12:58

debajo 00:13:01

y luego 00:13:02

poder 00:13:05

otra vez poner objeto sujetado 00:13:06

y que no 00:13:09

se mueva al desplazar el fondo 00:13:11

bien 00:13:13

pues esto 00:13:14

nos sirve para un caso como este 00:13:17

integral ir acotando 00:13:19

como veis 00:13:21

el rojo que era la suma superior 00:13:24

se termina 00:13:27

imponiendo al verde 00:13:28

y nos dice 00:13:31

si me voy a 100 00:13:33

que está entre 859 00:13:35

y 875 00:13:38

podría ir todavía a más 00:13:39

si yo quiero utilizar la suma trapezoidal 00:13:41

pues vamos a hacer 00:13:47

la suma 00:13:49

trapecidal 00:13:52

lo único que hace es la media 00:13:54

entre a y b, es decir, si yo pusiera 00:13:57

a más b partido por 2 00:13:59

sería exactamente lo mismo 00:14:01

pero 00:14:03

vamos a ponerlo como suma trapecidal 00:14:06

además 00:14:09

lo dibuja 00:14:10

vale, ahí lo veis 00:14:12

vale 00:14:15

ha decidido ponerlo porque era 00:14:17

lo último que había hecho 00:14:19

en la ventana 2, es una cosa que me pasa bastante 00:14:20

le podemos poner 00:14:24

no ya solo otro color 00:14:29

que pueda ser 00:14:32

celeste, por ejemplo 00:14:33

sino que además en el relleno 00:14:37

le podemos poner una almohadilla 00:14:40

De acuerdo, como símbolo de ladrillitos mejor 00:14:45

Bueno, pues ahí está 00:14:52

Como veis me sigue saliendo la etiqueta 00:14:54

Y pues ahí se ve que lo único que ha hecho ha sido el trapecio de la media entre A y B 00:14:57

si yo 00:15:07

hago pues 00:15:11

vemos aquí 00:15:13

8,67 00:15:15

en la izquierda 00:15:17

nos ha salido 00:15:20

vamos a hacer 00:15:20

obviamente 00:15:23

una casilla de verificación 00:15:24

de control 00:15:28

donde pongamos 00:15:30

suma trapezoidal 00:15:33

y que nos muestre 00:15:35

este valor 00:15:40

como veis, lo muestra o no 00:15:43

si lo dejamos solo, pues se ve mejor 00:15:54

no es que se vea muy bien, a lo mejor el color celeste no es el mejor 00:15:59

pero bueno, lo dejo a vuestra interpretación 00:16:03

vamos a hacer también un texto 00:16:07

Para que nos muestre 00:16:10

Vamos a repetir con la integral 00:16:13

Esto ya lo tenemos chupado 00:16:16

Podíamos haber cortado y pegado de la otra 00:16:24

Siempre tardaríamos un pelín menos 00:16:35

Aquí ponemos nuestra F 00:16:40

nuestro diferencial de x y podemos poner 00:16:45

pues un símbolo de aproximadamente 00:16:53

vamos a ver donde lo encontramos 00:16:57

este, por ejemplo 00:17:01

vamos a separarlo un poquito 00:17:05

y vamos a poner por supuesto 00:17:10

el valor de la suma trapezoidal 00:17:13

A lo mejor en vez de suma trapecidal me había quedado mejor, vamos a cambiarlo, suma de trapecios, ¿no? 00:17:17

