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Rango de matrices. Rouché-Frobenius. Regla de Cramer - Contenido educativo

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Subido el 10 de octubre de 2020 por Juan Pablo P.

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Aplicación del teorema de Rouché y de la regla de Cramer. Viene precedido de un recordatorio del cálculo de rango de matrices.

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Hola chicos, bueno para acabar ya lo que sería en el tema 1, 2 y 3, nos quedaría por contar lo que es el rango de una matriz, el teorema de Rouchet-Frobenius y la regla de Karamen, ¿de acuerdo? 00:00:00
Con esto ya se podrían hacer todos los ejercicios que hay hasta el tema 3. 00:00:18
Veis el vídeo las veces que sea necesario, preguntáis las dudas en clase y el examen estará por fijar, pero no será más allá de una semana o semana y media. 00:00:27
Bueno, pues empezamos. ¿Qué es el rango de una matriz? 00:00:40
perdón, cogemos rango de una matriz A. 00:00:48
Hay dos formas de definirlo. 00:01:06
Bien, una primera forma es atendiendo a los vectores fila o columna. 00:01:08
En realidad es el número de vectores fila linealmente independientes o el número de vectores columna linealmente independiente. 00:01:20
da igual mirar una cosa o la otra, es decir, es lo mismo mirarlo por filas que por columnas. 00:02:01
Bueno, antes que nada vamos a recordar lo que significaba linealmente independientes, ¿vale? 00:02:21
Bueno, pues decíamos el año pasado que V1, V2 hasta Vn eran linealmente independientes, sí y solamente sí, 00:02:31
Para cualquier ecuación del tipo lambda 1 por v1 más lambda 2 por v2 más puntos suspensivos lambda n por vn igual al vector 0, 00:02:48
obligatoriamente, con los lambda suís vamos a poner los escalares, 00:03:10
Recuerdo que escalares para nosotros eran números, ¿vale? 00:03:18
Pues de esta ecuación obligatoriamente se deduce que todos los landas, landa 1, landa 2, hasta landa n, eran igual a 0, ¿vale? 00:03:24
Si eso no ocurre, diremos que V1, V2 hasta Vn son linealmente dependientes. 00:03:44
Lo poníamos como LD. Y esto significa que por lo menos hay un vector que es combinación lineal, poníamos CL, de los demás. 00:04:08
Ejemplo, pues en este caso podría ser que puedo poner el Vn como un número por V1 más un número por V2 más, puntos suspensivos, un número por el Vn-1, ¿vale? 00:04:44
¿De acuerdo? Entonces, este depende de estos n-1 vectores. 00:05:09
Bien, consecuencias prácticas. 00:05:14
es lo que a nosotros más o menos nos interesa, que es lo que vamos a usar 00:05:16
vale, bueno pues 00:05:28
lo primero sería que 00:05:31
dos vectores 00:05:35
son linealmente independientes 00:05:38
si no son 00:05:47
proporcionales, de acuerdo 00:05:50
Por ejemplo, también nos viene muy bien para problemas, el método de Gauss permite de manera sencilla ver cuántos vectores fila son separados. 00:05:56
linealmente independientes vamos pasamos a la siguiente hoja 00:06:43
vamos a poner unos ejemplos bueno los ejemplos o simplemente un ejemplo no hay 00:06:56
por qué hacer muchos imaginaros que nos preguntarán calcula 00:07:01
el rango 00:07:09
D, y nos dan la matriz A igual a 1, 2, 3, 4, menos 1, 1, 0, 2, y 2, 1, 1, 3, ¿vale? 00:07:12
bueno pues si lo que queremos ver es el rango de A 00:07:38
lo primero que veríamos es que las tres filas no son proporcionales 00:07:47
bueno pues eso ya me dice que por lo menos el rango sería 2 00:07:54
eso por lo menos 00:07:58
bueno será el rango 3 00:07:59
pues si aplico lo que conocemos del método de Gauss 00:08:01
