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Monotonía y acotación de sucesiones - Contenido educativo

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Subido el 24 de octubre de 2021 por Roberto A.

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Aunque lo vimos en clase, me parece conveniente hacer un vídeo acerca de la monotonía y crecimiento de una sucesión. 00:00:00
Una sucesión, como vimos en varios ejercicios en clase, puede ser creciente, decreciente o vacilante. 00:00:09
¿Cuándo es creciente? 00:00:15
En su monotonía, monótona creciente que se llama, pues cuando cada término es menor o igual que el siguiente. 00:00:16
Lo vemos aquí, a su n es menor o igual que a su n más 1. 00:00:24
Y, por ejemplo, si tenemos aquí a sub n que es igual a 3n más 2, si nosotros realizamos el cálculo de cada uno de los términos, a sub 1 es 5, a sub 2 es 8, a sub 3 es 11, así sucesivamente podemos ver que va creciendo la sucesión. 00:00:30
Ahora que sabemos allá el límite de sucesiones, observamos que el límite de a sub n cuando n tiende a infinito es precisamente infinito, con lo cual esto de aquí va creciendo indefinidamente, por lo tanto se cumple que cada término es menor o igual que el siguiente. 00:00:52
Por lo tanto, este ejemplo de a sub n igual a 3n más 2 es una sucesión monótona creciente que se llama. 00:01:12
Lo veremos más adelante, pero ya aprovecho el inciso en el cual, si os fijáis, el valor más pequeño que puede tomar a su N es 5, 00:01:20
con lo cual 5 se llama cota inferior de una sucesión. 00:01:28
Pero eso ya os digo que lo veremos más adelante. 00:01:32
Cuando una sucesión es decreciente, pues al contrario, una sucesión es decreciente cuando todo término es mayor o igual al siguiente. 00:01:35
Lo vemos aquí, a sub n más 1 es más chico que a sub n, o por ejemplo, a sub n siempre es mayor o igual que a sub n más 1. 00:01:52
Lo mejor es verlo en un ejemplo, b sub n es menos 2n más 1, hallamos b sub 1 que es menos 1, b sub 2 es menos 3, b sub 3 es menos 5, menos 7, menos 9. 00:02:00
Vamos viendo cómo a medida que calculamos los distintos términos de la sucesión, estos van siendo más pequeños, 00:02:09
Con lo cual, a1 es mayor que a2, a3 es mayor que a3, a3 es mayor que a4, así sucesivamente. 00:02:16
Por lo tanto, es decreciente. 00:02:24
Además, ya ahora aprovechando que sabemos calcular el límite de una sucesión, 00:02:27
vemos que el límite cuando n tiende a más infinito, de menos 2n más 1, es menos infinito. 00:02:31
Con lo cual, el valor de esa sucesión va a ir decreciendo, decreciendo, decreciendo. 00:02:38
es monótona decreciente que se llama 00:02:43
y cuando tiende a infinito pues vale menos infinito 00:02:46
¿qué ocurre? pues que el valor máximo que puede tomar 00:02:50
esta sucesión es menos uno 00:02:53
por lo tanto menos uno es lo que se conoce como cota superior 00:02:57
un oscilante ya lo vimos es cuando cambia de signo en cada término 00:03:02
por ejemplo siempre que tenemos algo del tipo menos uno elevado a n 00:03:07
o menos cualquier número elevado a n, pues vemos que va cambiando aquí el signo, ¿no? 00:03:12
Menos 2 negativo, luego 4 positivo, menos 8 negativo, positivo. 00:03:18
Este tipo de sucesiones no se considera ni creciente ni decreciente. 00:03:23
Por lo tanto, no tiene crecimiento o decrecimiento. 00:03:32
¿Cómo se estudia realmente la monotonía? 00:03:37
Con la monotonía de una sucesión lo que se hace es comparando el término general, el término general a sub n más a sub n, con el término a sub n más 1. 00:03:40
Entonces lo que hacemos nosotros en nuestro caso, si tenemos 3n más 2, nuestro a sub n es 3n más 2. 00:03:52
a sub n más 1, pues sustituir donde haya una n, n más 1. 00:03:59
Por lo tanto tenemos 3 que multiplica n más 1, 2. 00:04:03
Si nosotros seguimos operando, 3n más 2 se queda igual, pero 3n más 1 más 2 es 3n más 3, si distribuimos el 3 dentro del paréntesis, 3n más 3 más 2. 00:04:07
