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2Bto - 01 - Matrices - 16 - Rango. Cálculo con el método de Gauss - Contenido educativo
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Hola, en este vídeo vamos a empezar a estudiar qué es el rango de una matriz.
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En matemáticas definimos el rango como el número de filas y columnas linealmente independientes que tiene una matriz.
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Vamos a recordar qué es esto de que dos filas o columnas sean linealmente independientes.
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Bueno, decimos que dos filas o columnas son linealmente independientes
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si no hay forma de obtener una de ellas como combinación lineal de otras, ¿vale?
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Combinación lineal no es más que la suma de varios múltiplos del resto de filas y columnas, ¿vale?
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De múltiplos del resto de filas y columnas.
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Vais a entender esto muy bien con el siguiente ejemplo sencillo.
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Tenemos aquí una matriz A de dimensión 2x3, ¿de acuerdo?
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En la que si os fijáis, la fila 1 está formada por los elementos 1, 2, 3
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y la fila 2 está formada por sus dobles, daos cuenta, 2, 4 y 6.
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Como la fila 2 es el múltiplo de la fila 1, es decir, hemos obtenido los elementos de la fila 2 a partir de multiplicar los de la fila 1 por 2,
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se dice que la fila 2 es linealmente dependiente de la fila 1, ¿vale?
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Porque yo he podido obtener esta fila 2 como una combinación lineal de la fila 1.
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Quiere decir que yo tomé la fila 1, multipliqué por 2 y así obtuve la fila 2.
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¿Vale? Como esto sucede no podríamos afirmar que el rango de esta matriz fuera 2
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Bueno, algunos diréis que sucede, bueno, os dais cuenta también de que esta matriz tiene 3 columnas
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¿Vale? Pero, bueno, tenéis que saber que cuando hablamos de matrices rectangulares en general
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Que la que tenemos, pues, diferente dimensión para las filas y columnas
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El rango siempre es el menor de los números, ¿vale?
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En este caso, como la fila, esta matriz tiene dos filas y tres columnas, el rango podría ser como mucho dos, ¿vale?
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Porque el número de filas es dos, el número de columnas es tres, ¿de acuerdo?
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Entonces el rango solo puede ser como mucho el número más pequeño de líneas que tenemos, que es en este caso el número de filas.
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Pero, como acabamos de ver, que hay una fila que es combinación lineal de otra, porque la he obtenido a partir de los dobles de los elementos de la primera fila, el rango de esta matriz se dice que es 1.
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¿De acuerdo? Creo que os ha quedado claro. O sea, es número de filas o columnas, nosotros siempre vamos a trabajar con filas, que no se pueden obtener como combinación lineal de otras.
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eso se llama independencia lineal. Vamos a ver ahora qué relación tiene la matriz inversa con
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el rango de una matriz cuadrada. Ya sabéis porque lo hemos comentado con anterioridad que la matriz
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inversa de una matriz cuadrada no siempre existe y la condición para saber si existe o no es la
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relación del orden de la matriz con el rango de la misma. De esa forma podemos afirmar que una
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matriz cuadrada tiene matriz inversa, sí y sólo sí, el rango de dicha matriz cuadrada
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coincide con su orden. Es decir, si yo tengo una matriz cuadrada de orden 3 y el rango
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de esta matriz es 3, entonces puedo afirmar que sí existe la matriz inversa. Si por ejemplo
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el rango de esta matriz fuera 2 o fuera 1, no existe y no podré calcular por tanto su
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matriz inversa. Vamos ya a explicar cómo puedo calcular el rango de una matriz inversa con los
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métodos que conocemos en este tema, que no es otro que el método de Gauss, que ya lo hemos visto
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para el cálculo de la matriz inversa propiamente dicha y lo conocí desde el año pasado de la
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resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Para poder calcular el rango de una
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matriz lo que tenemos que hacer es mediante el método de gauss intentar triangular o escalar
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la matriz que a mí me dan y comprobar de esta manera una vez que lo tenga hecho cuántas filas
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y columnas obtengo que no tengan todos sus elementos nulos de acuerdo recordamos que
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triangular o escalar una matriz es hacerle operaciones elementales de las que ya os dejo
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por aquí escritas pero ya las conocemos hasta conseguir que la mayor parte de elementos
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empezando por la izquierda sean nulos, si la matriz es cuadrada lo que voy a intentar hacer es fijar la diagonal principal
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y hacer todos los elementos por debajo de la diagonal principal ceros, eso se llama triangular una matriz
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pero si por lo que fuera me dieran una matriz rectangular en el que no tuviéramos el mismo número de filas y columnas
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Bueno, pues también vamos fijando, o sea, siempre tenemos que procurar que cada fila tenga un 0 más que la fila anterior, ¿vale?
