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Ecuación polinómica de grado mayor que dos - Contenido educativo

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Subido el 26 de enero de 2021 por Jose S.

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Vamos a ver un tipo de ecuación que es importante, que es la de los productos del tipo X menos A, X más A. 00:00:00
Vamos a este ejemplo, vamos al ejemplo concreto. 00:00:09
Esta ecuación. 00:00:14
Daros cuenta de que consta de cuatro factores que se están multiplicando. 00:00:16
Y la pregunta es, ¿qué valores de X verifican esta igualdad? 00:00:23
Estas serán las soluciones de esta ecuación, ¿verdad? 00:00:29
Pues bien, cuando un producto de factores da cero, pues cuando uno de los factores es cero. 00:00:32
Veamos, aquí tenemos cuatro factores. Este, este, este y este. 00:00:43
El primer factor es x menos 3. El siguiente es x más 2. El otro es x menos 1 y x más 7. 00:00:47
Pues bien, cuando uno de los factores es cero, cuando el producto es cero, cuando uno de los factores es cero. 00:00:58
Por lo tanto, la solución de esta ecuación tendrá que ver con los valores de x que hacen que cada uno de estos factores dé cero. 00:01:06
Por lo tanto, primer caso, que el primer factor sea cero, x menos 3. 00:01:16
En este caso, despejando, te da x igual a 3. 00:01:21
Fíjate, como esto es solución de esta ecuación 00:01:25
Sustituimos aquí el 3 y me hace que esto sea 0 00:01:30
0 por algo, 0 00:01:36
Efectivamente, x igual a 3 es solución 00:01:39
Es solución de la ecuación 00:01:46
Bien, la otra posibilidad es que el factor que da 0 sea este 00:01:52
Ten en cuenta que si esto vale 0, pues 0 por algo, pues es 0, y por tanto la igualdad será cierta. 00:01:57
O sea, que x más 2 sea 0. 00:02:05
Despejamos, y obtenemos x igual a menos 2. 00:02:08
Fijaos, sustituyes aquí en x el menos 2, te da menos 2 más 2, 0. 00:02:14
Y 0 por todo lo demás es 0, por lo tanto, es también solución. 00:02:21
Esto se ve fácil, ¿no? 00:02:28
Ahora, la siguiente posibilidad es que el tercer factor sea 0. 00:02:30
Pues x menos 1 que sea 0. 00:02:34
Y despejamos. 00:02:39
Por la misma razón, x igual a 1 es solución. 00:02:41
Y la última posibilidad es que x más 7 sea 0. 00:02:48
Y despejando, obtengo que x es menos 7. 00:02:52
Es solución. 00:02:56
Por la misma razón. 00:02:57
Es decir, que esta ecuación tiene cuatro soluciones. 00:02:58
x igual a 3, x igual a menos 2, x igual a 1 y x igual a menos 7. 00:03:02
Y repetimos, observación es que cada una de ellas es la que hace que cada uno de los factores sea cero. 00:03:08
¿De acuerdo? 00:03:22
Esta técnica es muy importante porque imaginaros que quiero una pregunta. 00:03:24
Si yo operara estos cuatro factores, me daría un polinomio de grado 4. 00:03:31
Y por tanto, estoy ante una ecuación de grado 4. 00:03:37
Ahora bien, fijaros, vamos a utilizar esta misma técnica para resolver una ecuación de este tipo. 00:03:42
Fijaros que es una ecuación de grado 3, nada más ni nada menos. 00:03:49
¿De acuerdo? 00:03:55
Bien, daros cuenta. 00:03:56
Nosotros en el tema anterior, en fin, recuerdo que en el tema anterior aprendimos a factorizar polinomios. 00:03:58
Esto es un polinomio, p de x igual a x cubo más 3x cuadrado menos x menos 3. 00:04:13
Y factorizar un polinomio, ¿recordáis que era como que finalmente lo expresábamos con monomios del tipo x menos a? 00:04:24
o x más a, con binomios de este tipo. 00:04:32
Y claro, esto tiene la estructura de la ecuación que hemos resuelto anteriormente. 00:04:36
Entonces nos será interesante factorizar el polinomio. 00:04:47
¿Cómo lo hacíamos? 00:04:55
Pues por Ruffini, ¿recordáis? 00:04:56
1, 3, menos 1, vamos poniendo aquí divisores del menos 3. 00:04:58
