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PR2. 3.2. Ejercicio 4 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 31 de enero de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad PR2 dedicada a la probabilidad en experimentos aleatorios compuestos. 00:00:22
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 4. 00:00:31
En este ejercicio propuesto 4 se nos pide que consideremos que, con el objetivo de recaudar 00:00:47
fondos para un viaje, los alumnos de un instituto realizan una rifa con 500 números. Uno de los 00:00:53
alumnos compra dos números y se nos pregunta, en primer lugar, si solamente hubiera un premio, 00:00:59
¿qué probabilidad tiene el alumno de que le toque a él? Este es un caso de cálculo de probabilidades 00:01:05
en el que no necesitamos considerar que se trata de un experimento compuesto. Podemos calcular 00:01:11
directamente esta probabilidad utilizando la ley de Laplace. Fijaos, el espacio muestral está formado 00:01:18
por cada uno de los 500 números que participan en la rifa, puesto que de los 500 números se va a 00:01:24
sortear y se va a extraer uno. ¿Cuál es el espacio muestral? Cada uno de los 500 números. ¿Cuántos 00:01:30
elementos hay en el espacio muestral? Pues cardinal de e igual a 500. En cuanto al suceso cuya 00:01:35
probabilidad estamos calculando que al alumno le toque el premio ocurrirá cuando bien salga uno de 00:01:42
los números que tenga bien cuando salga el otro de los números que tengan no sabemos cuáles son 00:01:52
pero tampoco es relevante sabemos que el suceso a tiene un cardinal igual a 2 hay dos elementos del 00:01:56
espacio muestral hay dos números que tiene el alumno en su mano de tal forma que dado que la 00:02:03
probabilidad de que salga cada uno de esos 500 números va a ser la misma, cada uno de los 00:02:09
elementos del espacio mostral es equiprobable, podemos calcular la probabilidad de A utilizando 00:02:13
la ley de Laplace, cardinal de A entre cardinal de E, número de casos favorables al suceso A, 00:02:19
dividido entre el número de casos posibles, 2 entre 500, simplificado, 1 partido por 250. 00:02:24
En el segundo apartado sí tendremos que utilizar la probabilidad compuesta. Fijaos que se nos dice 00:02:31
si hubiera dos premios, no uno sino dos, ¿qué probabilidad tiene el alumno de que le toque al 00:02:37
menos uno de ellos? Vamos a representar el experimento utilizando un árbol, como el que 00:02:44
tenemos aquí. Un árbol anotado, puesto que no solamente vamos a poner las distintas ramas, 00:02:51
sino que vamos a poner las probabilidades de cada una de ellas. Y no pondremos únicamente las hojas, 00:02:57
sino que pondremos las probabilidades de cada una de ellas, las probabilidades entonces de la realización de cada una de esas hojas. 00:03:03
Vamos a empezar con los sucesos. Vamos a denotar en cada uno de los casos n como que el alumno tenga el número premiado y el contrario de n, n con barra, que no tenga el número premiado. 00:03:13
Veamos, vamos a realizar imaginariamente el experimento. 00:03:29
Tenemos los 500 números dentro de la urna y extraemos el primero de ellos. 00:03:32
La representación en el árbol parte de un nodo raíz, que estará vacío, 00:03:38
y tenemos una primera ramificación en dos casos, 00:03:42
puesto que podría ser que el número lo tuviera el alumno, podría ser que no lo tuviera. 00:03:45
A partir de aquí se extrae la segunda bola con el segundo número. 00:03:52
Y tenemos también una nueva ramificación en dos casos. 00:03:56
Podría ser que si el primer número fue premiado en el segundo también lo sea, puesto que recordemos hay dos números premiados, 00:04:00
podría ser que el primero fuera premiado y el segundo no lo sea. 00:04:09
Por otro lado, si el primer número no fue premiado porque no era uno de los que tenía el alumno, 00:04:14
pues podría ser que el segundo, con la segunda extracción, sí sea premiado o podría ser que no fuera premiado. 00:04:19
En las hojas habríamos puesto el primer número tiene premio y el segundo también. 00:04:27
Este alumno se llevaría los dos premios. 00:04:33
O bien podríamos tener el primer número tiene premio y el segundo no, se llevaría el primero. 00:04:35
O bien tendríamos el primer número no fue premiado, el segundo sí, se llevaría el segundo premio. 00:04:41
O bien, el primer número no fue premiado y el segundo tampoco, en cuyo caso no se llevaría ninguno de los premios. 00:04:47
