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Matrices EVAU extraordinaria - Contenido educativo

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Subido el 26 de julio de 2023 por Francisco J. C.

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Ejercicio propuesto en la EVAU 2020 convocatoria extraordinaria

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Hola, buenos días a todos. Con este ejercicio vamos a aprender a resolver operaciones con matrices, como puede verse en el apartado A, y también vamos a aprender a calcular la inversa. 00:00:00
Es un ejercicio que se presentó el año 2019 en la convocatoria extraordinaria. Se trata de un ejercicio sencillo porque la matriz que se presenta es una matriz de orden 2x2. 00:00:12
Lo bueno de este ejercicio es que aparece un parámetro y aprenderemos a resolver operaciones con matrices en las que aparece algún parámetro. 00:00:24
Empecemos a resolverlo. Se da una matriz de orden 2x2, la matriz A, que tiene los valores 2, 5A, A y 3. A pertenece a R. 00:00:35
Tenemos que determinar los valores del parámetro A para los que se verifica la igualdad. A cuadrado menos 5A igual a menos I, donde I es la identidad. 00:00:47
Recordad que A cuadrado es A por A y menos 5A es menos 5 por A. 00:00:56
Lo que vamos a hacer es sustituir A por su correspondiente valor y I por su correspondiente valor. A es 2, 5A, A, 3. Esto sería A por A, que sería A cuadrado, menos 5 por la matriz A, que le hemos cambiado por su valor, igual a menos I. 00:01:01
Recordad que la matriz I es la matriz identidad, que tiene 1 y 1. Como tiene un valor menos I, hay que cambiar de signo toda la matriz. 00:01:27
Recordad que la matriz identidad solo tiene 1 sobre la diagonal principal. Fuera de esa diagonal principal, sus valores son 0. 00:01:36
Recordad que para multiplicar matrices se multiplica 1ª fila por 1ª columna, 1ª fila por 2ª columna y se pone aquí. 2ª fila por 1ª columna y se pone aquí. 2ª fila por 2ª columna y se pone aquí. 00:01:48
Vamos a hacer el primero. 2 por 2, 4. Más 5A por A, 5A cuadrado. Esto correspondería al primer valor. 1ª fila por 2ª columna, 2 por 5A, 10A. 5A por 3, 15A. 00:02:04
Multiplicamos ahora la 2ª fila. A por 2, 2A. 3 por A, 3A. Multiplicamos la 2ª fila por la 2ª columna. A por 5A, 5A cuadrado. 3 por 3, 9. 00:02:25
Multiplicamos 5 por cada elemento de la matriz. 5 por 2, 10. 5 por 5A, 25A. 5 por A, 5A. 5 por 3, 15. Igual a lo que ya teníamos. 00:02:42
Ahora lo que vamos a hacer es realizar esta operación. Esta matriz, le restamos esta matriz. 4 más 5A cuadrado, le restamos menos 10. 10A más 15A, le restamos 25A. 00:02:57
2A más 3A, menos 5A. Y por último restamos 5A cuadrado más 9, menos 15. 5A cuadrado más 9, menos 15. Y lo igualamos a la matriz menos 5. 00:03:11
Ahora lo que tenemos que hacer es agrupar un poco cada uno de estos elementos. Y quedaría 5A cuadrado menos 6, 0, 0. 5A cuadrado menos 6, igual a menos 1, 0, 0 y menos 1. 00:03:25
Ahora igualamos. Si dos matrices son iguales, este valor tiene que ser igual a este. Este es igual a este. Como sucede, este es igual a este y este es igual a este. 00:03:40
Finalmente, llegamos a una ecuación del tipo 5A cuadrado menos 6, igual a menos 1. El menos 6 pasa al otro lado. Quedaría 5, como ponemos aquí. 00:03:50
A cuadrado igual a 5 entre 5. A cuadrado igual a 1. A es igual a raíz cuadrada de 1, que es más menos 1. Por lo tanto, la igualdad se verifica. 00:03:59
La igualdad A cuadrado menos 5A igual a menos A. Si y solo si. Recordad este símbolo. Si y solo si. A es igual a más menos 1. 00:04:09
En el apartado B tenemos que calcular la inversa para un valor concreto de A que nos dan, que es igual a menos 1. 00:04:18
