COMO REPRESENTAR UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA SUBTITULADO - Contenido educativo
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Hola chicos, el motivo de este vídeo es en primer lugar desearos que todos estéis bien
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y daros una serie de indicaciones para la siguiente entrega que ya tenéis colgada en el aula virtual.
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Os he pedido que dibujéis seis parábolas, seis funciones cuadráticas, estudiando sus características.
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Os voy a hacer un ejemplo completo en la pizarra, tenéis que hacer lo mismo con las otras seis.
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No hace falta que toméis apuntes porque todo lo que voy a escribir aquí lo tenéis escaneado y colgado ya en el aula
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¿Vale? Espero que os haya ido de ayuda
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Bueno, en primer lugar, una función cuadrática es una función de esta forma
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Igual a x cuadrado más bx más c
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Esto nos recuerda a una ecuación de segundo grado
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Con la diferencia de que la ecuación de segundo grado está igualada a cero
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Y aquí lo tengo igualado a una y
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que también lo puedo tener como f de x.
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Su representación gráfica es una parábola.
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Siempre la a tiene que ser distinto de cero y a, b y c son números reales.
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¿Qué significa que la a sea positiva?
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Si la a es positiva, la parábola va a tener las ramas hacia arriba, tiene esta forma.
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Si a es menor que cero, la parábola tiene esta forma, las ramas hacia abajo.
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¿Qué características vamos a estudiar de una parábola?
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Vamos a hacer el siguiente ejemplo
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Igual a x al cuadrado
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x al cuadrado menos 6x más 5
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En este ejemplo, ¿qué pasa?
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Pues que la a vale 1
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Porque es el número que acompaña a x al cuadrado
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Como vale 1 y es mayor que 0
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Ya sé que mi parábola va a tener esta forma
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b vale menos 6
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y c vale 5
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La primera característica que vamos a estudiar, el dominio de la función.
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¿Qué es el dominio de la función?
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Ya vimos en el tema anterior que el dominio de una función es el conjunto de números reales,
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de números que puede coger la variable independiente, es decir, la x.
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Es decir, ¿por qué valores de x puedo yo sustituir aquí para que esto tenga sentido?
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A x le puedo dar cualquier valor.
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Entonces, como a x le puedo dar cualquier valor, el dominio de esta función serán todos los números reales,
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que también se pueden poner en forma de intervalo, como de menos infinito a más infinito.
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El siguiente punto que vamos a estudiar son los puntos de corte con los ejes.
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Para estudiar los puntos de corte, tengo que estudiar dos casos.
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Uno con el eje x y otro con el eje y.
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¿Qué pasa con el eje X? Para calcular los puntos con el eje X, siempre voy a tener que imponer que la Y vale 0.
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¿Por qué? Porque cuando yo tengo mis ejes coordenados, los puntos de corte con el eje X son los que están aquí.
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Entonces, todos los puntos de aquí tienen como coordenada Y 0. Este será el 1, 0, el 2, 0, el 3, 0.
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Por eso impongo que la y sea 0. Si impongo que la y sea 0, lo que tengo que hacer es sustituir por 0 el valor de la y.
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Entonces tengo 0 igual a x al cuadrado menos 6x más 5.
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Y esto es una ecuación de segundo grado completa.
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Resuelvo aplicando la fórmula.
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6 es 4, partido todo, por 2.
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Llegado aquí, tengo dos soluciones.
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6 más 4 partido de 2, que son 10 medios, es decir, 5,
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y 6 menos 4 partido de 2, 2 partido de 2, que es 1.
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¿Eso qué pasa?
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Eso que significa que tengo dos soluciones de la ecuación de segundo grado,
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por tanto, dos puntos de corte con el eje X.
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¿Cuáles son? X, 5 y 0, luego este me lleva al punto 5, 0 y este al punto 1, 0, que cuando los vaya a representar veo que efectivamente esos puntos están en el eje X, ¿vale?
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Para calcular el punto de corte con el eje Y, borro aquí, con el eje Y, lo que tengo que hacer es imponer que la X es 0.
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Cuando yo impongo que la X es 0, para calcular el punto de corte con el eje Y, lo que hago es imponer que la X es 0.
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Entonces, si la x vale 0, sustituyo otra vez en la fórmula y igual a 0 al cuadrado menos 6 por 0 más 5, operando 0 menos 0 más 5, 5.
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Obtengo solo un punto de corte. ¿Y cuál es en este caso? Pues la x vale 0, la y vale 5.
