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Ejemplos ecuaciones números complejos - Contenido educativo

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Subido el 1 de febrero de 2022 por Roberto A.

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Bueno, este vídeo es acerca de los números complejos y está centrado sobre todo en ecuaciones de números complejos. 00:00:00
Partimos del caso en el cual z a la cuarta menos 8z es igual a cero. 00:00:08
Como estamos en el campo de los complejos, al ser una z elevado a 4, estamos en una ecuación de cuarto grado, 00:00:13
y va a tener cuatro raíces. 00:00:23
Cuando estábamos en el campo de los reales, pues a ver si podíamos decir que alguna raíz no existía dentro de los reales y demás. 00:00:24
Sin embargo, los complejos van a existir todas, ¿vale? En este caso, las cuatro raíces. 00:00:31
¿Qué es lo que hacemos? Pues sacamos factor común Z, con lo cual Z a la cuarta menos 8Z igual a 0 se convierte en Z, 00:00:38
porque multiplica Z al cubo menos 8 igual a 0. Cuando nosotros tenemos un producto que es igual a 0, 00:00:47
Entonces, o A es igual a 0 o B es igual a 0. 00:00:54
Aquí, ¿qué es lo que hacemos? 00:00:59
Pues Z lo igualamos a 0. 00:01:00
Ya tenemos una de las raíces. 00:01:03
Y luego tenemos que Z al cubo menos 8 es igual a 0. 00:01:07
Si despejamos de aquí Z, vemos que Z es igual a la raíz cúbica de 8. 00:01:10
Y aquí al estar en el complejo tenemos tres raíces complejas. 00:01:17
Hay gente que piensa que evidentemente raíz 3 de 8 es igual a 2 y si nosotros estuviéramos en el campo de los reales pues una raíz sería x igual a 0 y otra raíz sería x igual a 2. 00:01:25
Y las otras dos, pues no existen dentro de los reales. 00:01:41
Pero al ser un número complejo, nosotros partimos de la raíz cúbica de 8. 00:01:46
¿8 en qué forma está? 8 está en la forma binómica. 00:01:53
La forma binómica es a más b. 00:01:58
Entonces lo que hacemos nosotros es representarlo en el eje colar. 00:02:01
Esta es la parte real de Z, esta es la parte imaginaria de Z, y como nosotros tenemos 8 que es igual a A más B, pues aquí sabemos que A vale 8 y que B vale 0. 00:02:07
¿Dónde está el 8? Pues aquí. Entonces, este vector de aquí, este punto que es el 8,0, ¿vale? En polar, ¿cómo sería? Pues el 8 en polar es igual a 8 de módulo. 00:02:23
¿Y qué grado forma este vector con el semieje positivo? Pues cero grado. 00:02:42
¿De acuerdo? Entonces, el número complejo 8 en polar es 8 cero grado. 00:02:49
¿Cómo hallamos las tres raíces? Pues nosotros sabemos aquí que tenemos una z sub 1, una z sub 2 y una z sub 3. 00:02:59
El módulo va a ser raíz cúbica de 8, que sabemos que es 2, raíz cúbica de 8, que es 2, y raíz cúbica de 8. 00:03:08
¿Qué es lo que hacíamos? Pues dividíamos precisamente ese ángulo en polar entre 3. 00:03:20
¿Por qué entre 3? Porque es una raíz cúbica. 00:03:26
Si tuviéramos una raíz cuarta, lo dividíamos entre 4. Esto da 0. 00:03:29
Entonces, la primera raíz, pues, está ahí en 0 grados, y esto es igual a 12, que es lo que ya habíamos hecho nosotros si lo hubiésemos hecho en el cuerpo de los reales. 00:03:33
¿Qué ocurre? Que nosotros ahora tenemos que dividir 360 entre 3 también 00:03:50
¿Por qué entre 3? Porque es una raíz cúbica 00:03:56
Si fuese una raíz quinta, pues dividiríamos entre 5 00:03:59
Y esto nos da 120 grados 00:04:04
Con lo cual, este es el 2,0 00:04:07
Que si le sumamos 120 grados, este es 120 grados 00:04:10
Y este es el número polar E2, 240 grados. 00:04:18
Entonces, ¿cuáles son las cuatro raíces de esta ecuación? 00:04:23
Pues Z1 es igual a 2, 0. 00:04:28
Z2 es igual a 220 grados. 00:04:33
Z3 es igual a 2, 240 grados. 00:04:38
Y Z4 era 0. 00:04:42
¿De acuerdo? 00:04:46
Estas son las cuatro raíces de mi ecuación compleja. 00:04:46
Importante distinguir este caso aquí en los reales cuando nos hubiéramos quedado con x igual a 0 y x igual a 2, 00:04:57