Entonces, si esta es la matriz A, lo que tenemos que hacer es sustituir A por menos 1. Entonces, el 2 se queda como está. 00:04:24
El 5A sería menos 5. A sería menos 1. Y el 3 sería 3. 00:04:32
Para calcular la inversa, recordad que tenemos que utilizar la expresión 1 partido determinante de A por la traspuesta. 00:04:37
Tenemos que utilizar esta expresión que os vuelvo a poner aquí. La inversa es 1 partido determinante de A por el adjunto de A traspuesta. 00:04:47
Y esa es la expresión que vamos a utilizar para calcular la inversa. 00:05:00
Lo primero que hacemos es calcular el determinante de A. El determinante de A es un determinante fácil del 2 por 2, que sería 2 por 3, 6. 00:05:04
Tenemos que restarle el resultado de multiplicar menos 1 por menos 5, que sería A5, 6 menos 5, 1. 00:05:11
Ya tenemos este valor de aquí, que vale 1. 00:05:18
Vamos a calcular cada uno de los adjuntos. Recordad que los adjuntos van asociados cada uno de los elementos de la matriz. 00:05:21
Asociado al 2 sería el A1, 1. Asociado al menos 5 sería el A1, 2. 00:05:28
Asociado al menos 1 sería el A2, 1. Y asociado al 3 sería el A2, 2. 00:05:32
¿Cómo se calcula esto? 00:05:36
A1, 1 es el adjunto menos 1 elevado a la suma de estos dos valores, 1, 1. 00:05:38
Y es el resultado de tachar la fila y la columna en la que aparece el término A1. 00:05:44
Luego nos quedaría el determinante de 3. 00:05:50
Esto no es valor absoluto. Esto es determinante. Y el determinante de 3 es 3. 00:05:52
Menos 1 al cuadrado es 1. 1 por 3 es 3. 00:05:57
A1, 2 sería menos 1 elevado a la suma de estos dos. 1 más 2 son 3. 00:06:01
Determinante del resultado de tachar la fila y columna en la que está el A1, 2, que sería... 00:06:07
Solamente nos quedaría el menos 1. 00:06:14
Determinante de menos 1, que es menos 1 por menos 1, igual más 1. 00:06:17
Recordad, esto no es valor absoluto, aunque tiene el mismo aspecto. 00:06:22
A2, 1 sería menos 1 elevado a 3. 00:06:26
Valor absoluto del determinante que resulta de tachar la fila y columna está donde está el menos 1. 00:06:30
Y nos quedaría determinante de menos 5. 00:06:36
Menos 1 al cubo sería menos 1, menos 1. 00:06:39
Esto sería menos 5, menos 1 por menos 5, más 5. 00:06:42
Y el A2, 2 sería menos 1 elevado a 4. 2 más 2, 4. 00:06:47
Aquí hay una pequeña errata. Esto es un 4, que sale de sumar 2 más 2. 00:06:53
El resultado no varía, evidentemente, porque es par. 00:07:01
Y entonces sería menos 1 elevado a 4. 00:07:05
Y el resultado de tachar el A2, 2, que es... 00:07:07
El A2, 2 es 3. Tachamos la fila y columna en la que está el A2, 2. 00:07:10
Y nos queda determinante de 2, que es 2. 2 por 1, 2. 00:07:13
Ponemos en la fórmula. 00:07:17
A elevado a menos 1 sería 1 partido del determinante de A. 00:07:20
El determinante de A era 1. 00:07:23
Partid por la traspuesta de la junta, que ya la ponemos directamente. 00:07:25
3, que es el A1, 1. 00:07:30
El A1, 2 es 1. Lo ponemos en la columna. 00:07:32
El A2, 1 es el 5. Y el A2, 2 es el 2. 00:07:35
Y ahora, a continuación, multiplicamos. 00:07:39
No hay que multiplicar nada porque 1 entre 1 es 1. 00:07:41
Y al multiplicar por esto quedaría exactamente igual. 00:07:43
3, 5, 1, 2. 00:07:46
Bueno, espero que os hayáis enterado de este ejercicio. 00:07:48
Y hayáis aprendido a calcular la inversa en una matriz cuadrada de orden 2. 00:07:53
Y también a operar con matrices. 00:08:00
Idioma/s:
es
Autor/es:
Javier Claros Mellado
Subido por:
Francisco J. C.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
6
Fecha:
26 de julio de 2023 - 15:19
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES CALDERÓN DE LA BARCA
Duración:
08′ 03″
Relación de aspecto:
1.40:1
Resolución:
1008x720 píxeles
Tamaño:
41.31 MBytes

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