3n más 2 se queda igual y 3n más 3 más 2 es 3n más 5. 00:04:20
Si nosotros restamos aquí el 3n, nos queda que 2 es más pequeño que 5, con lo cual yo aquí pongo el signo de que 5 es mayor o igual que 2, lo voy trasladando a todas las líneas anteriores, de esta forma. 00:04:24
con lo cual aquí siempre en esta sucesión a sub n es más pequeño que a sub n más 1 00:04:45
con lo cual a sub n es creciente. 00:04:54
En lo que aquí se ha puesto que a sub n más 1 es mayor o igual que a sub n para todos los valores n que pertenecen a r 00:04:59
por lo tanto a sub n que es esta de aquí es monótona creciente. 00:05:07
Sin embargo, b sub n, pues vamos a ver cómo es en los términos generales. 00:05:20
Vamos a comparar b sub n con b sub n más 1. 00:05:26
b sub n lo ponemos tal cual, menos 2n más 1, 00:05:30
y de n más 1 lo que hacemos es sustituir la n por n más 1. 00:05:33
Con lo cual nos queda menos 2 que multiplica n más 1, más 1. 00:05:38
En el siguiente término, pues tenemos aquí igual 2n más 1, 00:05:44
Y aquí distribuimos el menos 2 en el paréntesis, con lo cual nos queda menos 2n menos 2 más 1. 00:05:49
Esto se queda exactamente igual, y aquí al final reduciendo menos 2 más 1 al menos 1, 00:05:55
tenemos aquí menos 2n más 1, y aquí menos 2n menos 1. 00:06:01
Con lo cual, si aquí quitamos el 2n, aquí nos queda un 1, y aquí nos queda un menos 1. 00:06:05
¿Qué ocurre? Pues que nosotros sabemos que 1 es mayor o igual que menos 1, 00:06:11
Por lo tanto, aquí, menos 2n más 1 es mayor que menos 2n menos 1. 00:06:18
Menos 2n más 1 es mayor o igual que menos 2n menos 2 más 1. 00:06:25
Menos 2n más 1 es mayor o igual que menos 2 que multiplica a n más 1 más 1. 00:06:30
¿Y qué es menos 2n más 1? Pues precisamente es b sub n. 00:06:37
¿Y qué es todo esto de aquí? Pues precisamente bn más 1. 00:06:40
Con lo cual, como b sub n es mayor o igual que bm más 1, b sub n es monótona decreciente. 00:06:44
Monótona decreciente y además es para todo n que pertenece a los números naturales. 00:07:00
Así sabemos la monotonía de una sucesión, comparando siempre el término general con el término siguiente. 00:07:09
¿De acuerdo? En este caso era B sub n con B sub n más 1. 00:07:19
Y el que salga, si sale que siempre B sub n es mayor o igual que B sub n más 1, es monótona decreciente. 00:07:24
Pero si sale, como en el caso anterior, el A sub n, donde A sub n es siempre menor o igual que A sub n más 1, es monótona decreciente. 00:07:32
¿De acuerdo? 00:07:43
la acotación de una sucesión 00:07:44
pues se dice que a sub n 00:07:48
está acotada inferiormente 00:07:51
si todos los valores de la sucesión 00:07:53
pues son mayores que un cierto valor i 00:07:55
es decir, a sub n siempre es mayor o igual que i 00:07:58
para todo n que pertenece a los números reales 00:08:04
es decir, para todos los valores de la sucesión 00:08:08
si volvemos a ese ejemplo 00:08:10
de a sub n es igual a 3n más 5, vemos que precisamente a sub 1 es 8, a sub 2 es 11, a 00:08:12
sub 3 es 14, a sub 4 es 17. Vimos ya que el límite de a sub n es más infinito y que es 00:08:19
creciente. Comparamos el término a sub n con a sub n más 1. ¿Y qué ocurre? Pues que 00:08:27
precisamente tenemos una sucesión que es creciente y que además el límite en el infinito 00:08:34
es más infinito, pues este tipo de sucesiones que son crecientes y que en el infinito tienen 00:08:41
a infinito, tienen lo que se llama una cota inferior. Es decir, todos los a1, a2, a3, todos 00:08:46
los términos de la sucesión siempre son mayores que en este caso el 8. Si estamos 00:08:54
en la vez su n que era menos n más 2, que es por ejemplo cada uno de ellos, 1, 0, menos 00:09:01
1, menos 2, menos 3, menos 4, pues vemos si comparamos el bn y el bn menos 1, resulta 00:09:07
que siempre bn es mayor o igual que bn menos 1. Esto lo dejo que lo demostré tal como 00:09:15
yo he hecho en las dos sucesiones anteriores. Y vemos que es decreciente. Si hacemos que 00:09:22
