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Resumen Tema I. Parte I. Ecuaciones Lineales. Método Gauss. - Contenido educativo

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Subido el 21 de septiembre de 2025 por Roberto A.

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Comenzamos este vídeo mostrando el primer tema, un resumen del primer tema, que son los sistemas de ecuaciones, métodos de Gauss. 00:00:01
Empezamos por describir un sistema de ecuaciones lineales, es lo que hemos aprendido desde el segundo de la ESO, 00:00:08
cuando teníamos los métodos de reducción, sustitución e igualación. 00:00:14
Detectamos que son ecuaciones lineales porque aparece una x y una y cuando estamos en dimensión 2 y tiene grado 1, son monomios de grado 1. 00:00:19
Cuando ya estamos en el espacio o en la cuarta dimensión, pues igual nos tenemos que fijar que los monomios son de grado 1. 00:00:28
¿Qué no son ecuaciones lineales? En el momento en que nosotros tengamos una raíz o un producto x por y, este monomio es de grado 2 o también funciones trigonométricas como el seno y demás. 00:00:37
Entonces una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1 con una o varias incógnitas. 00:00:48
Su representación cuando estamos en dos dimensiones son una recta y cuando estamos en el espacio es un plano. 00:00:55
Es importante saber qué son las ecuaciones equivalentes. 00:01:03
Las ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen la misma solución. 00:01:05
Nosotros podemos hacer variaciones con las ecuaciones y observamos que al final lo que vamos a tener son sistemas de ecuaciones equivalentes 00:01:12
donde al final vamos a tener la misma solución. 00:01:23
Esto es lo que nos indican aquí, que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes 00:01:27
pues si tienen la misma solución que podemos ver aquí. 00:01:31
Y precisamente en base a esto nosotros podemos hacer transformaciones 00:01:34
que son combinaciones lineales con ecuaciones 00:01:38
donde al final obtenemos sistemas más fáciles de resolver 00:01:42
pero que tienen la misma solución. 00:01:46
solución. Y en esto se basa precisamente nuestro método de Gauss. Entonces, lo que tenemos que 00:01:48
saber a la hora de discutir cómo es un sistema de ecuaciones lineales, y esto es muy importante, 00:01:55
hay tres tipos. Los sistemas compatibles determinados, que tiene una solución única, 00:02:00
es decir, nosotros no podemos decir únicamente que es un sistema compatible determinado, 00:02:04
sino también indicar que esa solución es única. Tenemos también un sistema compatible indeterminado, 00:02:09
donde tenemos infinitas soluciones y luego también un sistema compatible e indeterminado que no tiene solución, ¿de acuerdo? 00:02:14
Entonces, cuando estamos en un 2x2 y nosotros resolvíamos por reducción, sustitución, igualación, inclusive el método gráfico 00:02:22
y obteníamos un punto, eso quiere decir que las dos restas pues eran secantes y se cortaban en un punto 00:02:30
que precisamente esas coordenadas del punto son las soluciones al sistema, ¿no? 00:02:38
Entonces eso es importante. Cuando tenemos por ejemplo dos ecuaciones que precisamente como vemos aquí son proporcionales es que es la misma resta. Si yo multiplico la ecuación 1 que tengo aquí de 2x más 3y por 9 yo la multiplico por 2 obtengo 4x más 6y igual a 18 y al final es la misma resta. Esto lo podéis probar en GeoGebra para que lo veáis. 00:02:43
Entonces nuestro sistema es compatible, eso sí, pero es indeterminado, tiene infinitas, infinitas soluciones, ¿de acuerdo? 00:03:09
Entonces, otra característica, pues que las dos rectas sean paralelas. 00:03:17
Cuando las dos rectas son paralelas resulta que son proporcionales los términos que acompañan a la x y la y, 00:03:22
sin embargo los términos independientes no son proporcionales. 00:03:34
Entonces, el sistema es incompatible porque son restas paralelas, ¿de acuerdo? También un sistema sería incompatible si, como vemos aquí, tenemos tres restas donde se cortan dos a dos. No hay un punto, digamos, común a las tres restas. 00:03:36
Cuando ya tenemos sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, pues vemos aquí que cuando es un sistema de ecuaciones compatible determinado, tenemos una única solución y aquí vemos los tres planos. 00:03:54
Tenemos un plano en rosa, otro en azul y uno en blanco donde se cortan en este punto colorado que vemos aquí que es la solución. 00:04:09