pero sin embargo en los complejos tenemos 1, 2, 3 y 4 raíces. 00:05:07
voy a hacer 00:05:12
ahora otro ejercicio 00:05:15
que me interesaba mucho 00:05:17
que creo que es el 21B 00:05:19
donde nos pone 00:05:21
Ic al cubo 00:05:23
menos 27 00:05:25
igual a 0, voy a cambiar de color 00:05:27
para realizarlo 00:05:29
¿vale? pues aquí ¿qué hacemos? 00:05:31
pues pasamos 00:05:33
el 27 al otro 00:05:35
miembro, nos queda 00:05:37
Ic al cubo igual a 27 00:05:39
y multiplicamos, esta Y que está multiplicando pasa dividiendo, 00:05:41
con lo cual tenemos que Z al cubo es 27 partido por Y. 00:05:47
Pero ¿qué ocurre? 00:05:53
Que nosotros no sabemos dividir complejo. 00:05:54
Bueno, sí sabemos, pero no se hace como una división normal, 00:05:58
Sino que cuando dividimos por un número complejo, recordad, tenemos que hacer multiplicar arriba y abajo por subconjugado. 00:06:07
Nuestro número complejo en este caso va a ser i. 00:06:17
¿Eso qué quiere decir? Que subconjugado es menos i. 00:06:21
Por lo tanto multiplicamos aquí por menos i y aquí por menos i. 00:06:27
¿Y qué obtenemos? 00:06:32
Pues tenemos menos 27i arriba y abajo tenemos menos i al cuadrado. 00:06:33
¿Cuánto varía i al cuadrado? 00:06:39
i al cuadrado era menos 1, por lo tanto, menos i al cuadrado es igual a 1. 00:06:43
Esto de aquí es menos 27i partido de 1 igual a menos 27i. 00:06:50
volviendo a lo de antes 00:06:57
tenemos que z al cubo es igual a menos 27i 00:07:01
por lo tanto z es la raíz cúbica de menos 27i 00:07:05
el argumento que hay dentro de la raíz es menos 27i 00:07:13
que representado gráficamente vemos que es aquí 00:07:21
Este es el punto 0, menos 27, ¿de acuerdo? Esto de aquí es el vector asociado a menos 27i. 00:07:25
¿Qué observamos aquí? Pues que el módulo, el módulo de esto, perdón, el módulo de esto mide 27, vaya de la. 00:07:38
Esto en polar es 27 de módulo 00:07:50
¿Y cuánto es el ángulo que forma este vector con el semieje positivo de las X en sentido antihorario? 00:07:55
Pues es 270 grados 00:08:06
Una vez que ya tenemos el menos 27Y en forma polar 00:08:10
en forma polar 00:08:15
pues 00:08:17
ya nos es fácil 00:08:18
hallar las raíces 00:08:22
de aquí, tenemos 00:08:23
Z1, Z2 00:08:25
y Z3 00:08:28
Z1 que es 00:08:29
pues la raíz cúbica 00:08:32
de 27 00:08:34
que sabemos que es 3 00:08:35
3 por 3 es 9, 3 por 9 es 27 00:08:37
aquí igual 00:08:39
raíz cúbica de 27 00:08:40
esto es igual a 00:08:43
raíz cúbica de 27. Y ahora, ¿qué ponemos aquí? Pues lo de siempre. Hacemos 270 grados, 00:08:45
que es el argumento principal, entre 3. ¿Por qué entre 3? Porque es raíz cúbica. Con 00:08:57
lo cual, eso, si no me equivoco, es 90 grados. Pues aquí ponemos 90 grados. ¿Y ahora qué 00:09:05
hacemos? Pues 360 grados, lo dividimos también entre 3, que es 120 grados. Pues eso es lo 00:09:12
que tenemos que sumar a 90 para el siguiente argumento. 120 más 90 es 210 grados, y aquí 00:09:20
volvemos a sumar a 120 grados y tenemos 330 grados. Si nosotros el color representáramos 00:09:28
bien y demás, pues tenemos aquí el 27, aquí tenemos 210 y aquí 210 formaríamos 00:09:39
un triángulo, un triángulo equilátero. ¿De acuerdo? Vamos a hacer otro. Vamos a 00:09:49
Vamos a hacer el ejercicio, a ver, perdón, creo que está aquí abajo, a ver, este de aquí, que es el 21B, que es IZ a la cuarta más 4 igual a 0. 00:10:03
¿Cómo actuamos aquí? Pues igual. 00:10:21
vamos a despejar la Z 00:10:24
por lo tanto tenemos que 00:10:27
IZ a la cuarta es igual a menos 4 00:10:29
y Z a la cuarta es igual a menos 4 partido de I 00:10:32
¿Cómo se dividen los números complejos? 00:10:37
Pues multiplicando arriba y abajo 00:10:42
por su conjugado 00:10:44
el conjugado de I es menos I 00:10:46
lo de arriba nos queda 4I 00:10:49
Y lo de abajo me queda menos i al cuadrado. 00:10:52