el límite de bn es infinito, lo hallamos y encima nos sale que es menos infinito, pues 00:09:29
resulta que no tiene cota inferior, y que además, pues todos los valores de la b sub n siempre son menores que el 1, 00:09:34
con lo cual este 1 es una cota superior. 00:09:43
b sub n, una sucesión, está cotada superiormente, se define así, 00:09:47
si todos los valores de la sucesión son menores que un valor s de superior, ¿vale? 00:09:59
¿Eso qué significa? Pues que B sub n es menor que S para todos los m que pertenecen a los números naturales. 00:10:06
Es decir, todos los elementos de las sucesiones son menores que S, que es lo que hemos visto en la sucesión anterior. 00:10:13
Aquí está otra sucesión que es menos 2m más 1. 00:10:19
Vemos que todos los elementos van decreciendo. 00:10:22
Esta es una sucesión decreciente. 00:10:28
Vemos que su límite en infinito tiende a menos infinito, con lo cual siempre crece. 00:10:30
y aquí menos 1, pues se considera una cota superior. 00:10:35
No tiene cota inferior, porque siempre va descendiendo hasta menos infinito, 00:10:38
entonces en el subn se conoce que está acotada superiormente. 00:10:44
¿Qué ocurre? Pues que hay otra definición, hemos visto acotada superiormente, 00:10:47
hemos visto acotada inferiormente, y una sucesión se dice acotada, 00:10:56
simplemente ni superior ni inferiormente, si se dice que una sucesión está acotada, 00:11:01
si lo está tanto inferiormente como superiormente. 00:11:07
Vamos a ver el caso de esta sucesión que es 1 más 3 partido de n. 00:11:12
Si nosotros calculamos cada uno de los términos, vemos que a sub 1 es 4, 00:11:17
que a sub 2 es 5 medios, a sub 3 es 2, a sub 4 es 7 cuartos. 00:11:21
Así al principio, bueno, nos podemos hacer una idea, 00:11:26
pero no sabemos si es creciente o no es creciente. 00:11:29
Entonces, como hemos dicho antes, calculamos c sub n 00:11:31
y también calculamos C sub n más 1 y lo vamos a comparar. 00:11:34
C sub n es 1 más 3 partido de n, 00:11:38
C sub n más 1 es sustituido, en vez de una n, una n más 1, 00:11:41
por lo tanto es 1 más 3 partido de n más 1. 00:11:45
Aquí ¿qué ocurre? Pues nada, hago denominador común, 00:11:49
con lo cual tengo n más 3 partido de n, 00:11:52
y aquí tengo n más 1 más 3 partido de n más 1, 00:11:54
y ese nos queda como n más 4 partido de n más 1. 00:11:57
si yo ahora saco factor común 00:12:01
o mínimo común múltiplo, mejor dicho 00:12:03
de n y n más 1 00:12:05
resulta que este de aquí 00:12:07
el c sub n lo tengo que multiplicar 00:12:09
arriba y abajo por n más 1 00:12:11
para que me quede exactamente igual 00:12:12
n más 3 partido de n 00:12:15
y el c n más 1 00:12:16
que ahora vale n más 1 partido de n más 4 00:12:19
lo tengo que multiplicar por n 00:12:22
para que se me quede 00:12:23
exactamente igual 00:12:25
entonces si nos vamos aquí 00:12:27
resulta que yo 00:12:29
el n más 1 multiplicado por n más 3 me queda n cuadrado más n más 3 00:12:30
y n partido de n más 4 es n cuadrado más 4n 00:12:37
si yo elimino el n cuadrado, el 4n con n cuadrado 4n me queda el 3 y el 0 00:12:42
¿y eso qué significa? 00:12:49
pues que en este caso el 3 es mayor o igual que 0 00:12:51
con lo cual esto es mayor o igual que 0 00:12:55
esto es mayor o igual que 0 00:12:57
mayor o igual que 0, perdón, mayor o igual que esto de aquí, es 1 más 3n es mayor o igual que 1 más 3n más 1, 00:12:59
y por tanto, Cn siempre es mayor que Cn más 1, con lo cual, ¿eso qué quiere decir? Porque es decreciente. 00:13:09
Esa es la forma de hallar si es creciente o decreciente. 00:13:21
como su n siempre es mayor o igual que su n más 1 es decreciente 00:13:27
como bien le ponemos aquí 00:13:33
y vemos que 4 es una cota superior 00:13:34
pero ahora nos hacemos la pregunta 00:13:39
¿tiene cota inferior? 00:13:42
pues para ello lo que hacemos es hallar el límite 00:13:44
cuando tiene infinito de esta sucesión 00:13:47
si hallamos el límite de esta sucesión cuando n tiende a infinito 00:13:49