yo podría hacer la fila 2, va a pasar a ser la fila 2 sumada con la fila 1. 00:08:08
Era lo que hacíamos el año pasado con las ecuaciones. 00:08:21
Luego, esto va a ser el rango de, pongo la 1, 2, 3, 4, 00:08:23
que es sobre la que voy a realizar las cuentas, y pongo el resultado. 00:08:29
si sumo la 2 con la 1 me queda 0, 3, 3, 6, digo ya ahí el año pasado también hacíamos que la fila 3 era igual a la fila 3 menos dos veces la fila 1, ¿de acuerdo? 00:08:34
Bueno, el acento lo pongo porque sería como la nueva fila 3, que es la que yo voy a acabar poniendo en tercera línea. 00:08:56
Bueno, pues si multiplicamos esta por 2, podríamos poner aquí en pequeñito 2, 4, 6, 8, 00:09:05
Y como ahora tengo que restarlos, 2 menos 2, 0, 1 menos 4, menos 3, 1 menos 6, menos 5, 3 menos 8, menos 5. 00:09:14
Reviso por si acaso, 2 menos 2, 0, 1 menos 4, menos 3, 1 menos 6, menos 5, 3 menos 8, menos 5. 00:09:29
¿De acuerdo? Bueno, como ya no lo necesito, para no confundirme, si vuelvo a hacer cuentas, lo borro y sigo. 00:09:38
Bueno, pues para hacer el rango también podría hacer que la fila 3 sea igual a la fila 3 más la fila 2, que eso es lo que me garantizaría otro 0 más. 00:09:52
Entonces tendría ahora la 1, 2, 3, 4, 0, 0, perdón, 0. 00:10:10
Bueno, vamos, 0, 3, 3, 6, 0, al sumar 3 y menos 3 sale 0, menos 2 y 1, ¿vale? 00:10:22
Bueno, pues ya veo que las tres filas son linealmente independientes. 00:10:39
¿Por qué? 00:10:53
Porque si cojo la tercera fila, multiplicándole por el número que quiera, 00:10:55
me van a salir las dos primeras coordenadas cero. 00:11:00
Si cojo la tercera y la segunda y la multiplico por el número que quiera, 00:11:03
la fila 2 y la fila 3, la primera coordenada sería también 0, no podría ser nunca el 1, luego las 3 son linealmente independientes, ¿de acuerdo? 00:11:08
Si me hubieran salido algunos iguales, pues directamente yo podría retirarlos, ¿bien? Bueno, pues seguimos, segunda manera de calcular el rango, ¿bien? 00:11:19
pues es el orden máximo de sus menores no nulos. 00:11:39
Si os acordáis de lo que era un menor, los menores eran los determinantes que yo sacaba de las matrices quitando filas y columnas. 00:12:01
¿De acuerdo? Entonces, en realidad, yo lo que tendría que hacer ahora es para ver el rango de la matriz que me daban antes, de la 1, 2, 3, 4, menos 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 3, 00:12:12
pues sería quitando filas o columnas 00:12:37
obtener determinantes que 00:12:41
sean distintos de 0, el que sea de orden mayor 00:12:44
pues si resulta un 3 por 3, pues sería de orden 3 00:12:49
¿de acuerdo? aquí no lo he puesto, pero lo añado aquí 00:12:53
el rango de A vale 3 00:12:57
¿de acuerdo? que al final no lo pusimos 00:13:02
Dijimos que las tres eran linealmente independientes 00:13:05
Bueno, pues en este caso 00:13:07
Hombre, antes de ponernos a hacer nada 00:13:09
Yo ya vería que el rango va a ser más de uno 00:13:11
Bien, para que fuera cero tendrían que ser todos los elementos cero 00:13:16
No hay ninguno 00:13:21
Bien, para que fuera uno tendrían que ser las filas todas proporcionales 00:13:22
Bien, veo que no 00:13:28
Para que el rango fuera dos 00:13:29
Tendría que encontrar un determinante 2 por 2 distinto de 0. Si cojo el 1, el 2, el menos 1 y el 1, este determinante vale 3 distinto de 0, pues por lo menos es 2. 00:13:32
Vale, y si encontrara 1 distinto de 0, por ejemplo, de orden 3, menos 1, 1, 0, 2, 1, 1, pues entonces sería de orden 3. 00:13:55
el rango sería 3, pues esto sería 1 menos 3 más 0 menos 6 más 2 y menos 0, resultado menos 6, ¿de acuerdo? 00:14:17
Bueno, pues como este es distinto de 0, el rango de A sería 3. 00:14:38