Tendríamos el suceso n, el suceso n y como hoja n, intersección n, el primer número fue premiado y el segundo también. 00:04:54
n, el primer número fue premiado, contrario de n, el segundo número no fue premiado y como hoja, el primer número fue premiado y el segundo no lo fue, etc. 00:05:04
He dicho que vamos a anotar el árbol y eso quiere decir que en cada ramificación vamos a poner la probabilidad que corresponda, utilizando, por supuesto, la de la plaza. 00:05:13
Hacemos la primera extracción y nos preguntamos por cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga un número premiado. 00:05:26
Y esa probabilidad, la probabilidad de que el primer número sea premiado, se calcula con la de la plaza. 00:05:35
Hay 500 casos posibles, de los cuales hay dos favorables. 00:05:40
El alumno tiene dos números en su mano. 00:05:45
Esta probabilidad es 2 partido de 500. 00:05:47
Si no nos preguntamos por la probabilidad de que de verdad se lleve el premio, 00:05:49
sino por la de que no se lo lleve, 00:05:53
en ese caso calculamos la probabilidad también con la ley de Laplace. 00:05:55
Hay 500 números entre los cuales se puede hacer la extracción. 00:05:59
Hay 500 casos posibles. 00:06:02
Y favorables a no se lleva premio hay 498. 00:06:04
Hay dos posibilidades para que le toque el premio. El alumno tiene dos números en su mano y 498 de que no. Hay 498 números que no ha comprado. 00:06:08
Fijaos que 2 quinientosavos más 498 quinientosavos suma la unidad, puesto que o bien uno de los números está premiado o bien no. 00:06:20
La probabilidad de que uno de los números sea premiado es dos quinientos avos, de que ninguno de los dos números sea premiado es 498 quinientos avos. 00:06:31
Supongamos que el primer número fue premiado. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el segundo también tenga premio? 00:06:43
Bien, en este caso el número de casos posibles es 499. Hemos sacado un número, quedan 499. 00:06:49
En cuanto al número de casos favorables, será solamente uno. Uno de los números ha sido premiado, me queda un número como posibilidad para que sea premiado. Me queda solo uno. 00:06:57
En el caso en el que, habiendo sido el primer número afortunado, habiendo sido premiado, el segundo no lo sea, calculamos la probabilidad nuevamente con la ley de Laplace. 00:07:11
Número de casos posibles, 499. Hemos sacado un número, quedan 499. 00:07:22
Y en este caso, favorables a y no le toca el premio, son 498. 00:07:27
Quedan 498 números que no ha comprado el estudiante. 00:07:32
Si os fijáis, la suma de 1 499 avos más 498 499 avos vuelve a ser la unidad. 00:07:37
Y en este caso, las probabilidades se denotan de una forma ligeramente distinta. 00:07:45
Aquí tenemos probabilidad de que el número sea premiado, 00:07:50
y aquí lo que tenemos es probabilidad de que el segundo número sea premiado sabiendo que el primero lo fue. 00:07:54
Y aquí tenemos la barra para indicar probabilidad condicionada. 00:08:00
¿Cómo calculo la probabilidad final, la probabilidad de la hoja? 00:08:04
¿El primer número fue premiado y el segundo también? 00:08:08
Bueno, pues utilizando lo que hemos visto de la probabilidad compuesta. 00:08:11
Multiplicando la probabilidad de que se verifique el primer suceso, que el primer número sea premiado, 00:08:15
por la probabilidad de que se verifique el segundo suceso sabiendo que ha ocurrido el primero. 00:08:21
La probabilidad de que el segundo sea premiado sabiendo que el primero lo fue. 00:08:26
Habría que multiplicar 2 quinientosavos por un 499avo. 00:08:31
El resultado sería este que tenemos aquí a la derecha, ya simplificado. 00:08:36
Y antes hablaba, al hablar de la probabilidad compuesta, del principio de multiplicación, 00:08:40
puesto que para calcular la probabilidad de esta hoja, lo que hemos de hacer es recorrer el árbol 00:08:46
e ir multiplicando las probabilidades que vayamos encontrando en las anotaciones. 00:08:50
¿El primer número fue premiado? La probabilidad de que el primer número sea premiado. 00:08:55
Ahora, sabiendo que el primero fue premiado, que el segundo también lo sea, 00:09:00
probabilidad de que el segundo número sea premiado, sabiendo que el primero lo fue. 00:09:04
En esta rama, tenemos en la hoja el primer número fue premiado y el segundo no. 00:09:10
Bueno, pues tenemos que multiplicar para calcular esta probabilidad, 00:09:15
probabilidad de que el primer número fuera premiado, 00:09:19