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La primera fila tendrá todos sus elementos no nulos, bueno, puede tener alguno nulo, pero la mayoría de elementos no serán nulos.
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La siguiente debe tener un 0 más, o sea, su primer elemento debe ser un 0, la segunda debe tener al menos dos elementos 0 y así sucesivamente, ¿vale?
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Creo que vais a entender esto muchísimo mejor, todo este proceso con dos ejemplos que vamos a hacer.
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Mirad, en este primer ejemplo nos piden determinar el rango de esta matriz, ¿vale?
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Tengo una matriz de orden 3, cuadrada de orden 3, en el que voy a intentar triangularla, ¿vale?
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Para lo cual voy a fijar los elementos de la diagonal principal, ¿vale?
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Y todos los elementos que quedan por debajo voy a intentar hacerlos cero, ¿de acuerdo?
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para lo cual voy a ir explicando operaciones elementales con el método de Gauss.
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Entonces, lo primero que voy a hacer es que me escribo aquí la matriz
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y voy a ir pensando qué operaciones elementales le hago.
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La primera operación elemental sería, por ejemplo, a la matriz 2 le sumo la fila 1
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y ya obtendría aquí un 0 en el elemento 2, 1.
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Y si a la fila 3 le resto el doble de la fila 1, también obtendría aquí un 0.
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Entonces haré fila 2 más fila 1 y fila 3 menos el doble de la fila 1
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Como a la fila 1 no le hago nada, la dejo como está
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Daos cuenta que este proceso de indicar qué transformaciones hago es igual que el de la matriz inversa
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Solo que ahora aquí no hago la matriz ampliada, no necesito escribir la línea vertical y la matriz identidad detrás
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O sea, simplemente es ir haciéndole las distintas transformaciones sobre la propia matriz sin escribir nada más.
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Bueno, como iba diciendo, voy a sumarle aquí a cada elemento del afilador, le sumo los de la fila 1, entonces tendría menos 1 más 1, 0, 3 más 4, 7, 2 más menos 1, 1.
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Y por aquí debajo voy a hacer a los elementos de la fila 3, les resto el doble de la fila 1.
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aquí tendría un 0, aquí tendré 2 menos 2 por 4 que sería 2 menos 8 que sería menos 6
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y aquí tendría 0 menos 2 por menos 1 que será 0 más 2 que será un 2
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bueno como no hay forma aquí de quitar menos 6 y 7 con múltiplos de ellas mismas
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lo que voy a hacer es multiplicar cada una de esas dos matrices por el inverso de 7 y de menos 6 respectivamente.
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Es decir, voy a multiplicar en este caso la fila 2 por un séptimo y por otro lado la fila 3 por menos un sexto.
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Como a la fila 1 no le hago nada, la dejo como está.