Es decir, que ya tengo dos maneras de mirar el rango, o aplicando el método de Gauss o aplicando los determinantes. 00:14:53
No obstante, me interesa que os fijéis en lo siguiente. 00:15:01
Bien. 00:15:07
¿Cuánto valdría este determinante? 00:15:09
Bien. 00:15:13
Bueno, pues el valor de este determinante es menos 6, ¿y cuánto ha salido este? Menos 6. ¿Por qué? Porque si os acordáis, una de las propiedades de los determinantes era que se podía aplicar el método de Gauss. 00:15:18
En cierta medida lo que decíamos es que el valor del determinante no varía si a una fila o columna se le sumaba una combinación lineal de las restantes. Pues eso es lo que pasa aquí en Gauss y lo que pasa aquí. 00:15:34
Bueno, pues una vez explicado lo que es el rango 00:15:48
Vamos a seguir ahora con lo que sería el teorema de Rouchet 00:15:54
Bien, para ello lo primero es irnos fijando en lo que sería la expresión matricial de un sistema 00:16:01
Imaginaros, aquí, esta ecuación, esta ecuación, esta ecuación. 00:16:14
En principio, como hay muchas incógnitas, en vez de llamarlas x, y, z, la vamos a llamar x1, x2, hasta xn. 00:16:19
¿Vale? 00:16:30
Y las ecuaciones que hay serán b1, b2, hasta bm. 00:16:31
Es decir, que hay muchas ecuaciones, en principio, muchas incógnitas. 00:16:36
Aunque nosotros al final vamos a tratar como mucho sistemas 3x3 o 4x4 o 3x4, que significa 3 ecuaciones 4 incógnitas, 4 ecuaciones 3 incógnitas o 4 ecuaciones 4 incógnitas. 00:16:40
Nunca vamos a ir a cosas más grandes. 00:16:55
Bueno, pues si resolvemos este sistema, tenemos diferentes opciones, ¿vale? 00:16:58
Puede ocurrir que el sistema tenga solución y que ésta sea única. 00:17:04
Entonces se dirá que el sistema es compatible y determinado. 00:17:07
Puede ser que el sistema sea compatible e indeterminado, es decir, que tenga infinitas soluciones. 00:17:11
O puede ser que el sistema sea incompatible. 00:17:18
¿De acuerdo? Luego volveremos sobre ello. 00:17:21
La idea es estudiar el teorema de Rouchet y luego ver la aplicación sobre esto. 00:17:24
Bueno, pues... 00:17:34
A ver, ¿dónde nos hemos ido? Aquí. 00:17:35
vale, bueno pues 00:17:40
esta de aquí 00:17:45
es lo que se llama la matriz del sistema 00:17:51
si veis son todos los coeficientes 00:17:56
a sub 1, a sub 1, a sub 2, a sub 1, 2 00:17:58
a sub 1n, a sub 1n 00:18:03
aquí están las incógnitas 00:18:07
x sub 1, x sub 2, x sub n 00:18:09
x1, x2, xn 00:18:12
y los términos independientes o segundo miembro 00:18:15
b1, b2, bn 00:18:19
esta es la matriz A 00:18:21
matriz del sistema 00:18:24
matriz de términos independientes o segundo miembro 00:18:26
y esta es la matriz de las incógnitas 00:18:30
¿de acuerdo? 00:18:33
bueno, pues 00:18:35
hay una matriz nueva 00:18:36
que se llama matriz ampliada 00:18:39
La que está formada por todos los elementos de la matriz A a los que le añado los elementos de B. 00:18:40
Y entonces esta se le llama matriz A ampliada. 00:18:54
En algunos libros lo ponen como A asterisco, en otros libros se lo pone... 00:18:58
Perdón, voy a cambiar el color. 00:19:08
Como A barra, ¿de acuerdo? 00:19:12
Da igual, según lo nominéis. 00:19:16
Lo importante es que recibe el nombre de ampliada. 00:19:18
Bien, bueno, pues, ¿qué dice el teorema de Rochefrubeños? 00:19:26
Dice que la condición necesaria y suficiente para que un sistema de M ecuaciones y N incógnitas sea compatible 00:19:29
es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada. 00:19:37
¿De acuerdo? 00:19:44
y si estudiamos los rangos de la matriz, podemos encontrarnos con las siguientes situaciones. 00:19:45
