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Límite tipo 1 elevado a infinito sin fórmula - Contenido educativo

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Subido el 5 de octubre de 2024 por Francisco J. M.

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Ejemplo de resolución de un límite del tipo 1 elevado a infinito sin utilizar la fórmula

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Hola chicos, hola chicas, vamos a calcular este límite que tenemos aquí escrito y que es una función elevada a otra función. 00:00:00
Es una indeterminación del tipo 1 elevado a infinito, que es lo que me interesa, porque es una indeterminación del tipo 1 elevado a infinito. 00:00:08
Si miramos la base, si miramos la base, fijaros, lo que tengo es un polinomio dividido por otro, los dos tienen el mismo grado, son infinitos del mismo orden. 00:00:15
Para calcular ese límite lo que tengo que hacer es dividir los coeficientes, me queda 2 entre 2, 1, ¿vale? 00:00:25
Y en el exponente tengo también una división de polinomios en el que el numerador es un polinomio de mayor grado, por tanto de mayor orden, y esto va a tender a infinito, ¿vale? Lo que tengo es una indeterminación 1 elevado a infinito. 00:00:31
Y sabemos que cuando tenemos una indeterminación de este tipo podemos aplicar la siguiente fórmula, ¿vale? Que el límite cuando x tiende a infinito, también cuando x tiende a un número, ¿vale? De f de x elevado a g de x, si f tiende a 1 y g tiende a infinito, ¿vale? 00:00:44
Y solo en ese caso podemos también esto calcularlo como e elevado al límite, cuando x tiende a infinito, de f de x menos 1, perdón que lo he escrito mal, corregimos en un segundo, vale, f de x, ahora f de x menos 1 por g de x. 00:01:01
Podemos utilizar esa fórmula. El objetivo de este vídeo es calcular el límite sin utilizar esa fórmula. Vamos a hacer todo el recorrido que hicimos para demostrar esta fórmula, que lo hicimos en un vídeo anterior, vamos a utilizar todo ese procedimiento para calcular el límite sin necesidad de aplicar la fórmula. 00:01:26
¿Vale? Por ejemplo, porque se os ha olvidado y tenéis que hacer todo el procedimiento desde el principio. 00:01:46
O porque lo queréis hacer así, porque os resulta más divertido o por la razón que fuera. 00:01:52
Bueno, entonces, fijaros, ¿en qué consiste el procedimiento? 00:01:57
El procedimiento consiste en que si yo consigo escribir lo que tengo como una expresión del tipo 1 más 1 partido por algo, ¿vale? 00:02:00
Voy a poner una función h elevado a eso mismo y h tiende a infinito, ¿vale? Entonces todo eso tiende al número e, ¿vale? Cuando h tiende a infinito. 00:02:09
Entonces tenemos que escribir la función que nosotros tenemos como algo parecido a eso, ¿vale? O como mucho eso elevado a algo. 00:02:24
Bueno, entonces, ¿qué procedimiento seguimos? Vamos a coger nuestro límite, límite cuando x tiende a infinito, de 2x más 5 entre 2x menos 6 elevado a x al cuadrado menos 2 partido por x más 1, ¿vale? 00:02:32
Y lo primero que vamos a hacer para transformarlo en algo del tipo de lo que tenemos en la izquierda es, vamos a colocar este 1. 00:02:54
Para colocar ese 1 en la base, lo que hacemos es, pues sumamos un 1, y para que nos quede exactamente lo mismo que tenemos, pues también tenemos que restar 1. 00:03:01
Hemos sumado y restado 1, con lo cual todo queda igual que al principio. 00:03:15
Bueno, y lo que vamos a hacer ahora es hacer esta operación de aquí. 00:03:22
La realizamos, nos queda el límite cuando x tiende a infinito de 1 más, ponemos denominador común, 2x menos 6, ¿vale? Y nos quedaría en el numerador 2x más 5 y luego hay que restar menos, claro, si pongo, al poner aquí común denominador me quedaría 2x menos 6 entre 2x menos 6, ¿vale? 00:03:26
Con lo cual tengo que restar 2x menos 6, que me quedaría 2x más 6, ¿vale? 00:03:51
Si no lo veis, hacerlo detenidamente, lo ponéis por separado, esa resta de fracciones y lo hacéis, ¿vale? 00:03:56
Y en el exponente nos queda x al cuadrado menos 2 partido por x más 1. 00:04:04
Bueno, si la simplificamos esto, nos queda 1 más, fijaros que 2x menos 2x me queda 0, 00:04:10
y me queda 11 partido por 2x menos 6 elevado a el exponente que teníamos. 00:04:19
