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Determinantes 2 - Propiedades - Contenido educativo

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Subido el 11 de julio de 2018 por Manuel D.

331 visualizaciones

Video sobre propiedades de determinantes.

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato. 00:00:02
Continuamos con la serie de vídeos de determinantes de matrices cuadradas. 00:00:14
En esta ocasión vamos a presentar sus propiedades. 00:00:17
Algunas de ellas van a ser esenciales, como por ejemplo aquella que dice que un determinante es cero 00:00:20
si alguna de las líneas es combinación lineal de las restantes. 00:00:25
Esto va a ser esencial en geometría, por ejemplo, para ver si una serie de vectores son coplanarios o, por ejemplo, en álgebra lineal para simplificar sistemas de ecuaciones 00:00:29
y ver cuándo algunas de las ecuaciones dependen de las otras y, por tanto, sobran. Comencemos. 00:00:42
Vamos pues a empezar con las propiedades de los determinantes. La primera de ellas, el determinante de la matriz traspuesta coincide con el determinante de la propia matriz. 00:00:48
¿Esto qué significa? Pues significa que todas las propiedades que queramos ver de los determinantes 00:00:59
se van a verificar tanto por filas como por columnas, va a dar igual. 00:01:04
¿Por qué es esto? ¿Por qué coincide con la traspuesta al determinante de la matriz? 00:01:09
Porque transponer significa simplemente cambiar los subíndices, cambiar filas por columnas, 00:01:13
y lo que al final se hace en la definición de determinante es reordenar los factores de todos los productos, 00:01:18
pero los sumandos no cambian. Por tanto, el determinante se mantiene. 00:01:25
Siguiente propiedad importante. Si una fila o columna la multiplicamos por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. 00:01:29
Es decir, ahí tenéis la propiedad. Es una manera de sacar factor común a toda una columna. ¿Por qué se verifica esta propiedad? 00:01:37
Porque en la definición del determinante habría una k, factor común de todos los sumandos, con lo cual podemos sacarlo fuera del sumatorio. 00:01:47
Como ya digo, esto es muy útil si lo que queremos es simplificar las cuentas. 00:01:58
En ese ejemplo, por ejemplo, la primera columna está multiplicada por 100, con lo cual podemos extraer el 100 fuera del determinante y luego calcular el determinante más pequeñín. 00:02:03
Siguiente propiedad. Es la misma que la anterior, pero por todas las filas o columnas de una matriz. 00:02:12
Si multiplicamos una matriz por k, quedan multiplicadas todas las filas o columnas. 00:02:19
Por lo tanto, el determinante va a quedar multiplicado n veces por k. k elevado a n por a. 00:02:23
Y esto es exactamente por aplicar la anterior propiedad n veces a la matriz. 00:02:27
Siguiente, ¿qué pasa si una línea se descompone como suma de 2, ya sea fila o columna? 00:02:35
Bien, pues que el determinante total queda descompuesto como suma de 2. 00:02:41
Podemos calcular el determinante sumando el de la izquierda con el de la derecha. 00:02:46
¿Y esto por qué se verifica? 00:02:49
Bueno, pues se verifica porque si cogemos la definición del determinante de la izquierda, 00:02:52
podemos aplicar la propiedad distributiva y la suma quedaría descompuesta como suma de dos determinantes. Así de sencillo. 00:02:56
Esto, ya digo, se puede hacer también por columnas y la propiedad vale exactamente igual. 00:03:06
¿Qué pasa si hay una línea de ceros en un determinante? Pues que el determinante vale exactamente cero. 00:03:11
¿Y por qué? Bueno, pues es muy sencillo de ver. Si en la definición de determinante resulta que en cada uno de los sumandos hay un cero, porque en todos los sumandos hay un elemento de la primera columna, pues entonces necesariamente va a tener que ser cero el total. 00:03:17
¿Qué pasa si lo que hacemos es permutar dos columnas? El determinante va a cambiar de signo. ¿Esto qué significa? Pues que si cambiamos de orden dos columnas, por ejemplo, ahí tenéis la primera y la segunda, 00:03:35