Estamos en E y esto, perdón, era en G, donde queríamos ir. 00:17:38

no nos lo muestra 00:17:47

vamos a poner suma de trapecios 00:17:55

vamos, esto es absolutamente 00:18:07

indiferente 00:18:09

pero ahora me he arrepentido 00:18:12

y me gusta más así 00:18:13

bueno, pues nos diría que la integral 00:18:14

entre 1 y 3 es aproximadamente 00:18:17

10 00:18:19

que es lo que vale 00:18:21

e 00:18:24

y si lo voy haciendo 00:18:25

los rectángulos, pues me sale 8,67 00:18:27

de acuerdo, muy bien 00:18:33

pero GeoGebra nos hace 00:18:38

la integral exacta, simplemente tenemos que escribir aquí 00:18:42

integral de f 00:18:46

desde x de a a x de b 00:18:50

ya estamos acostumbrados a ver 00:18:56

que por mi poco cuidado nos la ponga en la vista gráfica 2, vamos a quitar la suma de trapecios, aquí la tenéis con su valor exacto, pues la podemos poner en el mismo azul que la función, 00:19:00

tenemos seleccionado suma de trapecios 00:19:21

no sé por qué 00:19:27

nos vamos a H 00:19:31

le vamos a poner el mismo color de la función 00:19:33

de acuerdo 00:19:37

si queréis, pues si os ha gustado antes los rellenos 00:19:39

pues podéis 00:19:43

poner 00:19:44

un símbolo 00:19:46

como rayado, por ejemplo 00:19:50

de acuerdo 00:19:53

podemos cambiar el ángulo 00:19:56

y el espaciado 00:19:57

quitamos la etiqueta visible 00:20:00

y bueno, pues este es 00:20:03

el área por debajo de la curva 00:20:05

como siempre vamos a hacer 00:20:07

una casilla de control 00:20:12

integral definida 00:20:13

de acuerdo 00:20:22

lo hemos puesto 00:20:31

y ya nos faltaría 00:20:35

por ejemplo escribir la regla de barro 00:20:39

con un texto 00:20:42

si vamos 00:20:44

donde antes 00:20:47

la integral 00:20:49

voy a hacer 00:20:50

lo que os he dicho antes 00:20:53

si nosotros copiamos todo esto 00:20:55

que es la integral con control c 00:20:57

y ahora en el nuevo texto 00:21:00

le damos 00:21:03

control v 00:21:07

pues nos lo copia, hasta hace pocas versiones 00:21:09

estos valores no les hubiera copiado 00:21:13

bueno, pues la integral de esto 00:21:16

vamos a guardarlo porque si quiero hacerlo por la regla de barro 00:21:20

necesito la integral indefinida, para eso simplemente 00:21:25

pues la pido integral 00:21:28

de f 00:21:32

Ahí la tengo, no queremos que se muestre, pero me va a servir para ahora cuando yo ponga el texto, ahora lo tendríamos que editar aquí, pues sería igual a, podríamos poner el valor de la integral, 00:21:35

que está aquí 00:22:03

P 00:22:05

buscamos 00:22:07

aquí está 00:22:12

P 00:22:13

ahora echamos mano 00:22:15

un poco de nuestro látex 00:22:18

y utilizamos el comando 00:22:21

biggr 00:22:24

que nos va a poner 00:22:26

una barra, como habéis visto en la vista previa 00:22:29

pues de un tamaño adecuado 00:22:33

además 00:22:35

Vamos a poner el símbolo de elevado y ahí vamos a escribir x de b, que es el límite superior, 00:22:36

inmediatamente detrás el símbolo de subrayado y x de a, que es el límite inferior. 00:22:48

Como veis en la vista previa, hemos conseguido el efecto que queríamos. 00:22:59

Ahora simplemente ponemos igual y ya vamos a sustituir otra vez con un poquito de látex y nuestros paréntesis, left, abrimos paréntesis, aquí vamos a poner el valor de p de x de b, p de x de b, ¿de acuerdo? 00:23:03