Estos dos rangos coinciden, si estos dos rangos coinciden, el sistema tiene solución, el sistema es compatible. 00:19:52
Si además coinciden con el número de incógnitas, acordaros que la n eran las incógnitas, 00:20:00
pues el sistema es compatible, determinado. 00:20:05
Y si el rango es más pequeño que el número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado. 00:20:08
Si el rango de A es menor que el rango de A ampliada, el sistema es incompatible. 00:20:17
En algunos sitios se pone que son distintos, pero lo que está claro es que si esta tiene una columna más, 00:20:25
pues lo único que puede ocurrir es que el rango de A ampliada sea más grande que el de A. 00:20:31
¿De acuerdo? Bueno, ese sería el caso del sistema incompatible. Vamos a ver, ¿qué nos interesaría a nosotros centrar aquí? ¿Cómo voy a hallar este rango? 00:20:35
Bueno, pues este rango, si rango de A viene dado por un menor m, 00:20:47
puedo eliminar todas aquellas ecuaciones cuyos coeficientes no estén en M. 00:21:09
Y pasar al segundo miembro aquellas incógnitas cuyos coeficientes tampoco estén en M. 00:21:48
Y luego resolver usando la regla que veremos luego después, regla de Kramer. 00:22:19
¿De acuerdo? 00:22:48
Bueno, pues seguimos adelante. 00:22:54
¿Qué dice la regla de Kramer? 00:22:58
Bueno, pues la regla de Cramer dice que si tengo un sistema con n ecuaciones y n incógnitas, es decir, mismo número de ecuaciones que de incógnitas, y el determinante de los coeficientes es distinto de cero, admite una solución y sólo una, es decir, el sistema es compatible y determinado. 00:23:01
Bien, bueno, ¿de dónde sale el método de Cramer? 00:23:23
Imaginaros, tenemos este sistema, este sistema lo podemos expresar matricialmente de esta manera, 00:23:28
sería esta fila por esta columna igual a esta, que eso me daría lugar a la primera ecuación. 00:23:36
Bien, esta fila por esta columna sería igual a B2, y eso sería la segunda ecuación. 00:23:45
Bien, bueno, pues lo que me dicen es que esta resulta que el determinante es distinto de cero. 00:23:56
Hombre, si el determinante es distinto de cero, sabemos que existe la inversa. 00:24:05
Si sabemos que existe la inversa, multiplico por la inversa aquí a la izquierda y al despejar me queda que x es igual a a-1 por b. 00:24:09
Bueno, si esto es a-1 por b, ¿en realidad qué es lo que ocurre? 00:24:20
Bien, pues que este es el x, ¿vale? Aquí está la inversa y aquí está b. 00:24:29
Cuando hago la multiplicación me queda de denominador siempre el determinante de a, arriba a sub 1, 1 por b sub 1, a sub 2, 1 por b sub 2, a sub n, 1 por b sub n. 00:24:41
¿bien? igual a su 1 2 por b su 1 00:24:56
a su 2 2 por b su 2, a su n 2 por b su n 00:25:00
¿de acuerdo? bueno, y si me fijo 00:25:03
si yo desarrollo por esta columna 00:25:08
¿bien? por esta columna de aquí 00:25:13
entonces me sale b su 1 por a su 1 1 00:25:20
b su 2 por a su 2 1 00:25:26
perdón, por el adjunto a sub 2, 1 00:25:29
b sub n por el adjunto a sub n, 1 00:25:32
es decir que x sub 1 en realidad 00:25:35
es la matriz 00:25:38
que yo tenía 00:25:42
¿vale? la matriz 00:25:44
a al que le falta la primera columna 00:25:46
pero a cambio de la primera columna 00:25:51
el a sub 1, 1, a sub 1, 2 y demás 00:25:54
He metido yo los términos independientes. ¿Qué le pasa al XU2? Pues es lo mismo, la matriz A que yo tenía, pero en la columna 2 meto los términos independientes o los segundos miembros. 00:25:56
De esta manera obtengo fácilmente cómo resolver un sistema con simplemente calcular determinantes, ¿vale? Bueno, pues vamos a acabar lo que sería el tema haciendo unos ejercicios. 00:26:11