Como i al cuadrado es menos 1, menos menos 1, esto es igual a 4i. 00:10:56
Partido de 1 es igual a 4i. 00:11:03
¿De acuerdo? 00:11:07
Pues, nada, adelante. 00:11:09
Ahora tenemos que z4 es igual a 4i. 00:11:12
Por lo tanto, z es la raíz cuarta de 4i. 00:11:20
¿Cuántas raíces vamos a tener? 00:11:26
Pues, 4. 00:11:28
Vamos a tener, perdón, vamos a tener z1, z2, z3 y z4. 00:11:31
¿Cuál es mi número 4i que es andinómico en polares? 00:11:45
Pues si yo lo represento, el 4Y está aquí, es el 0,4, ¿vale? Está aquí. 00:11:49
Entonces, ¿cuál es su módulo? Pues 4. 00:12:00
¿Y cuánto es el ángulo que forma con el semieje positivo de las X? 00:12:03
Pues este ángulo de aquí es 90 grados. 00:12:09
Con lo cual, para las raíces, pues yo tengo aquí la raíz cuarta de 4, la raíz cuarta de 4, es decir, siempre la raíz cuarta de su módulo, la raíz cuarta de su módulo. 00:12:11
Y ahora, ¿qué hacemos? Pues dividimos 90 grados, que es este original de allí, entre 4, porque 4 son el número de la raíz, ¿vale? La raíz, el índice de la raíz. 00:12:29
90 entre 4, si no me equivoco, es 22,5 grados. 00:12:41
Entonces, aquí ponemos el 22,5 grados. 00:12:45
Aquí, ¿será que hacemos siempre igual? 00:12:50
360 grados entre 4, eso es 90 grados. 00:12:52
Entonces, si le sumamos 90 más 22,5 es 112,5 grados. 00:12:57
Si aquí nosotros le sumamos 90 grados otra vez, pues es 202,5 grados. 00:13:08
Y si le sumamos 90, 292,5 grados. 00:13:17
Con lo cual nosotros ya tenemos las cuatro raíces de mi ecuación en números complejos. 00:13:22
¿Qué es lo importante aquí? 00:13:33
Y, pues, darnos cuenta de que este número complejo Y que está dividiendo, 00:13:35
¿cómo se quita o cómo se hace esa división? 00:13:41
Pues multiplicando por conjugado. 00:13:43
¿Vale? 00:13:45
Y vamos ahí ya al último ejercicio. 00:13:47
El último ejercicio, que es el 23A, me dice que Z a la cuarta menos 1 es igual a 0. 00:13:51
Vamos a cambiar el color para hacerlo. 00:14:02
¿Y qué observamos aquí? Pues que Z a la cuarta es de cuarto grado, va a tener cuatro raíces, ¿vale? Cuatro raíces. 00:14:05
Como siempre, despejamos la Z. Z a la cuarta es igual a 1, Z es igual a la raíz cuarta de 1. 00:14:20
este 1 está en forma dinámica 00:14:30
vamos a representarlo 00:14:36
esta es la parte real de Z 00:14:37
y esta es la parte imaginaria de Z 00:14:41
este número, su asfijo es el 1,0 00:14:44
¿y el 1,0 cuál es? 00:14:47
pues este de aquí, es el 1,0 00:14:49
¿cuál es el módulo de este vector? 00:14:51
pues el 1 en dinámica 00:14:56
equivale a un número polar complejo de módulo 1 y de ángulo 0 grados. 00:14:59
Lo vemos aquí que es 0 grados. 00:15:08
Entonces, ¿qué ocurre? 00:15:10
Pues nada, hacemos lo de siempre. 00:15:13
0 entre 4, ¿cuánto es? 0. 00:15:15
Y 360 entre 4, ¿cuánto es? 90. 00:15:19
Por lo tanto, Z sub 1 aquí es igual a 1 y aquí 0 grados, que es este de aquí. 00:15:23
Z sub 2 es igual a 1, 90 grados, que se le suma por la división de 360 entre 4. 00:15:32
Z sub 3 es 1, 180 grados, y Z sub 4 es igual a 1, 270 grados. 00:15:43
Si nosotros esto representamos las raíces, vemos que tenemos aquí el 1, el 1,0, este es el 1,90, este es el 1,180 y este es el 1,270. 00:15:52
Si nosotros lo unimos, tenemos aquí un cuadrado, ¿vale? 00:16:07
Donde precisamente esto de aquí, pues vale 1. 00:16:15
¿Cuánto valdría este lado? 00:16:19
Pues nosotros aquí podemos aplicar Pitágoras, porque esto vale 1, esto vale 1 y esto de aquí vale raíz de 2, ¿de acuerdo? 00:16:21
Vale, pues espero que os haya servido este vídeo, si tenéis alguna duda, por supuesto, pregúntame, ¿vale? 00:16:32
Saludos. 00:16:40
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
87
Fecha:
1 de febrero de 2022 - 22:13
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
16′ 41″
Relación de aspecto:
1.69:1
Resolución:
1220x720 píxeles
Tamaño:
45.32 MBytes

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