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10_Ejemplo paso de ecuación general a ecuaciones paramétricas del plano - Contenido educativo

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Subido el 28 de agosto de 2023 por Jaime G.

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Aquí tenemos un plano dado en forma general y nuestro objetivo es expresar 00:00:00
el mismo plano pero a través de ecuaciones paramétricas que recordamos 00:00:06
que son ecuaciones de este estilo. Hay varias formas de hacerlo, la primera a 00:00:13
la que vamos a llamar resolver el sistema se basa en observar que aquí 00:00:19
tenemos un sistema de ecuaciones con una sola ecuación y que tiene tres 00:00:22
incógnitas. Si tengo tres incógnitas y una sola 00:00:28
ecuación entonces me hacen falta dos parámetros 00:00:33
así que por ejemplo elegiremos que y sea landa y que zeta sea mu 00:00:39
entonces de la primera ecuación no nos queda más que despejar 2x menos 3 00:00:46
landa más zeta, ya no es zeta, ahora zeta se llama mu, tiene que ser 5 y por lo 00:00:52
tanto x tendrá que ser igual a 5 medios más 3 medios por landa menos un medio 00:01:00
de mu y ya estaría porque lo obtenido aquí es un objeto exactamente de este 00:01:11
tipo. Si lo escribimos con un poco de orden pues observamos que este 5 medios 00:01:18
es p sub 1, aquí como no hay constantes pues son 0, un landa, aquí habría claro 00:01:24
0 landa y aquí habría 0 mu y aquí habría un mu. El segundo método es más 00:01:34
geométrico y consiste en obtener directamente el punto y los dos vectores 00:01:41
necesarios para poder escribir todas estas ecuaciones. Para obtener el 00:01:45
punto pues vamos a la ecuación general que nos han dado y x y z es un punto del 00:01:50
plano si verifica esta ecuación por lo tanto si yo encuentro valores de x y z 00:01:55
que verifiquen la ecuación pues tengo un punto del plano. 00:02:00
¿Cómo voy a proceder entonces? Bueno pues como tengo tres incógnitas y sólo me 00:02:05
hace falta conseguir que encajen puedo inventarme por ejemplo que x sea cero 00:02:11
que y sea cero y z tendrá que ser lo que falte para que se cumpla la ecuación en 00:02:16
este caso 5. Ese es un punto seguro de mi plano. 00:02:20
Por supuesto podría haber inventado cualquier otra cosa por ejemplo podría 00:02:28
haber elegido que y fuera cero que z fuera cero y entonces x sería cinco 00:02:32
medios que por cierto es el punto del plano que se lee aquí. 00:02:38
Bueno basta que nos quedemos con un punto el que hemos obtenido al principio 00:02:44
por ejemplo y que podemos hacer para obtener los vectores directores. 00:02:47
Bueno pues primero hay que recordar que los coeficientes de las variables en 00:02:51
esta ecuación son las coordenadas del vector normal es decir que si este es el 00:02:55
plano y este es el vector normal a él en este caso tendrá coordenadas 2 menos 00:03:01
3 y 1. Aquí estaría mi punto p por ejemplo. 00:03:08
Yo necesito encontrar dos vectores directores del plano independientes que 00:03:14
entonces tienen que ser dos vectores me da igual cuáles que sean 00:03:19
perpendiculares a n así que podemos recurrir al truco habitual para 00:03:21
encontrar valores perpendiculares. Basta conseguir que el producto 00:03:27
escalar entre mi vector v y el vector normal sea cero por ejemplo podría 00:03:31
inventarme que esta coordenada fuera cero y esto fuera 1 y 3 es decir estas 00:03:38
dos cambiadas de orden y una de ellas de signo y para conseguir otro vector 00:03:43
independiente w pues podría repetir el truco pero haciendo cero en otra 00:03:48
coordenada por ejemplo en esta y ahora bastaría que fueran estas otras dos 00:03:52
coordenadas las que invierten su posición y fuera de y cambia una de 00:03:57
ellas de signo. En todo caso podemos comprobar que el producto escalar entre 00:04:01
este vector y este vector es cero y el producto escalar entre este vector y este vector es 00:04:04
cero es decir estos son vectores directores de mi plano. 00:04:08
Bien pues con esta información un punto del plano y los vectores directores del 00:04:16
plano puedo escribir unas ecuaciones paramétricas que tienen siempre esta 00:04:21
estructura de aquí que tenemos que añadir pues en primer lugar las 00:04:27
coordenadas de un punto cualquiera del plano 0 0 5 es el punto que yo había 00:04:31
obtenido como coeficiente de lambda tendré que añadir las coordenadas del 00:04:35
vector v pues en este caso podrían ser más 0 lambda más 1 lambda más 3 lambda 00:04:41
que son estas coordenadas de aquí y de la misma manera procedo con mu y las 00:04:50
coordenadas de w que sería más 3 más 2 y más 0. Puede sorprender al principio 00:04:55
que los dos métodos de resultados aparentemente tan distintos como este y 00:05:02
este pero es que un mismo plano tiene muchas ecuaciones paramétricas porque en 00:05:06
realidad podemos utilizar para el mismo plano multitud de puntos base y multitud 00:05:12
de vectores directores distintos. Parezcan aquí un punto y vectores 00:05:19
directores las ecuaciones paramétricas serán unas ecuaciones correctas. 00:05:24
Idioma/s:
es
Autor/es:
Guerrero López, Jaime
Subido por:
Jaime G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
282
Fecha:
28 de agosto de 2023 - 9:11
Visibilidad:
Público
Centro:
CPR INF-PRI-SEC NTRA. SRA. DE LAS ESCUELAS PÍAS (28013115)
Duración:
05′ 29″
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1152x720 píxeles
Tamaño:
12.29 MBytes

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