Para ello, a ver si me descoloca un poco las hojas, los ejercicios, lo vamos a hacer aquí y sería, vamos a elegir, imaginaros que nos piden resolver aquí el siguiente sistema. 00:26:29
Es x más y más z igual a 6, 2x menos y más z igual a 3, y x más 2y más 3z igual a 14. 00:26:49
si yo tengo que resolver este sistema 00:27:19
bueno, pues lo primero que voy a tener que mirar es cuánto vale el rango de A 00:27:24
y compararlo con el rango de A ampliada 00:27:31
para ver el rango de A, lo primero que se me ocurre es mirar cuánto vale este determinante 00:27:34
si me sale distinto de 0, quiere decir que el rango será 3 00:27:41
¿Vale? Bueno, pues realizo la cuenta, sale menos 3, más 4 y más 1, más 1, menos 6 y menos 2. 00:27:47
Entonces, reviso, menos 3, más 4, más 1, otra vez más 1, menos 6 y menos 2, perfecto, pues entonces salen positivos, resultado menos 5, ¿vale? Serían 4, 5, 6, menos 6, 0, resultado menos 5, que es distinto de 0. 00:28:04
Bueno, pues por el teorema de Rouchet-Frobenius, tengo que el rango de A es igual a 3, que es igual que el rango de A ampliada, y además coincide con el número de incógnitas. 00:28:28
Pues el sistema es sistema compatible determinado, pero claro, si el determinante era distinto de cero, cumple las hipótesis de la regla de Cramer. 00:28:49
¿Bien? Bueno, pues entonces la X será igual aquí el determinante menos 5, la Y será igual aquí el determinante menos 5 y la Z será igual aquí el determinante menos 5. 00:29:10
Habría que sustituir para el cálculo de la X la primera columna por la 6, 13, 14 00:29:45
Aquí sería la segunda columna, la que se sustituiría por la 6, 13, 14 00:29:59
Perdón, no 13, sería 3 00:30:08
y aquí la última columna 00:30:12
por las 6, 3, 14 00:30:18
bueno, por allí damos el resto 00:30:24
que sería 1, 1 00:30:26
menos 1, 1, 2, 3 00:30:30
aquí sería 1, 2, 1 00:30:35
1, 1, 3 00:30:39
Y este sería 1, 1, 2. Menos 1, 1, 2. Bueno, pues si yo resuelvo aquí, hago este, queda menos 18. Aquí sale más 6. Aquí sale más 14. Bien. 00:30:42
Y negativos menos 14, vamos a ver, aquí no nos va a caber, lo borramos aquí abajo, y esto sería igual a menos 18 más 6 más 14. 00:31:06
A ver, menos 18, más 6, más 14, luego más 14, menos 9, menos 12, menos 9, menos 12, entre menos 5. 00:31:32
Positivos, menos 39, serían 12, 18, menos 30, menos 39 00:31:53
Y aquí serían más 34, luego salen menos 5, entre menos 5, que esto vale 1 00:32:03
Eso sería la X 00:32:13
¿Cuánto valdría la Y? 00:32:15
Perdón, aquí 00:32:18
La Y sería igual a 9 más 28 más 6 menos 3 menos 14 y menos 36. 00:32:20
entre menos 5 00:32:47
bueno, pues aquí serían 00:32:52
34, 43 00:32:55
53, luego menos 10 00:33:00
entre menos 5, igual a 2 00:33:04
y de la misma manera, si resolvéis este 00:33:08
el z sale 3, bien, bueno, pues ya hemos 00:33:11
resuelto el primero aplicando la regla de kramer el sistema era compatible determinado vale bueno 00:33:16
imaginaros ahora que nos piden estudiar y resolver el siguiente sistema x más y más z igual a 6 00:33:26
2X menos Y más Z igual a 3, y 4X más Y más 3Z igual a 15. 00:33:38
Bien, bueno, pues lo primero que haría es ver lo que vale el rango de A 00:34:01
Para ver lo que vale el rango de A, miraría el determinante de A 00:34:08
1, 1, 1, 2, menos 1, 1, 4, 1, 3 00:34:13
Y si ocurriera lo de antes, pues resultaría que el sistema sería compatible determinado 00:34:22
Y lo podría hacer por Gauss 00:34:29
bueno pues si no me he confundido al ponerlo este saldrá cero menos tres más 00:34:30
dos más cuatro más cuatro menos seis y menos uno diez positivos diez negativos 00:34:36
el resultado sale cero 00:34:48
vale bueno pues 00:34:53