Bueno, entonces esto ya se parece un poquito más a esta forma de aquí, ¿vale? 00:04:26
A la forma que hemos empezado. 00:04:31
Ahora lo que tenemos que hacer es poner este 1 en el numerador de la fracción, ¿vale? 00:04:33
¿Cómo conseguimos que ahí aparezca una fracción y que haya un 1? 00:04:39
Pues muy sencillo, lo que hacemos es, vamos a escribir este 1 más 00:04:42
y ahora escribimos 1 partido por la inversa de esta fracción que tengo aquí, ¿vale? Sería 1 partido por 2x menos 6 partido por 11. 00:04:47
Fijaros que si yo divido esto entre esto, me da eso de ahí, ¿vale? Y el exponente, el que teníamos. 00:04:58
Bueno, pues ya nos vamos acercando a esta forma. ¿Qué nos falta? Fijaros, nos falta que aquí en el denominador y en el exponente aparezca lo mismo, ¿vale? 00:05:05
Esto de aquí, esto que tengo en el denominador, tiene que aparecer en el exponente. 00:05:14
Bueno, ¿qué hago con eso? 00:05:17
Pues lo que hago es multiplico y divido por lo mismo. 00:05:19
Es decir, voy a multiplicar el exponente por este denominador y por su inversa. 00:05:23
Y es como si hubiera multiplicado por 1, ¿vale? 00:05:28
Al multiplicar por ello y por su inversa, todo me queda igual que está. 00:05:31
Me queda 2x menos 6 partido por 11. 00:05:36
Entonces, multiplico por ese denominador y multiplico por su inversa, ¿vale? Como esto estaba elevado a este exponente, pues también tengo que multiplicar por ese exponente, porque ya sabemos que una potencia eleva a otra potencia, se multiplican los exponentes, ¿vale? 00:05:40
Entonces fijaros, ahora esta parte de aquí, toda esta parte de aquí, esa parte de ahí, ¿vale? 00:06:02
Es como lo que teníamos al principio, es como esto de aquí, ¿vale? 00:06:11
Tengo 1 más 1 partido por algo elevado a eso mismo. 00:06:14
Y esto de aquí tiende a infinito. 00:06:18
Fijaros que cuando x tiende a infinito, eso de ahí, el denominador, que es un polinomio de primer grado, tiende a infinito. 00:06:20
Entonces fijaros, todo esto de aquí tiende al número e. 00:06:26
Y entonces, ¿qué me queda? He elevado al límite cuando x tiende a infinito de lo que me falta por calcular 11 partido por 2x menos 6 por x al cuadrado menos 2 partido por x más 1, ¿vale? 00:06:29
Fijaros, esto es a lo que hubierais llegado si hubierais aplicado directamente esta fórmula, ¿vale? Esto de aquí, la primera fracción es f de x menos 1, que lo hemos calculado aquí y nos ha dado esto, ¿vale? Y esto es g de x. Así que si aplicáis la fórmula directamente, aquí sería donde llegaríais sin necesidad de hacer todo este procedimiento. 00:06:45
Bueno, y lo único que nos queda es calcular este límite de aquí, para eso vamos a multiplicar las dos fracciones y nos queda el límite cuando x tiende a infinito, ¿vale? 00:07:06
Fijaros, arriba nos quedaría 11x cuadrado menos 22 y abajo nos quedaría el producto de estos dos poliomios que lo vamos a hacer directamente, nos queda 2x por x, 2x cuadrado, nos quedaría 2x por 1, 2x y menos 6x por x, 6x, 2x menos 6x serían menos 4x y menos 6 por 1, menos 6, ¿vale? 00:07:16
Si no, los desarrolláis tranquilamente, ese producto, y veis que da eso de ahí. 00:07:41
Vale, fijaros, y ahora lo que tengo es un polinomio dividido por otro, son dos polinomios del mismo grado, 00:07:47
¿a qué va a tender eso? A la división de los dos coeficientes, con lo cual esto me va a dar e elevado a 11 medios, 00:07:52
y esta sería la solución del límite, ¿vale? e elevado a 11 medios. 00:07:59
También lo puedo escribir como la raíz cuadrada de e elevado a 11, de cualquiera de esas dos maneras. 00:08:03
Y así podríamos calcular el límite sin necesidad de utilizar la fórmula, aunque ya habéis visto que si utilizo la fórmula pues nos va a salir lo mismo. 00:08:08
Espero que lo hayáis entendido, si no, nos vemos en clase. Un saludo. 00:08:18
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisco Javier Majadas García
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
52
Fecha:
5 de octubre de 2024 - 14:31
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN ISIDRO
Duración:
08′ 23″
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1152x720 píxeles
Tamaño:
39.03 MBytes

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