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Claro, entonces ya tendría el punto 0, 5.
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¿Eso está claro? Imagino que sí.
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Vale, siguiente característica muy importante es el vértice.
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Una parábola siempre tiene un vértice. ¿Qué es el vértice? El punto máximo o el punto mínimo.
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¿Cómo se calcula el vértice de una parábola? Pues aplicando la siguiente fórmula.
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Para calcular el vértice, la tercera característica va a ser el vértice.
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Lo que aplico es la siguiente fórmula.
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F menos B partido de 2A, F de menos B partido de 2A.
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¿Qué significa eso?
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Pues a ver, menos B partido de 2A, a ver, este no vale, menos B partido de 2A, lo tengo aquí, que no lo he borrado,
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b es menos 6, entonces menos b, menos menos 6, partido de 2 por 1, 6 partido de 2, que me queda 3.
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Entonces tengo que calcular menos b partido de 2a, que ya sé que es 3, y f de ese valor, es decir, f de 3.
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Eso es la imagen del 3. ¿Cómo se calcula la imagen del 3? Sustituyendo otra vez en la ecuación.
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3 al cuadrado menos 6 por 3 más 5, sustituyo, opero, 3 al cuadrado 9 menos 6 por 3, 18 más 5, 9 menos 18 menos 9, menos 9 más 5, menos 4.
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Entonces, ¿cuál es el vértice de mi parábola? Pues el punto 3 menos 4.
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Lo podría dibujar, luego lo vamos a hacer mejor, pero el punto 3 menos 4 estaría aquí.
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Y ya podemos hacernos una idea de lo que va a hacer esta función.
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¿Qué pasa con las parábolas?
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Todas las parábolas son simétricas respecto de su eje de simetría.
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Es decir, van a tener una recta por la cual van a ser simétricas respecto de ella.
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Es decir, los valores que equidistan de esa recta van a tener el mismo valor de la imagen.
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¿Cuál va a ser esa recta? Pues el eje de simetría de una parábola se calcula simplemente es la recta que pasa por el vértice
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Entonces la recta vertical que pasa por el vértice es x igual a 3, siempre x igual a menos b partido de 2a y ese es el eje de simetría
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La siguiente característica que vamos a utilizar es una tabla de valores para poder hacer mejor el dibujo.
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Es como se calcula una tabla de valores bien hecha.
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Siempre os voy a pedir que el primer valor que escribamos sea el vértice.
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Y a partir de ahí le vamos a dar tres valores a la izquierda del vértice y tres valores a la derecha.
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A ver, tabla de valores, se puede hacer en horizontal o vertical, ya sabéis
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¿Quién pongo en primer lugar? El vértice
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¿El vértice quién era? El 3 menos 4
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Ahora, ¿qué hago? Darle valores 3 a la derecha del vértice y 3 a la izquierda del vértice
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Si el vértice empezaba en el 3, 3 valores a la derecha
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serán el 4 el 5 y el 6 4 5 y 6 tres valores a la izquierda del vértice 2 1 y 0 2 1 y 0 y como
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calculó esa tabla de valores sustituyendo en la ecuación sustituyó el 4 4 al cuadrado menos 6
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por 4 más 5, 16 menos 20 más 5, 16 menos 20 menos 4, menos 4 más 5, 1. Y así sucesivamente
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con todos. Si recordáis, el 5 era un punto de corte y ya sabía que su imagen era el
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0, para el 6, me das, y haces los cálculos, 5, para el 2, menos 3, para el 1, 0, y para
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el 0, 5, estos serán también puntos de corte, pues que hago ahora para representar mi parábola,
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dibujar todos esos puntos, lo voy a hacer más grande, hago los ejes coordenados, y dibujo
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el 3 menos 4 1 2 3 menos 4 1 2 3 4 ese punto va a ser el vértice el 4 1
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no tengo aquí el 50
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no puede ser que la imagen de 4 es el menos 3 a veces hemos hecho 4 cuadrado
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Menos 6 por 4 más 5
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16 menos 6 por 4 son 24
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16 menos 24 más 5
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16 y 5, 21
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21 menos 4, menos 3
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¿Habéis visto?
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Me he dado cuenta que me he equivocado
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Porque me quedaba aquí el 5, 0
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Esto no puede ser una parábola
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Me repaso y me he dado cuenta
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De que el que estaba mal
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Era este
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Entonces ya dibujo el 4 menos 3, el 5, 0, el 6, 5, el 2 menos 3, el 1, 0 y el 0, 5.