por probabilidad de que el segundo no lo haya sido, sabiendo que el primero lo fue. 00:09:21
Aquí tenemos el resultado final. 00:09:26
En el caso en el que en la primera extracción no tenemos premio, porque no han sacado uno de los números que tenemos nosotros, o que no tiene el estudiante, 00:09:27
pues a continuación se nos abre una nueva posibilidad. Al sacar el segundo número, puede ser que sí sea premiado, puede ser que no lo sea. 00:09:38
Recordemos cómo estamos haciendo la notación en las probabilidades. 00:09:46
Sabiendo que el primer número no fue premiado, tenemos que el primero sí lo fue. 00:09:49
Probabilidad de que el segundo sea premiado, sabiendo que el primero no lo fue. 00:09:54
En este caso, sabiendo que el primer número no fue premiado, el segundo tampoco lo es. Probabilidad de que el segundo número no se ha premiado, sabiendo que el primero tampoco lo es. 00:09:57
¿Cómo ponemos estas probabilidades? Utilizamos la ley de Laplace. 00:10:08
Número de casos posibles, 499. En la urna quedan, después de haber sacado un número, 499. 00:10:12
En este caso, cuando el número que se sacó no fue premiado, posibilidades, número de casos favorables a que sea premiado, tengo dos, me quedan dos números en la mano. 00:10:18
Cualquiera de ellos dos podría ser uno de estos que sea premiado. 00:10:30
Números que no sean premiados, bueno, pues 497 de los 499 que tenía en total. 00:10:33
Cuando vaya a poner las probabilidades de cada una de estas hojas, lo que tengo que hacer es aplicar el principio de multiplicación y multiplicar. 00:10:40
Veamos, probabilidad de que el primer número no fue premiado y el segundo sí, pues recorro el árbol. 00:10:47
Probabilidad de que el primer número no fuera premiado por probabilidad de que el segundo número sí sea premiado, sabiendo que el primero no lo fue. 00:10:53
Y aquí tenemos estas probabilidades. 00:11:01
Cuando hemos escrito el árbol para encontrar cada uno de estos sucesos, que son las hojas, los elementos del espacio muestral, 00:11:04
y hemos determinado las probabilidades que corresponden a cada uno de ellos, 00:11:12
Ahora nos preguntamos para qué hemos hecho este trabajo. Recordemos, tenemos que calcular la probabilidad de que le toque al menos un premio. 00:11:15
Que le toque al menos un premio es, bien que le toque el primero, bien que le toque el segundo, bien que le toque los dos. 00:11:25
Estaría este caso, sería una suerte. 00:11:31
Nosotros en este momento vamos a calcular esa probabilidad como la probabilidad del, utilizando, perdón, la probabilidad del suceso contrario. 00:11:34
El contrario de que le toque al menos un premio es que no le toque ninguno 00:11:41
Y entonces vamos a calcular la probabilidad de que le toque al menos un premio 00:11:45
Como 1 menos la probabilidad del suceso contrario que no le toque ninguno 00:11:49
Que no le toque ninguno es que no le toque ni el primero ni el segundo 00:11:53
Y esa probabilidad es esta que tenemos aquí al final de esta rama 00:11:57
Donde no le toca el primer premio y tampoco le toca el segundo 00:12:01
Así que la probabilidad que nos han pedido es 1 menos este 00:12:05
123.753, 124.750 avos y al final sería esta fracción que tenemos aquí. Fijaos, este ejercicio 00:12:09
se encuentra dentro del apartado de probabilidad compuesta y el objetivo es calcular estas 00:12:20
probabilidades en cada una de las hojas multiplicando las probabilidades que tengo en las 00:12:26
anotaciones conforme voy recorriendo el árbol hasta alcanzar la hoja. En este caso, al final 00:12:32
del todo. Probabilidad de que no le toque el primer premio y no le toque el segundo se calcula 00:12:38
multiplicando. Empiezo por la raíz. No le toca el primer premio, su probabilidad por... Ahora, 00:12:43
no le toca el segundo, sabiendo que no le tocó el primero, esta otra probabilidad. Aquí lo tenemos 00:12:51
puesto, aquí tenemos el resultado. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles 00:12:56
otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas 00:13:04
y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas 00:13:10
en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:13:16
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
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Fecha:
31 de enero de 2025 - 10:00
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
13′ 45″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
34.26 MBytes

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