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entonces al multiplicar la fila 2 por un séptimo tendré como el elemento 2 2 un séptimo por 7 que
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será 1 y 1 por un séptimo que será un séptimo vale y por aquí abajo tendré 0 menos 6 por menos
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un sexto será 1 menos por menos más 6 por un sexto 1 y 2 por un sexto por menos un sexto voy
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hacerlo aquí aparte 2 por menos un sexto será menos dos sextos que sí
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simplificó la fracción me queda menos un tercio de acuerdo
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bueno y ahora en el momento que lo tenemos así ya es mucho más sencillo
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para hacer ceros en los elementos debajo de la diagonal principal de la fila 3
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pues ahora la fila 3 y simplemente el resto la fila 2 pues ya tengo el 0 que
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buscaba vale y con suerte que bueno va a ser que si no se me van una de aquí
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también este elemento como las filas 1 y la fila 2 no les hago nada las copio
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como están y a la fila 3 le restó entonces 0 0 0 1
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menos 10 y menos un saber perdón menos un tercio menos un séptimo sería lo
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mismo que menos 7 menos 3 en el numerador me quedan menos 10 21 y reducible entonces mirad
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ya habríamos acabado vale si os dais cuenta acabamos de triangular la matriz que yo tenía
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de acuerdo debajo de la diagonal principal todos los elementos son 0 como la fila 3 al finalizar
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este proceso me ha quedado con un elemento no nulo es decir hay una fila completa en la que
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no todos los elementos son 0 de aquí puedo concluir que el rango de esta
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matriz a es 3 porque una vez que triangulado con transformaciones
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elementales no me ha quedado ninguna fila en la que todos sus elementos sean
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nulos vamos a ver ahora otro ejemplo con otra matriz de acuerdo en el que
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bueno pues vamos a hacer el mismo proceso vale también es una matriz de
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orden 3 en el que, a ver donde tengo el puntero, vamos a comenzar haciendo el mismo proceso,
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simplemente copio la matriz que me dan, vale, y voy a hacer transformaciones elementales
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para ir haciendo ceros, vale, para poder triangularla. Primer paso, el mismo de siempre, o sea necesito
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una vez que tengo distinto de cero el elemento 1, 1, hacer ceros los elementos 2, 1 y 3,
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1 para lo cual a la fila 2 le voy a restar el perdón el doble de la fila 1 y
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a la fila 3 le voy a restar la fila 1 entonces como a la fila 1 no le hago
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nada la copio como está y aquí haría 2 menos 2 por 10
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3 a ver perdón menos 1 menos 2 por 3 sería
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menos 1, menos 6, que sería menos 7, ¿vale? Y por aquí tendríamos 5 menos 2 por menos 1, es decir, 5 más 2, que sería 7.
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Vamos ahora con la fila 3. Simplemente le resto la fila 1. 1 menos 1, 0. 10 menos 3, 7. Menos 8, menos menos 1, sería menos 8 más 1, menos 7.
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Bien, bueno, si alguno os dais cuenta y os acordáis de la definición inicial donde decía que el rango tiene que ver con las filas linealmente independientes de una matriz y os ha quedado claro el concepto de independencia o dependencia lineal, ya os estáis dando cuenta de que las filas 2 y la fila 3, pues por ejemplo la fila 3 la obtengo como la fila 2 multiplicada por menos 1.
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¿Vale? Esto significa que una es dependiente de la otra, ¿vale? Aquí una es combinación lineal de la otra, por tanto el rango se va a ver menguado con respecto al orden de la matriz.
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Si alguno llegado a este punto no lo ve, sigue haciendo pues el proceso de triangular la matriz.
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Lo único que tendríais que hacer es que, bueno, ya tenéis aquí fijados los ceros, me falta hacer cero este elemento 3, 2, ¿vale?
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Para lo cual, pues bueno, como tengo la suerte de que el elemento que está justo encima, pues bueno, es su opuesto, si a la fila 3 le sumo la fila 2, haré ahí un 0, ¿vale?
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A las filas 1 y 2 no les hago nada, las copio como están y a la fila 3 le sumo la fila 2, por tanto, 0 más 0 es 0, 7 más menos 7, 0 y menos 7 más 7, 0.
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ahora sí se ve clarísimo que me ha quedado una fila en la que todos sus
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elementos son nulos vale y sin embargo hay dos filas que son linealmente
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independientes por tanto concluimos que el rango de esta matriz de es el número
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de filas linealmente independientes que son dos
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