les damos la vuelta, el determinante lo que le va a ocurrir es que va a cambiar y va a ser, si antes era positivo o negativo, y viceversa. ¿Qué pasa si tenemos en un determinante dos líneas iguales, 00:03:47
ya sea en filas o columnas. Bueno, pues que el determinante va a ser igual a cero sin hacer una sola cuenta. 00:03:59
¿Y esto por qué es así? Bien, pues por la propiedad anterior. 00:04:05
Si en el determinante que tienen las dos primeras columnas iguales damos la vuelta al orden, 00:04:09
pues valdría lo mismo, pero a la vez tendría que cambiar de signo. 00:04:15
¿Eso qué significa? Pues que el único número al que cambiar de signo se queda igual es el cero. 00:04:17
Total, el determinante tiene que valer cero. 00:04:23
¿Qué pasa si en una matriz cuadrada tenemos dos líneas que son proporcionales, es decir, una múltipla de la otra? 00:04:26
Bueno, pues que el determinante ha de ser 0. 00:04:34
¿Y esto por qué es? Bueno, pues por aplicar un par de las propiedades que hemos visto hasta ahora. 00:04:36
La primera de ellas podemos sacarla acá como factor y la segunda de ellas, como tenemos dos columnas iguales, pues el determinante valdría 0. 00:04:41
Bien, vamos ahora con la propiedad fundamental dentro de todas estas que acabamos viendo, la novena propiedad, es esencial. 00:04:50
¿Qué pasa si una línea es combinación lineal del resto? Pues que el determinante vale cero. 00:04:59
Recuerdo que significaba combinación lineal, combinación lineal de una serie de líneas es coger cada una de las líneas, multiplicarlas por un escalar, por el alfa correspondiente y sumar o restar. 00:05:05
Bien, ahí tenéis una columna combinación lineal pues de las de la derecha. Entonces, ¿por qué esto vale cero? Bueno, pues es de nuevo aplicar sucesivamente las propiedades anteriores. 00:05:16
Por la propiedad 4 que vimos antes, como la línea primera columna está descompuesta como suma de varias, pues podemos descomponer el determinante como suma de determinantes. 00:05:30
Entonces, como cada uno de los determinantes hay una columna multiplicando por un factor alfa, esos factores los podemos sacar factor común. Esta era la propiedad número 2. Y ahora, como en cada uno de los determinantes hay dos columnas que son iguales, pues entonces cada uno de los determinantes va de 0 y por lo tanto la suma total es 0. 00:05:39
Diréis, ¿y esto por qué es tan importante? Bueno, pues porque las combinaciones lineales son esenciales en geometría y en álgebra lineal, resolviendo sistemas de ecuaciones. Y los determinantes lo que hacen es determinar si hay o no combinaciones lineales. Son una máquina de buscar combinaciones lineales. 00:05:59
Bueno, dos últimas propiedades y terminamos. La décima propiedad. Si sumamos a una de las columnas una combinación lineal de las restantes, el determinante no cambia. Y esto, pues básicamente es porque estamos sumando cero. 00:06:18
Bien, ¿qué utilidad puede tener esto? Bueno, pues ¿cuándo utilizamos esto de sumar o restar combinaciones lineales? Bueno, pues cuando diagonalizamos una matriz para hacer ceros utilizando el método similar al de Gauss-Jordan. 00:06:34
Bueno, pues eso significa que vamos a poder hacer ceros también en los determinantes, como veremos en próximos vídeos. 00:06:50
Y bien, acabamos con una propiedad que va a ser muy útil en la práctica y es que ocurre cuando tenemos el producto de dos matrices y luego calculamos el determinante. 00:06:57
Bien, pues lo que podemos hacer es calcular primero los determinantes y luego hacer el producto de estos. El resultado va a ser el mismo. 00:07:06
concluimos aquí con todas las propiedades de los determinantes nos vemos en próximos vídeos un saludo 00:07:14
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
331
Fecha:
11 de julio de 2018 - 15:27
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
07′ 23″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
60.68 MBytes

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