El rango de A va a ser 2, ¿por qué? Porque si me fijo en este determinante de aquí, bien, el determinante 1, 1, 2, menos 1, vale menos 3, distinto de 0. 00:34:57
¿De acuerdo? Bueno, vamos a ver cuánto sería el rango de A barra. Para ver el rango de A barra, yo lo que voy a hacer es utilizar el método de Gauss, puesto que vale para determinantes y para rangos, pues lo utilizo. 00:35:22
Y aquí lo que voy a hacer es la fila 2 igual a la fila 2 menos 2 veces la fila 1. 00:35:53
Aquí me sale el 1, 1, 1, 6. 00:36:08
Y al restar, aquí habría como 2, 2, 2, 12, pues 2 menos 2, 0, menos 1, menos 2, menos 3, 1, menos 2, menos 1, 3, menos 12, menos 9. 00:36:14
Y la fila 3 sería igual a la fila 3 menos 4 veces la fila 1. 00:36:36
Para no confundirme con los de antes, borro los resultados que tuve anteriormente. 00:36:52
Y ahora como es cuatro veces, aquí me va a salir un cuatro, un cuatro, un cuatro y un veinticuatro. 00:37:00
Y cuando reste cuatro con cuatro, cero. 00:37:10
Uno menos cuatro, menos tres. 00:37:15
Tres menos cuatro, menos uno. 00:37:19
Quince menos veinticuatro, menos nueve. 00:37:22
Si nos fijamos, vemos que esta ecuación, porque al final eso representa ecuaciones, es la misma que la de arriba. 00:37:26
Bueno, pues entonces lo que obtengo es que el rango de A es igual a 2, igual al rango de A ampliada, que es menor que 3, que es el número de incógnitas. 00:37:40
ya, pero si el rango es 2 00:38:00
eso es porque hay un determinante 2 por 2 00:38:06
no nulo 00:38:09
el determinante 2 por 2 podría ser este 00:38:10
si lo miran aquí 00:38:15
o este que saqué de aquí antes 00:38:16
nos vamos a quedar con el primero que saqué, ¿vale? 00:38:19
si yo me quedo con el 1, 1, 2, menos 1 00:38:22
cuando hicimos 00:38:28
Si hablamos del teorema de Rouchet, podíamos eliminar aquellas ecuaciones cuyos coeficientes no estuvieran ahí. 00:38:29
Pues yo me quedo con el x más y y el 2x menos y. 00:38:38
Y pasar al otro miembro las incógnitas que tampoco estuvieran en ese menor. 00:38:44
Pues 6 menos z, 3 menos z. 00:38:51
y decíamos que podíamos resolver el sistema por Cramer, ¿vale? 00:38:56
Hombre, en este caso como queda un 2 por 2, lo voy a hacer de las dos maneras, 00:39:04
lo voy a hacer por Cramer y lo voy a hacer por igualación, reducción, cualquiera de ellos, ¿bien? 00:39:09
Entonces, en este caso, si yo lo hiciera por Cramer, sabría que la x tiene que ser igual, 00:39:15
Este determinante, lo calculáis, sale menos 3, y aquí tendría que poner la primera, el 6 menos z, 3 menos z, y el 1 menos 1. 00:39:21
El resultado queda menos 6 más z, menos 3 más z, dividido entre menos 3. 00:39:45
Si hago la división menos 9 entre menos 3, queda 3 y menos 2 tercios de z. 00:39:59
¿Vale? Y la y sería igual a lo mismo, aquí menos 3 y aquí pondríamos el 1, 2 y sería 6 menos z, 3 menos z. 00:40:07
Hago la operación, queda 3 menos z, menos 12 más 2z, entre menos 3. 00:40:34
3 menos 12 es menos 9, menos 9 entre menos 3 más 3, a ver si sale más 3, a ver, no me he confundido, 1, 3 menos z, 12 menos, menos 12 más 2z, estaría bien, entonces queda menos 9 entre menos 3, 3 más un tercio de z. 00:40:46
En principio me falla un signo, pero no sé dónde estará con las cuentas que yo tenía hechas. 00:41:16
Luego lo revisamos, por si acaso. 00:41:28
No obstante, la otra forma de hacerlo sería, lo voy a hacer en rojo, 00:41:32
si yo decido que sumo estas dos, me queda que 3x es igual a 9 menos 2z, 00:41:40
De aquí sacaría que la x es 3 menos 2 tercios de z, ¿de acuerdo? Como decíamos ahí, ¿vale? Vamos a ver, bueno, la última cosa que me gustaría recalcar, aunque nos salgamos de los límites de la hoja, es que en este caso depende de la z, con lo cual tenemos dos grados de libertad, digo, perdón, un grado de libertad. 00:41:48