Cuando nuestro sistema está formado también con cuatro ecuaciones y todas también se cortan en una porque una de ellas es combinación lineal de las otras, pues igual tenemos aquí cuatro planos y también los cuatro se cortan en un único punto. 00:04:18
Sin embargo, puede pasar que no tengamos solución. Como vemos aquí gráficamente, esto de aquí no tiene solución. ¿Por qué? Porque a lo mejor los planos se cortan dos a dos, se cortan entre ellos, pero no tienen ningún punto ni ninguna resta donde se corten estos planos de aquí. 00:04:37
Sin embargo, en este caso en el que tengamos un sistema compatible indeterminado, la solución es infinita y precisamente es infinita porque es una resta. Aquí lo que vemos se llama un haz de planos. Todos los planos se cortan entre sí en una misma resta y esa es la solución que depende en este caso de un parámetro. 00:04:58
Y ese parámetro también es muy importante. Tenemos que decir que ese parámetro puede tomar cualquier valor real. Es el famoso lambda o mu o otra letra griega que se suelen utilizar para una de las variables y las otras dos pues dependen también de ese parámetro. Eso es una resta. 00:05:21
Y otra posibilidad es que los planos tengamos tres planos, pero se corten dos a dos. Como veis aquí, el rosa se corta con el azul en una resta, el rosa se corta con el amarillo en una resta y el azul se corta con el amarillo en otra resta. Recordad que los planos y las restas son infinitas. 00:05:38
Entonces, cuando se cortan 2 a 2, también el sistema es incompatible y no tiene solución. 00:05:58
¿De acuerdo? Es importante que podáis hacer estos ejercicios, que lo veáis. 00:06:05
Y luego pasamos a ver los sistemas escalonados, en el que se basa el método de Delgado. 00:06:09
Pero no por nada, sino porque en el momento que nosotros tengamos ya un sistema escalonado, 00:06:15
aquí tenemos uno de dos ecuaciones con dos incógnitas, pues claro, ya al tener una ecuación con una sola incógnita, 00:06:19
despejarla es súper sencilla, aquí vemos que la y pues vale 2 00:06:26
luego lo sustituimos arriba y ya podemos saber el valor de la x 00:06:30
cuando tenemos un sistema escalonado de 3 por 3 pues igual, aquí tenemos 00:06:34
la z sola, la despejamos y 12 tercios 00:06:38
es 4, igual pues vamos sustituyendo y de aquí podemos 00:06:42
sacar la y y luego sacamos la x, igualmente cuando 00:06:46
tengamos aquí un 4 por 4 es decir 00:06:50
cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas 00:06:54
pues aquí vemos que es escalonado 00:06:57
¿por qué? porque esta de aquí tiene una incógnita 00:06:59
esta de aquí tiene dos 00:07:01
esta de aquí tiene tres 00:07:03
y bueno, esta de aquí también tiene dos 00:07:05
entonces nos vamos subiendo 00:07:07
y primero despejamos la t 00:07:09
después de aquí podemos sacar el valor de la z 00:07:11
una vez que tengamos la z de aquí podemos sacarla ahí 00:07:14
y ya sabiendo la i y la t 00:07:17
pues de arriba podemos sacar la t 00:07:19
entonces es importante 00:07:21
El método de Gauss no por nada, sino porque lo que al final hacemos con operaciones de combinaciones lineales de filas y de ecuaciones en este caso, pues es obtener un sistema escalonado de donde es bastante fácil saber la solución. 00:07:22
Aquí tenéis ejercicio ya hecho, fijarse, y lo que a mí me gustaría indicar del método de Gauss, que yo, por ejemplo, fijaros, la forma en la que se suele dar es con matrices, como bien aparece aquí, aquí ya se habla de matrices, pero yo he preferido para este primer ejercicio que se haga respetando la ecuación en todo momento, más que nada porque las matrices es otro tema aparte y no me gustaría adelantarlo. 00:07:41
y así nos acostumbramos también a toda la nomenclatura y demás. 00:08:11
Pero evidentemente el método de Gauss, como algún compañero o compañera 00:08:14
me ha preguntado en clase, se hace utilizando los coeficientes 00:08:18
que es mucho más rápido y con las matrices. 00:08:21
Ya más adelante, a través del teorema de Rochefrobeniu, 00:08:24
veremos los rangos de las matrices, que aquí tenemos una matriz M 00:08:28
y otra una matriz A y otra la ampliada, que es donde juegan los términos independientes, 00:08:33
esto es 7, 11, 3, veis aquí hay una raya de separación, entonces eso luego jugaremos con ello 00:08:39