por supuesto 00:23:35

cerramos con right 00:23:41

aquí veis como va quedando 00:23:43

9, perfecto 00:23:49

ahora 00:23:52

voy a hacer una 00:23:53

trampita para no tener que escribir tanto 00:23:55

copio el igual 00:23:58

control c, me pongo detrás 00:23:59

control v 00:24:04

y simplemente donde ponía 00:24:05

x de b 00:24:08

lo estoy poniendo donde no es 00:24:09

pongo de a 00:24:12

y entre medias 00:24:16

eso sí, tendré que poner 00:24:20

un menos 00:24:22

¿de acuerdo? 00:24:23

y así, como veis, pues 00:24:26

nos va quedando 00:24:29

la integral definida 00:24:30

ya, como último paso 00:24:33

pues podemos poner simplemente 00:24:35

una casilla 00:24:38

donde sea 00:24:39

p de x 00:24:41

de b 00:24:43

menos 00:24:44

P de X 00:24:46

de A 00:24:50

si lo hemos hecho todo bien, aquí se ha ido actualizando 00:24:53

le damos ok 00:24:59

pues ha quedado todo 00:25:02

perfecto 00:25:06

hemos aplicado la regla de barro perfectamente 00:25:10

Aquí tenemos los valores. Es posible que cuando cambiemos la función no nos quepa, porque se haga demasiado grande, pero bueno. 00:25:14

Por cierto, como la integral definida va con la variable i, como habéis visto a la izquierda, 00:25:26

pues también podemos poner aquí que esto se visualice o no a la vez que la variable i. 00:25:34

Como veis, cuando marco el dibujo es cuando sale el texto. Aquí también en los trapecios era con G, pues esta la podemos poner G. Es lo bueno de tener la configuración abierta aquí a la derecha. 00:25:41

si tenéis una pantalla grande se trabaja mucho mejor 00:25:56

y bueno 00:26:00

pues yo creo que es una construcción 00:26:03

interesante para explicar 00:26:08

las integrales, por supuesto esto funciona muy bien 00:26:12

de tal manera que si ponemos B delante de A pues me sale negativo 00:26:16

porque a fin de cuentas solamente estamos aplicando 00:26:20

la regla de barro 00:26:23

aquí sí que me saldría mal 00:26:25

como veis los símbolos menor y mayor 00:26:29

estarían intercambiados 00:26:31

sería cuestión de poner un sí 00:26:34

para arreglarlo 00:26:38

pero por lo demás va bien 00:26:39

si nosotros borramos x cuadrado 00:26:46

y ponemos yo que sé, menos x 00:26:49

pues como veis 00:26:51

la integral sale negativa 00:26:54

de acuerdo 00:26:58

como corresponde, porque esto no es un cálculo de áreas 00:27:01

es una integral, es interesante ver que 00:27:06

si hacemos una integral 00:27:10

que no tiene integral 00:27:13

indefinida, como seno de x partido por x 00:27:17

pues esto sí que nos serviría perfectamente para calcularlo 00:27:21

lo que ocurre es que incluso GeoGebra crea una función 00:27:25

esto lo podéis buscar en la Wikipedia 00:27:30

como he hecho yo 00:27:32

aquí tenéis lo que llama integral senoidal 00:27:35

¿de acuerdo? la integral de 0 a x de seno de t partido por t 00:27:41

como una suma de fracciones 00:27:45

pero la cosa es que GeoGebra la hace 00:27:48

de hecho es que GeoGebra tiene aquí unas funciones 00:27:52

entre ellas esta que estamos diciendo 00:27:54

la llama por aquí 00:27:58

bueno, por aquí está, la podéis buscar vosotros 00:28:03

y también 00:28:07

también por ejemplo la de elevado a menos x cuadrado 00:28:09

que es esta que llama aquí RF 00:28:19

De acuerdo, bueno, funciones raras que tiene GeoGebra y que teóricamente no se definen por supuesto como de la manera normal que nosotros trabajamos con funciones 00:28:21

Pero bueno, lo haría, si nosotros lo hacemos utilizando nuestras aproximaciones, pues nos dice que es 0,9 por ejemplo entre 1 y 3 00:28:35

¿De acuerdo? Si nosotros, por ejemplo, ponemos seno de x solamente, pues podemos ver que entre 0 y 2pi habrá un momento en que nos dé 0, no podemos conseguir tanta precisión, 00:28:50

pero vamos, aquí abajo sí que sale 0 y para empezar no está en el 0, pero bueno, que esto yo creo que sirve bastante bien para enseñar el concepto de integral definida. 00:29:27