Yo me puedo inventar la Z, inventándome la Z, calculo lo que vale la X y la Y. 00:42:16
Bien, entonces, sigo aquí un poco liado porque no veo de dónde sale el 3 más 1 de Z. 00:42:23
Ah, perdón, sí, ya he visto el fallo. 00:42:36
Borramos aquí este. 00:42:39
Bien, si debo una y tengo dos, me queda uno entre menos tres, el signo aquí era negativo, ¿vale? Este es menos un tercio de z. 00:42:42
Bueno, a lo que me refiero es que si yo doy que la z vale cero, entonces la x me sale tres, porque aquí sustituíamos por cero, y la y me sale tres. 00:42:54
Luego ya tengo la primera solución. Si digo que la z vale 3 y la elijo 3 para no tener denominadores, pues me queda que la x vale 1, 2 tercios por 3 quedaría menos 2 y que la y vale 2. 00:43:09
Bueno, con eso me refiero a que tengo un grado de libertad. Yo me invento la zeta y de esta manera saco lo que vale la y. 00:43:32
Bueno, pues, ¿y qué pasa si me ponen un sistema como el que sigue? 00:43:42
x más y más z igual a 6, 2x menos y más z igual a 3, 4x más y más 3z igual a 10. 00:43:49
¿Vale? Bueno, pues si os fijáis se parece la matriz A, se parece mucho a la de antes, ¿vale? Esta matriz se parece a la de antes, lo único que ha cambiado es esta posición en el término, en el segundo miembro, ¿vale? 00:44:20
Bueno, pues si hacéis el cálculo del rango, el rango de esta matriz, 1, 1, 1, 6, 3, 10, y aquí 2, menos 1, 1, 4, 1, 3. 00:44:36
ya sabíamos como el determinante de esto era 0 00:44:59
que el rango de esto es 2 00:45:04
bueno pues aplicando el método de Gauss 00:45:06
lo que queda es el 1, 1, 1, 6 00:45:16
multiplicaríamos, lo vamos a repetir 00:45:22
aunque podríamos mirarlo en la hoja de antes 00:45:26
multiplicaríamos por 2 aquí 00:45:28
quedaría 2, 2, 2, 12 00:45:31
la fila 2 igual a la fila 2 00:45:37
menos 2 veces la fila 1 00:45:41
y al restar queda 0, menos 3, menos 1, menos 9 00:45:44
y si hago la fila 3 igual a la fila 3 menos 4 veces la fila 1, para no confundirme, borro aquí, 00:45:54
Y pongo 4, 4, 4 y 24. Al restar 4 menos 4 me queda 0. 1 menos 4 me queda menos 3. 3 menos 4 me queda menos 1. Y 10 menos 24 menos 14. 00:46:09
Bien, entonces, si me fijo en este determinante, en el determinante formado por el 1, 0, 0, 1, menos 1, menos 1, 6, menos 9, menos 14, 00:46:34
este determinante sale 14 menos 9, 5 distinto de 0, luego el rango de la ampliada es 3, bien, pues sistema incompatible, bien, 00:46:58
Bueno, a modo de curiosidad, esta es columna primera, columna tercera y este viene de segundo miembro. 00:47:21
Bueno, pues si nosotros hubiéramos hecho 1, 1, 6, 2, 1, 3, estoy eligiendo la columna primera, la columna tercera y la de términos independientes o segundo miembro. 00:47:32
4, 3, 10, cuando hago este, este sale 10, menos, perdón, más 36, más 12, menos 24, menos 20, menos 9. 00:47:51
Bien, serían 48, 58, 58 menos 53 igual a 5, que es lo que salía antes. 00:48:14
Lógicamente, ya dijimos que el método de Gauss no cambiaba el valor del determinante, ¿vale? 00:48:29
Porque no cambia el valor del determinante si a una fila o columna le sumo una combinación lineal de los restantes. 00:48:37
Bueno, espero que con todo esto ya tengáis una clara idea de lo que va el tema, ¿vale? 00:48:44
Las dudas ya para clase podéis empezar a hacer todos los ejercicios de los tres primeros temas. 00:48:52
Saludo. 00:48:58
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Juan Pablo P.
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10 de octubre de 2020 - 19:28
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