pues vemos que el límite de 1 más 3 partido de n cuando n tiende a infinito es igual a 1. 00:14:00
¿Qué ocurre con esto? 00:14:06
Porque si yo calculase todos los términos de mi C sub n, pues empezamos en 4, va decreciendo, decreciendo, decreciendo, 00:14:07
pero no llega hasta menos infinito, sino que el último, último valor se aproxima mucho a 1. 00:14:15
Con lo cual, ¿qué ocurre? Pues que en el infinito tiende a ese 1 y entonces 1 es una cota inferior. 00:14:21
Entonces en este caso Cn que es igual a 1 más 1 tercio tiene 4 como cota superior, tiene 1 como cota inferior y como está cotado superiormente e inferiormente se dice que Cn está cotada. 00:14:33
Vamos a estudiar la monotonía y la cotación de esta sucesión 00:14:50
Sn que es igual a n más 2 partido de 2n-1 00:15:00
Si yo hallo los primeros términos, bueno, me puedo hacer una pequeña idea 00:15:04
de hacia dónde tiende la sucesión 00:15:08
En principio tiene toda la pinta de que sea decreciente 00:15:11
pero lo vamos a hacer como hemos estudiado con los términos Sn y Sn-1 00:15:14
Sn pues n más 2 partido de 2n-1 00:15:19
Eso n más 1 es donde tengo una n y pongo el n más 1 00:15:23
Con lo cual me queda n más 1 más 2 00:15:26
Partido de 2 que multiplica n más 1 menos 1 00:15:28
Que es igual a n más 3 partido de 2n más 1 00:15:32
El mismo común múltiplo de 2n menos 1 y 2n más 1 00:15:36
Es precisamente la multiplicación de ellos dos 00:15:40
Con lo cual para que me quede todo esto de aquí 00:15:44
tengo que multiplicar el su n por 2n más 1 tanto arriba como abajo 00:15:50
y el su n más 1 lo tengo que multiplicar por 2n menos 1 arriba y abajo 00:15:55
para que no me varíe la fracción ansodraica. 00:16:01
Si yo desarrollo esto de aquí, pues resulta que esto es igual a 2n cuadrado más 5n más 2 00:16:05
y esto de aquí de n más 3 que multiplica a 2n menos 1 es igual a 2n al cuadrado más 5n menos 3. 00:16:11
con lo cual si yo al final 00:16:19
elimino esto, elimino esto, elimino esto 00:16:21
elimino esto, me queda el 2 00:16:23
y el menos 3, ¿y qué ocurre? 00:16:25
pues el 2 siempre es mayor o igual 00:16:27
que menos 3 00:16:30
entonces eso que implica, yo me lo subo 00:16:31
esto es mayor o igual que esto 00:16:33
esto es mayor o igual que esto 00:16:35
esto es mayor o igual que esto 00:16:37
esto es mayor o igual que esto, por lo tanto 00:16:39
es un n, siempre 00:16:41
es mayor o igual que es un n 00:16:43
más 1, pues para todo n 00:16:45
que pertenece a los números naturales. 00:16:48
¿Y eso qué significa? 00:16:50
Pues que es decreciente. 00:16:51
Se dice, estudiando su monotonía, 00:16:58
que SUM es monótona decreciente. 00:17:01
Vamos a ver su acotación. 00:17:10
Pues, SUM sabemos que como es decreciente, 00:17:13
lo que sí va a tener es una cota superior. 00:17:19
¿Pero tiene cota inferior? 00:17:21
Pues vamos a hallar su límite de su n cuando n tiende a más infinito. 00:17:23
Es el límite de n más 2 partido de 2n menos 1, es el tipo infinito partido de infinito, 00:17:30
no hay determinación, dividimos por el grado mayor del denominador, que en este caso es 1, 00:17:35
que es la n, dividimos arriba y abajo por n, nos queda n entre n es 1, 00:17:42
2 partido de n es 2 partido de n que tiende a 0 00:17:48
2n partido de n es 2 00:17:51
y 1 partido de n es que es cuando n tiene un infinito de 0 00:17:54
con lo cual es un medio 00:17:56
al ser decreciente y tender a un medio 00:17:58
n infinito en un medio es la cota inferior 00:18:02
vimos que el primer valor que era 3 00:18:05
con lo cual su n está acotada superiormente con el 3 00:18:09
e inferiormente con el 1 medio. 00:18:16
Por lo tanto, C sub n está acotada. 00:18:19
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
146
Fecha:
24 de octubre de 2021 - 19:52
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
18′ 27″
Relación de aspecto:
1.69:1
Resolución:
1220x720 píxeles
Tamaño:
143.36 MBytes

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