¿De acuerdo? Los divisores del menos 3 son más menos 1 y más menos 3. 00:05:05
Por lo tanto, pongo aquí un 1, 1, 1, perdón, 4, 4, 3, 3, y da 0. 00:05:13
Por lo tanto, x menos 1 es un divisor. 00:05:23
¿Recordáis? Es lo que hacíamos para factorizar el polinomio. 00:05:27
Y ahora podríamos continuar por Ruffini, probaríamos con el 1, vemos que no da, porque tenía que dar resto 0, y no da, pues probaríamos con menos 1 y da 0. 00:05:32
Esto del x más 1 es el otro divisor. 00:05:53
Y aquí sale x más 3. 00:05:58
Entonces, he factorizado el polinomio este. 00:06:02
Y en consecuencia, podríamos decir que esta ecuación es equivalente a esta. 00:06:07
¿Se ve? 00:06:23
Esta ecuación es equivalente a esta. 00:06:34
Porque este polinomio factorizado es todo esto. 00:06:38
Así que, razonando el modo anterior, este producto es cero si al menos uno de los factores es cero. 00:06:42
Primer caso, x menos uno igual a cero. 00:06:56
Y ya tenemos la solución primera, x igual a uno. 00:07:00
Segundo caso, x más uno igual a cero. 00:07:03
Y ya tenemos la solución segunda, x igual a menos uno. 00:07:07
y x más 3 igual a 0, de donde se sabe que x es igual a menos 3. 00:07:10
Esto es exactamente igual que lo que hemos trabajado en la ecuación anterior. 00:07:16
De este modo, factorizando los polinomios, resolvemos todas las ecuaciones de grado mayor que 2, 00:07:21
factorizando el polinomio, poniéndolo de esta forma, y de aquí se desprenden rápidamente las soluciones. 00:07:31
Propongo un ejercicio para que penséis. Encontrar una ecuación que tenga como soluciones x igual a 5, x igual a menos 2, x igual a 7. 00:07:38
Encontré una ecuación que tenga como soluciones estas tres 00:08:08
A ver quién lo hace 00:08:13
Da la pausa y pensadlo, ¿de acuerdo? 00:08:15
Voy a explicarlo, ¿cómo lo haríamos? 00:08:23
Pues mirad una ecuación con esas soluciones 00:08:26
Por ejemplo, sería esta 00:08:31
Estoy utilizando todo el tiempo el criterio que he usado en la primera ecuación que hemos resuelto 00:08:34
Claro, lo que he hecho es, como x igual a 5 es solución 00:08:42
lo pongo como x menos 5 00:08:45
x igual a menos 2 es solución 00:08:48
lo pongo como x más 2 00:08:50
y como x es igual a 7 es solución 00:08:52
pues lo pongo como x menos 7 00:08:55
de esta manera 00:08:57
el 5 hace 0 a este factor 00:08:58
el menos 2 hace 0 a este factor 00:09:00
y el 7 hace 0 a este factor 00:09:03
y por tanto esta ecuación 00:09:05
tiene como soluciones 00:09:07
estas de aquí 00:09:08
¿que uno quiere ponerlo como polinomio? 00:09:09
pues operaríamos esto por esto 00:09:13
y esto por esto. ¿De acuerdo? Vamos a hacerlo. x menos 5 por x más 2 sería x cuadrado menos 00:09:15
5x, perdón, x cuadrado más 2x menos 5x menos 10 sería x cuadrado menos 3x menos 10 igual 00:09:31
0. Perdón, este es el producto este. Y ahora multiplicaríamos por x menos 7. Entonces 00:09:44
x cuadrado menos 3x menos 10. Lo multiplicamos por x menos 7 y nos da... Bien, multiplicamos 00:10:01
Entonces, este producto nos queda, aplicando la distributiva múltiple aquí, tenemos que es igual a esto, el producto, simplificando, nos queda, por tanto, el producto de estos tres factores es este. 00:10:10
En consecuencia, la ecuación x³, 10x² más 11x más 60 igual a cero, es esta misma también factorizada, tiene como soluciones las aquí indicadas. 00:10:40
Así hemos resuelto esto que os proponía, encontrar una ecuación que tenga como soluciones x igual a 5, x igual a menos 2, x igual a 7. 00:11:03
Subido por:
Jose S.
Licencia:
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Fecha:
26 de enero de 2021 - 23:43
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
11′ 22″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
75.93 MBytes

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