y veremos que con los rangos, pues aplicando el teorema de Roche-Frobenius podemos discutir 00:08:45
cómo son los sistemas, ¿vale? Entonces, ¿qué nos permite hacer el método de Gauss? 00:08:50
Pues al final transformaciones lineales de combinación lineal, es decir, nosotros podemos multiplicar 00:08:56
una ecuación por un número distinto de cero, ¿de acuerdo? que es lo que tenemos aquí 00:09:00
Y también sumar a una ecuación a otra multiplicada por un número, ¿de acuerdo? 00:09:05
Entonces, eso de ahí es lo que nos va a hacer, lo que hemos dicho ya en clase. 00:09:12
Si yo, por ejemplo, al final obtengo una ecuación que es proporcional a otra, pues podemos prescindir de ella. 00:09:17
O si nosotros seguimos operando, obtenemos al final el famoso 0 igual a 0. 00:09:24
Eso nos ocurrirá en los sistemas compatibles indeterminados, ¿vale? 00:09:29
Y esta página de aquí, por ejemplo, es súper importante, ¿vale? Nosotros aquí vamos a ver los distintos tipos de sistemas de ecuaciones. Cuando nosotros ya obtenemos, en este caso, un 4x4, un sistema escalonado, vemos que los azules rellenos son distintos de 0 y luego los azules en blanco, con relleno en blanco, son un número cualquiera. 00:09:33
Y aquí tenemos los distintos ceros, ¿de acuerdo? 00:09:56
Entonces, cuando ocurre esto, pues tenemos un sistema compatible determinado. 00:10:00
Fijaros que lo que son los cuadritos estos azules, estos cuadritos azules son un número distinto de cero. 00:10:05
Y aquí me da igual lo que tengamos, ¿vale? 00:10:13
Es un número, puede ser cero, puede ser cualquier otro. 00:10:15
Entonces podemos ir despejando. 00:10:18
Si esta fuese la variable t, despejamos la t, nos vamos a la tercera ecuación. 00:10:20
y sabiendo la t podemos despejar la z, nos vamos a la segunda sabiendo z y t podemos despejar la y 00:10:24
y ya cuando tengamos la y, z y t pues podemos despejar la x y tenemos un sistema compatible determinado 00:10:30
con una única solución, ¿de acuerdo? 00:10:36
Vamos a bajar un poquito y aquí, cuando ocurre esto de aquí, ¿qué es lo que ocurre? 00:10:41
Pues que hay menos ecuaciones válidas que incógnitas, eso es porque nos ha pasado antes de descartar una, bien porque es múltiplo de otra, es porque es combinación lineal de varias o porque al final operando tenemos el famoso cero igual a cero. 00:10:50
Entonces, ¿qué es lo que nos ocurre? Pues que al final tenemos tres ceros aquí, está triangulado, ¿vale? Y entonces lo que hacemos es la última columna nos la llevamos hacia la derecha, precisamente haciéndolo igual a un parámetro. 00:11:05
Y de ahí al final convertimos nuestro sistema compatible indeterminado, digamos, en otro, entre comillas, eso me gusta decirlo entre comillas, otro determinado pero que va a depender de uno, de dos o de varios parámetros en función, en los grados de libertad que yo os enseñé la ecuación que decía que era el número de incógnitas menos las números de ecuaciones que tenemos es igual a grados de libertad, ¿vale? 00:11:24
Y ya el tercer caso es en el que nosotros tenemos una ristra donde todos los coeficientes que acompañan las incógnitas es un 0 y lo tenemos igualado a otro valor que no es 0. 00:11:49
Recordad que este simbolito de aquí representa un número distinto de 0. 00:12:02
Entonces, el sistema es incompatible porque, por ejemplo, 0 no puede ser igual a 3, 0 no puede ser menos 5, 0 no puede ser otro valor que no sea el 0. 00:12:10
Entonces, esto de aquí, esta página, este contenido de aquí, de la página 43, es fundamental que lo interioricemos, pero sobre todo que lo comprendamos. 00:12:20
que lo comprendamos y que sepamos 00:12:31
qué es lo que estamos haciendo, porque es lo que 00:12:33
luego nos vamos a encontrar cuando veamos 00:12:35
matrices, discusiones de matrices 00:12:37
y rango también de matrices 00:12:39
por lo tanto, esta página de aquí 00:12:41
43, súper importante 00:12:43
¿vale? 00:12:46
voy a parar ahora este vídeo porque quiero 00:12:48
hacer otro para el apartado de discusión 00:12:51
de sistemas de ecuaciones 00:12:53
a ver si lo consigo parar 00:12:55
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Idioma/s:
es
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
21 de septiembre de 2025 - 17:41
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO VENTURA RODRÍGUEZ
Duración:
12′ 58″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
49.25 MBytes

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