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Y ahora ¿qué tengo que hacer? Unir esos puntos, pero siempre prolongando porque la parábola es infinita.
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Uno los puntos y tengo aquí mi parábola.
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¿Qué era eso del eje de simetría que os estaba intentando explicar?
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El eje de simetría es una recta vertical que pasa justo por el vértice
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¿Qué significa eje de simetría?
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Pues que los puntos que equidistan de esa recta, es decir, los que están a la misma distancia, tienen el mismo valor
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Si os dais cuenta aquí, este punto está a la misma distancia que este del vértice
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Entonces tienen el mismo valor
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Estos dos puntos están a dos unidades del eje de simetría
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Por tanto, tienen el mismo valor
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Estos dos puntos están a tres unidades del eje de simetría
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Tienen el mismo valor
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Es decir, el eje de simetría lo que significa es que si yo cojo mi función
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Y la doblo por esta recta, las dos partes coinciden
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¿Vale? Pues una vez que tenemos el dibujo, seguimos estudiando características
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La siguiente que os pido es el recorrido o imagen de una función.
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El recorrido de una función era el conjunto de valores que tomaba la variable dependiente.
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¿Y cómo se hacía eso? Se representa como imagen de f de x o recorrido de f de x.
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Eso es muy fácil, son los valores de y que yo tomo.
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¿Cuál es el valor más pequeño que toma mi función? Este, que correspondía al menos 4.
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Entonces parto del menos 4 y luego toma todos los valores que hay por encima
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Entonces el recorrido desde menos 4 cerrado a más infinito
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Aquí lo dejamos el último día de clase
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¿Qué significa el corchete?
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Que el menos 4 está menos 4 cerrado a más infinito
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¿Vale?
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Siguiente característica
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Quiero que me digáis cuando crece y cuando decrece la función
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Esta del recorrido era la 6, si no recuerdo mal, esta la 7
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¿Cuándo crece y cuándo decrece la función?
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¿Cuándo crece? Cuando si yo tiro una pelota, yo si pongo una pelota en este extremo
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¿Qué pasa? Que la pelota baja, decrece hasta este punto
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A partir de aquí vuelve a crecer
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¿Desde dónde crece? Desde aquí en adelante
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El crecimiento, la monotonía, siempre se mira desde el eje x.
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Este punto, ¿a qué x correspondía? Al 3.
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Entonces crece desde 3 a más infinito.
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Siempre abiertos, porque en un punto una función ni crece ni decrece.
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¿Cuándo decrece? Cuando baja la pelota.
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Y baja desde aquí hasta aquí, que también corresponde con el 3.
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Y este valor, como esto crece tanto como yo quiera, proviene de menos infinito, de menos infinito a 3.
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Otra característica, los extremos. ¿Qué son los extremos? Pues decir si la función tiene algún máximo o algún mínimo.
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¿Qué va a ser un máximo? Cuando la función pasa de ser creciente a decreciente.
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¿Cuándo tendrá un mínimo? Al revés, cuando la función pasa de decreciente a creciente.
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¿Esta función tiene alguna cosa de esas? Sí, esto, eso es un mínimo, luego esta función presenta un mínimo, ¿en qué punto? Hay que decir las dos coordenadas, en el vértice, ¿y quién era el vértice? X3 y menos 4, ese es el mínimo y ya me queda solo lo de la simetría que ya lo he dicho,
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esta función es simétrica respecto de su eje de simetría, respecto de la recta x igual a 3,
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y la última, que es una función continua, y simplemente a este nivel tenéis que saber que una función es continua
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si yo la puedo dibujar sin levantar el boli del papel, esta parábola yo la puedo dibujar sin levantarlo,
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Entonces, es una función continua.
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Pues nada, estas son las 10 características que quiero que me pongáis en los 6 ejemplos que tenéis colgados en el aula virtual.
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Espero que sean los últimos ejercicios que os mande y que podamos vernos muy pronto.
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Venga, ánimo.
00:16:27
- Subido por:
- Susana L.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial
- Visualizaciones:
- 5
- Fecha:
- 17 de octubre de 2023 - 22:46
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- IES ELISA SORIANO FISCHER
- Duración:
- 16′ 31″
- Relación de aspecto:
- 0.56:1
- Resolución:
- 202x360 píxeles
- Tamaño:
- 32.80 MBytes
